Clase repaso bioestadistica URV 2011

713 views

Published on

Clase repaso bioestadistica URV 2011

Published in: Education
0 Comments
1 Like
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total views
713
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
2
Actions
Shares
0
Downloads
54
Comments
0
Likes
1
Embeds 0
No embeds

No notes for slide
  • e = 2’71828 π = 3’14159 - ∞ < x < ∞
  • Si aquesta transformació z dona un valor de z = 1 indica que el valor de x utilitzat en la transformació està 1 desviació estàndard per damunt de zero, i el valor z = -1 indica que el valor de x utilitzat en la transformació està -1 desviació estàndard per sota de zero
  • e = 2’71828 π = 3’14159 - ∞ < x < ∞
  • e = 2’71828 π = 3’14159 - ∞ < x < ∞
  • e = 2’71828 π = 3’14159 - ∞ < x < ∞
  • e = 2’71828 π = 3’14159 - ∞ < x < ∞
  • e = 2’71828 π = 3’14159 - ∞ < x < ∞
  • e = 2’71828 π = 3’14159 - ∞ < x < ∞
  • Clase repaso bioestadistica URV 2011

    1. 1. Bioestadística FMCS Reus Curs 2011-12 REPÀS PROBABILITAT
    2. 2. Repàs probabilitat Bioestadística FMCS Reus Curs 2011-12
    3. 3. Bioestadística FMCS Reus Curs 2011-12 S’anomena probabilitat d’ A condicionada a B ,al valor de la probabilitat d’ A sabent que l’esdeveniment B ja ha succeït : Repàs probabilitat
    4. 4. Bioestadística FMCS Reus Curs 2011-12 Ω A 1 B A k A 2 Sigui A 1 , A 2 , A 3 , …, A k , una partició del espai mostral Ω Repàs probabilitat
    5. 5. Bioestadística FMCS Reus Curs 2011-12 Ω A 1 B A k A 2 El Teorema de Bayes ens permet calcular la probabilitat de que es doni un esdeveniment, sabent que com a resultat final del experiment s’ha produït altre determinat esdeveniment Repàs probabilitat
    6. 6. Exercici Bioestadística FMCS Reus Curs 2011-12 La probabilitat d’ésser del grup A és d’un 40% El 60% dels individus del grup A desenvolupen una malaltia El 30% dels individus que no pertanyen al grup A desenvolupen una malaltia Si agafem a l’atzar un individu malalt quina és la probabilitat que pertanyi al grup A? Quina és la probabilitat de que un individu o pertany al grup A o estigui malalt (o les dues coses a la vegada)?
    7. 7. Exercici Bioestadística FMCS Reus Curs 2011-12
    8. 8. Bioestadística FMCS Reus Curs 2011-12 REPÀS VARIABLE ALEATORIA
    9. 9. Distribució Binomial <ul><li>Un experiment binomial és aquell que compleix aquestes característiques: </li></ul><ul><ul><li>N proves idèntiques </li></ul></ul><ul><ul><li>A cada prova dos resultats possibles (Èxit o fracàs) </li></ul></ul><ul><ul><li>La probabilitat d’èxit (p) o fracàs (1-p) és constant a cada prova </li></ul></ul><ul><ul><li>El resultat de cada prova és independent al de altres proves </li></ul></ul><ul><ul><li>El nostre interès estarà en la variable aleatòria X, el nombre d'èxits a cada prova </li></ul></ul>Bioestadística FMCS Reus Curs 2011-12 Distribució binomial X~B(n,p) E(X)=np V(X)=np(1-p)
