1. FRACTALES:
El Mundo Está Repleto de Ellos1
Alejandro Domínguez Torres.
Fundación Arturo Rosenblueth
Para el Avance de la Ciencia, A.C.
Introducción
Para todos es bien sabido lo que etimológicamente la palabra geometría
significa: medir la tierra. En particular, la geometría Euclideana mide la tierra
usando ángulos y longitudes y describe a la tierra en términos de puntos,
líneas rectas, círculos, rectángulos, triángulos, cubos, y esferas. Esta
descripción Euclideana en general no concuerda con la realidad; en efecto,
una carretera contiene curvas que son difícilmente descritas por las figuras
geométricas antes mencionadas, y lo que es más, esta carretera puede
subir y bajar muchas veces por las montañas. Un ejemplo adicional y un
poco más complejo, es el querer medir el perímetro de uno de los estados
de la República Mexicana, o, más simplemente, de un municipio de algún
estado. Supóngase que se utiliza una regla de longitud l para hacer esta
medición y que esta regla se superpone a lo largo de la curva que describe
el perímetro. Si la regla se superpone n veces, la longitud L(l ) de este
perímetro será:
L( l )  n  l
Si se disminuye la longitud de la regla, entonces el número de
superposiciones n se incrementa, lo que resulta en un incremento en L(l ) ,
esto es debido a que entre más pequeña sea la longitud de la regla que se
utilice, entonces existe más distancia a medir debido a las irregularidades
del terreno. Imagínese cuál sería el resultado si se pudiesen medir las
moléculas a lo largo del perímetro antes mencionado con una regla del
tamaño del diámetro de un electrón.
Del ejemplo anterior se puede concluir que las distancias entre dos puntos
sobre la tierra es relativa a la escala y al detalle de la observación. Por otro
lado, existe una diferencia fundamental entre una curva como un círculo y
una curva como el perímetro de un terreno. Esta diferencia separa los
objetos de la geometría Euclideana de los objetos de una geometría más
compleja, la cuál se conoce dentro de los medios científicos como
1
Artículo publicado en la Revista Soluciones Avanzadas en 1994.

2. "geometría fractal" y a cuyos elementos se les conoce simplemente como
"fractales". De esta forma con el fin de apreciar a cierto nivel de detalle el
mundo real, las ideas de medida y distancia de la geometría Euclideana se
deben desechar.
Fractales: Una Definición
La primera pregunta que surge de la discusión anterior es ¿qué son los
fractales? Para propósitos prácticos se dará una definición informal, intituiva
y acorde con el ejemplo antes mencionado, ya que la definición precisa está
fuera del contexto del presente artículo. (ver [1] p. 87 para una definición
precisa): Si la longitud estimada de una curva crece arbitrariamente cuando
la unidad de medida es cada vez más pequeña, entonces la curva se llama
"curva fractal" o simplemente fractal.
La definición anterior se puede generalizar para comprender otro tipo de
figuras diferentes a las curvas, por ejemplo superficies o volúmenes. En
cualquier caso, la idea básica es la misma: la dificultad de obtener una
medición es debida a la irregularidad del objeto a ser medido, y ésta es una
irregularidad que continúa hasta niveles microscópicos.
En cierta forma la palabra irregular y la palabra fractal, están estrechamente
relacionadas. En efecto, se dejará que el padre de los fractales, el científico
Benoit Mandelbrot, explique ésta relación [4]: "I coined fractal from the Latin
adjective 'fractus'. The corresponding Latin verb 'frangere' means 'to break':
to create irregular fragments. It is therefore sensible - and how appropriate
for our needs! - that, in addition to 'fragmented' (as in fractional or refraction),
'fractus' should also mean 'irregular', both meanings being preserved in
fragment."
Dimensiones 1,2,3,4,...n
Para todos es bien conocido que vivimos en un espacio de tridimensional; y
más aún, podemos identificar claramente a los objetos inmersos en
espacios de dimensión 1 y 2 . En cursos de matemáticas universitarias,
tales como Algebra Lineal y Cálculo Diferencial e Integral Avanzado, es
común trabajar con espacios de dimensión D  1, 2, 3, 4,...,n . El hecho de que
no se pueda visualizar objetos inmersos en espacios de dimensión mayor a
3 no es una limitación para conocer sus propiedades y características, las
cuales se pueden estudiar a partir de la representación matemática del
objeto mismo.

