El documento describe las contribuciones de la India y China antiguas a las matemáticas. La India desarrolló la trigonometría hindú y el sistema de numeración hindu-arábigo. China contribuyó con el álgebra, la geometría y métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales usando varillas de cálculo. Ambas culturas realizaron avances en fracciones y raíces cuadradas sin el uso de la notación algebraica moderna.

1. La matemática de
India y China
antigua

2. Trigonometría Hindú:
El desarrollo de nuestro sistema de notación para los números naturales fue sin duda una de las dos
contribuciones más importante de la India a la historia de la matemática. La otra consistió en la
introducción de lo equivalente a la función seno en trigonometría, para reemplazar las tablas de
cuerdas griegas; las tablas más antiguas de la relación seno que han llegado hasta nosotros son las
que figuran en los Siddhantas y en el Aryabhatiya, donde se dan los senos de los ángulos menores o
iguales que 90° para 24 intervalos angulares iguales de 3( 3° 4/ ) cada uno. Para expresar la longitud
del arco y la del seno en términos de la misma unidad, se tomaba como radio 3.438 unidades y la
circunferencia correspondiente como 360 · 60 = 21.600 unidades; estos valores implican un valor de π
que coincide con el de Ptolomeo hasta la cuarta cifra significativa, pero Aryabhata utiliza en otros
contextos el valor 10 para π, valor que aparece tan frecuentemente en la India que se le conoce a
veces como <> de π.

3. El método de multiplicación hindú
La trigonometría hindú fue evidentemente una herramienta auxiliar para la astronomía tan útil
como precisa. El cómo llegaron los hindúes a resultados tales como la fórmula de recursión para los
senos antes mencionados, nos es desconocido, pero sí se ha sugerido10 que tales reglas pudieron
venir motivadas por un desarrollo intuitivo o empírico del cálculo con ecuaciones en diferencias y
de la práctica de la interpolación; de hecho, se suele caracterizar frecuentemente a la
matemática hindú en general como <>, para ponerla en contraste con el severo racionalismo de
la geometría griega. A pesar de que es evidente la influencia griega en la trigonometría hindú,
parecen no haber tenido ocasión de adoptar la geometría griega, o bien no aprovecharon la
ocasión, interesados como estaban únicamente en reglas de medición sencillas. Hay muy escasa
evidencia en la India del estudio de problemas geométricos que podríamos llamar clásicos, o de
curvas distintas de la circunferencia, e incluso las secciones cónicas parecen haber sido ignoradas
por los hindúes, lo mismo que por los chinos. En cambio, a los matemáticos hindúes les fascinaban
las cuestiones numéricas, ya tuvieran que ver solamente con las operaciones aritméticas usuales o
con la resolución de ecuaciones determinadas o indeterminadas. La suma y la multiplicación se
hacían en la India casi de la misma manera como las hacemos hoy, excepto en que los hindúes
parecen haber preferido al principio escribir los números con las unidades de orden menor a la
izquierda, y procedían por lo tanto de izquierda a derecha, utilizando pequeñas pizarras cubiertas
de pintura blanca no permanente que se iba quitando al escribir sobre ellas, o bien una tabla
cubierta de arena o harina.

4. Multiplicación en celdilla o celosía y La
división larga

5. Álgebra
En India antigua el término de matemática convencional Ganitam era conocido antes del desarrollo
de álgebra. Esto es confirmado por el nombre Bijaganitam, que se dio a la forma algebraica de
cálculo. Bijaganitam quiere decir “la otra matemática”, o sea, Bija = otra, y Ganitam = matemáticas.
Algunos han interpretado el término bija como semilla, simbolizando origen o comienzo. Bijaganitam
se deriva de la forma original de cómputo. Aryabhata, que fue matemático indio y vivió en el siglo
5d.c. se ha referido a Bijaganitam en su tratado de astronomía matemática Aryabhatiya. Bhaskara,
que también fue matemático y astrónomo indio tiene autoridad en este asunto; su tratado que data
del siglo 12d.c se titula Siddhantasiromani, del cual tiene una parte que se titula Bijaganitam. Así la
técnica de cómputo algebraico era conocida y se desarrolló en la India en tiempos más tempranos.
A quien no se le escapó el sistema indio de las matemáticas fue a Al-Biruni, quien estudió su sociedad
y política. El sistema de matemáticas que observaron los árabes en la India no se le escapó, y fue
adaptado por ellos con el nombre de “Al-Jabr” o “reunión de las partes rotas”. Este nombre dado por
los árabes indica que ellos lo tomaron de una fuente externa y lo amalgamaron con sus conceptos
sobre matemática.

