Autor: Basilio A. Rojas M. FECHA: 7 de Agosto de 1980

1. r 0~ ~
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e A mis padres, con admiración
y cariño:
Don Basilio Rojas
Doña Eloísa Martínez de Rojas
£

2. PLANEACION Y ANALISIS DE LOS EXPERIMENTOS DE
FERTILIZANTES
Agosto 7, 1980. Basilio A. Rojas M. *
I. INTRODUCCION
La productividad agrícola de un suelo está altamente corre-
lacionada con su fertilidad, la que se define como la capacidad de
proporcionar a la planta los nutrentes necesarios en las cantidades
requeridas y balanceadas para promover su desarrollo pero siempre y
cuando otros factores esenciales y complementarios se conjunten con
la fertilidad, como la humedad, la luz y la temperatura. Las plantas
tienen necesidad de no menos de 16 elementos químicos de los cuales
los más importantes son el nitrógeno, fósforo, potasio, calcio, mag-
nesio, carbono, hidrógeno y oxígeno.
La fertilidad de un suelo es baja cuando su contenido de
uno o más de los elementos nutritivos es reducida o porque siendo su
ficiente se encuentran formando compuestos complejos insolubles o de
muy lento proceso de solubilidad. Es en estos casos en que la adi- -
ción de fertilizantes a los suelos de baja fertilidad en las formas,
L composición y cantidades adecuadas puede elevar apreciable o grande-
mente la productividad de esos suelos, siempre y cuando los otros --
factores de humedad, temperatura, etc. sean favorables.
Es en la segunda mitad del siglo XIX que la agricultura se
* Subdirector de Investigacion Aplicada y Desarrollo Experimental.
Instituto Nacional de Investigaciones Agrícolas.
r

3. u
2.
torna de arte en ciencia con las magistrales contribuciones de Liebig
en el conocimiento de la química de los suelos y su relación con la
fertilidad de ellos. Como resultado de este nuevo conocimiento se -
desarrolla la industria de los fertilizantes. Actualmente esta fabri
cación de fertilizantes en el mundo representa uno de los mayores -
renglones económicos y financieros de toda la industria química. Pa-
ra el año de 1970 la producción mundial de fertilizantes fue de 60 -
millones, la de Latinoamérica de 2.5 millones y la de México de 1.4
millones de ton. En el mundo el crecimiento de la producción de fer-
Nw
tilizantes ha sido del 5% anual mientras que en México ha sido del -
8%. En México y en 1970 se fertilizaron 5.3 millones de ha y para es
te año de 1980 se estima se cubrirán 9 millones de ha, 60% de la su-
perficie total cultivada, información de Fertimex.
Buena parte de los incrementos notables en los rendimientos
de la agricultura moderna se deben atribuir a la aplicación adecuada
de los fertilizantes. Se ha expresado que los grandes déficits de -
alimentos en los países en desarrollo se puede aliviar con relativa
rapidez si dispusieran de fertiliztntes. Pero las recomendaciones --
precisas y convenientes de qué elementos aplicar y en qué cantidades
exige de una investigación cuidadosa y de una metodología adecuada.
- Para hacer recomendaciones de fertilizantes se han empleado
u uno o varios de los métodos siguientes:
1. Análisis de suelos,
u 2. An1isis de tejidos vegetales, y
3. Experimentos de fertilizantes.
Se ha encontrado que series de experimentos establecidos --
• por varios años y en Cfl1111)O5 representativos (le zonas agrícolas es el
1

4. n
3.
u
procedimiento más confiable para las recomendaciones de fertilizan- -
tes. A la vez con esos experimentos se calibran los análisis de sue-
bu
los y los de tejidos y con ellos se pueden afinar las recomendacio--
nes a predios agrícolas. Sin embargo, los experimentos que se esta--
blecen en el campo, que requieran normalmente de 10 a 100 parcelas o
unidades experimentales, en las que se aplican los diversos 'trata--
u mientos" o combinaciones de elementos nutritivos a varios niveles, -
representan un trabajo laborioso de investigador, ayudantes y facili
dades de transporte, laboratorios y equipos diversos que es elevado
en términos absolutos y pequeño en relación con los beneficios espe
rados. Si bien podemos definir fácilmente que la mcta pragmática de
un experimento de fertilizantes es determinar las cantidades óptimas
de nutrientes que deben agregarse a un suelo bajo un cultivo dado, -
no es igualmente sencillo precisar los criterios matemáticos, esta--
dísticos, agronómicos y económicos que intervienen en el diseño y el
- análisis de tales experimentos.
OL En el mundo se establecen varios miles de experimentos de -
fertilizantes anualmente. En México únicamente el Instituto Nacional
el
de Investigaciones Agrícolas estableció en el año de 1979 alrededor
de 1,500 experimentos de fertilizantes. Es pues de gran trascendencia -
práctica y teórica la discusión de las consideraciones involucradas
en el diseño y análisis de tales experimentos, tema que aborda este
estudio.
II. MODELO ESTADISTICO. ESTIMACION.
L
En las investigaciones agrícolas es muy frecuente estable--
cer experimentos con el propósito de determinar la respuesta de un -

5. 4
cultivo a los fertilizantes y cuantificar las dosis 6ptinas recornc'nda
bles al agricultor de nitrógeno, fósforo y potasio. El problema a
resolver es aún mas general cuando consideramos que a un cultivo le
1
aplicamos ciertos insumos como fertilizantes, agua, mejoradores,
• etc., es decir, diversos factores cuantitativos, y desearnos conocer
la superficie de respu -esta Y=F(xi, x 2 , . . . x), en la que Y es el
rendimiento u otra característica; x1, x 2 , . . .X1 son las dosis de
los factores 1, 2, ...p; y F(x 1 , x 2 ,.. .x) es una función matemática
que se llama generalmente superficie de respuesta.
La superficie de respuesta es generalmente una función cua-
drática. Si se trata de un solo factor la función es
Si se consideran dos factores, la forma de la superficie de respues-
2 2
ta es Y=0+1xi+2x2+ ix1+22x2+1 2X1X2.
Si son tres los factores la función es
2 2 2
+13XIX3+23X2X3
lvIas generalmente, si tenernos p factores la superficie cuadrótica de
respuesta para todos losp factores, está dada por la siguiente ex
presión, x ix .
'<3
Generalmente los valores x1, x 2 ,.. . estón expresados en uní
dades escalares. El coeficiente de regresión
i representa el efec-
to lineal del factor i; fi.: indica el efecto cuadrítico del factor
i; y finalmente el coeficiente representa el efecto de interacciónij
entre los factores i y j. Todos estos efectos, lineales, cuadráti-
cos y de interacción están referidos a las unidades escalares de las
0