    10. 10. Distribució Poisson <ul><li>El nombre de successos que ocorren en un interval de temps, de longitud, d’espai segueix una distribució de Poisson si </li></ul><ul><ul><li>La probabilitat d’un succés és la mateixa en tot l’interval </li></ul></ul><ul><ul><li>La probabilitat d’un succés no depèn dels successos ocorreguts amb anterioritat </li></ul></ul>Bioestadística FMCS Reus Curs 2011-12 Distribució Poisson X~P( λ ) λ:Nombre mig de successos en un interval E(X)=λ V(X)=λ
    11. 11. Propietats Esperança i Variança <ul><li>Propietats esperança: </li></ul><ul><ul><li>E(k) = k </li></ul></ul><ul><ul><li>E(X+Y)=E(X)+E(Y) </li></ul></ul><ul><ul><li>E(kX)=kE(X) </li></ul></ul><ul><ul><li>E(k 1 X+k 2 Y)=k 1 E(X)+k 2 E(Y) </li></ul></ul>Bioestadística FMCS Reus Curs 2011-12 <ul><li>Propietats variança: </li></ul><ul><ul><li>V(k) = 0 </li></ul></ul><ul><ul><li>V(X+Y)=V(X)+V(Y) </li></ul></ul><ul><ul><li>V(kX)=k 2 V(X) </li></ul></ul><ul><ul><li>V(k 1 X+k 2 Y)=k 1 2 V(X)+k 2 2 V(Y) </li></ul></ul>
    12. 12. Exercici <ul><li>La probabilitat d’una reacció al·lèrgica és del 1% </li></ul><ul><li>Quina és la probabilitat de que en una mostra de 10 individus hi hagi alguna reacció al·lèrgica? </li></ul><ul><li>Quina és la probabilitat de que en una mostra de 100 individus hi hagi més de 3 reaccions al·lèrgiques? </li></ul>Bioestadística FMCS Reus Curs 2011-12
    13. 13. Exercici <ul><li>N=10 P=0’01 </li></ul><ul><li>X: Nombre de persones amb reacció al·lèrgica </li></ul><ul><li>X~B(10,0’01) </li></ul>Bioestadística FMCS Reus Curs 2011-12 P(X ≥1)= 1-P(X=0) = 1 – 0’9044 = 0’0966 Quina és la probabilitat de que en una mostra de 10 individus hi hagi alguna reacció al·lèrgica?
    14. 14. Exercici <ul><li>N=120 P=0’01 </li></ul><ul><li>X: Nombre de persones amb reacció al·lèrgica </li></ul><ul><li>X~B(120,0’01) </li></ul>Bioestadística FMCS Reus Curs 2011-12 X~B(120,0’01) N gran X~Poisson( λ = 120·0’01) X~Poisson( λ = 1’2) Quina és la probabilitat de que en una mostra de 100 individus hi hagi més de 3 reaccions al·lèrgiques?
    15. 15. Exercici Bioestadística FMCS Reus Curs 2011-12 X~Poisson( λ = 1’2) p(X>2) = 1 – [ p(X=0) + p(X=1) + p(X=2) ] = = 1 – [ 0’3012 + 0’3614 + 0’2169] = = 1 – 0’8795 = 0’1205
    16. 16. Distribución normal o de Gauss <ul><li>Està caracteritzada per dos paràmetres : </li></ul><ul><li>La mitjana , μ, </li></ul><ul><li>la desviació típica , σ. </li></ul>Bioestadística FMCS Reus Curs 2011-12 X ~ N( µ, σ )
    17. 17. Bioestadística FMCS Reus Curs 2011-12 0 P(X>a) a P(Z > (a- µ) / σ ) a- µ σ
    18. 18. Distribució normal o de Gauss Bioestadística FMCS Reus Curs 2011-12 <ul><li>P(a≤X≤b)=P(X≥a) – P(X≥b) </li></ul><ul><li>P(Z>-a) = P(Z<a) </li></ul><ul><li>P(Z<a) = 1 - P(Z>a) </li></ul><ul><li>P(Z>-a) = 1 - P(Z>a) </li></ul>