3. La noción de espacios con dimensiones D  1, 2, 3, 4,...,n , es consecuencia
directa de la geometría Euclideana, por lo que en la literatura a éstos
espacios se les conoce como "espacios Euclideanos".
Si se considera un objeto de un espacio Euclideano de dimensión D , y este
objeto se subdivide en N copias iguales siendo la razón de subdivisión r ,
entonces no es difícil visualizar que [ver Fig.1.] y [2] existe una ecuación
que relaciona a D , N y r , la cuál está dada por Nr D  1 ó equivalentemente
1
N ; D  1, 2, 3, 4,...,n . (1)
rD
De esta forma, para una dimensión D dada, el número N de copias iguales
depende de la razón r ; es decir, N es una función de r : N  N ( r ) .
D=1, N=2, r=1/2, Nr=1
Fig. 1.a. Caso Unidimensional
D=2, N=4, r=1/2, Nr2=1
Fig. 1.b. Caso Bidimensional

4. D=3, N=8, r=1/2, Nr3=1
Fig. 1.c. Caso Tridimensional
Dimensiones Fractales
Se considerará ahora el siguiente proceso sobre la curva mostrada en la
Fig.2.a. Si la misma figura se aplica a cada uno de sus 3 lados y se borran
algunas líneas, el resultado que se obtiene es el de la Fig 2.b. Si se repite
este proceso 3 veces más, se obtienen curvas como las que se muestran en
las figuras Fig.2.c,d,e, respectivamente. Teóricamente, la iteración de ésta
curva (denominada Curva de Hilbert) se puede llevar a cabo
indefinidamente, de tal forma que la curva cruza cada punto del plano sin
cruzarse a sí misma. ¿La curva resultante continúa siendo unidimensional ó
es un plano bidimensional?
La curva de Hilbert es un ejemplo típico de un proceso recursivo ó interativo,
el cuál es factible de ser implementado en algún lenguaje de programación
[6]. Claramente, de acuerdo a la definición, la curva de Hilbert es un fractal.
Se considera ahora la generación de otro fractal llamado la "isla de Koch", el
cuál se construye a partir de agregar un triángulo a la mitad de cada línea
de cada iteración [ver Fig.3.]. Es claro ver en este proceso, que cada línea
se transforma en 4 líneas cada una de las cuales tiene una longitud de 1/3
de la original. La pregunta que surge es, después de repetir el proceso
anterior un número indefinido de veces ¿Cuál es la dimensión de la curva
resultante?
Debido al tipo de proceso y después de aplicar éste un número indefinido de
veces, el fractal que se obtiene es perfectamente simétrico y en cierta forma
el grado de detalle que se obtiene es similar al de la curva que describe el
perímetro de un terreno y ¿cuál es su dimensión?

