MARANGON-M.-Dez-2018-Capítulo-04-Estado-de-Tensões-e-de-Equilíbrio.pdf

Faculdade de Engenharia – NuGeo/Núcleo de Geotecnia Prof. M. Marangon
Mecânica dos Solos II – Edição Dez/2018
ESTADO DE TENSÕES E DE EQUILÍBRIO DOS SOLOS
94
Capítulo 4 – ESTADO DE TENSÕES E DE EQUILÍBRIO DOS SOLOS
4.1 – Introdução
Neste curso, foram abordados os conceitos de tensões no solo e o cálculo das
tensões verticais num plano horizontal, em uma posição qualquer no interior de um
subsolo, com superfície horizontal, principalmente. Estas tensões são verticais e, portanto,
normais ao plano, pois não há qualquer razão para que elas tenham uma inclinação.
Assim como se definiram as tensões num plano horizontal, elas poderiam ser
consideradas em qualquer outro plano no interior do solo. De particular interesse, são as
tensões nos planos verticais. Nestes também não ocorrem tensões de cisalhamento, devido
à simetria. Estas tensões acima referidas são as indicadas na Figura 4.1. A tensão normal
no plano vertical depende da constituição do solo e do histórico de tensões a que ele esteve
submetido anteriormente. Normalmente ele é referido à tensão vertical, sendo a relação
entre tensão horizontal efetiva e a tensão vertical efetiva denominada coeficiente de
empuxo em repouso e indicada pelo símbolo K0.
Figura 4.1 - Tensões verticais e horizontais num elemento do solo, com superfície horizontal
Tensões num plano genérico (Pinto, 2006)
Em um plano genérico no interior do subsolo, a tensão atuante não é
necessariamente normal ao plano. Para efeito de análises, ela pode ser decomposta num
componente normal e em outra paralela ao plano, como se mostra na Figura 4.2. A
componente normal é chamada tensão normal, σ, e a componente tangencial, tensão
cisalhante, τ, embora elas não sejam tensões que possam existir individualmente.
Em qualquer ponto do solo, a tensão atuante e a sua inclinação em relação à normal
ao plano variam conforme o plano considerado. Demonstra-se que sempre existem três
planos em que a tensão atuante é normal ao próprio plano, não existindo a componente de
cisalhamento.
Figura 4.2 - Decomposição da tensão num plano genérico

95
O conhecimento das componentes de cisalhamento é extremamente importante
para o entendimento sobre a condição de equilíbrio dos solos.
Como será visto, a “resistência ao cisalhamento” ( - tensão cisalhante máxima)
desenvolvida pelos solos é a responsável pela capacidade dos solos tem de suportar as
tensões desenvolvidas pelas solicitações internas (desenvolvidas pelo seu peso próprio) e
solicitações externas (cargas aplicadas), conservando sua estabilidade. Caso contrário as
tensões desenvolvidas nas massas de solo podem levar a uma condição de desequilíbrio e
consequentemente à sua ruptura. Neste caso o nível de tensões supera o regime de
deformação elástica passando para o regime plástico de deformação.
Então, a análise desse equilíbrio consiste em identificar o valor da componente
cisalhante no possível plano de rutura. Tensão atuante e de resistência interna ao
cisalhamento. O conhecimento previo da resistência interna ao cisalhamento permite a
realização de dimensionamentos de estruturas de terra e verificações das condições de
estabilidade destas massas de solos.
Na Figura 4.3 vê-se como exemplo um terreno em plano inclinado (talude). Esta
massa de solo está dividida em várias fatias (porções), em que se tem uma cunha possível
de movimentação (escorregamento), em que são calculadas as tensões nos “planos das suas
bases”, para posterior comparação com os valores de tensão de resistência do solo.
Permite-se assim determinar a condição de estabilidade do conjunto.
Figura 4.3 - Terreno em plano inclinado, com tensões de cisalhamento e normal
aos “planos das bases” das fatias
4.2 – Tensões em um ponto
Um ponto, considerado no interior de uma massa de solo, está sujeito a esforços em
todas as direções (equilibradas por reações ocorrentes pela própria continuidade da massa).
Para o estudo das forças atuantes em um ponto “O”, por exemplo, como mostra a
Figura 4.4 (terreno horizontal), considerando apenas as forças devidas ao peso próprio dos
solos, desprezando àquelas devido aos carregamentos externos, devemos analisá-las
segundo direções específicas, isto é, devemos considerá-las como tensões agentes no
ponto “O” traduzidas por esforços por unidade de área em direções definidas e
determináveis (no caso, a resultante agirá segundo a direção da gravidade).

96
Figura 4.4 – Tensões de um ponto “O” no interior de uma massa de solo,
definido como a interseção de três planos ortogonais
Para o caso da Figura 4.4 em que o plano do terreno é horizontal não haverá
componente tangencial e o esforço resultante age normal ao plano paralelo ao da superfície.
Podemos definir o ponto “O” como a intersecção de três planos ortogonais entre si.
Se considerarmos esta definição gráfica, podem-se agrupar os esforços que agem em torno
do ponto, segundo essas três direções consideradas. Assim, suas ações limitadas às
resultantes com direções definidas seriam tensões ortogonais entre si, que agem, cada uma
delas, normal a cada um dos planos sucessivamente.
Sistema Triaxial de Tensões
As solicitações no ponto serão definidas por um sistema tri-dimensional de
tensões, representadas, por 1, 2 e 3 (e suas respectivas reações pela continuidade da
massa), contidas respectivamente no encontro de dois planos (traço desse encontro) e
normal ao terceiro onde age integralmente.
Nessa situação, as tensões serão denominadas tensões principais e os planos serão
os principais de tensões (Figura 4.5 a). As tensões agentes, seguindo a nomenclatura, serão:
1 = tensão principal maior, agindo em valor absoluto sobre o plano principal maior,
no caso o horizontal;
2 = tensão principal intermediária agindo normal ao plano principal intermediário;
3 = tensão principal menor, agindo sobre o plano principal menor.
No caso dos solos, iremos considerar, dentro de um espaço semi-infinito (cada um
dos horizontes) o solo como homogêneo e contínuo em todas as direções. Nessas
características a elasticidade (reação da massa) será a mesma em todas as direções,
caracterizando a condição particular de 2 = 3 (o que é muito comum na prática).
Com essa consideração reduzimos o sistema a uma condição bi-dimensional de
tensões onde teremos:
1 = tensão principal maior agindo normal ao plano principal maior;
3 = tensão principal menor agindo normal ao plano principal menor.
Representando o ponto “O” como um cilindro infinitesimal (Figura 4.5 b), teremos
o problema de análise das tensões a ser resolvido num sistema plano de tensões.