    19. 19. Exercici Bioestadística FMCS Reus Curs 2011-12 <ul><li>El pes de les persones d'una determinada població es distribueix normalment amb una mitjana de 80 kg. i una desviació típica 10 kg. </li></ul><ul><ul><li>Quina és la probabilitat de que una persona pesi entre 70 i 85 kg? </li></ul></ul><ul><ul><li>Quina és la probabilitat de que una persona pesi més de 95 Kg </li></ul></ul>
    20. 20. Exercici Bioestadística FMCS Reus Curs 2011-12 X~N(80,10) Z~N(0,1) a a - 80 10 P(X>a) P(Z > (a- 80) / 10 ) <ul><li>P(70 >X>85) </li></ul><ul><li>P(X>95) </li></ul>
    21. 21. Exercici Bioestadística FMCS Reus Curs 2011-12 X: N(80,10) P(70 < X < 85) = P (X > 70) – P (X >85) = = P ( > ) - P ( > ) = P (Z > -1) – P (Z > 0’5) = = [1 – P(Z>1)] – P(Z>0’5) =
    22. 22. Bioestadística FMCS Reus Curs 2011-12
    23. 23. Exercici Bioestadística FMCS Reus Curs 2011-12 X: N(80,10) P(70 < X < 85) = P (X > 70) – P (X >85) = = P ( > ) - P ( > ) = P (Z > -1) – P (Z > 0’5) = = [1 – P(Z>1)] – P(Z>0’5) = = [1 – 0’1687] – 0’3086 = 0’8313 – 0’3086 = 0’5227
    24. 24. Exercici Bioestadística FMCS Reus Curs 2011-12 X: N(80,10) P (X > 95) = = P ( > ) = P (Z > 1’5) = 0’0668
    25. 25. Bioestadística FMCS Reus Curs 2011-12
    26. 26. Bioestadística FMCS Reus Curs 2011-12 REPÀS PROVES D’HIPÒTESIS
    27. 27. Repas proves d’hipòtesi <ul><li>Una prova d’hipòtesis consta de quatre elements: </li></ul><ul><ul><li>Hipòtesis nul·la (H 0 ) </li></ul></ul><ul><ul><li>Hipòtesis alternativa (H α ) </li></ul></ul><ul><ul><li>L’estadístic de la prova </li></ul></ul><ul><ul><li>La regió de rebuig o regió crítica </li></ul></ul>Bioestadística FMCS Reus Curs 2011-12
    28. 28. Repàs proves d’hipòtesi <ul><li>Hipòtesis Nul·la (H 0 ) H 0: µ = a </li></ul><ul><li>Hipòtesis alternativa (H α ) H α : µ ≠ a </li></ul><ul><li>L’ estadístic de la prova ( σ coneguda) </li></ul><ul><ul><ul><li>Sota la hipòtesi H 0 certa </li></ul></ul></ul><ul><li>La regió de rebuig o regió crítica </li></ul><ul><li>Rebuig de H 0 si z Є (- ∞ ,-z α /2 ) o z Є (z α /2 , ∞ ) </li></ul><ul><li>Acceptació de H 0 si z Є (-z α /2 ,z α /2 ) </li></ul><ul><li>Si α =0.05 z α /2 = z 0.025 =1.96 </li></ul>Bioestadística FMCS Reus Curs 2011-12 EE: Desviació estándar de la mitjana.
    29. 29. Repàs proves d’hipòtesi <ul><li>Hipòtesis Nul·la (H 0 ) H 0: µ ≤ a </li></ul><ul><li>Hipòtesis alternativa (H α ) H α : µ > a </li></ul><ul><li>L’ estadístic de la prova ( σ coneguda) </li></ul><ul><ul><ul><li>Sota la hipòtesi H 0 certa </li></ul></ul></ul><ul><li>La regió de rebuig o regió crítica </li></ul><ul><li>Rebuig de H 0 si z Є (z α , ∞ ) </li></ul><ul><li>Acceptació de H 0 si z Є (- ∞ ,z α ) </li></ul><ul><li>Si α =0.05 z α = z 0.05 =1.645 </li></ul>Bioestadística FMCS Reus Curs 2011-12 EE: Desviació estándar de la mitjana.