5. De la ecuación (1) se obtiene que (aplicando logaritmos naturales) la
dimensión D está relacionada con N y r a través de la fórmula
ln( N )
D , (2)
ln(1 / r )
donde ln( x) denota la función logaritmo natural (de base e  2. 718281 ) de x .
...
En el caso de la isla de Koch se sabe que N  4 y r  1 / 3, entonces
sustituyendo estos valores en la fórmula para D se obtiene:
ln( 4)
D  1. 261859...
ln( 3)
Este es sin duda un resultado sorprendente para aquéllos que aún no
desechan las ideas de la geometría Euclideana, pero, ¿Cómo se puede
interpretar el número D  1. 261859...?
A primer instancia se puede pensar que la isla de Koch es una curva que
está "a un cuarto de distancia entre una línea y un plano".
Al número D que se obtiene de la ecuación (2) se le conoce como
"dimensión fractal". La dimensión fractal de un objeto, se puede interpretar
como una medida del grado de irregularidad del fractal a cualquier nivel de
escala y, por supuesto, puede ser una cantidad fraccionaria mayor que la
dimensión clásica ó euclideana de un objeto. La dimensión fractal está
relacionada con la velocidad de crecimiento de la medida estimada del
objeto, cuando la unidad de medida decrece. Entre más grande sea la
dimensión fractal de un objeto, éste objeto es más irregular y la medida
estimada para él crece más rápidamente. Para objetos inmersos en
espacios Euclideanos (líneas, curvas, etc.), la dimensión del objeto y su
dimensión fractal son exactamente las mismas. En conclusión, la dimensión
fractal indica el grado de detalle en el objeto y qué tanto ocupa de espacio
entre las dimensiones Euclideanas. De ésta forma, un fractal es un objeto
que tiene una dimensión fractal que es mayor que su dimensión Euclideana.
En el mundo de los fractales, algunos objetos son extremadamente e
increíblemente complicados con respecto a la forma que cubren ó llenan el
espacio. Por ejemplo, la superficie de las proteínas tiene una dimensión
fractal de apróximadamente 2.4. La superficie del sistema cardiovascular
humano se dobla, tuerce y se comprime enormemente, que tiene una
dimensión fractal de 3; mientras que el sistema de arterias tiene una
dimensión fractal estimada de 2.7.

6. Muchos de los objetos de la naturaleza, incluyendo nosotros mismos, están
compuestos de diferentes tipos de fractales entrelazados unos con otros,
teniendo cada uno, partes que tienen diferentes dimensiones fractales.
Clasificación de los Fractales
Los fractales que fueron observados por vez primera, se llaman hoy en día
"fractales lineales". Este nombre indica que en el proceso de iteración, las
líneas en las figuras siempre son rectas; de esta forma las figuras que se
producen son exactamente auto-similares a diferentes escalas. Por ejemplo,
si se amplifica una pequeña porción de la isla de Koch, entonces la curva
amplificada será igual a la original. Si se compara ésto con lo que pasa,
cuando se amplifica una parte de una figura de la geometría Euclideana, tal
como un círculo, entonces lo que se verá es un pequeño segmento de arco
y después de varias amplificaciones de éste arco lo único que se verá es
una línea recta.
En resumen, en la geometría Euclideana no es posible obtener los detalles
de la curva en consideración cuando éste se amplifica, y en la geometría
fractal las amplificaciones revelan nuevos detalles de similaridad.
La similaridad y la escala, son características propias de los fractales. No
todos los fractales son simétricos, al hacer un escalamiento como sucede
en el caso de los fractales lineales. Por ejemplo, la isla de Koch.
Se ha descubierto que a través del uso de las llamadas ecuaciones no
lineales, el proceso de iteración que produce un fractal puede ocasionar que
las líneas rectas se transformen en curvas y/o rizos y ésto hace que la auto-
similaridad a diferentes escalas, se deformen y es impredecible. A esto se le
conoce como auto-similaridad estadística.
El conjunto de Mandelbrot es quizá el ejemplo más conocido de un fractal
no lineal, aunque éste solamente exista en el mundo de las matemáticas.
Los rizos y expresiones que aparecen a lo largo de este objeto matemático,
crean una línea de auto-similaridad infinita [ver Fig.4.].

7. Fig.4.a. El Conjunto de Mandelbrot
Fig.4.b. El Conjunto de Mandelbrot, Un Primer Acercamiento
Fig.4.c. El Conjunto de Mandelbrot, Un Segundo Acercamiento
Existe un tercer tipo de fractal el cual introduce elementos aleatorios al
proceso de iteración. Por ejemplo, si se cambia aleatoriamente el tamaño y
la forma de los triángulos en la isla de Koch, entonces la irregularidad de