6. 5.
dosis de los insumos.
Las funciones de superficie de respuesta para uno, dos,tres
y más factores escritas arriba son apropiadas cuando en el experimen
to todos los factores probados tienen tres o más niveles y se inclu-
u yen las combinaciones entre ellos necesarias para la estimación de
todos los efectos de interacción incluidos en las funciones. En oca
U
siones, el investigador divide sus factores en dos grupos. En el
primer grupo incluye los niveles y combinaciones para estimar los
efectos lineales, cuadráticos y de interacción. En el segundo grupo
L
considera aquellos factores de los que solo se interesa, en el expe-
rimento proyectado, determinar la existencia de efectos lineales, y
r que dependiendo de la magnitud de ellos proceda en siguientes experi
mentos a hacer una prueba mas completa que le permita estimar todos
u
los efectos de interés.
Las funciones de respuesta están afectadas del error experi
sal mental. Esto quiere decir que cuando se procede al análisis de los
resultados el investigador encuentra una superficie de respuesta. es-
timada con valores , y siendo éstos los calculados gene -
ralmente por el método de mínimos cuadrados. Si idealmente pudiera
llevarse a cabo otro experimento en el mismo lugar y bajo las mismas
condiciones en que se desarrblló el experimento real se encontrarían
otros valores, y Es decir, que éstos valores estimados
fluctúan alrededor de sus respectivos valores verdaderos , y
que no conoce el investigador. Es por razón de que los valores
, il y
son aleatorios, que el investigador hace pruebas de
ij
hipótesis sobre los valores verdaderos y a partir de los
ij
estimados. Asimismo, caicula el grado de fluctuación o variación

7. mi
qu ló valores estimados ,
y O ij
tienen. La teoría estadísti
ca de los modelos lineales señala que si el error experimental es in
dependiente de los efectos de los tratamientos, que los errores no
están correlacionados entre sí, que tienen una misma varianza 0 2 y
E
que siguen una distribución normal, entonces los estimadores de mini
mos cuadrados ,
y a.., tienen entre otras propiedades ventajo-
sas, las de estar también normalmente distribuidos con v.arianzas
co 2 Ir, CUG/r y C ij
siendo r el número de repeticiones de to -
dos y cada uno de los tatamientos. Las constantes c., e.. y c.1 11 13
f
A A A
son específicas de cada diseño de tratamientos. Si o, o.., o 1. 3
. son
1 11
los errores estándar de los estimados ~
ii ys ij
,el grado de va-
nación de estos coeficientes estará dado por los intervalos de con-
fianza.
A A A A
P( 1
.ta i
o<.<.+t )1-a
1 1 ai
Similares expresiones se pueden escribir para y La expre-
siónanterior indica la probabilidad de que el valor verdadero de
se encuentre entre el límite inferior taGj y el límite perior
1
.+t o.i
(Intervalo fiducial) es 1-a.. En estos límites t a.
.; la t de
P a. A
Student para el nivel a. y los grados de lib,rtad que estiman a 02,
cuadrado medio del error experimental. Los errores estmndar son
E
/co2/r ' .jj = /c ij o 2 /r
La magnitud del error experimental, medida por o 2 , es espe-
cífica del sitio experimental, dci cultivo, del tamaño de parcela,
de la población de plantas en las parcelas, del cuidado con que se
hd realizan las observaciones y del arreglo cTe las unidades experimenta
les en bloques completos 0 incompletos, cuadro latino completo, in -

8. 7.
completo o modificado. En la magnitud de se asume que no influ-
yen las características de los tratamientos probados. Por otra par
qw
te, las constantes c, C j y C j dependen exciusívamente de la es-
tructura de los tratamientos, es decir, de si es un factorial com -
pleto, fraccionario o incompleto como los Plan Puebla, compuesto
de Box, o San Cristóbal.
Los límites del intervalo de confianza para están da -
7 2
dos por el producto t/ j /r. Por lo tanto, el diseño experirnen-
tal, arreglo geométrico de parcelas, debe reducir al méximo posible
el el valor de c 2 . Además, el diseño de tratamientos debe ser tal que
reduzca los valores 1
c.1 , c 1.. y c.13 al máximo posible.
El criterio anterior para decidir en la seleccion de un di
seño experimental no es el único. Existen otros como la magnitud
de sesgo en la estimación de la superficie de respuesta; también
existe el criterio de estimar la superficie de respuesta Y con me -
im nor varianza, etc. Diversos matemético-estadíStiCos han dado solu-
ciones parciales a este problema general de optimización de diseños
para superficies de respuesta. Rojas (1979) en un estudio próximo
a publicarse, discute, analiza y propone algunas soluciones de op-
timización.
III. DISEÑOS DE TRATAMIENTOS
a En los cuarentas y cincuentas de este siglo el Instituto
de Investigaciones Agrícolas utilizó en su experimentación de ferti
lizantes la estructura tratamental que resultaba del triángulo de
Schreiner. Con este método se encontró ,como ejemplo, una fórmula
de fertilizantes cuya aplicación se extendió a los cañaverales del
L

9. -131
estado de Morelos y así se obtuvieron incrementos substanciales en
la producción. Los tratamientos resultantes del triángulo de
Schreinr se colocaban en un cuadro latino modificado, que es gene-
ralmente de mayor eficiencia que los bloques al azar. Ambas técni-
cas y el método de estimación de la superficie de respuesta fueron
debidos al distinguido agrónomo Edmundo Taboada.
En los cincuentas la entonces Oficina de Campos Experimen-
tales, ahora Instituto para el Mejoramiento de la Producción Azuca-
rera estableció series de experimentos con cañeros cooperantes del
tipo factorial 32 y 33 Recomendaciones de fertilización se die -
ron así en algunas zonas cañeras de Tamaulipas, Veracruz, Jalisco y
Puebla.
En los cincuentas y sesentas la Oficina de Estudios Espe -
ciales llevó a cabo múltiples experimentos de fertilizantes en di -
versas regiones del país para maíz, trigo y otros cultivos. En ese
mismo período Guanomex también llevó a cabo numerosas pruebas en el
país.
En los sesentas el Instituto Tecnológico Azucarero Veracru
zafo estableció en el solo año de 1960 un total de 140 experimentos
de fertilizantes en la zona de abasto del Ingenio San Cristóbal. En
los, siguientes tres años se establecieron decenas de ensayes con el
diseño San Cristóbal, Rojas (1963). Se identificaron así tres cla-
ses de suelos con sendas recomendaciones específicas. Este (liagnós-
tico nutrimental de los suelos permitió entre otras cosas más, que
Ingenio San Cristóbal tuviera en el año 1967 su zafra récord. El
diseño San Cristóbal se usa poco actualmente.
En el último tercio de los sesentas el Ing. G.J.A. Escobar