    30. 30. Repàs proves d’hipòtesi <ul><li>Hipòtesis Nul·la (H 0 ) H 0: µ = a </li></ul><ul><li>Hipòtesis alternativa (H α ) H α : µ ≠ a </li></ul><ul><li>L’ estadístic de la prova ( σ des coneguda) </li></ul><ul><ul><ul><li>Sota la hipòtesi H 0 certa </li></ul></ul></ul><ul><li>La regió de rebuig o regió crítica </li></ul><ul><li>Rebuig de H 0 si t Є (- ∞ ,-t n-1, α /2 ) o t Є (t n-1, α /2 , ∞ ) </li></ul><ul><li>Acceptació de H 0 si t Є (- t n-1, α /2 ,t n-1, α /2 ) </li></ul><ul><li>Si n gran la t-student es equivalent a una N(0,1) </li></ul>Bioestadística FMCS Reus Curs 2011-12 EE: Desviació estándar de la mitjana.
    31. 31. Repàs proves d’hipòtesi <ul><li>Hipòtesis Nul·la (H 0 ) H 0: µ ≤ a </li></ul><ul><li>Hipòtesis alternativa (H α ) H α : µ > a </li></ul><ul><li>L’ estadístic de la prova ( σ des coneguda) </li></ul><ul><ul><ul><li>Sota la hipòtesi H 0 certa </li></ul></ul></ul><ul><li>La regió de rebuig o regió crítica </li></ul><ul><li>Rebuig de H 0 si t Є (t n-1, α , ∞ ) </li></ul><ul><li>Acceptació de H 0 si t Є (- ∞ ,t n-1, α ) </li></ul><ul><li>Si n gran la t-student es equivalent a una N(0,1) </li></ul>Bioestadística FMCS Reus Curs 2011-12 EE: Desviació estándar de la mitjana.
    32. 32. Contrastos unilateral i bilateral Bioestadística FMCS Reus Curs 2011-12 La posició de la regió crítica depèn de com es facin les hipòtesis. Unilateral Unilateral Bilateral H 0 : µ ≤ a H 1 : µ ≥ a H 0 : µ ≥ a H 1 : µ ≤ a H 0 : µ = a H 1 : µ ≠ a - z  /2 z  /2 - z  z 
    33. 33. Exercici Bioestadística FMCS Reus Curs 2011-12 <ul><li>Sigui X una variable aleatòria amb desviació estàndar = 2 </li></ul><ul><li>Volem testar: </li></ul><ul><ul><li>Si la mitjana de X és 40 </li></ul></ul><ul><ul><li>Si la mitjana de X és igual o menor que 40 </li></ul></ul>Agafem una mostra de 16 elements. Calculem la seva mitjana i ens dona 40’90
    34. 34. Exercici <ul><li>Hipòtesis Nul·la (H 0 ) H 0: µ = 40 H 0: µ ≤ 40 </li></ul><ul><li>Hipòtesis alternativa (H α ) H α : µ ≠ 40 H α : µ > 40 </li></ul><ul><li>L’ estadístic de la prova ( σ coneguda) </li></ul><ul><ul><ul><li>Sota la hipòtesi H 0 certa </li></ul></ul></ul>Bioestadística FMCS Reus Curs 2011-12
    35. 35. Exercici <ul><li>Pel test bilateral , la regió de rebuig o regió crítica és: </li></ul><ul><li>Rebuig de H 0 si z Є (- ∞ ,-z α /2 ) o z Є (z α /2 , ∞ ) </li></ul><ul><li>Acceptació de H 0 si z Є (-z α /2 ,z α /2 ) </li></ul><ul><li>Si α =0.05 z α /2 = z 0.025 =1.96 </li></ul><ul><li>Rebuig de H 0 si z Є (- ∞ , -1’96) o z Є (1’96, ∞ ) </li></ul><ul><li>Acceptació de H 0 si z Є (-1’96,1’96) </li></ul>Bioestadística FMCS Reus Curs 2011-12 1’80 està dintre de la regió d’acceptació. Acceptem la hipòtesi nul·la, la mitjana és igual a 40
    36. 36. Exercici <ul><li>Pel test unilateral , la regió de rebuig o regió crítica és: </li></ul><ul><li>Rebuig de H 0 si z Є (z α , ∞ ) </li></ul><ul><li>Acceptació de H 0 si z Є (- ∞ ,z α ) </li></ul><ul><li>Si α =0.05 z α = z 0.25 =1.645 </li></ul><ul><li>Rebuig de H 0 si z Є (1’645, ∞ ) </li></ul><ul><li>Acceptació de H 0 si z Є (- ∞ , -1’645) </li></ul>Bioestadística FMCS Reus Curs 2011-12 1’80 està dintre de la regió de rebuig. Rebutgem la hipòtesi nul·la, Acceptem hipòtesi alternativa, la mitjana és major que 40
