Calculo Integral

1. ANTECEDENTES HISTÓRICOS
El cálculo infinitesimal es la rama de las matemáticas que comprende el estudio y
aplicaciones del cálculo diferencial y del cálculo integral.
El cálculo diferencial se origina en el siglo XVII al realizar estudios sobre el
movimiento, es decir, al estudiar la velocidad de los cuerpos al caer al vacío ya
que cambia de un momento a otro; la velocidad en cada instante debe calcularse,
teniendo en cuenta la distancia que recorre en un tiempo infinitesimalmente
pequeño.
En 1666, el científico Inglés Isaac Newton fue el primero en desarrollar métodos
matemáticos para resolver problemas de esta índole.
Casi al mismo tiempo el filósofo y matemático Alemán Gottfried Leibniz realizo
investigaciones similares e ideando símbolos matemáticos que se aplican hasta
nuestros días.
Destacan otros matemáticos por haber hecho trabajos importantes relacionados
con el cálculo diferencial, sobre sale entre otros Pierre Fermat matemático
Francés, quien en su obra habla de los métodos diseñados para determinar los
máximos y mínimos, acercándose casi al descubrimiento de cálculo diferencial.
Dicha obra influencio a Leibniz en la investigación del cálculo diferencial. Fermat
dejo casi todos sus teoremas sin demostrar ya que por aquella época era común
entre los matemáticos el plantearse problemas unos a otros, por lo que
frecuentemente se ocultaba el método propio de solución, con el fin de reservarse
el éxito para sí mismo y para su nación; ya que había una gran rivalidad entre los
Franceses, Alemanes y los Ingleses. Razón por la cual las demostraciones de
Fermat se hayan perdido.
Nicolás Óresme obispo de la comunidad de Lisieix, Francia, estableció que en la
proximidad del punto de una curva en que la ordenada se considera máxima o
mínima, dicha ordenada varia mas pausadamente.
Johannes Kepler tiempo después, coincidió con lo que estableció Nicolás
Óresme, conceptos que permitieron a Fermat en su estudio de máximos y
mínimos, las tangentes y las cuadraturas, igualar acero la derivada de la función,
debido a que la tangente a la curva en los puntos en que la función tiene su
máximo o su mínimo, es decir, la función es paralela al eje “x” donde la pendiente
de la tangente se anula.
Isaac Barrow maestro de Newton, quien por medio del “triángulo característico”,
en donde la hipotenusa es un arco infinitesimal de curva y sus catetos son
incrementos infinitesimales en que difieren las abscisas y las ordenadas de los
extremos del arco.

2. Newton concibió el método de las “Fluxiones”, considerando a la curva como la
trayectoria de un punto que fluye; denominado “momento” de la cantidad fluente al
arco mucho muy corto recorrido en un tiempo
Benjamín Garza Olvera, Matemáticas IV, Calculo diferencial, SEP, SEIT 1990
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Excesivamente pequeño, llamado la razón del momento al tiempo
correspondiente, es decir, la velocidad.
Por lo tanto “Fluente” es la cantidad variable que identifica como “Función”; Fluxión
es la velocidad o rapidez de variación de la fuente que identifica como la
“derivada”; al incremento infinitesimal o instantáneo de la fluente se le llama
“momento” que se indica como la “diferencial”.
El principio establece que: “los momentos de la funciones son entre sí como sus
derivadas”
La concepción de Leibniz se logra al estudiar el problema de las tangentes y su
inverso, basándose en el triángulo característico de Barrow, observo que el
triángulo es semejante al que se forma con la tangente, la subtangente y la
ordenad del punto de tangencia, así mismo, es igual al triángulo formado por la
normal, la subnormal y la ordenada del mismo punto. Los símbolos dx, dy/dx, la
palabra “derivada” y el nombre de “ecuaciones diferenciales” se debe a Leibniz.
Agustín Louis Cauchy matemático Francés, impulsor del cálculo diferencial e
integral autor de la teoría de las funciones de las variables complejas, basándose
para ello en el método de los límites; las definiciones de “función de función” y la
de “función compuesta”, también se deben a Cauchy.
Jacobo Bernoulli introduce la palabra “función” en el cálculo diferencial y la
simbología “f(x)” se debe a Leonard Euler, ambos matemáticos Suizos. John
Wallis enuncia el concepto de limite y la representación simbólica “lim” se debe a
Simón Lhuilier; el símbolo tiende a “Æ” lo implanto J.G. Leathem.
Los procesos generales y las reglas prácticas sencillas del cálculo diferencial se
deben a Newton y Leibniz; sin embargo por más de 150 años el cálculo diferencial
continúa basándose en el concepto de la infinitesimal.
En el siglo XIX se han encontrado bases más firmes y lógicas al margen de lo
infinitamente pequeño.
El cálculo diferencial se ha ido desarrollando a través de los años, consolidándose
como una herramienta técnico-científica que se utiliza en el análisis de procesos
que contienen magnitudes en constante cambio, por ejemplo: la velocidad de las
reacciones químicas, los cambios atmosféricos, los desarrollos sociales y
económicos de las naciones, en la astronomía, la estadística, etc.