10. 9.
(lT967rdesarroll6 el diseño de tratamientos cuadrado doble para dos
factores, que se ha extendido al cubo doble para tres factores. Es
tm
tos diseños gozan de aceptación por los investigadores.
En los setentas el Dr. Antonio Turrent (1974) desarrolló
los diseños Plan Puebla que se aplicaron en las pruebas de fertili-
zantes para el desarrollo técnico de la producción agrícola del es-
tado de Puebla. Estos diseños han sido los más empleado.s en México
en los últimos años.
Rojas (1979) piopuso dos clases generales de diseños San
Cristóbal para dos o mas factores con propiedades aproximadas a la
optimización de la llamada varianza generalizada por Wald (1943).
Los párrafos anteriores tienen el propósito de dar una bre
ve reseña histórica del desenvolvimiento de la experimentación en
México de fertilizantes fundamentalmente y de factores cuantitati -
vos en lo general. En los textos bien conocidos de Cochran y Cox
(1968), Kempthorne (1952), Cox (1958), Federer (1955), Johnson y
Leone (1964), John (1971) Box, Hunter y Hunter (1978), entrrotros,
se presenta la evolución de los factoriales completos, facjriales
confundidos, factoriales fraccionarios, compuestos de Box, rotato -
nos poligonales, simplex, etc.
En los Cuadros 1 a 14 se presentan diseños que se emplean
en la experimentación agrícola en México y también los que, según
el criterio del autor, merecen la atención de los investigadores.
Los diseños son para dos y tres factores. Todos los diseños, con
excepción de los San Cristóbal, están limitados por un cuadrado en
_ el caso de dos factores, y por un cubo para tres factores, con ni -
vel inferior igual a Oy con nivel máximo de 10 para todos los fac-
1

11. 1
10.
tores. En los diseños San Cristóbal los únicos niveles mayores de
10 corresponden a los puntos axiales o puntos estrella y tienen el
doble propósito de aumentar la ortogonalidad del diseño y explorar
niveles fuera del cuadrado o del cubo.
Los diseños presentados en los Cuadros 1 a 14 se han cons
truido con niveles escalares de O a 10 para cada uno de los facto -
res con el objeto de hacer fácilmente la conversión a las dosis rea
les que componen los tratamientos. Si, por ejemplo, el primer fac-
tor es nitrógeno y se desea que el máximo nivel sea equivalente a
150 kg de N por ha, los otros niveles reales de ese factor se obtie
nen multiplicando el nivel que aparece en el diseño por 15=150/10.
Esto significa que una unidad escalar del diseño equivale a 15 kg
de N por ha, para el caso del nitrógeno. Similar conversión se ha-
ría para los niveles de los demás factores.
IV. CRITERIO PARA DETERMINAR EL NUMERO DE REPETICIONES
1 Es sabido que el investigador al planear y ejecutar un ex-
E
perimento tiene como propósito aceptar o rechazar ciertas hipótesis.
Que por lo tanto tendrá que tomar una decisión de gran importancia
en el conocimiento del fenómeno y en la trayectoria que seguirán
sus siguientes experimentaciones. El mótodo estadístico encausa el
[ procedimiento de decisión. Se establece una hipótesis nula y se es
tablecen dos niveles de probabilidades correspondientes a los dos
errores que el investigador puede tener en su decisión. El error
tipo 1 es la probabilidad o. de rechazar la hipótesis nula cuando ós-
ta es cierta. El error tipo II es la probabilidad 1-0 de aceptar co
mo cierta la hipótesis nula cuando no es verdadera. La situación
fl

12. CUADRO 3.
Cuadrado doble
Trat. x 1 X2
1 0.00 0.00
2 0.00 5.00
3 0.00 10.00
4 5.00 0.00
5 5.00 5.00
6 5.00 10.00
7 10.00 0.00
8 10.00 5.00
9 10.00 10.00
10 2.50 2.50
11 2.50 7.50
12 7.50 2.50
13 7.50 7.50
CUADRO 4.
Plan Puebla 1
Trat. x 1 x 2
1 0.00 3.33
2 3.33 0.00
3 3.33 3.33
4 3.33 6.66
6.66 6.66
6 6.66 3.33
7 6.66 10.00
8 10.00 6.66
a.
1.
DISEÑOS 1)E TRATAMIENTOS
1 - DOS FACTORES
11.
CUADRO 1.
Factorial 3x3
Trat. x 1 x 2
1 0.00 0.00
2 0.00 5.00
3 0.00 10.00
4 5.00 0.00
5 5.00 5.00
6 5.00 10.00
7 10.00 0.00
8 10.00 5.00
9 10.00 10.00
CUADRO 2.
Factorial 3x3+2x2
Trat. x1 X2
1 0.00
2 0.00 5.00
3 0.00 10.00
4 5.00 0.00
5 5.00 5.00
6 5.00 10.00
7 10.00 0.00
8 10.00 5.00
9 10.00 10.00
10 0.00 0.00
11 0.00 10.00
12 10.00 0.00
13 10.00 10.00

13. X2
2.77
0. 00
2.77
7.23
2.77
7.23
10.00
7.23
5.00
12.
SI
1- DOS FACTORES (Continua)
CUADRO 6.
Plan Puebla III
Trat. x 1
3.33 1 0.00
0.00 2 2.77
3.33 3 2.77
6.66 4 2.77
3.33 5 7.23
6.66 6 7.23
10.00 7 7.23
6.66 8 10.00
5.00 9 5.00
CUADRO S.
Plan Puebla II
TTat. xl
1 0.00
2 3.00
3 3.33
4 3.33
5 6.66
6 6.66
7 6.66
8 10.00
9 5.00
CUADRO 7.
San Cristóbal
Trat. x 1 X2
1 0.00 0.00
2 0.00 10.00
3 10.00 0.00
4 10.00 10.00
5 0.00 0.00
6 0.00 10.00
7 10.00 0.00
8 10.00 10.00
9 0.00 5.00
10 5.00 10.40
11 5.00 0.00
12 10.40 5.00
13 5.00 5.00
E

14. II - TRES FACTORES
13.
1
1!
-.
FL
L
1•
CUADRO S.
Compuesto de Box
Trat. x1 X2 x 3
1 0.00 0.00 0.00
2 0.00 0.00 10.00
3 0.00 10.00 0.00
4 0.00 10.00 10.00
5 10.00 0.00 0.00
6 10.00 0.00 10.00
7 10.00 10.00 0.00
8 10.00 10.00 10.00
9 0.00 5.00 5.00
10 10.00 5.00 5.00
11 5.00 0.00 5.00
12 5.00 10.00 5.00
13 5.00 5.00 0.00
14 5.00 5.00 10.00
CUADRO 10,
Plan Puebla II
Trat. Xi X2 X3
1 3.33 3.33 3.33
2 3.33 3.33 6.66
3 3.33 6.66 3.33
4 6.66 3.33 3.33
5 3.33 6.66 6.66
6 6.66 3.33 6.66
7 6.66 6.66 3.33
8 6.66 6.66 6.66
9 5.00 5.00 5.00
10 0.00 3.33 3.33
11 3.33 0.00 3.33
12 3.33 3.33 0.00
13 10.00 6.66 6.66
14 6.66 10.00 6.66
15 6.66 6.66 10.00
CUADRO 9.
PLan Puebla 1
Trat. x 1 x2 x 3
1 3.33 3.33 3.33
2 3.33 3.33 6.66
3 3.33 6.66 3.33
4 6.66 3.33 3.33
5 3.33 -6.66 .6.66
6 6.66 3.33 6.66
7 6.66 6.66 3.33
8 6.66 6.66 6.66
9 0.00 3.33 3.33
10 3.33 0.00 3.33
11 3.33 3.33 0.00
12 10.00 6.66 6.66
13 6.66 10.00 6.66
14 6.66 6.66 10.00
CUADRO 11.
Plan Puebla III
Trat. x 1 x 2 x 3
1 2.78 2.78 2.78
2 2.78 2.78 7.22
3 2.78 7.22 2.78
4 7.22 2.78 2.78
5 7.22 7.22 2.78
6 7.22 2.78 7.22
7 2.78 7.22 7.22
8 7.22 7.22 T.22
9 5.00 5.00 5.00
10 0.00 2.78 2.78
11 2.78 0.00 2.78
12 2.78 2.78 0.00
13 10.00 7.22 7.22
14 7.22 10.00 7.22
15 7.22 7.22 10.00
.
IZ
1;
RIQ