97
(a) (b)
Figura 4.5 – Sistema tri-dimensional de tensões e condição bi-dimensional de tensões
Pinto (2006) ressalta que “nos problemas de Engenharia de Solos, envolvendo a
resistência do solo, interessam σ1 e σ3 pois a resistência depende das tensões de
cisalhamento e estas, como se verá, são fruto das diferenças entre as tensões principais e a
maior diferença ocorre quando estas são σ1 e σ3. De maneira geral, portanto, estuda-se o
estado de tensões no plano principal intermediário (em que ocorrem σ1 e σ3), que é o caso
da seção transversal de uma fundação corrida, de uma vala escavada, de um aterro
rodoviário ou da seção transversal de uma barragem de terra. As tensões principais
intermediárias só são consideradas em problemas especiais”.
Direção das tensões principais
É interessante observar que sendo a superfície do terreno horizontal, em qualquer
profundidade z, a tensão principal maior 1 terá como direção a vertical e a tensão principal
menor 3 à sua perpendicular, ou seja, a direção horizontal.
No caso da superfície ser diferente da situação anterior, ou tiver carga aplicada na
superfície em cada profundidade z, terá sua tensão principal maior e menor
(perpendiculares entre si) inclinada segundo uma direção diferente a cada posição, como
ilustrada na Figura 4.6. Isto ocorre devido a influência direta da condição do carregamento
resultante.
Figura 4.6 - Direção das tensões principais para alguns pontos no interior da massa de solo,
para uma condição de carga aplicada na superfície
No estado plano de deformações, conhecendo-se os planos e as tensões principais
num ponto, pode-se determinar as tensões em qualquer plano passando por esse ponto. Este
cálculo pode ser feito pelas equações de equilíbrio dos esforços aplicadas a um prisma
triangular definido pelos dois planos principais e o plano considerado, como visto a seguir.

98
Cálculo das tensões normal ( ) e tangencial ( ) em um plano genérico 
(a partir das tensões principais)
Pelo ponto O podemos, além dos dois planos principais considerados, passar outro
plano qualquer (por um ponto podemos passar uma infinidade de planos). Mas, nesse
terceiro plano, daremos uma orientação de posição, isto é, ele fará um ângulo  com o
plano principal maior (terá uma inclinação em relação ao plano horizontal).
Nesse caso, o plano estará inclinado em relação as duas tensões principais, que,
com suas ações, darão, como decorrência, duas componentes agindo nesse plano, uma
normal  e uma tangencial .
O problema consistirá, então, em se calcular as duas tensões  e  em função das
tensões agentes 1 e 3 representados pelos esforços por unidade de área.
Representando o ponto O pela interseção desses três planos, temos seus traços na
Figura 4.7.a (triângulo infinitesimal) e as correspondentes áreas, onde atuam as tensões,
representadas na Figura 4.7.b, considerada a profundidade unitária, normal ao papel.
(a) (b)
Figura 4.7 – Traços OA, OB e AB dos planos e áreas em que agem as tensões 1, 3 e  /
Sobre essas áreas agem as forças aplicadas, mostradas na Figura 4.8, nas direções
definidas em relação as suas ações sobre os planos considerados e de forma decompostas
segundo as direções de 1 e 3 (ação nos planos principais)
Figura 4.8 – Forças aplicadas, nas direções dos planos considerados e nas direções de 1 e 3
Estando o sistema em equilíbrio serão satisfeitas as equações fundamentais da
estática, donde teremos:
H ds ds ds
V ds ds ds
 = − + =
 = − − =
0 0
0 0
3
1
     
     
 
 
sen sen cos
cos cos sen

99
Ou (cancelando-se o ds):
     
     
 
 
3
1
0
0
sen sen cos
cos cos sen
− + =
− − =
Multiplicando-se 1 por cos  e 2 por sen , teremos:
       
       
 
 
3
2
1
2
0
0
sen cos sen cos cos
sen cos sen cos sen
− + =
− − =
Subtraindo-se II de I, temos:
( ) ( )
      

1 3
2 2
0
− − + =
sen cos sen cos
Sabemos que: ( )
sen sen cos sen cos
a b a b b a
 = 
sen sen cos
2 2
a a a
=
sen
sen cos
2
2
a
a a
=
Ou,
sen
sen cos
2
2

 
=
Substituindo em III, temos:


−

=
 2
sen
2
3
1
(IV) tensão tangencial (cisalhamento) no plano 
Somando-se I e II ,temos:
( ) ( )
( ) 0
cos
2
2
2
0
cos
cos
2
cos
2
2
3
1
2
2
3
1
=
−
+
−
−
=
−
+
−
+






















sen
sen
sen
sen
sen
sen
Sabemos que:
( )
cos cos cos sen sen
a b a b a b
 = 
cos cos sen
cos cos sen
2
2
2 2
2 2
a a a
= −
= −
  
Substituindo em V:
 
    
 
1 3 2
2
2 2 0
−
− + =
sen sen cos
Substituindo  por seu valor expresso em IV:
 
  
 
 

1 3 1 3
2
2 2
2
2 2 0
+
− +
−
=
sen sen sen cos ou
(1)
(V)
(2)
   
 
1 3 1 3
2 2
2
+
+
−
=
cos
(I)
(VI) tensão normal no plano 
(II)
(III)
(V)