6. Geometría y Algoritmo:
Incluso en el área de la geometría, los matemáticos indios tenían su contribución. Había un área
de aplicaciones matemáticas llamado Rekha Ganita (cálculo de la línea). El Sulvasutra da
métodos de geometría para construir altares y templos. Los esquemas de templos se llamaron
Mandalas. Algunos trabajadores importantes en este campo son Baudhayana, Apastamba,
Hiranyakesin, Manava, Varaha y Vadhula. Las pagodas budistas pidieron prestado su plan de
construcción de la reja geométrica del Mandala usado para construir templos en India (una
pagoda majestuosa en Bangkok). El árabe Mahoma estudió el Rekha Ganita y lo introdujo entre
los estudiosos árabes AlKarismi, Washiya y Abe Mashar, que incorporaron el conocimiento
recientemente adquirido de álgebra y otras ramas de matemática india en las ideas árabes
sobre el asunto.

7. Tomado de
http://matematicas.uclm.es/ita-
cr/web_matematicas/trabajos/4/4_ma
tematica_india.pdf

8. Sumar y restar con varillas
En las primeras obras aritméticas conservadas, particularmente el Suan shu shu y el Jiuzhang, se utilizan las operaciones elementales de
la Aritmética como un conocimiento consabido sin hacerlas explícitas como tales en ningún momento. Sí queda claro que se efectúan
con varillas de un modo habitual pero explicar su funcionamiento parece estar fuera del interés de obras destinadas al conocimiento
de funcionarios de la administración china.
Hay que esperar al siglo III d.C. para que otros textos, como el Su Zi suan jing (Manual matemático de Sun zi) o el Xiahou Yang Suan jing
(Manual matemático de Xiahou Yang) se encargasen de transmitir a sus lectores las reglas fundamentales para realizar paso a paso
estas operaciones.
Aunque su realización se llevaba a cabo con varillas, como veremos luego, vamos a presentar inicialmente estas reglas con nuestros
números indo arábigos.
Supongamos que hemos de realizar la suma 378 + 296
En primer lugar, se colocan como actualmente uno sobre el otro de manera que coincidan las unidades del mismo orden (unidades
con unidades, decenas con decenas, etc.).
3 7 8
2 9 6
A continuación se comienza la suma por las unidades más altas, en este caso las centenas. El resultado así de sumar 3 y 2 centenas (5)
sustituye a las centenas del sumando superior desapareciendo las del inferior por haber sido realizado.
5 7 8
9 6
Seguidamente, se suman las decenas (7 y 9) pero como el resultado excede a diez, la centena que resulta se añade a las 5 que se
tenían como resultado.
6 6 8
6
que da paso a 6 7 4 como resultado final.
Estos mismos pasos, realizados con varillas, instrumento fundamental de cálculo hasta la llegada del ábaco en el siglo XV, muestran una
apariencia distinta.