15. 14.
II - TRES FACTORES (Continúa)
CUADRO 12. CUADRO 13.
San Cristóbal 1 San Cristóbal II
Trat. x 1 x 2 x 3 Trat. x 1 x 2 x 3
1 0.0 0.0 0.0 1 0.0 0.0 0.0
2 9.0 0.0 0.0 2 0.0 0.0 10.0
3 0.0 9.0 0,0 3 0.0 10.0 0.0
4 0.0 0.0 9.0 4 0.0 10.0 10.0
5 9.0 9.0 0.0 5 10.0 0.0 .0.0
6 9.0 0.0 9.0 6 10.0 0.0 10.0
7 0.0 9.0 9.0 7 10.0 10.0 0.0
8 9.0 9.0 9.0 8 10.0 10.0 10.0
9 4.5 4.5 4.5 9 11.7 5.0 5.0
10 13.5 4.5 4.5 10 5.0 11.7 5.0
11 4.5 13.5 4.5 11 5.0 5.0 11.7
12 4.5 4.5 13.5 12 5.0 5.0 5.0
CUADRO 14.
San Cristóbal III
Trat. Xi X2 X3
1 0.0 0.0 0.0
2 0.0 0.0 10.0
3 0.0 10.0 0.0
4 0.0 10.0 10.0
5 10.0 0.0 0.0
6 10.0 0.0 10.0
7 10.0 10.0 0.0
8 10.0 10.0 10.0
9 11.3 5.0 5.0
10 5.0 11.3 5.0
11 5.0 5.0 11.3
12 0.0 5.0 5.0
13 5.0 0.0 5.0
14 5.0 5.0 0.0

16. 15.
ideal sería que a=O y 0=1 para que los dos errores fueran cero. Ge
neralmente se fija a=0.05 o =0.01 y el método de pruebas por el
ími análisis de varianza minimiza el segundo error. (no confundir aquí
con los coeficientes de regresión) es la probabilidad de rechazar
la hipótesis nula cuando ella no es cierta y se llama a "potencia de
la prueba" pues es la probabilidad de detectar significación esta -.
dística de una hipótesis alternativa a la nula. La potencia de la
prueba en un diseño experimental aumenta cuando la diferencia entre
la hipótesis alternativa y la nula es mayor, por ejemplo, la hipóte
sis nula puede decir que el coeficiente de regresión y la hí
pótesis alternativa que y a medida que difiere más de
cero la potencia de la pruebaserá mayor. La potencia de un experi
mento crece también con el número de repeticiones.
• Al establecer un modelo cuadrático como superficie de res-
puesta hemos indicado que para p factres el número de coeficientes
de regresión es q=p(p+3)/2. Cuando en el análisis de varianza hace
mos la prueba de Fcuadrado medio de regresión/cuadrado medio de
error, la hipótesis nula es de que todos los q coeficientes de re -
gresión son iguales a cero, es decir que la superficie de respuesta
es un plano con ordenada 0 para todos los niveles de todos los fac
tores, es decir, no hay efectos de ningún factor. Si la hipótesis
nula es muy fécil de definir no resulta lo mismo con la hipótesis al
ternativa que puede tener teóricamente 2q formas diferentes, aunque
algunas de ellas no tengan validez préctica. Si no es posible defi-
nir la hipótesis alternativa no es tampoco posible cuantificar la po
tencia de la prueba con significado claro para el investigador.
En una prueba de fertilizantes las primeras preguntas que
IF

17. 16.
sehace el investigador son ¿hay efecto del nitrógeno en el rendi -
miento?, ¿hay efecto del fósforo? Si el efecto existe para los dos
se pregunta entonces si hay interacción entre ellos. Observe que
al decir efecto del nitrógeno no estamos particularmente interesa -
dos en si los efectos son lineales o cuadráticos o ambos, simplemen
te queremos saber si hay o no efectos. El efecto sería el incremen
to en el rendimiento por unidad del factor, y estaría dado por la
derivada de la función cuadrática con respecto a la variable del
factor correspondiente,.si p=2 la función cuadrática de respuesta
es
entonces, el efecto medio, del factor 1 que llamaremos A l es
DY
y el efecto medio estimado seria
eS eS frS
Los 0, sin tilde, son los valores verdaderos y los son los estima-
dos. La varianza de A,es
2 A
• • +2x2Cov(1,12)+4x1x2Cov(11,12)
Observamos, que tanto A l como y(A 1 ) depende de x 1 yx 2 , en el
caso de dos factores. Para tres factores A l y V(A 1 )serán función de
x1, x2 y x 3 . Consideremos tales expresiones para el punto central
del diseño, que para los incluidos en los Cuadros 1 a 14, sería
u aproximadamente aquel con coordnadas x 1 =x 2 =x 3 =S. Para este punto
la varianza de A l se simplifica a
V(A ) =c 2 2
en la que c 2 es una con.staiite específicade cada diseño de tratamien
1
1

18. 17.
•1 tos y9 2 es la varianza verdadera del error experimental. En el
Cuadro 15 se anotan los valores de las constantes c 2 para cada uno
de los 14 diseños de tratamientos considerados en este estudio. Es
tas constantes están calculadas conforme a las unidades escalares
de los factores que aparecen en los Cuadros 1 a 14.
Es obvio que si A 2 y A3 son los efectos medios para el se-
gundo y tercer factor, respectivamente, podemos escribir
V(A 1 )= V(A 2 )= V(A 3 )=C 2a 2 /r
o sea que los coeficientes del Cuadro 15 son los mismos para los
efectos medios de los factores considerados en los diseños de trata
mientos de los Cuadros 1 a 14. La razón de ello es que tales dise
ños son simótricos para los factores incluidos.
Cuadro 15. Valores de.la constante c 2
Diseño de tratamientos Número de
c 2 Eficiencia
Tratamientos Relativa,%
1-Dos factores
1. Factorial 3x3 9 0.0067 100
2. Factorial 32+22 13 0.0040 i67
3. Cuadrado Doble 13 0.0057 117
4. Plan Puebla 1 8 0.0200 33
S. Plan Puebla II 9 0.0200 33
6. Plan Puebla III 9 0.0182 37
7. San Cristóbal 13 0.0039 172
II-Tres factores
8. Compuesto de Box 14 0.0040 100
9. Plan Puebla 1 14 0.0190 21
• 10. Plan Puebla II 15 0.0171 23
11. Plan Puebla III 15 0.0137 29
12. San Cristóbal 1 12 0.0057 70
13. San Cristóbal II 12 0.0048 83
14. San Cristóbal III 14 0.0039 103
E
1

