Algunos ejercicios sobre el valor absoluto de funciones. Diapositivas para clases particulares de 1º y 2º Bachillerato.

1. Valor absoluto de funciones

2. Introducción
Se presenta aquí algunos ejercicios realizados en una clase
particular para entender el concepto de valor absoluto de una
función y ver cómo representarlas usando las propiedades de las
funcione definidas a trozos. A partir de la definición y de algunas
indicaciones, haremos dos ejercicios, representando las funciones
resultantes.
Todas las imágenes de esta presentación han sido realizadas
utilizando el CAS Maxima. Para más información sobre este
programa puede consultarse en http://maxima.sourceforge.net.

3. Definición de valor abolsuto de una función:
∣ f (x)∣=
{ f (x) si f (x)≥0
− f (x) si f (x)< 0
● Recuerda, las inecuaciones de la expresión sirven para
hallar las x del dominio de la función que cumplen las
desigualdades. Aquí hemos de tener en cuenta las
propiedades de las inecuaciones y las operaciones que
podemos realizar sobre ellas.

4. Estrategia para representa el valor absoluto de
una función
(Esta estrategia se conoce como representación como
una función a trozos)
● Aplicamos al valor absoluto la definición anterior.
● Obtenemos dos funciones distintas (f(x) y -f(x) ) en dos
intervalos distintos (f(x)≥0 y f(x)<0, respectivamente)
● Representamos cada función en cada intervalo dado. Para
ello, hemos de definir una inecuación de tipo x<a y x≥a. Es
decir, simplificamos las inecuaciones f(x)≥0 y f(x)<0 hasta
obtener dos en función de x.
● Obtenemos una función definida a trozos.

5. Ejercicios- Usando la definición de valor absoluto de una
función y definiendola como una función a trozos, según hemos
visto en la teoría anterior, representa las siguientes funciones.
Observación; utiliza las propiedades de cada función para su
representación.
Función1. ∣
x−3
2
∣
Función 2. ∣3x+ 6∣
Función3. ∣x2
−x−12∣

6. ● Solución al ejercicio 1- Estudiando las inecuaciones
asociadas a este problema, vemos que:
1. f (x)≥0
x−3
2
≥ 0
x−3 ≥ 0
x ≥ 3 → [3,∞)
2. f ( x)< 0
x−3
2
< 0
x−3 < 0
x < 3 → (−∞,3)

7. ∣
x−3
2
∣=
{
x−3
2
cuando x ∈ [3,∞)
3−x
2
cuando x ∈ (−∞,3)

8. ● Solución al ejercicio 2- Estudiamos las inecuaciones de
este problema:
1. f (x)≥0
3x+ 6 ≥ 0
x ≥
−6
3
x ≥−2 → [−2,∞)
2. f ( x)< 0
3x+ 6 < 0
x < −2 → (−∞ ,−2)

9. ∣3x+ 6∣=
{3x+ 6 cuando x ∈ [−2,∞)
−3x−6 cuando x ∈ (−∞ ,−2)

10. Solución al ejercicio 3- Vamos a resolver esta inecuación
estudiando el signo de los valores en los diferentes intervalos
definidos por sus raíces:
x2
−x−12 =
+ 1±√ 1+ 4⋅12
2
=
1±√ 49
2
, x =−3, x = 4
Intervalo (−∞ ,−3] (−3,4) [4,∞)
(x+ 3) - + -
(x−4) - - +
(x−3)(x+ 4) + - +

11. ∣x
2
−x−12∣=
{ x
2
−x−12 cuando x ∈ (−∞ ,−3]∪[4,∞)
−x2
+ x+ 12 cuando x ∈ (−3,4)