100
Nesse estudo, estabeleceu-se o desenvolvimento analítico para o cálculo das tensões
definidoras do estado de solicitações no ponto O (interior da massa de solo) onde ocorrem
1 e 3.
4.3 – Análise gráfica do estado de tensões
Para a análise gráfica do estado de tensões em um ponto, pode-se representá-la pelo
círculo de Mohr que é o “lugar geométrico dos pontos de coordenadas  e  definidores
do estado de tensões no ponto O, quando agem no mesmo, as tensões principais 1 e 3”,
como ilustrado na Figura 4.9.
Esse lugar geométrico (círculo de Mohr) traduz todos os valores de coordenadas
correspondentes a todos os possíveis planos inclinados, em relação aos planos principais,
que se pode passar no ponto O e que fazem um ângulo  qualquer, com o plano principal
maior.
Figura 4.9 – Representação gráfica dos estados de tensões no ponto O
Em outras palavras, o estado de tensões no ponto O, qualquer, no interior de uma
massa de solo, pode ser graficamente representado num sistema cartesiano de
coordenadas  e , coordenadas no plano qualquer, quando o mesmo, está sujeito as
tensões 1 e 3.
Para se traçar o lugar geométrico representativo das tensões nos planos :
a) Marca-se no eixo das abscissas as tensões 1 e 3;
b) No intervalo entre 1 e 3 traça-se o círculo de tensões, cujo diâmetro é 1 - 3,
portanto o raio é igual a:
r =
−
 
1 3
2
c) Toma-se o ponto M, sobre o círculo, definido a partir do ângulo , obtendo-se os
coordenadas  e ;
* Pela propriedade do círculo de Mohr, temos:
. “Todo raio que forma com o eixo das abscissas um ângulo 2, corta o círculo num
ponto M cujas coordenadas são  e , definidoras do estado de tensões no ponto O,
submetido ao par de tensões principais 1 e 3. Esse ângulo  é o ângulo que o plano
qualquer faz com o plano principal maior”.
. Ligando-se o ponto M ao início do círculo, a corda define o ângulo . O início do
círculo é o pólo.

101
* O centro do círculo terá as coordenadas:

  
   
o
o r
,
,
=
= + = +
−
=
+
0
2 2
3 3
1 3 1 3
* Coordenadas do ponto M em função das tensões 1 e 3:
Raio do círculo: r =
−
 
1 3
2
Coordenadas de o,
: o,
= 0 e 
 
o
,
=
+
1 3
2
Então, temos:








 2
cos
2
2
2
cos
' 3
1
3
1
,,
,
, −
+
+
=
+
=
+
= r
o
o o
o
 
 

 = =
−

r sen sen
2
2
2
1 3
Observe que essas expressões obtidas do sistema gráfico de representação são as
mesmas deduzidas analiticamente o que permite trabalhar com o gráfico, num sistema
muito mais simples de visualização.
4.4 – Exemplos de análise do estado de tensões
Neste item serão analisados alguns exemplos de estado de tensões, em uma massa
de solo, a fim de bem ilustrar como atuam os esforços e a características de suas possíveis
componentes, em relação ao espaço.
Considere o caso de um tereno horizontal, submetido a um carregamento circular
na sua superfície ...
Como visto, um carregamento externo aplicado na superfície (ou por conta da
própria geometria da superfície da massa de solo, quando inclinada) contribui para o
desenvolvimento de tensões normais e tangenciais (ou de cisalhamento). Em se tratando da
componente de cisalhamento, observa-se ser interessante calcular, em diversos problemas,
os valores de máxima tensão cisalhante atuantes no solo.
Assim, a Figura 4.10 ilustra, como exemplo, o aspecto da distribuição de tensões e
a intensidade destas tensões, seja a componente de tensão vertical (Capítulo 02), seja a
cisalhante máxima que ocorrem no subsolo de um terreno (mostrada a meia seção), que
tem aplicado na superfície um carregamento externo de 100kPa.
Observa-se que os maiores valores destas tensões ocorrem nas proximidades do
carregamento, região em que se têm as maiores deformações e que há a possibilidade de
haver ruptura, dependendo da resistência ao cisalhamento do solo.

   

 =
+
+
−
1 3 1 3
2 2
2
cos

 

 =
−
1 3
2
2
sen

102
3 m Footing
100 kPa
7
1
4
21
28
35
42
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
Elevation
(metres)
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Distribuição de tensões verticais devidas ao peso
próprio e ao carregamento externo
E = 5000 kPa
3 m Footing
100 kPa
2
4
6
10
1
4
24
30
32
32
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 2
Elevation
(metres)
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Distribuição das máximas tensões cisalhantes
 = 0,334
Figura 4.10 - Aspecto das tensões que ocorrem no subsolo de um terreno carregado
Para ilustrar, é mostrada na Figura 4.11 uma ampliação dos pontos de cálculo
próximos da carga e na Figura 4.12 o estado de tensões atuantes em um ponto no interior
da massa de solo, com destaque para os valores e a direção em que atuam as tensões
principais maior e menor, como estudado. Neste exemplo ilustrativo foi usado um software
de análise de tensões, desenvolvido aplicando a técnica numérica do “Método dos
Elementos Finitos” (M. E. F.). O ponto destacado (do nó 760) situa-se à 2,0m de
profundidade (cota 18) e à 1,5m de distância do eixo da carga aplicada de 6,0m de
diâmetro, ou seja, na metade dos 3,0m apresentado.
Como pode ser observado no traçado do círculo de Mohr (Figura 4.12), assim como
se verifica na Figura 4.10, a máxima tensão de cisalhamento atuante no ponto é da ordem
de 32 kPa, correspondente a um σ1 de 76,76 kPa e σ3 de 10,81 kPa.
505506507508509510511512513514515516517518519520521522523524
536 537 538 539 540 541 542 543 544 545
547548549550551552553554555556557558559560561562563564565566
578 579 580 581 582 583 584 585 586 587
589590591592593594595596597598599600601602603604605606607608
620 621 622 623 624 625 626 627 628 629
631632633634635636637638639640641642643644645646647648649650
662 663 664 665 666 667 668 669 670 671
673674675676677678679680681682683684685686687688689690691692
704 705 706 707 708 709 710 711 712 713
715716717718719720721722723724725726727728729730731732733734
746 747 748 749 750 751 752 753 754 755
757758759760761762763764765766767768769770771772773774775776
788 789 790 791 792 793 794 795 796 797
799800801802803804805806807808809810811812813814815816817818
830 831 832 833 834 835 836 837 838 839
841842843844845846847848849850851852853854855856857858859860
3 m Footing
100 kPa
8
10
12
14
16
18
20
Figura 4.11 – Pontos de cálculo das tensões, próximos da carga, com destaque para o nó 760