3. A Newton y Leibniz se les llama fundadores del cálculo ya que fueron los primeros
en estudiar el problema geométrico fundamental del cálculo diferencial, que se
denomina: “problema de las tangentes” en el cual hay que hallar las rectas
tangentes a una curva dada
Benjamín Garza Olvera, Matemáticas IV, Calculo diferencial, SEP, SEIT 1990
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Cálculo infinitesimal
El cálculo infinitesimal, llamado por brevedad "cálculo", tiene su origen en la
antigua geometría griega. Demócrito calculó el volumen de pirámides y conos
considerándolos formados por un número infinito de secciones de grosor
infinitesimal (infinitamente pequeño). Eudoxo y Arquímedes utilizaron el "método
de agotamiento" o exhaución para encontrar el área de un círculo con la exactitud
finita requerida mediante el uso de polígonos regulares inscritos de cada vez
mayor número de lados. En el periodo tardío de Grecia, el neoplatónico Pappus de
Alejandría hizo contribuciones sobresalientes en este ámbito. Sin embargo, las
dificultades para trabajar con números irracionales y las paradojas de Zenón de
Elea impidieron formular una teoría sistemática del cálculo en el periodo antiguo.
En el siglo XVII, Cavalieri y Torricelli ampliaron el uso de los infinitesimales,
Descartes y Fermat utilizaron el álgebra para encontrar el área y las tangentes
(integración y Derivación en términos modernos). Fermat y Barrow tenían la
certeza de que ambos cálculos estaban relacionados, aunque fueron Newton
(hacia 1660), en Inglaterra y Leibniz en Alemania (hacia 1670) quienes
demostraron que los problemas del área y la tangente son inversos, lo que se
conoce como teorema fundamental del cálculo.
El descubrimiento de Newton, a partir de su teoría de la gravitación universal, fue
anterior al de Leibniz, pero el retraso en su publicación aún provoca controversias
sobre quién de los dos fue el primero. Newton utilizó el cálculo en mecánica en el
marco de su tratado "Principios matemáticos de filosofía natural", obra científica
por excelencia, llamando a su método de "fluxiones". Leibniz utilizó el cálculo en el
problema de la tangente a una curva en un punto, como límite de aproximaciones
sucesivas, dando un carácter más filosófico a su discurso. Sin embargo, terminó
por adoptarse la notación de Leibniz por su versatilidad.
En el siglo XVIII aumentó considerablemente el número de aplicaciones del
cálculo, pero el uso impreciso de las cantidades infinitas e infinitesimales, así
como la intuición geométrica, causaban todavía confusión y duda sobre sus
fundamentos. De hecho, la noción de límite, central en el estudio del cálculo, era
aun vaga e imprecisa en ese entonces. Uno de sus críticos más notables fue el
filósofo George Berkeley.

4. En el siglo XIX el trabajo de los analistas matemáticos sustituyeron esas
vaguedades por fundamentos sólidos basados en cantidades finitas: Bolzano y
Cauchy definieron con precisión los conceptos de límite en términos de
épsilon_delta y de derivada, Cauchy y Riemann hicieron lo propio con las
integrales, y Dedekind y Weierstrass con los números reales. Fue el periodo de la
fundamentación del cálculo. Por ejemplo, se supo que las funciones diferenciables
son continuas y que las funciones continuas son integrables, aunque los
recíprocos son falsos. En el siglo XX, el análisis no convencional, legitimó el uso
de los infinitesimales, al mismo tiempo que la aparición de las Computadoras ha
incrementado las aplicaciones y velocidad del cálculo.
Actualmente, el cálculo infinitesimal tiene un doble aspecto: por un lado, se ha
consolidado su carácter disciplinario en la formación de la sociedad culta del
conocimiento, destacando en este ámbito textos propios de la disciplina como el
de Louis Leithold, el de Earl W.
Benjamín Garza Olvera, Matemáticas IV, Calculo diferencial, SEP, SEIT 1990
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Swokowski o el de James Stewart entre muchos otros; por otro su desarrollo como
disciplina científica que ha desembocado en ámbitos tan especializados como el
cálculo fraccional, la teoría de funciones analíticas de variable compleja o el
análisis matemático. El éxito del cálculo ha sido extendido con el tiempo a las
ecuaciones diferenciales, al cálculo de vectores, al cálculo de variaciones, al
análisis complejo y a la topología algebraica y la topología diferencial entre
muchas otras ramas.
El desarrollo y uso del cálculo ha tenido efectos muy importantes en casi todas las
áreas de la vida moderna: es fundamento para el cálculo numérico aplicado en
casi todos los campos técnicos y/o científicos cuya principal característica es la
continuidad de sus elementos, en especial en la física. Prácticamente todos los
desarrollos técnicos modernos como la construcción, aviación, transporte,
meteorología, etc. hacen uso del cálculo. Muchas fórmulas algebraicas se usan
hoy en día en balística, calefacción, refrigeración, etc.
Como complemento del cálculo, en relación a sistemas teóricos o físicos cuyos
elementos carecen de continuidad, se ha desarrollado una rama especial conocida
como Matemática discreta.

