1. Universidad Fermín Toro
Vice-rectorado Académico
Decanato de Ingeniería
Departamento de Mantenimiento Mecánico
Métodos numéricos, Importancia de utilizarlos, introducción al cálculo
numérico y al manejo de errores:
Conceptos Básicos De Métodos Numéricos: Cifra Significativa, Precisión,
Exactitud, Incertidumbre Y SesgoCifras significativas.Cuando se emplea un
número en un cálculo, debe haber seguridad de que pueda usarse con confianza.
El concepto de cifras significativas tiene dos implicaciones importantes en el
estudio de los métodos numéricos.
1.- Los métodos numéricos obtienen resultados aproximados. Por lo tanto, se
debe desarrollar criterios para especificar que tan precisos son los resultados
obtenidos.
2.- Aunque ciertos números representan número específicos, no se pueden
expresar exactamente con un número finito de cifras.
Exactitud y Precisión.
La exactitud se refiere a que tan cercano está el valor calculado o medido del
valor verdadero. La precisión se refiere a qué tan cercano está un valor individual
medido o calculado respecto a los otros.
La inexactitud se define como un alejamiento sistemático de la verdad. La
imprecisión, sobre el otro lado, se refiere a la magnitud del esparcimiento de los
valores.
Los métodos numéricos deben ser lo suficientemente exactos o sin sesgos para
que cumplan los requisitos de un problema particular de ingeniería.
Incertidumbre: Situación bajo la cual se desconocen las probabilidades de
ocurrencia asociados a los diferentes resultado de un determinado evento.
2. Sesgo: existe sesgo cuando la ocurrencia de un error no aparece como un hecho
aleatorio (al azar) advirtiéndose que este ocurre en forma sistemática.
Matriz (matemática): Las matrices se utilizan para describir sistemas de
ecuaciones lineales, realizar un seguimiento de los coeficientes de una aplicación
lineal y registrar los datos que dependen de varios parámetros.
El objeto de estudio del análisis numérico es la construcción y valoración de los
métodosnuméricos que tienen como resultados un valor numérico.Relación entre
análisis numérico y métodos numéricos:
Los análisis numéricos surgen para construir y mejorar una regla o método.
Los métodos numéricos surge para dar métodos alternativos de solución.
Los análisis numéricos estudia el error y análisis de convergencia de los
métodos que el aborde.
Los métodos numéricos mejoran la aproximación.
Algunas de las razones por las cuales se debe estudiar los métodos
numéricos son lossiguientes:
Son algoritmos que establecen la secuencia de solución de sistemas de
ecuacionesde gran tamaño, con características de ser no lineales y
geométricas complicadas,porque la mayor parte de los problemas reales
tienen este comportamiento, y quepor lo general su solución es muy
complicada a través de métodos analíticos.
Es importante que el futuro ingeniero tenga los conocimientos básicos de
losmétodos más comunes, ya que en el transcurso de su carrera, tendrá la
necesidadde usar software comercial o implementar su propio software, que
resuelvan losalgoritmos de problemas reales y que estén basados sobre
algún método numérico.
Con los métodos numéricos el ingeniero usara la computadora como
herramienta, elcual es uno de los propósitos, porque el profesionista debe
de olvidarse de loscálculos, y enfocarse en el diseño y planteamiento de la
solución de los problemas.
3. Proporciona una mayor comprensión de las matemáticas, ya que reducen
lasmatemáticas superiores a operaciones básicas simples.
Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular
problemas detal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas.
Aunque hay muchos tiposde métodos numéricos, todos comparten una
característica común: invariablemente losmétodos numéricos lleva a cabo un
buen número de tediosos cálculos aritméticos. Con eldesarrollo de
computadoras digitales eficientes y rápidas, el papel de los métodos
numéricosen la solución de problemas de ingeniería haya aumentado
considerablemente en los últimosaños.
Importancia de los métodos numéricos:
Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular
problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones
aritméticas.
El análisis numérico trata de diseñar métodos para “ aproximar” de una manera
eficiente las soluciones de problemas expresados matemáticamente.
El objetivo principal del análisis numérico es encontrar soluciones “aproximadas” a
problemas complejos utilizando sólo las operaciones más simples de la aritmética.
Se requiere de una secuencia de operaciones algebraicas y lógicas que producen
la aproximación al problema matemático.
Los métodos numéricos pueden ser aplicados para resolver procedimientos
matemáticos en:
· Cálculo de derivadas
· Integrales
4. · Ecuaciones diferenciales
· Operaciones con matrices
· Interpolaciones
· Ajuste de curvas
· Polinomios
Los métodos numéricos se aplican en áreas como:
Ingeniería Industrial, Ingeniería Química, Ingeniería Civil, Ingeniería Mecánica,
Ingeniería eléctrica
Los métodos numéricos y la práctica de la ingeniería
Desde finales de la década de 1940, la multiplicación y disponibilidad de las
computadorasdigitales ha llevado a una verdadera explosión en cuanto al uso y
desarrollo de los métodosnuméricos. Al principio, este crecimiento estaba algo
limitado por el costo de acceso acomputadoras grandes.
Por lo que muchos ingenieros continuaban usandosimples planteamientos
analíticos en una buena parte de su trabajo. No es necesariomencionar que la
reciente evolución de computadoras personales de bajo costo, ha dado amucha
gente un fácil acceso a poderosas capacidades de cómputo.Además existen un
buen número de razones por las cuales se deben estudiar los métodosnuméricos:
1. Los métodos numéricos son herramientas extremadamente poderosas para
lasolución de problemas. Son capaces de manejar sistemas de ecuaciones
grandes,no linealidades y geometrías complicadas que son comunes en la
practica de laingeniería y que, a menudo, son imposibles de resolver
analíticamente. Por lo tanto,amplían la habilidad de quien los estudia para resolver
problemas.
2. En el transcurso de la carrera, es posible que el estudiante tenga la ocasión de
usarsoftware disponible comercialmente que contenga métodos numéricos. El
5. usointeligente de programas depende del conocimiento de la teoría básica en la
que sebasan estos métodos.
3. Los métodos numéricos son un vehículo eficiente para aprender a servirse de
lascomputadoras personales. Es bien sabido que una manera efectiva de
aprenderprogramar las computadoras es escribir los programas. Como los
métodosnuméricos, en su mayor parte están elaborados para implementarse
encomputadoras, resultan ideales para este propósito. Aun más, están
especialmenteadaptadas para ilustrar la potencia así como las limitaciones de las
computadoras.
4. Los métodos numéricos son un medio para reforzar su comprensión de
lasmatemáticas. Porque una función de los métodos numéricos es la de reducir
lasmatemáticas superiores a operaciones aritméticas básicas ya que se
profundizan enlos temas que de otro modo resultan oscuros. Esta alternativa
aumenta sucapacidad de comprensión en la materia.
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