19. 18.
Para generalizar podríamos decir que si la función de su-
perficie de respuesta es
A A A A
y= .x+ Z . x x
0 11.111. .1
• j 1 1<)
A
definimos el efecto medio A como sigue
DY
A = = x
i x. ji i 3 3- 1 3>1 3<1
para x=x=coordenadas del punto central
La varianza estimada V(A) del efecto medio estimado es
c 2 xCME/r
ha
en donde CMB es el cuadrado medio del error experimental y r el nú-
mero de repeticiones. Podemos escribir
t=
que sigue la distribución central de t de student, bajo la hipóte -
sis Ho que 0 i=ii=Íj=° y con los grados de libertad que estiman el
cuadrado medio del error experimental.
Por otra parte A tiene la siguiente interi'etación.
A - Incremento en Y
i Incremento en x.
La hipótesis nula H 0 la definiríamos como A=0. La hipóte
sis alternante sería A.1
> A, es decir que el incremento en la res-
- 1
puesta por unidad escalar de x es mayor que un valor crítico A.
El investigador estaría interesado que la potencia de la prueba, es
decir, la probabilidad de rechazar la hipótesis nula (aceptar la
alternante) sea muy grande cuando el valor verdadero sea mayor
del valor critico 4. Este valor crítico podría ser aquel para el
cual la relación beneficio-costo es igual a 1.50 (tomando en cuenta
intereses ,riesgos y utilidad de capital) . Mas claramente,

20. s
19.
Incremento en Y x Valor neto de una unidad y
= 1 50
Incremento en una unidad escalar x x costo de unidad
y por lo tanto
M =1 .50
costo uni.dad escalar de x
1
valor neto de una unidad Y
Entendemos por "valor neto" de la unidad de Y al precio
L del producto menos los gastos incurridos por cosecha y otros atri-
buibles exclusivamente al incremento en Y ocurridos posteriormente
a la aplicación a x.
Si p es la media de Y llamaremos CD al "coeficiente de dis
crepancia" o de diferencia con respecto a la hipótesis nula i=O, y
lo definimos así
M x 100
CD= .1
11
Asimismo, el coeficiente de variación CV en un experimento
está definido como sigue,
c x 100
p
Tanto CD como CV están expresados en porcentaje.
Ahora bien, tx sigue una distribución normal con media
bajo hipótesis nula H 0 y con media A
Í
=A bajo la hipótesis alternan
te FI. En ambos casos el error estándar de A es el mismo
a=c/fi. Si fijamos un error tipo 1 con probabilidad a y un error
tipo II con probabilidad 1-í tendremos la situación descrita en la
siguiente figura:
A r- Z -= a A A=A*

21. 20.
esla desviación normal para la probabilidad a. Igualmente se
define Z 1 _
En el dibujo
+z ) a'
a 1-0 A
Para cx=0.05, Z=1.645 y para 1-=0.10, Z=1.282 en la tabla de la dis
tribución normal: Por lo tanto
A*=(1 .645+1 .282) x c x
en donde
r=8.57 x c2x
()2
Dividiendo numerador y denominador por p2 tenemos finalmente
(C
r=8.57 x .................. (1)
expresión que da el número de repeticiones para un error tipo 1 con
probabilidad a=0.05 y una potencia de prueba de =0.90. Es decir
si el valor verdadero del efecto medio A es mayor o igual que el
valor crítico A* rechazaremos en el 90% de los casos la hipótesis
nula cuando usamos el criterio de utilizar el criterio t>1.645, en
la que t=A/YV A. La fórmula de r es aproximada porque la varianza
del error experimental c 2 es solo estimada. Sin embargo l diferen-
cia será generalmente pequeña porque dicho rror estará estimado
con un número de grados de libertad mayor de 25. Mayor aproxima -
ción se logra sustituyendo los valores Z de la normal por los t de
Student.
En la fórmula de r aparece la constante c 2 que es especifí
ca para cada diseño de tratamientos y sus valores se han dado en
el Cuadro 15. Para facilitar al investigador encontrar el número
r dado por la fórmula (1) se ha incluido en este estudio el nomogra
ma de la Fig. 1 que con los argumentos c 2 , CV y CD se obtiene fácil

22. 1 t ti '
u
c
o-
a,
a,
c
a'
o
'4-
a)
o
ci
Plan Puebla 1, (2)'
Plan Puebla II, (2)
Plan Puebla 1, (3)
Plan Puebla III, (2)
Plan Puebla II, (3)
Plan Puebla III, (3)
Factorial 3 x 3, (2)
Cuadrado Doble, (2)
San Cristóbal 1, (3)
1v
San Cristóbal II, (3)
Factorial 3 x 3 + 2 x 2, (2)
Compuesto de Box, (3)
San Cristóbal, (2)
San Cristóbal III, (3)
iiero de factores
FIGURA 1. NOMOGRAMA PARA EL CALCULO DEL NUMERO DE REPETICIONES

23. 21
mente r. El uso del nomograma se explica en la misma figura.
V. ESTIMACION DEL NIVEL OPTIMO DE UN NUTRIENTE
Supongamos primeramente el caso simple de una superficie
de respuesta Y que depende de un solo factor cuyos niveles están me
didos por la variable X. La función cuadrática estimada es
Para obtener el nivel óptimo x 0 empleamos el procedimiento
muy conocido de igualar la derivada de Y con respecto a x, a la re-
lación C, ésta definida como sigue:
Costo adquisición y aplicación do una unidad escalar x
Valor venta menos costos cosecha y mercadeo de unidad Y
Como dy/dx=+21ix=C, la solución óptima económica sería
A
C-i
x0 , . ............( 2)
1
La fórmula (2) nos da la estimación de punto del nivel óp-
timo de x. Sin embargo, sabemos que los coeficientes y i son
estimadores de los valores verdaderos y í11, respectivamente.
Por lo tanto x 0 está también sujeto a fluctuaciones estadísticas al
rededor de su valor verdadero.
Cuando la respuesta contiene dos factores y su interacción
la función cuadrática es
El proceso de estimación es similar al anterior, pero en la
derivación tenemos el siguiente sistema de ecuaciones simultáneas:
A
i 1 lxi 1 2x2C 1
A A A ...........(3)
0 2 +2 22 X 21 2x1=C2