9. Fracciones:
El avanzado tratamiento aritmético que se encuentra en los cálculos de las principales y tempranas
obras dedicadas a este conocimiento, había de continuarse con el uso de fracciones. La razón
fundamental es la de alcanzar una mayor exactitud en el cálculo. Así, la unidad de medida de
longitud más habitual para medir un campo era el zhang, equivalente a unos 2,3 metros. Entre las
unidades de masa utilizadas para medir la cantidad de bronce utilizado la medida del shi equivalía a
casi treinta kg., mientras que otra subunidad, el jin, venía a corresponder a un cuarto de kg. Una
mera aproximación en este tipo de medidas conducía a una acumulación de errores, sobrecostes,
pérdidas en las ventas y recaudación de impuestos, etc.
Naturalmente, siempre cabía utilizar la expresión de una cantidad mediante las subunidades. Por
ejemplo, las unidades de longitud en el período Han eran:
cun ---> x 10 ----> chi ---> x 10 ----> zhang
es decir, 1 zhang = 10 chi
1 chi = 10 cun
Pues bien, supongamos la cantidad de 1zhang y ¾ de zhang. ¾ de zhang se puede transformar en
chi sin más que multiplicar por diez: ¾ zhang x 10 = 30/4 chi = 7 chi y 2/4 de chi.
que a su vez se puede transformar en cun : 2/4 de chi x 10 = 20/4 cun = 5 cun.

10. Calculo primitivo:
En el Suan shu se encuentra un problema cuya resolución implica el cálculo de una raíz cuadrada.
Consiste en calcular el lado de un campo cuadrado cuando se conoce su superficie, que en el caso
concreto de la varilla 185, es de 1 mu. Hay que recordar que 1 mu = 240 bu2
Pues bien, en el tiempo de redacción de este texto parece que el cálculo de la raíz cuadrada no era
conocido, hecho que sí es constatable en la redacción del Jiuzhang, que debió escribirse en un
tiempo posterior. El autor o autores del Suan shu, a falta de un procedimiento específico, aplican a la
resolución de este problema el mismo método de doble falsa posición visto en el capítulo anterior. Así,
se plantean dos casos hipotéticos:
Caso 1: Si el lado es 15 bu, la superficie del campo sería  152 = 225 bu2 registrándose por tanto un
déficit de 15 bu2.
Caso 2: Si el lado fuera de 16 bu.  162 = 256 bu2 habiendo por tanto un exceso de 16 bu2.
Por consiguiente, puede establecerse el siguiente esquema: 15 16 así,
15 16
que puede comprobarse que es una buena
aproximación: ( 15 15/31 )2 = 239 761/931 ≈ 240

11. Sistema de ecuaciones lineales
Mientras en las culturas mesopotámica y egipcia los procedimientos matemáticos eran más
primitivos por lo general y además se dispone de una abundante información arqueológica, en el
caso de las matemáticas chinas no es así. Sus métodos son más elaborados y sofisticados
matemáticamente que los de aquellas culturas. Se desconocen además, por falta de datos, las
bases económicas, cotidianas, a partir de las cuales surge la necesidad de resolver unos
determinados problemas, y también los fundamentos más primitivos, intentos primerizos, de
resolverlos.
Lo que ha llegado hasta el día de hoy son una serie de textos escritos sobre bambú o, más tarde,
en papel, destinados a resumir los conocimientos matemáticos en resolución de problemas para su
aplicación en la Administración china. La propia naturaleza y justificación de las matemáticas en
aquella época excluye los razonamientos conceptuales, las construcciones teóricas o todo tipo de
explicación de por qué nacen los procedimientos de la forma en que lo hacen.
Como en los recientes vademécum de los ingenieros, se ofrece un método para resolver el tipo de
problemas a los que tiene que enfrentarse el funcionario chino. En muchos casos, la construcción
teórica es olvidada y así se asiste a la presencia de numerosas reglas de resolución de problemas
con pequeñas variaciones entre sí y que hoy distinguimos como formas de un método más
general.

12. El teorema del gou gu
“El cuadrado pertenece a la Tierra, y el círculo pertenece al Cielo. El Cielo es un círculo y la Tierra es
el cuadrado. Los números del cuadrado son básicos y el círculo es producido a partir del cuadrado”.
Esta afirmación, en términos matemáticos, se traducía en el Jiuzhang como una relación 3 a 4 entre
ambas áreas:
En otras palabras: A partir del área del cuadrado se puede deducir la del círculo y viceversa, dado
que la relación entre ambos es ACirculo / ACuadrado = 3 / 4.
De esta estrecha relación matemática y espiritual entre los números 3 y 4 surge la relación
pitagórica más elemental: 3 2 + 4 2 = 5 2

13. Sacado de
http://personal.us.es/cmaza/china/