8. una montaña se puede simular. Los fractales aleatorios permiten, de alguna
forma, modelar la rugosidad e irregularidad de superficies tales como olas,
nubes, montañas y los patrones de las ramas en los árboles.
Independientemente de la clasificación que se dé, es importante recalcar
que los fractales son objetos de dimensiones intermedias. Gracias a la
invención geométrica de Mandelbrot, los matemáticos y científicos pueden
hoy en día estimar las dimensiones fractales casi que cualquier objeto.
Los Fractales y el Mundo Real
Aunque parezca incierto, el mundo está compuesto por fractales y por lo
tanto la humanidad ha estado en contacto con ellos de alguna forma. Por
ejemplo, una montaña es un fractal, su rugosidad es la misma a diferentes
escalas. Esta rugosidad es tal, que la dimensión fractal de una montaña es
la misma a cualquier escala, incluyendo a la escala humana.
¿Cuántas veces hemos observado las nubes y nos hemos imaginado
diferentes figuras? Tal vez algún día nos mencionaron que estaban hechas
de algodón y que eran suaves. ¿Cómo es que algo "tan suave" como las
nubes, puede ser un fractal? Las nubes son en realidad fractales del tipo
aleatorio ya que su rugosidad, es totalmente irregular y cambian de forma
continuamente. La apariencia de su suavidad es más que nada la mezcla de
los colores reflejados por ellas.
La superficie del agua en el océano ó en un lago también es un fractal. En
esta superficie se pueden observar un sinnúmero de pequeñas (diminutas)
olas y entre ellas existen zonas completamente suaves. La superficie del
agua es demasiado compleja y por lo tanto no es fácil de describir. Esta
superficie contiene zonas suaves y rugosas, que están presentes a
cualquier nivel de escalamiento. Debido a esta complejidad, es difícil
estimar su dimensión fractal.
Ejemplos más comunes de fractales se pueden encontrar en el reino de las
plantas. Los árboles, los arbustos y flores en general, se desarrollan con un
cierto patrón de crecimiento que los hacen pertenecer a la geometría fractal.
Por ejemplo, en los helechos cada una de sus ramas es una miniaturización
del helecho mismo, aunque su grado de autosimilaridad no sea el mismo.
Desde nuestros estudios básicos del Sistema Circulatorio Humano, es bien
conocido que la sangre fluye desde el corazòn a través de las arterias y
regresa al mismo por las venas. Las arterias y las venas están conectadas
por una red de vasos diminutos que se dividen en ramas pequeñas y estas

9. ramas se subdividen a su vez en ramas más pequeñas hasta llegar a
convertirse finalmente en capilares microscópicos. Como se ha visto en los
ejemplos anteriores, esta geometría del sistema circulatorio es típica de los
fractales. En efecto, esta separación en ramas y subramas tiene la misma
forma cuando se examina a detalle a escalas más pequeñas.
Existe un sinnúmero de ejemplos que se podrían mencionar, lo cual haría
este artículo interminable. Para la mayoría de los casos, la dimensión fractal
y otras propiedades del fractal mismo, no han podido ser estimadas. Esto es
tema de investigación hoy en día en muchas ramas de la ciencia. Sin
embargo los investigadores, están convencidos que fórmulas matemáticas
relativamente sencillas se pueden utilizar para modelar patrones
autosimilares de objetos de la naturaleza, tales como una montaña. Esto es
debido a que los patrones a escalas pequeñas se repiten a grandes escalas
en consecuencia del uso de fórmulas iterativas.
Una de las técnicas más primitivas para generar modelos fractales de
montañas, es la de repetir iterativamente el desplazamiento en forma
aleatoria de los puntos medios de los triángulos. Este simple procedimiento,
ordena la computadora a dibujar un triángulo dentro de un triángulo después
de mover aleatoriamente, los puntos medios de cada uno de los tres lados
del triángulo original. Cuando las iteraciones se están llevando a cabo, la
forma de cada triángulo (pequeño) se altera, y la gran cantidad de triángulo
que aparecen en cada iteración van dando la forma a la montaña [ver
Fig.5.].
Fig.5. Montaña
Las versiones sofisticadas de este procedimiento, consideran que el
desplazamiento aleatorio de los puntos medios, se ajusta a una ley de
distribuciones de probabilidad, la cual es un modelo aproximado de la
distribución del terreno a ser modelado.
Los árboles y las plantas también se pueden simular a través de procesos
iterativos (ó recursivos) los cuales contienen instrucciones para dibujar
repetidamente tallos, hojas, raíces, flores, etc. Estos procesos tambièn
contienen instrucciones para rotar, doblar, cambiar el volúmen, etc, de cada