103
Effective Stress at Node 760
Normal
0 10 20 30 40 50 60 70 80
Shear
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
sx
sy
14.318
-14.811
73.242
10.805
76.756
Figura 4.12 – Estado de tensões atuantes em um ponto e direção das tensões principais
Na análise de outro exemplo semelhante (Figura 4.13) são destacados dezesseis
(16) pontos no interior da massa de solo (Tabela 4.1). Os respectivos valores das tensões
atuantes e as direções das tensões principais são apresentados na Figura 4.14, para efeito de
comparação de comportamento.
Figura 4.13 – Exemplo em que são destacados dezesseis (16) pontos para análise
Tabela 4.1 – Pontos destacados em que foram calculadas as componentes de tensões
Distância da extrema esquerda (m)
(do eixo de simetria)
0 2,5 5,0 7,5
Cota 18 (Profundidade 2,00m) 685 690 695 700

104
685 690 695 700
609 614 619 624
457 462 467 472
153 158 163 168
Figura 4.14 – Valores das componentes de tensões atuantes nos 16 pontos analisados

105
Observe principalmente como variam as tensões normais para o exemplo analisado.
. Componentes vertical e horizontal, σv e σh:
O efeito da tensão vertical diminue com a profundidade e quando se afasta da carga;
O efeito da tensão horizontal é bastante variável com a posição, podendo ser
negativa (de tração) em alguns pontos.
. Componentes das tensões principais σ1 e σ3:
O efeito da tensão σ1 tende a diminuir com a profundidade e quando se afasta da
carga;
O efeito da tensão σ3 é bastante variável com a posição, podendo ser negativa em
alguns pontos.
. Direções das tensões principais σ1 e σ3:
Não é inclinada as tensões principais para a linha vertical, sob o eixo da carga (e
coincide com os valores de σv e σh) e é inclinada para todos os outros pontos,
havendo uma diminuição deste efeito quanto mais se afasta do carregamento, ao
longo da profundidade.
4.5 – Critério de ruptura de Mohr
Critério de ruptura são formulações que procuram refletir as condições em que
ocorre a ruptura dos materiais. Dentre os vários critérios de ruptura considerados em
Resistência dos Materiais, para os diversos materiais diferentes, um se caracteriza por sua
condição essencialmente empírica, o critério de ruptura de Mohr. Sendo o solo um material
heterogêneo por excelência, um critério como o de Mohr traduz muito bem as
características diferenciadas dos solos. O critério de Mohr se obtém com traçados gráficos
de círculos de Mohr em condições experimentais práticas, a partir de informações
obtidas diretamente em corpos de prova ensaiados.
Como o estado de tensões ocorrentes em um ponto, no interior do maciço de solo se
traduz, perfeitamente pelo círculo de Mohr, vamos levar as solicitações de 1 e 3 ao
estado de ruptura e procurar identificar, nos inúmeros planos , aquele que
corresponde ao de ruptura do material. Esse plano será, portanto, o plano de ruptura e o
ângulo  correspondente, aquele que define o limite da cunha instável para o estado de
tensões de rutura considerado nos ensaios.
O critério de Mohr consiste em se ensaiar uma infinidade de corpos de prova
indeformados (obtidas a partir de amostragem “shelby”, quando amostra de argilas) ou
“blocos” para outros materiais, ou ainda deformadas (solo compactado ou areias para
diferentes graus de compacidade) do mesmo horizonte de solo a ser analisado. Essa
abordagem inicial é teórica, pois, esse esquema de coletas de amostras, nessa quantidade, é
de difícil viabilidade prática; mas, a partir da teoria, vamos conferir algumas considerações,
em paralelo, que poderão contribuir para simplificação do processo e sua conseqüente
esquematização prática.
A partir da moldagem de um corpo de prova cilíndrico ...
O ensaio consistirá, em princípio, nas fases destacadas na Figura 4.15.

106
. Proteger o corpo de prova com membrana elástica para
impermeabilização da amostra e submetê-lo, lateralmente, a uma
pressão 3, mantida constante (de “confinamento”);
. Submetê-lo, axialmente, a uma pressão 1, crescente, até
romper a sua estrutura (quando se mede a máxima 1
correspondente a 3 aplicada, que foi previamente adotada);
. No caso haverá um cisalhamento do corpo de prova segundo
um ângulo , (plano de rutura) e a parte de cima se desloca em
relação à debaixo caracterizando bem o fenômeno (podem ocorrer
rupturas com outras características dependendo do tipo de solo).
Figura 4.15 – Critério de ruptura de Mohr: Fases de um ensaio de ruptura
No final desse ensaio, nesse primeiro corpo de prova obtém-se um par de tensões
de solicitações 1 e 3, correspondentes ao estado de rutura do solo ensaiado, portanto,
tensões de rutura. Com esses valores, traça-se o círculo de tensões correspondentes, que
terá embutido nele aquelas correspondentes ao plano de rutura, que faz um determinado
ângulo com o plano de tensão maior e sobre o qual agirão as tensões  e  definidoras do
estado de rutura.
Repetido esse ensaio para um segundo corpo de prova, agora tomando 3
’ > 3
tem-se, para romper o corpo-de-prova, 1
’ > 1. Portanto, identifica-se um novo par de
tensões de rutura que permite traçar um novo círculo de Mohr onde se pode identificar o
mesmo plano de rutura para o mesmo material, nas mesmas condições de utilização. Deve-
se repetir o ensaio, sucessivamente, para uma infinidade de corpos de prova, e plotar essa
infinidade de círculos, a fim de obter algo bem próximo do representado na Figura 4.16.
Figura 4.16 – Círculos de Mohr para várias amostras: envoltória de resistência do solo
Nota-se, que a linha curva que tangencia essa infinidade de círculos correspondente
à ruptura do solo. Essa linha que dá o contorno do lugar geométrico desses círculos (Mohr
chamou de curva intrínseca ou curva de envoltória dos círculos) correspondente à condição
de tensão na ruptura.