24. 22.
La solución del sistema anterior da las estimaciones de pun
to de los niveles óptimos que llamaremos x 10 y x 20 . También debe -
ms reiterar que ambas estimaciones son valores aleatorios que fluc-
túan de acuerdo con cierta distribución estadística alrededor de los
valores óptimos verdaderos respectivos.
Si bien las estimaciones de punto no envuelven, mayor pro -
blema sí lo es la determinación de los intervalos de confianza de
los niveles óptimos por el hecho que las soluciones de las ecuacio-
nes que proporcionan los óptimos no son funciones lineales de los
coeficientes de regresión que aparecen en las funciones de respues-
ta. Esta circunstancia posiblemente explica que en el análisis fre-
cuente de un experimento de fertilizantes solo se reporta el nivel
óptimo y se acepta rigurosamente como tal. Asimismo, como cada ex-
1
perimento individual produce un valor óptimo diferente, el investiga
dor cae en el error de inferir tantas recomendaciones como experi -
1 mentos desarrolla, sin percatarse que posiblemente la variación de
los óptimos calculados son estimaciones de un mismo óptimo verdade-
ro.
La fórmula (2) de estimación del nivel óptimo para un fac -
tores la misma para dos o más factores siempre y cuando entre ellos
no existan los términos de interacción. Por otra parte, si la esti-
mación del intervalo de confianza para un solo factor presenta cier-
tas dificultades, éstas son mayores para el caso de dos o más facto-
res con interacción. Por ello, en este estudio nos limitamos al ca-
so de un solo factor, equivalente al de cualquier número de factores
sin interacciones entre sí. El valor óptimo x 0 dado por la fórmula
(2) tiene como varianza un cociente cuyo denominador es por lo
ya

25. 23.
que dicha varianza estará sujeta a enormes fluctuaciones pues el va
1 K'
br es próximo a cero generalmente. Además, la distribución es
tadística de x 0 puede diferir de la distribución normal y el error
estándar de x 0 no es entonces una medida confiable de dispersión de
los valores de x 0 .
Por las dos razones del párrafo .anterior escogemos como al
ternativa para determinar el intervalo de confianza el mótodo mdi-
recto siguiente. Sea D la derivada de la función de respuesta con
respecto al factor 1, por ejemplo. Recordamos que suponemos inexis
tencia de interacciones. Podemos escribir.
t (4)
D es una variable aleatoria, lineal en las variables normales y
Por lo tanto, la varianza de D es
A
V(D)=V(i)+4x 2 V( 11 )+4x Cov( 1 , 11 ) .........( 5)u
A la variable D se le construyen los intervalos de confianza
D±ta /V(D) ..............(6)
- Si construimos una gráfica con abscisas x, y ordenadas D tendremos
la recta (4) y a ambos lados de ella dos curvas con ecuaciones (6)
Si en esa gráfica dibujamos una recta paralela al eje de ] s x con
A
L ordenada Doi+2 11 xo dicha recta cortará las curvas (6) en pun-
r tos cuya proyección en el eje x darán los límites del intervalo de
x o .
El mótodo indirecto anterior es el procedimiento más gene-
a
ral para la obtención de los límites de confianza, como demuestra
Cramer (1946). Para utilizarlo es necesario conocer V(D), dada por
(5), que puede simplificarse a
V(D)w 2 o 2 /r .. ... ...........()
w es un coeficiente específico del diseño de tratamientos y del a-
-
u.
..:.•.•
:. .

26. 24.
IM
19r paxticular de x. En los Cuadros 16 y 17 aparecen los, valores w
para cada uno de los diseños incluidos en los cuadros 1 a 14. Al
píe de cada columna de valores w aparece el promedio w y el índice
de información del diseño con el criterio w tomando como base el
factorial 3x3 para diseños de dos y tres factores. El índice de in-
formación, o información, de un diseño es e1 recíproco de la eficien
cia. Este índice es importante porque nos da el número de repeticio
lles requerido para dar la misma amplitud que el diseño base. Por
ejemplo, la misma amplitud del intervalo de confianza para el nivel
óptimo de un factor la tendrían 4 repeticiones de un factorial 3x3,
4x0.82 = 3.28 6 4 repeticiones de un cuadrado doble, 4x2.07=8.28 6 9
repeticiones de un Plan Puebla III (2 factores) y 4x0.53 = 2.21 6 3
repeticiones de un San Cristóbal I.
En la Figura 2 se ilustra el método gráfico de determinar
los límites del intervalo de confianza para el siguiente ejemplo. Su
pongamos que se estableció un experimento factorial 3x3 con 4 repeti
ciones en caña de azúcar. La desviación estándar del error experi -
mental fue a=8 ton. Los dos factores fueron nitrógeno y fósforo.
L
' No hubo interacción nitrógéno x fósforo. La función de repuesta al
nitrógeno fue
L Y esta expresado en tan/ha. Las x están en. unidades escalares de N,
nitrógeno y cada unidad equivalen a 18 kg de N. Supongamos también
u que el kg de nitrógeno puesto y aplicado en el campo cuesta $10.00 y
que el valor de venta menos cosecha, transporte y comercialización
de la tonelada de caña ós de $120.00.
La ecuación D de la derivada es
im
r
ir

27. r
CUADRO 16. Factor w del Error Estándar de la Derivada. Dos Factores
Fact. Fact. Cuad. P. Pue- P. Pue- P. Pue- San Crist.
3x3 3x3+2x2 Doble bla 1 bla II bla III
0 0.29 0.27 0.27 0.41 0.39 0.41 0.27
0.24 0.22 0.22 0.34 0.32 0.34 0.22
2 0.19 0.17 0.17 0.27 0.26 0.27 0.17
3 0.14 0.12 0.13 0.21 0.20 0.21 0.12
4 0.10 0.08 0.09 0.16 0.16 0.16 0.08
5 0.08 0.06 0.08 0.14 0.14 0.13 0.06
6 0.10 0.08 0.09 0.16 0.16 0.16 0.08
7 0.14 0.12 0.13 0.21 0.20 0.21 0.12
8 0.19 0.17 0.17 0.27 0.26 0.27 0.17
9 0.24 0.22 0.22 , 0.34 0.32 0.34 0.22
10 0.29 0.27 0.27 0.41 0.39 0.41 0.26
Prom. 0.200 0.181 0.180 0.295 0.281 0.288 0.176
md. Infor. 1.00 0.82 0.82 2.18 1.97 2.07 0.77
t)
(/1

28. San
Crist. II
0.27
0.22
0.17
0.13
0.09
0.07
0.07
0.10
0.14
0.19
0.23
0.169
San
Crist. III
0.23
0.19
0.15
0.11
0.08
0.06
0.07
0.10
0.14
0.18
0.22
0.159
- - - r - - - - -
CUADRO 17. Factor w del Error Estándar de la Derivada. Tres Factores.
Comp.
x Box
0 0.26
1 0.21
2 0.17
3 0.12
4 0.08
5 0.06
6 0.08
7 0.12
8 0.17
9 0.21
10 0.26
Propi. 0.175
P. Pue- P. Pue- San
bla II bla 111 Crist.I
0.37 0.39 0.22
0.30 0.32 0.18
0.24 0.25 0.15
0.19 0.19 0.11
0.15 0.14 0.09
0.13 0.12 0.07
0.15 0.14 0.07
0.19 0.19 0.09
0.24 0.25 0.12
0.30 0.32 0.16
0.37 0.39 0.19
0.263 0.268 0.146
P. Pue-
bla 1
0.38
0.31
0.26
0.20
0.16
0.14
0.15
0.18
0.23
0.29
0.35
0.266
md. Infor. 0.77 1.77 1.73 1.80 0.53 0.71 0.63

