日本情報オリンピック夏季セミナー2019

1. k-センター
情報オリンピック夏季セミナー2019
筑波大学附属駒場高校２年 米山瑛士

2. 目次
３・・・近似アルゴリズムとは
６・・・k-センター問題とは
１４・・・厳密アルゴリズム
２３・・・２近似アルゴリズム
６０・・・実装と利用
７６・・・まとめ

3. 近似アルゴリズムとは

4. 近似アルゴリズムとは
Nつの数字A[1],A[2],..,A[N]があります。
「A[i]+A[j]+gcd(A[i],A[j]) を最小化する」問題があります。
このとき、計算結果が最適解の1.5倍以下になる具体的な(i,j)の組を計
算量O(N)で示してください。

5. 近似アルゴリズムとは
Nつの数字A[1],A[2],..,A[N]があります。
「A[i]+A[j]+gcd(A[i],A[j]) を最小化する」問題があります。
このとき、計算結果が最適解の1.5倍以下になる具体的な(i,j)の組を計
算量O(N)で示してください。
＝1.5近似アルゴリズムを設計してください。

6. k-センター問題とは

7. k-センター問題とは
重み付き完全無向グラフと正整数kが与えられる。
kつの頂点を選んで"センター"とする。
それぞれの頂点についてセンターである頂点との間を結ぶ辺の重みの
最小値を求め、その最大値を最小化する。

8. k-センター問題とは
3
4 5
2
6
7
K=2

9. k-センター問題とは
3
4 5
2
6
7
K=2

10. k-センター問題とは
3
4 5
2
6
7
K=2

11. k-センター問題とは
3
4 5
2
6
7
K=2

12. k-センター問題とは
3
4 5
2
6
7
K=2
max(2,3)=3

13. k-センター問題とは
NP-困難
多項式時間で解けない。さらにその中でも難しい。

14. 厳密アルゴリズム

15. 厳密アルゴリズム
①答えを二分探索で決め打つ。
→重みが答え以下の辺だけを残したグラフで、最小支配集合（※）のサ
イズがk以下であるか判定できれば良い。

16. 厳密アルゴリズム
最小支配集合とは？
いくつかのスターグラフでグラフ全体を被覆するとき、その個数が最小と
なるようなもの。

17. 厳密アルゴリズム
最小個数のス
ターグラフで被
覆

18. 厳密アルゴリズム
最小支配集合
のサイズは３

19. 厳密アルゴリズム
3
4 5
2
6
7
K=2 答えは3以下か？

20. 厳密アルゴリズム
3
4 5
2
6
7
K=2 最小支配集合の
サイズは２

21. 厳密アルゴリズム
3
4 5
2
6
7
K=2 答えは３以下

22. 厳密アルゴリズム
②スターグラフの組み合わせを全列挙し、最小支配集合を解く。
→スターグラフはNつあるので、組み合わせは2^N通り。
工夫してdfsすると計算量はO(2^N*N*logε)。
最小支配集合問題もNP-困難

23. ２近似アルゴリズム

24. ２近似アルゴリズム
メトリックなk-センター問題は２近似アルゴリズムを持つ。
一般のk-センター問題はP≠NPの仮定のもとでは近似アルゴリズムが存
在しない。

25. ２近似アルゴリズム
メトリックとは？
グラフの辺の重みが三角不等式を満たすこと。
任意の頂点a,b,cに対して、cost(a,b)+cost(b,c)>=cost(a,c)になる。

26. ２近似アルゴリズム
3
4 5
2
6
8
←notメトリッ ク

27. ２近似アルゴリズム
3
4 5
2
6
7
←メトリック

28. ２近似アルゴリズム
２近似アルゴリズム
①重みがp以下の辺だけを使ったグラフで、その平方グラフの極大独立
集合のサイズがk以下となる最小のpを二分探索で求める。
②そのようなpでの極大独立集合をk-センターとし、コストを計算して出
力する。
正解＜＝このアルゴリズムの答え＜＝正解＊２となる。