107
Da figura, podem ter outros traçados que levarão as seguintes análises, quanto aos
valores das tensões aplicadas e sua condição de estabilidade à ruptura.
− 3 de um dos círculos formando par com 1
’
menor que 1 correspondente à
ruptura. Círculo ficará aquém da envoltória de Mohr correspondente à ruptura;
− 3 de um dos círculos formando par com 1
’
maior que 1 correspondente à
ruptura. Círculo extrapolará o limite da envoltória, isto é, teríamos tensões maiores
que a tensão máxima de ruptura (inviável de ocorrer).
Conclusão: A envoltória dos círculos de Mohr correspondentes à ruptura limita um
espaço onde se podem representar, graficamente, estados de tensões ocorrentes até o
estado de ruptura. Ou seja, essa linha é o lugar geométrico dos pontos correspondentes ao
plano de rutura definido em função do material em análise.
Destacam-se da figura 4.17 três círculos (de igual valor de σ3) que identificam, de
maneira genérica, a situação de solicitação de tensões no material (par de tensões σ1, σ3),
em relação ao critério de ruptura de Mohr – equação ( ) ( )
  
r f f
= = :
− 1º caso: Círculo correspondente à solicitação de equilíbrio estável.
Se o círculo traçado se situar no interior da curva intrínseca de ruptura, conclui-se
que o equilíbrio é estável, isto é, a máxima tensão  é menor do que a
correspondente a envoltória limite;
− 2º caso: Círculo correspondente à solicitação de equilíbrio incipiente (limite da
instabilidade/estabilidade).
Nesse caso, o círculo corresponde à solicitação tangente à envoltória:  
 = r .
Haverá possibilidade de ruptura do material, por cisalhamento, ao longo do plano
de rutura, caso haja qualquer infinitésimo de aumento de qualquer uma das duas
tensões de solicitação ou pequena queda do valor de r;
− 3º caso: Círculo correspondente à solicitação de equilíbrio instável.
Nesse caso, plotado o círculo correspondente às tensões de solicitação, esse
ultrapassa a área limitada pela envoltória, isto é, ocorrerá tensão que ultrapassará a
resistência interna ao cisalhamento, do material r. Ocorrerá a rutura do material.
Figura 4.17 – Pontos de tangência para os círculos de Mohr: condição de σα e  na ruptura
Na Figura 4.17, “T” são pontos de tangência dos círculos que definem o lugar
geométrico da curva intrínseca de Mohr ou da envoltória de Mohr, correspondentes aos
pares de tensões de rutura, que ocorrem nos planos α (variável, de acordo com o nível de
tensão σ). Nesses pontos a coordenada se iguala a r = tensão de resistência interna do
material ou resistência ao cisalhamento do material.

108
Envoltória de Mohr:
“Curva geométrica definidora da resistência de um solo, considerando as várias
particularidades do solo ensaiado”.
Dentro desse enfoque a envoltória de Mohr varia de material para material,
possuindo ela as seguintes propriedades:
− É simétrica em relação ao eixo–;
− É aberta para o lado dos  positivos (tensões de compressão) e fechadas do lado
dos  negativos (tensão de tração);
− Sua inclinação sobre o eixo– diminui à medida que  cresce, tendendo a tornar-se
paralela tanto mais elástico e flexível for o material.
A teoria do critério de rutura de Mohr, sendo baseada, quase inteiramente na
experimentação é a mais satisfatória, como teoria básica, para aplicações em solos,
cujo caráter, heterogêneo de ocorrência é profundamente aleatório, requer, obrigatória
ligação com a experiência prática.
4.6 – Teoria de Coulomb
Esta teoria se desenvolveu para análise das forças internas de resistência nos
maciços pulverulentos (granulares).
Partindo-se da teoria do plano inclinado, da física, observa-se:
“Na superfície de contato entre o plano inclinado e o corpo de peso P temos o
desenvolvimento da força de atrito de contato Fa de mesma direção e sentido contrário a
T”, como mostra a Figura 4.18. O plano pode se movimentar fazendo-se variar o ângulo.
Figura 4.18 – Forças geradas em um plano inclinado, sob um corpo de peso P
No momento em que o ângulo deixa de ser zero o peso do corpo P deixa de agir
integralmente sobre o plano horizontal, passando a agir duas componentes:
N = tensão normal principal maior, agindo em valor absoluto sobre o plano principal
maior, no caso o horizontal;
T = componente tangencial no plano, que tende a fazer o corpo deslizar, sobre o plano,
por anteposição a força Fa;
Fa = Força de atrito. Quanto mais ásperas forem a superfícies de contato, maior será
(Fa) e quando mais lisa e/ou lubrificada menor será.

109
Condições resultantes da inclinação do plano:
 = 0  P é normal ao plano, N = P e T = 0. Nesse caso, o equilíbrio é estável sem
possibilidade de ocorrência da componente tangencial no plano;
  0  P se decompõe em N e T, mas, devido T < Fa, o corpo permanece estável ( <
), sem possibilidade de deslocamento;
Sendo  = ângulo de atrito de contato entre as superfícies
  0  Continuando a aumentar , chega-se a um ponto em que  =  e T se iguala a
Fa. Nesse caso, T = Fa e o ângulo  é denominado ângulo de atrito entre as
duas superfícies. O equilíbrio é incipiente, isto é, qualquer infinitésimo de
variação de  o equilíbrio variará para instável ou estável. Como se igualou
ao ângulo de atrito entre as superfícies em contato e passa a ser denominado
ângulo de atrito interno do material.
  0  Quando ultrapassa o valor de  ( >  no plano), a componente tangencial T
ultrapassará o valor de Fa, T > Fa no plano, e o corpo escorrega sobre o plano.
Para o cálculo do valor da componente tangencial no plano, pode-se correlacionar
com a componente normal (T/N), obtendo:
T = P.sen 
N = P.cos 
 
=


=


= tg
.
N
T
tg
cos
sen
N
T
Equação do atrito
Isto é, a componente tangencial é o resultado do produto da componente normal N
pela tangente do ângulo  (coeficiente angular).
Quando  = , temos tg  igual ao coeficiente de atrito entre as duas superfícies,
então tg  = f(ângulo de atrito interno entre essas duas superfícies), podendo ser escrito:
T1 = N1.tg 
T1, no caso, corresponde à resistência de atrito entre as duas superfícies e será
sempre calculada em função da componente normal (neste caso N1) ao plano de
escorregamento. T1 corresponderá ao valor da resistência limite ao escorregamento.
Análise do Fenômeno nos Solos
* No caso de maciços pulverulentos, em que se considera uma quantidade granular
(agregado, como exemplo, areia seca), a única força de resistência interna será o atrito
de contato grão a grão. Portanto, só haverá força interna de atrito. Logo, o fenômeno será
idêntico à análise da física feita no plano inclinado.
Assim, suponha que se tenha sobre uma mesa um monte de areia seca (Figura
4.19). Essa areia estará em repouso (equilíbrio-estável) quando limitada por um ângulo de
inclinação  =  = ângulo de atrito interno do material granular – mesa I. A mesma massa
de areia é representada na mesa II, agora contida por anteparos que retém a massa instável
que, anteriormente caiu por não ter o que a contivesse. Pode-se afirmar que a cunha
instável é limitada em relação à massa estável por um plano, acima do qual as forças
internas de resistência estão suplantadas pelas componentes tangenciais geradas. Nesse
caso, chama-se esse plano de plano de escorregamento (limite que perde o equilíbrio).