5. Máximos y mínimos
Problemas:
1. Diseña un envase cilíndrico con capacidad de 300 cm2
de manera que la
cantidad de material usada sea mínima.
SOLUCIÓN
El área de dicha superficie (figura 11.15) es el
área de dos círculos iguales de radio r más la
del rectángulo:
A = 2π𝑟2
+ ph
en donde el perímetro p es igual a p r = 2π ,
por lo tanto, sustituyendo en la igualdad
A= 2π𝑟2
+ 2πrh
Por otra parte, el volumen del envase es el área del círculo de una de las
tapas por la altura del cilindro:
300 = π𝑟2
h
de donde
h=
300
π𝑟2
sustituyendo el valor de h se obtiene:
A= 2π𝑟2
+ 2πrh(
300
π𝑟2
)
A= 2π𝑟2
+(
600𝜋𝑟
π𝑟2
)
A= 2π𝑟2
+(
600
r
)
que es la función a derivar para obtener el máximo y/o mínimo respecto del
radio r. Derivando se obtiene que:
𝑑𝐴
𝑑𝑥
= 2π𝑟2
+ 600𝑟−1
𝑑𝐴
𝑑𝑥
= = 4πr +
600
𝑟2
Igualando a cero y resolviendo
4πr +
600
𝑟2
= 0
multiplicando toda la igualdad por 𝑟2
para eliminar denominadores
4π𝑟3
– 600 = 0
𝑟3
=
600
4π

6. r= √
600
4𝜋
3
r= 3.627
Aplicando la regla general para saber si este valor crítico es máximo o mínimo, es
decir, dando primero un valor un poco menor y sustituyendo en la derivada; luego
un valor un poco mayor y viendo el cambio de signos de la derivada:
Con un valor un poco menor, por ejemplo con r = 3 y sustituyendo en:
𝑑𝐴
𝑑𝑥
=4π(3) +
600
32
𝑑𝐴
𝑑𝑥
= -28 96
𝑑𝐴
𝑑𝑥
=4π(4) +
600
42
𝑑𝐴
𝑑𝑥
= 12. 76
La altura del envase con superficie mínima se obtiene sustituyendo el valor del
radio r en la igualdad:
h=
300
π𝑟2
h=
300
π(3.627)2
h = 7.258 cm
Las dimensiones del envase cilíndrico más económico que pueda contener
300 cm3 de volumen son de r = 3.627 cm y altura h = 7.258 cm.
Tomando ahora un valor un
poco mayor, por ejemplo r = 4
y sustituyendo en la derivada:
Como cambió de menos a
más el signo de la derivada,
significa que en el valor
crítico r = 3.627 cm hay un
mínimo.

7. 2. Un granjero cuenta con 500 m de maya y necesita cercar una zona junto al
río. ¿Qué dimensiones debe darle a la zona cercana para que su área sea
máxima, si el lado que está junto al rio no requiere maya?
y
xx
FÓRMULAS
Se tiene que encontrar la suma de los tres lados del
área que se va a cercar, entonces tenemos que:
2x + y= 500m
X + y = área
Procedimiento
Se encontrará el valor de una de las variables, en éste
caso se encontrará primero el valor de “y”, teniendo
que:
Y= -2x + 500
A= xy
A= x (-2x + 500)
A= -2𝑥2
+ 500x
𝑑𝐴
𝑑𝑋
=-
−2𝑥2 + 500x
𝑑𝑥
= -4x + 500
-4x+500= 0
-4x= -500
x =
−500
−4
y= -2(125) + 500
y= -250 + 500
x= 125
y= 250