10. uno de los dibujos que aparecen en cada iteración [ver Fig.6.]. En general
estos procesos iterativos, son demasiado complejos [3] y muchas de las
veces se utilizan diferentes fórmulas iterativas para modelar cada parte del
fractal. Por ejemplo, una fórmula para la raíz, una fórmula para el tallo, otra
fórmula para las hojas, etc.
Fig.6.a. Un Helecho
Fig.6.b. Otra Forma de Helecho
Fig.6.c. Una Planta Arbitraria

11. A Manera de Conclusión
Tradicionalmente se han utilizado objetos de la geometría Euclideana, para
modelar el mundo. Hoy en día existe una geometría que tiende a
generalizar, modelar e idealizar este mundo: una geometría entre
dimensiones. La geometría fractal ha permitido a los científicos, avanzar en
el descubrimiento de las leyes que rigen la naturaleza de este mundo.
Con lo anterior en mente, se pueden retomar las palabras de H. Smith [Art
Matrix Co.]: "Si te gustan los fractales, es porque estás hecho de ellos. Si no
entiendes a los fractales, es porque no te entiendes a tí mismo. Suele
pasar".
En el presente documento no se mencionó la realción de los fractales y la
teoría de sistemas dinámicos caóticos, es decir sistemas para los cuales un
pequeño cambio en las condiciones iniciales de éste genera cambios a gran
escala en el sistema en tiempos posteriores. Los sistemas dinámicos para la
predicción del clima son un buen ejemplo sistemas caóticos, así como lo
son también los sistemas para la predicción del comportamiento de la bolsa
de valores, y algunos más. En este tipo de sistemas existen periódos de
relativa calma y predectibilidad, sin embargo cada vez que aparecen en la
T.V. los reportes del clima y la bolsa de valores, es fácil darse cuenta que
aparecen repentinamente fenómenos inesperados que pueden generar una
alarma generalizada en la población.
El tema de sistemas caóticos, o "Teoría del Caos" como tambien se le
conoce, es tema de uno o varios artículos más.
Nota Final.
Las Figuras 3 a 6 fueron generadas utilizando el paquete generador de
fractales que acompaña a [4]

12. Referencias
[1] Barnsley, M., "Fractals Everywhere", Academic Press, Inc., 1988
[2] Blackledge, J., "Digital Image Processing Lectures Notes: The Red
Book", Departamente of Applied Computing and Mathematics, Cranfield
Institute of Technology, Bedford, Inglaterra, 1990
[3] de Reffye, P.,"Computadoras Para Estudiar y Controlar el Mundo Real",
Memorias del Seminario Internacional Computadoras,
Telecomunicaciones y Desarrollo, México, D.F. 1993
[4] Mandelbrot, B., "The Fractal Geometry of Nature", W·. H.Freeman and
Co., 1982
[5] Wegner, T., B. Tyler, N. Peterson, y P. Branderhorst, "Fractals for
Windows", The Waite Group Press, 1992
[6] Wirth, N., "Algorítmos y Estructura de Datos", Prentice-Hall
Hispanoamericana S.A., 1987

13. Sobre el Autor
Alejandro Domínguez Torres es Físico y Maestro en Ciencias (Física) por la
Facultad de Ciencias de la UNAM. Es Doctor en Ciencias con especialidad
en Computación Aplicada y Matemáticas por Cranfield Institute of
Technology, Inglaterra. Fué profesor durante ocho años en la Facultad de
Ciencias y actualmente ocupa el puesto de Director de la División Posgrado
y Sistemas de la Fundación Arturo Rosenblueth, en donde ha prestado sus
servicios por ocho años.