110
Figura 4.19 – Experiência de areia sobre mesa, para avaliação de sua estabilidade
Observa-se que o anteparo deverá ser dimensionado para resistir ao movimento da
cunha instável, pressão (E=empuxo) que o solo faz sobre o paramento vertical de
contenção, como será visto no Capítulo 06.
Por analogia da Física podemos escrever:
 =  tg  = R (no plano de rutura)
Sendo:
 = componente tangencial no plano;
 = componente normal ao plano;
tg = coeficiente de atrito interno do material (coeficiente angular da reta);
R = tensão interna de resistência ao cisalhamento do material. Tem mesma direção e
sentido contrário à , agindo, ambos no plano de rutura.
(desenvolvida nos agregados secos que ocorrem na massa)
O atrito desenvolvido em agregados secos é aquele que ocorre pelo contato grão a
grão. Graficamente, temos para a envoltoria de equilíbrio limite, corresponde à resistência
ao cisalhamento do solo, o mostrado na Figura 4.20.
Figura 4.20 – Envoltória de resistência para solo granular
* No caso de maciços de solos que possuam também ligantes (fração fina, como
por exemplo, argila) com desenvolvimento de coesão (ligação dos grãos por atração físico-
química, contribuindo na de resistência ao cisalhamento) haverá um aumento de R devido
a esse acréscimo de resistência interna, tensão de tração, que será representada por “c”,
assim a nova equação ficará:
 = c +  tg 
Caixa móvel que serve de
anteparo à massa de areia
seca.

111
Essa é a equação de Coulomb que traduz a resistência interna dos solos: dado pelo
somatório da resistência por atrito de contato grão a grão, devida aos agregados e a
resistência por ligação (atração físico-química por carga elétrica) devida aos “ligantes”
(coesão).
A coesão é um fenômeno físico diferente do atrito de contato grão a grão, mas de
comportamento idêntico ao atrito interno, pois impede o cisalhamento das partículas por
ligação que lhe dão resistência a tração (partícula a partícula). Graficamente, temos a
envoltória de equilíbrio limite como apresentada na Figura 4.21.
Figura 4.21 – Envoltória a de resistência para um solo com fração granular e com finos
i é a tensão inicial de tração que gera na equação o valor de c. Ambas as tensões
de compressão e de tração agem normais ao plano. Pelo próprio gráfico, temos:
c = i tg 
Logo, a equação de Coulomb ficará:
 = i tg  +  tg , então:  = f () ... resistência crescente com a tensão normal
Pinto (2006) destaca existir uma diferença entre as forças transmitidas nos contatos
entre os grãos de areias e os grãos de argila (Figura 4.22). Nos contatos entre grãos de
areia, geralmente as forças transmitidas são suficientemente grandes para expulsar a água
da superfície, de tal forma que os contatos ocorrem realmente entre os dois minerais. No
caso de argilas, o número de particulas é muitíssimo maior, sendo a força transmitida num
único contato, extremamente reduzida. De outra parte, as partículas de argila são
envolvidas por moléculas de água quimicamente adsorvidas a elas. As forças de contato
não são suficientes para remover estas moléculas de água, e são elas as responsáveis pela
transmissão das forças.
Figura 4.22 – Análise comparativa dos contatos entre os grãos de areia e os grãos de argila.
PINTO (2006)

112
Para os possíveis tipos de ocorrências de solos temos as envoltórias apresentadas
na Figura 4.23.
Só Agregado Só “Ligante” Agregado e “Ligante”
(fração granular) (fração fina) areno-argiloso ou
“arenoso” “argiloso” argilo-arenoso
Figura 4.23 – Envoltórias de resistência para diferentes solos
Conclusão importante: a ocorrência da parcela interna de resistência à coesão
“c” dará como decorrência a possibilidade de se ter um ângulo  do plano de rutura
maior que  (atrito interno só dos agregados).
Assim, a massa estável representada na Figura 4.19 (“areia sobre mesa”) terá outra
conformação se o solo apresentar agora fração arenosa e argilosa (material granular e
finos), podendo ter até um ângulo de 90o sem necessidade de anteparo. No desenho
apresentado na Figura 4.24 tem-se representado esta nova situação.
Figura 4.19 – Forças geradas em u
Figura 4.24 – Experiência de solo com areia e argila sobre mesa, para avaliação de sua estabilidade
Esta condição estará logicamente condicionada à capacidade da fração fina
(“ligante”) desenvolver força de coesão o que, condicionará o ganho de resistência do solo.
A proporção agregados/”finos” é um fator importante a ser considerado na
resistência de um solo. No caso de termos uma proporção grande de “finos” e pouco
agregados, e, por exemplo, os “finos” perderem eventualmente sua resistência (por entrada
de água na massa, por exemplo) o agregado passará a atuar de forma mais significativa.
Resistência de solos é dependente das parcelas de coesão e atrito, conjuntamente.
Neste caso temos:
 = ângulo do plano de
escorregamento;
 = ângulo de atrito interno (do
agregado componente do solo)

