Resolución de ecuaciones de segundo grado

1. Universidad Nacional Autónoma de México
Colegio de Ciencias y Humanidades
Plantel “Oriente”

3.  Una ecuación cuadrática esta formada por un
trinomio, existiendo tres formas de su solución:
 Factorización
 Método de trinomio Cuadrado perfecto
 Ecuación de Solución General de la cuadrática
Nota Importante: Una ecuación cuadrática no se puede despejar,
solamente que sea un binomio (termino de segundo grado y termino
independiente)

4.  Método por factorización
 X² + 5X + 6 = 0
 Recordar que el coeficiente del término de
primer grado (5X) es la suma de los valores
numéricos de los binomios y el término
independiente (6) es el producto de los dos
valores numéricos.

5. MÉTODO POR FACTORIZACIÓN
X² + 5X + 6 = 0
 Dos números multiplicados
debe resultar 6
( 1 )( 6 ) = 6
( 2 )( 3 ) = 6
( 3 )( 2 ) = 6
( 4 )( NE ) = 6
( 5 )( NE ) = 6
( 6 )( 1 ) = 6
 Dos números sumados
debe resultar 5
( 1 )+( 6 ) = 7
( 2 )+( 3 ) = 5
( 3 )+( 2 ) = 5
( 4 )+( NE ) = ?
( 5 )+( NE ) = ?
( 6 )+( 1 ) = 7

6. MÉTODO POR FACTORIZACIÓN
X² + 5X + 6 = 0
 Dos números multiplicados
debe resultar 6
( 2 )( 3 ) = 6
( 3 )( 2 ) = 6
 Dos números sumados
debe resultar 5
( 2 )+( 3 ) = 5
( 3 )+( 2 ) = 5
Ambos son lo mismo, por lo tanto los binomios son:
(X+2)(X+3) =0
X₁ = -2 ; X₂ = -3

7.  Método por factorización
 X² + 2X - 8 = 0
 El signo es menos,
indica que los valores
numéricos tienen
signos diferentes, uno
positivo y el otro
negativo
 El signo es más,
indica que el
número mayor es
positivo

8. MÉTODO POR FACTORIZACIÓN
X² + 2X - 8 = 0
 Dos números multiplicados
debe resultar 8
( 1 )( 8 ) = 8
( 2 )( 4 ) = 8
( 3 )( NE ) = 8
( 4 )( 2 ) = 8
( 5 )( NE ) = 8
( 6 )( NE ) = 8
 Dos números sumados
debe resultar 8, el valor
mayor es positivo
( -1 )+( 8 ) = 7
( -2 )+( 4 ) = 2
( -3 )+( NE ) = ?
( 4 )+( -2 ) = 2
( 5 )+( NE ) = ?
( 6 )+( NE ) = 7

9. MÉTODO POR FACTORIZACIÓN
X² + 2X - 8 = 0
 Dos números multiplicados
debe resultar 6
( -2 )( 4 ) = -8
( 4 )( -2 ) = -8
 Dos números sumados
debe resultar 5
( -2 ) + ( 4 ) = 2
( 4 ) + ( -2 ) = 2
Ambos son lo mismo, por lo tanto los binomios son:
(X-2)(X+4) =0
X₁ = 2 ; X₂ = -4

10.  Método por factorización
 X² - 3X - 4 = 0
 El signo es menos,
indica que los valores
numéricos tienen
signos diferentes, uno
positivo y el otro
negativo
 El signo es menos,
indica que el
número mayor es
negativo

11. MÉTODO POR FACTORIZACIÓN
X² - 3X - 4 = 0
 Dos números multiplicados
debe resultar 8
( 1 )( 4 ) = 8
( 2 )( NE ) = 8
( 3 )( NE ) = 8
( 4 )( NE ) = 8
( 5 )( NE ) = 8
( 6 )( NE ) = 8
 Dos números sumados debe
resultar 8, el valor mayor es
negativo
( 1 ) + ( -8 ) = -
8
( -2 ) + ( NE ) = ?
( -3 ) + ( NE ) = ?
( 4 ) + ( NE ) = ?
( 5 ) + ( NE ) = ?
( 6 ) +( NE ) = ?