29. ２近似アルゴリズム
極大独立集合を考えることで下界
を与え、その下界から実際にk-セ
ンターを構成し、そのk-センターの
コストが下界の二倍を超えないこ
とを利用して近似率２を実現して
いる。
このような近似手法を「パラメトリッ
ク刈り取り」と呼ぶ。

30. ２近似アルゴリズム
まず、最適解＜＝出力が明らか。
最適解より最適な解は存在しないた
め。
≦

31. ２近似アルゴリズム
次に、下界<=最適解を示す。
≦

32. ２近似アルゴリズム
重みがp以下の辺だけを使ったグ
ラフで、最小支配集合のサイズが
k以下であるような最小のpが答
え。
（厳密アルゴリズムでの説明を参
照）

33. ２近似アルゴリズム
重みがp以下の辺だけを使ったグ
ラフに対して、平方グラフの極大独
立集合のサイズがk以下になるよ
うな最小のpを下界としている。

34. ２近似アルゴリズム
平方グラフとは？
距離が２の頂点どうしに新しく辺を張ったグラフのこと。
（グラフを行列として捉えて、二乗したと考えてもよい）

35. ２近似アルゴリズム
元のグラフ

36. ２近似アルゴリズム
平方グラフ
対角線上にも隠れた辺がある
としてください。

37. ２近似アルゴリズム
平方グラフ
性質：
スターグラフは平方グラフに
するとクリークになる。

38. ２近似アルゴリズム
実は、平方グラフでの独立集合のサイズは元のグラフの最小支配集合
のサイズ以下になる。

39. ２近似アルゴリズム
最小支配集合がある。

40. ２近似アルゴリズム
スターグラフの部分を平
方グラフにする。
他の部分はあまり関係な
いので今は無視。

41. ２近似アルゴリズム
独立集合を作ってみる。

42. ２近似アルゴリズム
独立集合を作ってみる。

43. ２近似アルゴリズム
←同じクリークには二つ以上
の独立集合の要素は含まれ
ない。

44. ２近似アルゴリズム
よって、独立集合のサイズ
はクリーク（＝元のグラフで
はスター）の個数以下にな
る。

45. ２近似アルゴリズム
次に、出力<=下界の二倍を示す。
≦

46. ２近似アルゴリズム
下界は求まったので、上界を求める。
実は、平方グラフの極大独立集合は平方グラフの支配集合になる。

47. ２近似アルゴリズム
平方グラフの極大独立集
合を取った。

48. ２近似アルゴリズム
これはこの平方グラフに対し
て支配集合をなす。

49. ２近似アルゴリズム
これはこの平方グラフに対
して支配集合をなす。
↑いつもそうなるか？

50. ２近似アルゴリズム
←支配集合をなさない。

51. ２近似アルゴリズム
支配集合をなさないなら、ま
だ支配されてない適当な頂
点を独立集合に含めること
ができる。
これは極大性と矛盾するの
で、極大独立集合ならいつも
支配集合をなす。

52. ２近似アルゴリズム
極大独立集合が平方グラフの支配集合になることがわかった。
よって、平方グラフの辺の長さの最大値以下のコストを出力している。
メトリックであるという性質により、平方グラフの辺の長さの最大値は元のグラ
フの二倍以下になるため、不等式を示せる。

53. ２近似アルゴリズム
3
4 5
2
6
7
←メトリック

54. ２近似アルゴリズム
3
4 5
2
6
7
←元のグラフ
最大値＝４

55. ２近似アルゴリズム
3
4 5
2
6
7
←平方グラフ
最大値＝７

56. ２近似アルゴリズム
3
4 5
2
6
7
二倍以下

57. ２近似アルゴリズム
出力<=下界の二倍が示された。
≦

58. ２近似アルゴリズム
この大小関係がすべて示された。
≦≦≦

59. ２近似アルゴリズム
これら３つの大小関係から
出力＜＝最適解の二倍
が示せるので、
最適解＜＝出力＜＝最適解の
二倍
が成立し、２近似アルゴリズムと
なる。