113
4.7 - Critério de ruptura Mohr–Coulomb
Critérios de ruptura
O estudo da resistência ao cisalhamento dos solos consiste na análise do estado de
tensões que provoca a ruptura. Como visto, os critérios de ruptura que melhor representam
o comportamento do “material” solo são os critérios de Mohr e de Coulomb.
Em resumo, Pinto (2006) descreve:
O critério de Mohr pode ser expresso como: “não há ruptura enquanto o círculo
representativo do estado de tensões se encontrar no interior de uma curva, que é a
envoltória dos círculos relativos a estados de ruptura, observados experimentalmente para
o material”. A Figura 4.26 (b) representa a envoltória de Mohr, o círculo B representativo
de um estado de tensões em que não há ruptura, e o círculo A, tangente à envoltória,
indicativo de um estado de tensões de ruptura (iminência).
O critério de Coulomb pode ser expresso como: “não há ruptura se a tensão de
cisalhamento não ultrapassar um valor dado pela expressão c + f.σ, sendo c e f constantes
do material e σ a tensão normal existente no plano de cisalhamento”. Os parâmetros c e f
são denominados, respectivamente, coesão e coeficiente de atrito interno, podendo este ser
expresso como a tangente de um ângulo, denominado ângulo de atrito interno. A Figura
4.26 (a) representa a envoltória de Coulomb.
Figura 4.26 – Representação dos critérios de ruptura: (a) de Coulomb; e (b) de Mohr
(PINTO, 2006)
Critério de ruptura Mohr-Coulomb
Considerando-se o critério de ruptura de Mohr e de Coulomb, verifica-se que os
comportamentos físicos são semelhantes para as duas linhas de limitação de resistência e
sua equação. Isto é, no critério de ruptura de Mohr temos a envoltória, linha que define o
esforço limite de rutura, de equação τ = f(α) – curva e na teoria de Coulomb, temos a linha
que limita a resistência da estrutura dos solos, de equação, também, τ = f(α) – mas reta.
Ora, se ambas tem a mesma forma matemática, podemos assimilá-las, isto é,
particularizar, para o caso dos solos, a envoltória de Mohr como se fosse uma reta.
Fazendo-se uma reta como a envoltória de Mohr (Figura 4.27), seu critério de
resistência fica análogo ao de Coulomb, justificando a expressão critério de Mohr-
Coulomb, costumeiramente empregada em Mecânica dos Solos. Algum erro pode decorrer
dessa assimilação, mas, a prática tem demonstrado que os resultados são perfeitamente
compatíveis com os valores requeridos.
O critério de rutura Mohr-Coulomb tem como premissa básica a afirmativa de que
“nos solos, a envoltória dos círculos de Mohr, correspondentes a ruptura, é uma reta
de equação 

 tg
c
r +
= ”.

114
Figura 4.27 – Representação do critério de ruptura Mohr-Coulomb (CHÁCARA, 2017)
Envoltórias curvas são de difícil aplicação. Por esta razão, as envoltórias de Mohr
são frequentemente substituídas por retas que melhor se ajustam à envoltória.
Naturalmente, várias opções de retas podem ser adotadas devendo a escolha levar em
consideração o nível de tensões do projeto em análise (como por exemplo, na Figura 4.28)
ou até mesmo adotar uma reta “média”, correspondente às tensões adotadas previamente
para os corpos de prova ensaiados.
Definida uma reta, naturalmente seu coeficiente linear, c, não tem mais o sentido de
coesão, que seria a parcela de resistência independente da existência de tensão normal. Ele
é tão somente um coeficiente da equação que expressa à resistência em função da tensão
normal, razão pela qual é referido como intercepto de coesão.
Figura 4.28 – Representação da envoltória de Mohr-Coulomb para determinado nível de tensão
Observa-se que com essa assimilação de “reta”, tem-se condição de traçar a
envoltória, correspondente a determinado solo, com o traçado de dois círculos, mas, pela
própria teoria dos erros adotam-se no mínimo três círculos, interpolando-se, graficamente
a envoltória tangente aos mesmos, como ressaltado.
Condição Analítica da Rutura
De acordo com o critério de Mohr-Coulomb, quando a tensão de cisalhamento,
expressa pela reta de Coulomb   
= +
c tg , se iguala a resistência ao cisalhamento r ,
em determinado ponto ao longo da superfície de ruptura, o maciço se romperá. O círculo
correspondente ao estado de tensões do ponto será tangente à reta de Coulomb e o solo
estará no estado incipiente de equilíbrio, isto é, no estado plástico em que, qualquer
deformação, uma vez cessado o esforço, permanece, sem retorno a posição original.

115
Se a condição de equilíbrio incipiente ocorre, ela existe em todos os pontos ao
longo do plano de rutura e diz-se que a massa de solo está no Estado de Equilíbrio
Plástico.
Os critérios de ruptura demonstram ser a tensão normal no plano da ruptura
(cisalhamento) muito importante. Observa-se neste problema de cisalhamento que o círculo
de Mohr não tangencia a envoltória no ponto de máxima cisalhante (α=450
).
A pergunta então que se coloca é: em que plano “α” se dá a ruptura ?
Baseado no critério de rutura Mohr-Coulomb é apresentado nas Figuras 4.29 e 4.30
a análise do estado de tensões no plano de ruptura, respectivamente para um solo sem coesão e
com coesão. No traçado das figuras tem-se um círculo tangente a linha de ruptura e todos
os elementos indicados métricos e trigonométricos para demonstração nas análises a serem
realizadas.
Figura 4.29 – Análise do estado de tensões no plano de ruptura: solo sem coesão
Figura 4.30 – Análise do estado de tensões no plano de ruptura: solo com coesão
Componentes principais da Figura:
i = tensão inicial de tração normal ao plano de escorregamento;
 = tensão de compressão normal ao plano de escorregamento;
 = tensão tangencial (de rutura) ao plano de escorregamento;
 = ângulo do plano de ruptura com plano principal maior;
r = raio do círculo;
 = ângulo de atrito interno do solo;
tg = coeficiente de atrito interno do solo;
1 e 3 = tensões principais de ruptura, atuantes no ponto considerado;
c tg
i
= =
  coesão do solo (devido ao “ligante” - presença da fração argila);
 
tg = atrito interno do solo (devido ao agregado - presença da fração areia);

116
Expressão de Cálculo do Ângulo :
Pela propriedade do círculo de Mohr o ângulo interno feito como o raio de T é 2
conforme pode-se ver nas Figuras 4.29 e 4.30, portanto:
2 90
45
2
 


= +
= +
Dedução da Equação Analítica da Ruptura:
Pela figura: ND NC CD
= +
NB NC CB
= − mas, CD CB CT r
= = =
Dividindo-se membro a membro, temos:
ND
NB
NC CD
NC CB
=
+
−
ou
ND
NB
NC CT
NC CT
=
+
−
Dividindo-se numerador e denominador por NC , temos:
ND
NB
NC
NC
CT
NC
NC
NC
CT
NC
=
+
−
=
+
−
=
+
−
1
1
90
90
sen
sen
sen sen
sen sen




Da figura tiramos: ND i
= +
 1 e NB i
= +
 3
Substituindo:
 