8. Derivada
La derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor
de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente.
La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como
el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando
el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más
pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un
punto dado.
Interpretación geométrica de la derivada
Pendiente de la recta Tangente
En geometría plana se llama tangente a la recta que intersecta a una
circunferencia en un punto y solo uno. Dicho punto se llama punto de tangencia y
la tangente es perpendicular al radio en el punto de tangencia.
Esta definición de tangente no es válida para cualquier curva. En la siguiente
imagen se muestra una recta que es tangente a la curva en un punto P pero la
corta en otro punto Q.
La variación de un fenómenos a través del tiempo
Incremento de la variación independiente.

9. Cuando una variable X pasa por un valor 𝑥1, a un valor 𝑥2 se llama incremento
que se denota por el símbolo ∆ (delta griego), así ᴧx se lee delta de x
Entonces:
∆x= 𝑥2 − 𝑥1
Por tanto:
𝑥2 = 𝑥1 + ∆x
Ejercicios:
1. Si 𝑥1 =3 y 𝑥2= 5 , entonces:
∆x = 𝑥2 − 𝑥1 = 5-3 = 2
Es decir:
𝑥2 = 𝑥1 + ∆x
5 = 3 + 2
2. Si 𝑋1= -1 y 𝑥2= -6, entonces
∆x = 𝑥2 − 𝑥1
= -6- (-1)
= -6 + 1
= -5
Es decir:
𝑥2 = 𝑥1 + ∆x
-6 = -1 + (-5)
-6 = -6
3. Si 𝑥1 = 7 y 𝑥2 = 7, entonces:
∆x = 7 – 7= 0
Por lo que:
𝑥2 = 𝑥1 +∆ x
7 = 7 + 0
Incremento de una función
Si la variable x pasa del valor 𝑥1 al valor 𝑥2 entonces la función y = f(x) pasa de
𝑦1= f(𝑥1) a 𝑦2= f (𝑥2), es decir, al incremento ∆x=𝑥2 − 𝑥1 corresponde un
incremento ∆y=𝑦2 − 𝑦1 = f (𝑥2) – f ( 𝑥1 )

10. Ejemplos:
1. Sea y = x + 1, halla ∆y cuando x varía de 1
a 5
Solución
∆y = f (5) – f (1)
= (5 + 1) – (1+1)
= 6 -2
= 4
2. Sea y=
1
2
𝑥2
, calcula el ∆y cuándo x varía de 1 a 4
Solución:
∆y = f (4) – f (1)
=[
1
2
(42
) -
1
2
(12
) ]
= [
1
2
(16) -
1
2
(1) ]
= 8 −
1
2
= 7
1
2
3. Encontrar la pendiente de la recta tangente a la curva y= 𝑥2
+ 2𝑥 − 3 en el
punto (𝑥1, 𝑦1)
Solución:
Como y = f(x), entonces f(x) = 𝑥1
2
+2𝑥 − 3 dónde:
f (𝑥1) = 𝑥1
2
+2𝑥 − 3
f(𝑥1 + ∆x) = (𝑥1 + ∆x )2
+ 2 (𝑥1 +∆ x) – 3
Sustituyendo en la ecuación
m (𝑥1) = lim
𝑓 (𝑥1 + ∆x )− f(𝑥1)
∆x
Efectuando operaciones
m (𝑥1) = lim
[ (𝑥1 + ∆x )2+2 (𝑥1 + ∆x )− 3 ]− [ 𝑥2+2𝑥−3 ]
∆x
Quitando paréntesis:
m (𝑥1) = lim
(𝑥1 + 2∆𝑥1+ ∆𝑥2 +2 𝑥1 + 2∆x − 3 −( 𝑥2+2𝑥−3 ]
∆x
Reduciendo términos semejantes:

11. m (𝑥1) = lim
2 𝑥1∆ x+(∆𝑥)2 + 2∆x
∆x
Como ᴧ𝐱 ---> 0, ∆𝐱 ≠ 0, por tanto se puede dividir entre ᴧ𝐱
m (𝑥1) = lim 2 𝑥1 ∆x + (∆𝑥)2
+ 2∆x
Tomando el límite:
m (𝑥1) = 2 𝑥1 + 2
La gráfica de la función se ilustra en la siguiente figura.
Para cualquier valor de X su correspondiente valor e y
se obtiene a partir de la ecuación y= 𝑥2
+ 2𝑥 − 3,
mientras que el valor de la pendiente se obtiene a
partir de las ecuaciones
m(𝑥1) = 2 𝑥1 + 2
Así para:
𝑎) 𝑥1= -3 y= 𝑥2
+ 2𝑥 − 3, m(-3)= 2 (-3) +
2
= 9-6-3 = - 6 + 2
= 0 = - 4
Es decir que cuando x = -3, su ordenada correspondiente es 0 por lo que para el
punto (-3, 0) de la curva la recta tangente en dicho punto tiene pendiente m = -4
a) 𝑥1 = -2 y = (−22
) + 2(−2) − 3, m(-2)= 2 (-2) + 2
= 4- 4- 3 = - 4 + 2
= -3 = - 2
De manera que para x= -2, y= -3, o sea que el punto (-2, -3) de la curva recta
tangente en dicho punto tiene pendiente m= -2
b) 𝑥1 = 0 y= 02
+ 2(0) − 3, m(0)= 2 (0) + 2
= 1 + 2 - 3 = 2 + 2
= 0 = 4
Entonces, en el punto (1, 0) de la curva, la recta tangente tiene pendiente m= 4
E de particular importancia determinar los puntos de la gráfica tiene una tangente
horizontal, pues ésta tiene pendiente cero. Ichos puntos se obtienen al hacer m
(𝑥1)= 0 y resulver para 𝑥1
En este ejemplo se tiene que:

12. m (𝑥1)= 2 𝑥1 + 2
Es decir:
m (𝑥1)= 0
0= 2 𝑥1 + 2
De donde:
-2 = 2 𝑥1
−2
2
= 𝑥1
-1 = 𝑥1
O bien
𝑥1 = −1
Esto significa que el punto de la curva que tiene su abscisa igual a -1, la
recta tangente es paralela al eje de las x

13. EJERCICIOS
Máximos y Mínimos
1) Halla dos números cuya suma es 18, sabiendo que el producto de uno por
el cuadrado del otro es máximo
2) Se dispone de una lámina de cartón cuadrada de
12 cm. de lado. Cortando cuadrados iguales en
las esquinas se construye una caja abierta
doblando los laterales. Hallar las dimensiones de
los cuadrados cortados para que el volumen sea
máximo
3) ¿Cuál será la forma rectangular de un campo de área dada
a 36 𝐷𝑚2
para que sea cercado por una valla de longitud
máxima
4) Se quiere cercar un campo rectangular que está junto a
un camino. Se la valla del lado que está junto al camino
cuesta BF. 8 el metro y para los lados BF. 4 el metro,
halla el área del mayor campo que pueda cercarse con
BF. 1440.
5) Una esfera tiene un radio de 6 cm. Hallar la altura del cilindro
de volumen máximo inscrito en ella
6) Para hacer un filtro de laboratorio, se pliega un papel circular.
Si el radio de dicho papel mide 9cm. Calcular la altura del cono
que se forma para que el volumen sea máximo
7) Se dispone de una caja de papel para un cartel que mide 2
c𝑚2
. Los márgenes superior e inferior, miden 20 cm cada
uno y los laterales 12 cm cada uno. Hallar las dimensiones
de las hojas, sabiendo que la parte impresa es máxima
8) De todo los triángulos isósceles de 12 metros de perímetro,
hallar el de área máxima

14. 9) En un triángulo isósceles, los lados iguales miden 20 cm
cada uno. Hallar la longitud de la base para que el área
sea máxima
10) Determine las dimensiones del rectángulo
que se puede inscribir en un semicírculo de
radio “a” de manera que dos de sus vértices
estén sobre el diámetro
Variación de un fenómeno a través del tiempo
1. Determina el ∆x cuando x varía de
a) 𝑥1= 2 a 𝑥2 = 7
b) 𝑥1=0 a 𝑥2= -2
c) 𝑥1= -1 a 𝑥2= -1
d) 𝑥1=-3 a 𝑥2= -5
e) 𝑥1= -5 a 𝑥2= -1
2. Para cada función y= f(x) determina ∆𝑦 cuando x toma los valores 𝑥1 y 𝑥2 dados:
a) y= 3x-2, 𝑥1= -1 y x2= 3
b) y= 𝑥2
+ 5x, 𝑥1= -
5
2
y 𝑥2= -2
c) y= 5- 4x- 𝑥2
, 𝑥1= -3 y 𝑥2= -2
d) y= 2𝑥2
, 𝑥1= 0 y 𝑥2= 1
e) y= √ 𝑥 + 4, 𝑥1= 0 y 𝑥2= 1