    37. 37. Tipus de error, poder i nivell de confiança Bioestadística FMCS Reus Curs 2011-12 1-  és el nivell de confiança 1-  és el nivell de confiança 1-  és el nivell de confiança 1-  és el nivell de confiança 1-  és el nivell de confiança Decisió Població real H 0 és falsa H 0 és certa Es refusa la H 0 Decisió correcte 1-  (poder) Risc  (error tipus I) No es refusa la H 0 Risc  (error tipus II) Decisió correcte 1-  (confiança)
    38. 38. Contrast per al paràmetre p Bioestadística FMCS Reus Curs 2011-12 - z  1 -  z  1 -  - z  /2 z  /2 1 -  Hipòtesi nul·la H a Hipòtesi alternativa H a Tipus de contrast Estadístic de contrast Regió d’acceptació P = P o P ≠ p o bilateral segueix una llei N(0,1) (-z  /2 ,z  /2 ) P  p o P > p o unilateral (-∞,z  ) P ≥ p o P < p p unilateral (-z  ,+∞)
    39. 39. Bioestadística FMCS Reus Curs 2011-12 REPÀS COMPARACIÓ DUES VARIABLES
    40. 40. Resum de la comparació de dues mitjanes observades <ul><li>Hipòtesis Nul·la (H 0 ) H 0: µ A - µ B = 0 </li></ul><ul><li>Hipòtesis alternativa (H α ) H α : µ A - µ B ≠ 0 </li></ul><ul><li>L’ estadístic de la prova </li></ul><ul><ul><ul><li>Sota la hipòtesi H 0 certa </li></ul></ul></ul><ul><li>La distribució del estadístic de la prova i la formula del estimador d’ EE depèn de: </li></ul><ul><ul><li>La mida de les mostres </li></ul></ul><ul><ul><li>La normalitat de X en els dos grups </li></ul></ul><ul><ul><li>La variança de X sigui igual en els grups </li></ul></ul>Bioestadística FMCS Reus Curs 2011-12 EE: Desviació estándar de la diferència de mitjanes
    41. 41. Resum de la comparació de dues mitjanes observades <ul><li>Estratègia: </li></ul><ul><li> coneguda (1) </li></ul><ul><li> desconeguda </li></ul><ul><ul><li>n A i n B  30 (2) </li></ul></ul><ul><ul><li>n A i/o n B < 30 </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>Distribució Normal </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><ul><li>variàncies homogènies (  2 A =  2 B ) (3) </li></ul></ul></ul></ul><ul><ul><ul><ul><li>variàncies NO homogènies (  2 A   2 B ) (4) </li></ul></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Distribució no Normal  proves no paramètriques </li></ul></ul></ul>Bioestadística FMCS Reus Curs 2011-12
    42. 42. <ul><li> coneguda </li></ul><ul><li> desconeguda, n gran </li></ul><ul><li> desconeguda, n petita, X normal,  2 A =  2 B </li></ul><ul><li> desconeguda, n petita, X normal,  2 A   2 B </li></ul>Bioestadística FMCS Reus Curs 2011-12
    43. 43. Exercici <ul><li>Un grup de 16 individus que segueix una dieta A té una mitjana d’IMC de 27 amb una desviació estàndard de 4. </li></ul><ul><li>Un grup de 13 individus que segueix una dieta B té una mitjana d’IMC de 27 amb una desviació estàndard de 5. </li></ul><ul><li>Tenen els dos grups el mateix IMC amb una significació α =0’05 ? </li></ul><ul><li>Quin és el grau de significació? </li></ul>Bioestadística FMCS Reus Curs 2011-12