 


i
i
+
+
=
+
−
1
3
90
90
sen sen
sen sen
Pela trigonometria:
sen sen
sen sen
a b
a b
tg
a b
tg
a b
+
−
=
+
−
2
2
ou podemos escrever:
 
 


 

i
i
tg
tg
tg tg N
+
+
=
+
−
=
+
= +





 =
1
3
2 2
90
2
90
2
90
2
45
2
N = Chamado por Terzaghi de número de fluência
A equação ficará:
 
 

i
i
N
+
+
=
1
3
ou ( )
   

i i
N
+ = +
1 3
   
 
1 3
= + −
N N
i i
( )
  

1 3 1
= + −
N N i mas, 

i
c
tg
=





tg
N
c
N
1
3
1
−
+
=

117
Demonstra-se que
N
tg
N



−
=
1
2
Finalmente, temos
A equação analítica de rutura relaciona as tensões principais com os parâmetros
de resistência. A partir desta equação pode-se calcular uma das tensões principais (σ1 ou
σ3) quando se tem a outra, conhecidos os parâmetros de resistência (c e ), e vice-versa.
4.8 – Exercícios de Aplicação
1 – Considere um ponto em uma massa de solo na condição horizontal, a uma
profundidade de 3,0m, sendo este solo com peso específico de 18 kN/m2
e relação entre
tensões horizontal e vertical (K) igual a 0,5.
Calcule analiticamente as componentes de tensões em um plano inclinado de: 300, 450 e
600.
Resolução:
Sendo o solo na condição horizontal: σv = σ1 e σh = σ3
σv = γ . h = 18 . 3 = 54 kPa
σh = K . σv = 0,5 . 54 = 27 kPa
Obtêm-se as tensões em um plano α a partir das equações abaixo:

   

 =
+
+
−
1 3 1 3
2 2
2
cos e 
 

 =
−
1 3
2
2
sen
Para 300 temos:
30
.
2
cos
2
27
54
2
27
54 −
+
+
=

 = 47,25 kPa
30
.
2
2
27
54
sen
−
=

 = 11,69 kPa
Para 450 temos:
45
.
2
cos
2
27
54
2
27
54 −
+
+
=

 = 40,50 kPa
45
.
2
2
27
54
sen
−
=

 = 13,50 kPa
Para 600 temos:
60
.
2
cos
2
27
54
2
27
54 −
+
+
=

 = 33,75 kPa
60
.
2
2
27
54
sen
−
=

 = 11,69 kPa
Observe que as tensões normais estão no intervalo da maior (54) e a menor (27), como
não poderia deixar de ser. Quanto às tensões cisalhantes, houve um aumento com o
ângulo α até certo valor de máximo.
   
1 3 2
= +
N c N EQUAÇÃO ANALÍTICA
DA RUPTURA

118
2 – Considere que a parede da Figura 4.31 (notícia de site) sofreu uma alteração no seu
estado de tensões, devido a um recalque diferencial entre dois pilares de sua sustentação, e
que esta está submetida a um estado plano de deformações, sob tensões atuantes apenas
neste plano (estado bidimensional de tensões).
Mostre qual o ângulo esperado para a ruptura da mesma. E no caso dos solos, quando
submetido a tensões que levam sua ruptura, o ângulo esperado será o mesmo ? Demostre
sua resposta.
Figura 4.31 – Aspecto de trincas em parede após ruptura por alteração no seu estado de tensões
(UOL, 18/06/2015)
Resolução:
Para a parede
Havendo ruptura no plano, o mesmo está submetido a tensões principais na ruptura.
Este cálculo pode ser feito a partir das equações de  e  definidores do estado de tensões
em um ponto, quando agem no mesmo, as tensões principais 1 e 3.
No caso, o problema consistirá, então, em se calcular a tensão tangencial ou cisalhante 
máxima, em função das tensões agentes 1 e 3.
Sendo 
 

 =
−
1 3
2
2
sen , o valor máximo da expressão ocorrerá em 2α = 900
.
Então α = 450 (como sugere a foto da figura)
Para o solo
Havendo ruptura no solo, e considerando que o mesmo se encontra em um estado triaxial
de tensões (sistema tri-dimensional de tensões, representado por 1, 2 e 3), o círculo de
Mohr tangencia a envoltória de resistência (obtido em ensaios com tensões nos 3 eixos).
Observe que mesmo sendo σ2 = σ3, esta componente não deixa de existir no caso de solos.
Então, pode-se concluir pelo desenho genérico de um círculo de Mohr e pela envoltória de
Mohr-Coulomb abaixo, que:

119

 +

= 90
2 e
2
45

 +

=
Então, na ruptura, α > 450 e pode ser calculado a partir do ângulo de atrito do solo.
3 – Considere a realização de três ensaios de ruptura com tensões de confinamento
“arbitradas” (no nível de tensão do problema - obra) iguais a 100, 200 e 600 kPa, cujas
tensões medidas na ruptura para os corpos de prova são apresentadas na Tabela 4.2.
Pede-se traçar a envoltória de resistência de Mohr-Coulomb em termos de tensões
efetivas e obter os parâmetros de resistência do solo.
Tabela 4.2: Informações dos corpos de prova ensaiados, na condição da ruptura
Resolução:
Como foi solicitada a envoltória em termos de tensões efetivas, calcula-se inicialmente
estes valores subtraindo das tensões totais os valores de pressão neutra geradas no
momento da ruptura e traça-se os respectivos círculos de Mohr, fazendo a melhor
aproximação da envoltória aos círculos:

120
4 – Para a envoltória obtida no exercício anterior, obter:
a) O ângulo aproximado para o plano de ruptura dos corpos de prova (CPs)
b) A relação matemática entre as tensões principais maiores
Resolução:
a) O ângulo α na ruptura pode ser calculado em função do ângulo de atrito. Então:
Se
º
23
=

2
23
45
2
45 +
=
+
=


α = 56,50
b) A equação analítica de rutura relaciona as tensões principais com os parâmetros de
resistência. Então:
   
1 3 2
= +
N c N






+

=
2
45
2 
 tg
N
( )

 2
tg
N =
3
,
2
)
5
,
56
(
2
=
=


N
tg
N
Logo, 3
,
2
.
28
.
2
3
,
2 3
1 +
= 
 = σ1 = 2,3 σ3 + 84,9 (kPa)

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