29. 27.
ala
D=5-0.6x
t Para obtener el nivel óptimo de nitrógeno, c= 10x18 =1.50. Así
5-Q.6x = 1.5
120
y por lo tanto xo= 3.5/0.6=5.83
Se construye en la Fig. 2 la recta D=5-0.6x y con los va -
lores w se calcula el error estándar de D, igual a wa//i= 8w//4=4w.
Los límites de confianza de D serán
D±4t w.
Hemos dado a t- para a=0.05 el valor 1.96. Los valores w
son los correspondientesal diseño factorial 3x3 dados en el Cuadro
L 16.
• En la figura 2 se ha trazado la recta horizontal con orde-
nada D0= 5-0.6x5.83=1.50. Los puntos en que cruza a las curvas A y
B tienen abscisas 4.3 y 8.9, por lo tanto podemos escribir
p(4.3< óptimo nitrógeno <8.9) = 0.95
o sea que tenemos la confianza de que el valor óptimo verdadero de
• nitrógeno oscila entre los límites 4.3 y 8.9.
SOLUCION ANALITICA DE LOS LIMITES DE CONFIANZA DEL OPTIMO.
Para evitar la solución gráfica se encuentra una fórmula
empírica para w en el caso del factorial 3x3. Esta es
w=0.008237x 2 -0.0824x+0.3059
Este valor se substituye en las ecuaciones (6) y se encuentran alge
braicamente las soluciones x para las curvas
D±t /(b)=D o
Las soluciones aproximadas son
1) Límite superior x, es solución de la ecuación
1 • H.t .

30. E!]
la
E
E
1
0
12
0.6 X
- - - - . . ., •'-1 I-S I_ I_ 1 • 1 Y I_ l_ .I 1 U U IT U
im 11

31. 28.
0.008237 11
X 2 ii 0.O824 _)x +0.3059 -s 11x0=0 . . (8)
1
vr v'r rr
2) Límite inferior x, es solución de
0.008237 x411+0.0824 ~)xi +0.3059 . . (9)
/
1
r
Para el mismo ejemplo de la caña de azúcar con
y x 0 =5.83 las ecuaciones (8) y (9) dan las soluciones
X5 8.49 y x4.47 que se aproxima a las obtenidas por el mótodo gr
fico de x8.9 y x4..3.
NUMERO DE REPETICIONES SEGUN LA AMPLITUD DEL INTERVALO DE CONFIANZA
DEL NIVEL OPTIMO.
La estimación del nivel óptimo es Xo y el límite superior
[
del intervalo de confianza es x, dado por la ecuación (8) para un
nivel de probabilidades a=0.05 y para el factorial 3x3. Si ahora
p
deseamos que el límite superior x no exceda en 5 del valor x 0 en -
tonces se puede demostrar que el número de repeticiones necesario
para un factorial 3x3 es
[
r=o 2f00082370 2 _040824051+03059] 2 . . . .
(10)
bi61
Fórmula parecida se tendría para la desviación del límite
I inferior x. Se puede demostrar que el valor de r es mínimo cuando
el punto óptimo x 0 cae en el centro del diseño, es decir, cuando
x 0 =5. Para este caso
lo r
mm
=a2[0*0082376+0*0] (1 1)
1 15
Si,por ejemplo, 6=1 y x0=5, rmjn=8 aplicando la fórmula
(11). Sin embargo, si x 0 =5.83, como fue en el ejemplo anterior de
1 caña de azúcar, y conservamos 61 entonces con la fórmula (10) tone-
p
Ii
om

32. 29.
mos r=12. Esto nos lleva a la recomendación en el diseño de los tra
tamientos que los niveles probados sean tales que el óptimo caiga en
el centro del diseño, que para los 14 diseños incluídos en este estu
I
dio es x=5 para los dos o tres factores.
Las expresiones (8), (9), (10) y (11) son válidas para el
1 factorial 3x3. Fácilmente pueden transformarse para cualquiera de
los otros 13 diseños descritos en los Cuadros 1 a 14. Para el cálcu
lo de los límites x y x en las ecuaciones (8) y (9) el número real
r de repeticiones usado en el experimento se divide entre el índice
de información correspondiente al diseño que aparece en el último
1
renglón de los Cuadros 16 y 17. El cociente es el número r de repe-
ticiones equivalentes al factorial 3x3 que se usaría en las fórmulas
E (8) y (9). Por ejemplo, supongamos que empleamos un diseño San Cis
tóbal para dos factores y 4 repeticiones; en el Cuadro 16 vemos que
su índice de eficiencia es 0.77, por lo tanto las repeticiones equi-
valentes serían 4/0.77=5.19, valor .que tomaría r en las expresiones
(8) y (9) para el cálculo de x 3 y x.
E En forma similar el número mínimo de repeticiones ocurre
- cuando x o está en el centro y está dado por la fórmula (11) para el
factorial 3x3. El número de repeticiones necesarios para otro dise
I ño sería el valor de r calculado por (11) y multiplicado por el ín-
dice de eficiencia del diseño correspondiente. Así, habíamos visto
1 antes que para x 0 =5 y 6=1 se requieren 8 repeticiones para el facto
rial 3x3. Si en vez del factorial empleáramos un compuesto de Box
requeriríamos 8x0.77=6.16=6 repeticiones.
nw

33. 30.
VI. DETERMINACION DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA.
El proceso que sigue la planeación, ejecución, análisis de
resultados y toma de decisiones de un experimento de superficie de
respuesta es, en forma resumida, el siguiente;
Se acepta que la respuesta (rendimiento) puede depen-
der de p factores.
Se considera aquí, aunque ésto no es general, que la
superficie de respuesta es cuadrática con p efectos
lineales, p efectos cuadráticos y p(p-1)/2 interaccio
nes entre todos los pares de factores.
Se decide emplear un diseño específico de tratamien -
tos, Estos tratamientos se acomodan en un diseño ex-
perimental de bloques al azar, bloques incompletos,
etc, con un número r de repeticiones.
Con los resultados experimentales se calcula unanálj
sis de varianza acorde con el diseño experjment1.
La fuente de variación para tratamientos se dc compo-
ne en la variación para regresion según el modelo cua
drático y la variación para falla de ajuste a ese mo-
delo. Esta última variación se prueba contra el error
E y si es significativa, lo que ocurre pocas veces, se
tiene que cambiar el modelo. Si el modelo cuadrático
es aceptado pasamos al siguiente punto.
El cuadrado medio de regresión del modelo completo se
prueba conta el cuadrado medio del error. Si esta
1
p