    44. 44. <ul><li>Hipòtesis Nul·la (H 0 ) H 0: µ A - µ B = 0 </li></ul><ul><li>Hipòtesis alternativa (H α ) H α : µ A - µ B ≠ 0 </li></ul><ul><li>L’ estadístic de la prova </li></ul><ul><ul><ul><li>Sota la hipòtesi H 0 certa </li></ul></ul></ul><ul><li>Situació: </li></ul><ul><ul><li> desconeguda </li></ul></ul><ul><ul><li>n petita, </li></ul></ul><ul><ul><li>X normal, </li></ul></ul><ul><ul><li> 2 A =  2 B </li></ul></ul>Bioestadística FMCS Reus Curs 2011-12 EE: Desviació estándar de la diferència de mitjanes Exercici
    45. 45. <ul><li> desconeguda, n petita, X normal,  2 A =  2 B </li></ul>Bioestadística FMCS Reus Curs 2011-12 Exercici
    46. 46. Resultats <ul><li>Estimació de la variància comuna (  2 ) a partir de la mitjana ponderada pels graus de llibertat de les variàncies s 2 A i s 2 B </li></ul>Bioestadística FMCS Reus Curs 2011-12
    47. 47. Bioestadística FMCS Reus Curs 2011-12 Càlcul de l’Error Estàndard
    48. 48. Bioestadística FMCS Reus Curs 2011-12 Càlcul de l’estadístic de contrast: t de Student
    49. 49. Resultats <ul><li>El grau de significació és aquell valor de α tal que </li></ul>Bioestadística FMCS Reus Curs 2011-12 La regió critica o de rebuig ser Rebuig de H 0 si t Є (- ∞ ,-t 27, α /2 ) o t Є (t 27 , α /2 , ∞ ) Acceptació de H 0 si t Є (-t 27 , α /2 ,t 27 , α /2 ) Si α =0.05 t 27 , α /2 = t 27 , 0.025 =2’0518 2’2411 està en la regió critica, Rebutgem H 0 , les mitjanes del IMC en el grup A i el grup B no es poden considerar iguals
    50. 50. Bioestadística FMCS Reus Curs 2011-12 Comparació de dues variables qualitatives Una taula té f files i c columnes Per cada casilla de la taula calculem o fc = freqüències observades e fc = freqüències esperades Variable 2 Total 1 .... f Variable 1 1 n 3 . ... f n 1 . Total n. 1 n. 3 n
    51. 51. Bioestadística FMCS Reus Curs 2011-12 Comparació de dues variables qualitatives <ul><li>H o : Les distribucions de les categories d’una variable NO SÓN DIFERENTS entre les diferents categories de l’altre variable. </li></ul><ul><li>H 1 : Les distribucions de les categories d’una variable SÓN DIFERENTS entre les diferents categories de l’altre variable. </li></ul><ul><li>Estadístic de contrast : </li></ul><ul><li>Regió crítica: </li></ul><ul><li>Rebuig de H 0 si X 2 > X 2 ( α , (c-1)(f-1) ) </li></ul><ul><li>Acceptació de H 0 si X 2 < X 2 ( α , (c-1)(f-1) ) </li></ul>
    52. 52. Bioestadística FMCS Reus Curs 2011-12 Mida de la mostra per comparar dues proporcions observades <ul><li>n = nombre d’individus necessaris a cada grup </li></ul><ul><li>z  = valor de z corresponent al risc  fixat </li></ul><ul><li>z  = valor de z corresponent al risc  fixat </li></ul><ul><li>p A = valor de la proporció esperada al grup A </li></ul><ul><li>p B = valor de la proporció esperada al grup B </li></ul><ul><li>p A -p B = valor mínim de la diferència que es vol detectar </li></ul><ul><li>p = mitjana ponderada de les proporcions p A i p B </li></ul>

    ×