12. MÉTODO POR FACTORIZACIÓN
X² - 3X - 4 = 0
 Dos números multiplicados
debe resultar 6
( 1 )( -4 ) = -4
 Dos números sumados
debe resultar 5
( 1 ) + ( -4 ) = -4
Ambos son lo mismo, por lo tanto los binomios son:
(X + 1)(X - 4) =0
X₁ = 1 ; X₂ = 4

13.  Método por factorización
 X² - 7X + 12 = 0
 El signo es más,
indica que los
valores numéricos
tienen signos
iguales.
 El signo es mas,
indica que ambos
valores son
negativo

14. MÉTODO POR FACTORIZACIÓN
X² - 7X +12 = 0
 Dos números multiplicados
debe resultar 12
( 1 )( 12 ) = 12
( 2 )( 6 ) = 12
( 3 )( 4 ) = 12
( 4 )( 3 ) = 12
( 5 )( NE ) = 12
( 6 )( 2 ) = 12
 Dos números sumados debe
resultar -7, ambos valores son
negativo
( -1 ) + ( -12 ) = -8
( -2 ) + ( -6 ) = -8
( -3 ) + ( -4 ) = -7
( -4 ) + ( -3 ) = -7
( -5 ) + ( NE ) = ?
( -6 ) +( -2 ) = -8

15. MÉTODO POR FACTORIZACIÓN
X² - 7X +12 = 0
 Dos números multiplicados
debe resultar 6
( -3 )( -4 ) = -12
 Dos números sumados
debe resultar -7
( -3 ) + ( -4 ) = -7
Por lo tanto los binomios son:
(X - 3)(X - 4) =0
X₁ = +3; X₂ = + 4

17. X² - 8X + 16 = 0
 Recordemos acerca de los trinomio cuadrado
perfecto, la mitad del término de primer grado
(-8) elevado al cuadrado nos da el término
independiente.
8
2
= 4,
8
2
2
= 4 por lo tanto la ecuación:
(𝑋 + 4)2
= 0

18.  Para resolver una ecuación cuadrática que no es un binomio
cuadrado perfecto, vamos a convertirlo parcialmente para
poder resolver la ecuación:
 Ejemplo:
X² + 8X +12 = 0
 No es trinomio cuadrado perfecto:
 La mitad del término de primer grado, la mitad del coeficiente
al cuadrado no es igual al termino independiente:
8
2
2
≠ 12

19. X² +8X +12 = 0
 Se separa el termino al cuadrado y el término
de primer grado del término independiente:
X² +8X = -12
 Para poder tener un binomio cuadrado
perfecto el término es el cuadrado del
coeficiente del termino de primer grado:
8
2
2
= 16

20. Se agrega el 16, pero no de romperse la igualdad
se tiene que agregar en ambos lados:
X² +8X = -12
X² +8X +16 = -12 +16
Ahora el lado izquierdo es un binomio cuadrado
perfecto, por lo tanto se puede factorizar:
𝑋 + 4 2
= −12 + 16
+16 +16

21. 𝑋 + 4 2
= 4
Se obtiene la raiz cuadrada en ambos lados de la
ecuación:
𝑥 + 4 2 = ± 4
 Se elimina el cuadrado del lado izquierdo por
ser operaciones inversas:
𝑋 + 4 = ±2
Despejando X:
𝑋 = −4 ± 2

22. 𝑋 = −4 ± 2
 Se obtienen las dos soluciones:
𝑋₁ = −4 + 2 = −2
𝑋2
= −4 − 2 = −4
Para comprobar, usemos el metodo
factorización:

23.  En el siguiente se hará directo, si
tienes dudas vuelve a revisar el
primer ejemplo que esta paso a
paso.

24. X² -4X - 12 = 0
2
2
= 2 = 4
+ 12- 12
-4
-2
No son
iguales
No es trinomio cuadrado perfecto
X² -4X = 0
X² -4X = + 12

25. X² -4X = +12
 Completar el trinomio cuadrado perfecto.
X² -4X = +12
−4
2
2
= −2 2
= 4
 Se agrega 4 en ambos lados para no afectar la
igualdad
X² -4X +4 = +12+4
 Factorizando el binomio cuadrado perfecto:
𝑋 − 2 2
= +16

26. 𝑋 − 2 2
= 16
Se obtiene la raiz cuadrada en ambos lados de la
ecuación:
𝑥 − 2 2 = ± 16
 Se elimina el cuadrado del lado izquierdo por
ser operaciones inversas:
𝑋 − 2 = ±4
Despejando X:
𝑋 = −2 ± 4

27. 𝑋 = −2 ± 4
 Se obtienen las dos soluciones:
𝑋₁ = −2 + 4 = +2
𝑋2
= −2 − 4 = −6

28.  Se separa termino cuadrático y primer grado
X²-14X+45 = 0
 Coeficiente de Primer grado
X²-14X = -45
 Se obtiene la mitad del coeficiente
-14 = -14/2
 Se obtiene el cuadrado del coeficiente -7
(-7)² = 49
 Se completa el trinomio cuadrado perfecto con 49
 Se agregan a ambos lados para no alterar la
igualdad
X²-14X+49 = -45+49

29.  Se simplifica términos
-45+49 = 4
X²-14X+49 = 4
 Factorizar
(X-7)² = +4
 Se obtiene la raíz cuadrada en ambos términos
 El cuadrado se elimina con la raíz cuadrada por
ser operaciones contrarias
(𝑋 − 7)² = +4

30.  Resultando
X-7 = ± 2
 Despejando X
X = 7 ±2
 Soluciones:
 X₁ = +7 +2 = +9
 X₂ = +7 -2 = +5

31.  Se separa termino cuadrático y primer grado
X²-12X+27 = 0
 Coeficiente de Primer grado
X²-12X = -27
 Se obtiene la mitad del coeficiente:
-12 = -12/2=-6
 Se obtiene el cuadrado del coeficiente
(-6)² = 36
 Se completa el trinomio cuadrado perfecto con 36
 Se agregan a ambos lados para no alterar la
igualdad:
X²-12X+36 = -27+36

32.  Se simplifica términos
-27+36 = 9 X²-12X+36 = 9
 Factorizar
(X-6)² = +9
 Se obtiene la raíz cuadrada en ambos términos
 El cuadrado se elimina con la raíz cuadrada por
ser operaciones contrarias
(𝑋 − 6)² = +9

33.  Resultando
X-6 = ± 3
 Despejando X
X = 6 ±3
 Soluciones:
X₁ = +6 +3 = +9
X₂ = +6 -3 = +3

34.  Se separa termino cuadrático y primer grado
X²-10X+9 = 0
 Coeficiente de Primer grado
X²-10X = -9
 Se obtiene la mitad del coeficiente
-10 = -10/2 = -5
 Se obtiene el cuadrado del coeficiente
-5 (-5)² = 25
 Se completa el trinomio cuadrado perfecto con 25
 Se agregan a ambos lados para no alterar la igualdad
X²-10X+25 = -9+25

35.  Se simplifica términos
-9+25 = 16 X²-10X+25 = 16
 Factorizar
(X-5)² = +16
 Se obtiene la raíz cuadrada en ambos términos
 El cuadrado se elimina con la raíz cuadrada por
ser operaciones contrarias
(𝑋 − 5)² = +16

36.  Resultando
X - 5 = ± 4
 Despejando X
X = 5 ±4
 Soluciones:
 X₁ = 5 +4 = +9
 X₂ = 5 -4 = +1