60. 実装と利用

61. 実装と利用
実装は軽い。
二分探索したのち、平方グラフを構成して貪欲
法で極大マッチングを得れば良い。
計算量はO(N^3logε)

62. 実装と利用
二次元空間のランダムな点Nつをユークリッ
ド距離で結んだ完全グラフで計算。
（以降、このように生成したグラフでk-セン
ターを考える。）
近似解は極大マッチングの探し方を変えて
１０回計算。
誤差は1.00倍から1.99倍まで見られる。

63. 実装と利用
できるだけ最適な解を求めたい。
解法１：近似アルゴリズム
- 何回か実行して最小値を取ったら近くなる？
解法２：焼きなまし
- 常套テクニック

64. 実装と利用
近似アルゴリズムを複数回実行すると、誤差に幅があった。
誤差の最小値、最大値はだいたいどれくらいになるだろうか。
N=20のグラフに対して近似アルゴリズムを100回実行し、誤差の最小
値と最大値がどのようになるか実験した。

65. 実装と利用
最大値は値に幅があるのに対し、最小値は比較的1.00に近い。
誤差が2に近くなるケースが多くないことから容易に想像できる。

66. 実装と利用
Nを大きくし、N=50にしてみる。
厳密解が求まらないので、誤差の最
小値と最大値の比を見ることにする。
概ね1.4~1.7程度になっており、
N=20のケースと同様、最小値が
1~1.2、最大値が1.4~1.9程度である
と推測できる。
最小値を取ることで、1.2倍程度の誤
差に収まることが期待できる。

67. 実装と利用
実験結果
N,Kの組それぞれに対して近似、焼き
なましを10回ずつ行った。
実行時間が同程度になるように調整し
た。

68. 実装と利用
実験結果
N,Kの組それぞれに対して近似、焼き
なましを10回ずつ行った。
実行時間が同程度になるように調整し
た。
左の値が最小値、右の値が平均値。

69. 実装と利用
実験結果
N,Kの組それぞれに対して近似、焼き
なましを10回ずつ行った。
実行時間が同程度になるように調整し
た。
左の値が最小値、右の値が平均値。
焼きなましが優位

70. 近似アルゴリズムは役に立たない？

71. 実装と利用
近似アルゴリズムを利用した焼きなまし
近似アルゴリズムで２近似の解を求め、そのときのk-センターを初期解
として焼きなまし法を行う。

72. 実装と利用
実験結果

73. 実装と利用
実験結果
近似アルゴリズムを利用した焼きな
まし法は、近似・焼きなまし単独と比
較して、すべてのファクターで最適な
結果を出した。
特に平均値が大きく改善し、2/3倍に
なった箇所もあった。

74. 実装と利用
実験結果
近似アルゴリズムを利用した焼きな
まし法は、近似・焼きなまし単独と比
較して、すべてのファクターで最適な
結果を出した。
特に平均値が大きく改善し、2/3倍に
なった箇所もあった。
→近似アルゴリズム
が役に立った！

75. 実装と利用
近似アルゴリズムを利用した焼きなまし法の精度はどれくらいか？
N=20のとき、誤差は1.00倍（＝すべて厳密解）になった。
N=50のとき、厳密解が分からないので正確なことは言えないが、近似単
体の誤差が1.2倍だと仮定すると1.04倍程度だと見積れる。
また、この実験のデータの９割以上に対して誤差が1.5倍以下であるとが
確実に言える。

76. まとめ

77. まとめ
k-センターはNP困難であり、厳密解は多項式時間で得られない。
メトリックk-センターには、NP困難である最小支配集合とPである極大独
立集合の類似性を利用した「パラメトリック刈り取り」による２近似アルゴ
リズムが存在する。
２近似アルゴリズムと焼きなまし法を組み合わせることで、誤差数パー
セントの解を得ることができる。

78. まとめ
ご静聴ありがとうございました