34. 31
prueba resulta significativa aceptamos que la respues-
ta sí depende de todos o algunos de los p factores pro
bados. Pero el modelo tiene p+p+p(p-1)/2 = p(p+3)/3 =q
coeficientes y tal vez solo una fracción de ellos sea
realmente relevante. Se podrían tener teóricamente 2q
posibles hipótesis a probar, que en el caso de 2 facto
5
res, nitrógeno y fósforo por ejemplo, tendríamos 2 =32
posibles hipótesis; algunas de ellas serían:
la función es solo lineal en nitrógeno,
la función es lineal y cuadrática en nitrógeno,
la función es solo cuadrática en nitrógeno,
la función es solo lineal en fósforo,
la función es lineal en nitrógeno y fósforo,
la función es cuadrática en nitrógeno y lineal
en fósforo,
y así sucesívamente hasta las 32 posibles hipótesis.
Para p=3 factores tendríamos q3(3+3)/2 9 coe-
ficientes y las posibles hipótesis serían 312, un -
número muy grande- La prueba de todos estos modelos -
de régresión representaría un esfuerzo muy grande que
solo las computadoras electrónicas podrían manejar. Pe
ro para más factores, el problema sería también de --
grandes dimensiones para las mismas computadoras. Por
ésta razón se han ideado métodos como los de regresio-
nes,< escalonadaS, "step-wise", que reducen el número de
2q posibles hipótesis para llegar a un modelo final de
regresiól'I reducida con los efectos que resultan exclu-

35. 32.
sívaniente significativos durante el proceso del inétodo
tt s t epis e ? Véase Draper y Smith (1970).
6. Si el modelo final de regresión reducida alcanzado en
el punto anterior es el que decide aceptar el investi-
gador, en ocasiones se puede dar el caso de llegar a -
un modelo que contiene, por ejemplo, el efecto de inte
racción sin tener los efectos lineales de los factores
envueltos en la interacción. Pero además, la diferen-
cia entre dos modelos de regresión, medida por los dos
coeficientes de determinación respectivos puede ser --
despreciable. Si así es, el investigador puede selec-
cionar aquella que le explica mejor el mecanismo de
efectos de los factores en la respuesta (rendimiento)
I
7. La deficiencia anotada arriba para el método de regre
si6n escalonada, "step-wise", y el hecho fundamental -
que el investigador busca esencialmente el mecanismo -
de causa-efecto, es decir, se interesa por conocer qué
1-
cantidad o dosis de qué o cuáles factores debe aplicar
I
para tener cuáles efectos o incrementos en la respues-
ta (rendimiento) . Secundariamente se interesa por la
I
mejor predicción de la variable dependiente. Por ésto
la búsqueda del modelo reducida deberá ser dirigida y
1 proponemos el siguiente proceso:
a) Se estima el modelo cuadrático completo, es de--
1 cir, todos los coeficientes de regresión linea- -
les, cuadráticos y de interacción,

36. 33.
12pp(p-1)/2 = 1p(p+3)/2 parámetros
Se calcula el efecto medio para cada factor y - -
para el punto central del diseño. Este efecto -
medio es la derivada de la función de respuesta
con respecto al factor respectivo y se evalúa p
ra el punto central con coordinadas x. = 5,
1 = 1, 2,
Se prueba la significancia de los efectos medios
con la t de Student. El error estándar del efec
to medio es el error estándar del experimento
multiplicado por la constante c, cuyo cua--
drado se encuentra en el Cuadro 15.
Si el efecto medio de dos factores es significa-
tivo se prueba la significancia de su interac- -
ción por medio de
t =
El factor £ es específico de cada diseño. En el
Cuadro 18 se dan estos valores de f.
Los datos experimentales se ajustan a un modelo
reducido final que contenga exclusIvamente los -
efectos lineales y cuadráticos de los efectos --
medios que resultaran significativos.sí tam--
bión contendrá las interacciones que fueran sig-
nificativas de acuerdo con el punto (d) anterior.
Este nuevo ajuste de parámetros de re g resión es
nuestra función final de superficie de respuesta.

37. 34.
Cuadro 18. Factor f del error estándar del Coeficiente
de Interacción
'•I
Diseño
Dos Factores:
Factorial, 3x3
Factorial 3x3+2x2
Cuadrado Doble
Plan Puebla 1
Plan Puebla II
E Plan Puebla III
San Cristóbal
1
1'
Tres Factores:
Compuesto de Box
Plan Puebla 1
Plan Puebla II
Plan Puebla III
San Cristóbal I.
San Cristóbal II
San Cristóbal III
ON
f
0.0200
0.0141
0.0194
0.1800
0.1716
0.0918
0.0141
0.0141
0.1273
0.1233
0.0677
0.0175
0.0141
0.0141
VII. ARREGLO CEOMETRICO DE LAS UNIDADES
ib EXPERIMENTALES (PARCELAS)
1 El diseño de un experimento de fertilizantes requiere prime
ramente decidir el plan de tratamientos. Los planes 1 a 14 presenta
E dos en este estudio son para dos y tres factores que son los ms co-
E niúnmente requeridos. Enseguida decidimos el número de repeticiones,
el cual puede calcularse con ayuda de la Fig. 1, para detectar signi
[
ficancia del efecto medio de un factor cuando éste no es desprecia--
ble, o por medio de las fórmulas 10 y 11 para lograr una aproximación
[ satisfactoria a la estimación del nivel óptimo de un factor.
L El número de unidades experimentales (parcelas) necesarias
es tr, siendo t el número de tratamientos emp1eado y r el de repeti-

38. E 35.
ciones. Comúnmente el diseño empleado es el de bloques completos al
azar, siendo cada bloque una repetición. Se ha demostrado que muy -
fecuentemente se gana eficiencia o exactitud con diseños en bloques
•1 incompletos que se pueden arreglar para formar conjuntos de repeti--
ciones completas como son los diseños de retículos (lattices) cuadra
L dos Y rectangulares. Con estos diseños podemos ganar u número efec
tivo de repeticiones igual a er, en el que e es la eficiencia, mayor
de 1, y que alcanza valores de 1.10 a 1.30.
Recientemente el autor de este estudio extendió los diseños
retículos (lattices) rectangulares t=k(k+1) a tk(k+m), es decir, --
que ya no es restricción que el número de tratamientos sea el produc
r to de dos números sucesivos, sino el producto de dos números cuales-
quiera.
En los Cuadros 19 y 20 se presentan los diseños retículo ba
lanceado 3x3, retículo rectangular 4x3, ambos tomados de Cochran y -
Cox (1959). Así también en los Cuadros 21 a 22 se presentan los re-
tículos rectangulares 7x2 y 5x3 respectívamente. Los 4 diseños aquí
presentados pueden emplearse para alojar los tratamientos de los
planes presentados en los Cuadros 1 a 14.
Ti
0
1'

39. Rep. 1
1 2 3
4 5 6
7 8 9
Rep. II
1 4 7
2 5 8
3 6 9
Rep. III
1 5 9
7 2 6
4 8 3
Rep. IV
1 8 6
4 2 9
7 5 3
Cuadro 20. RETICULO RECTANGULAR 4x3
L Rep. 1
1 8
2 9
3 10
4 11
5 12
6 13
_7 lA
Rep. II
1 14
2 8
3 9
4 10
5 11
6 12
7 13
Rep. III
1 13
2 14
3 8
4 9
- 5 10
6 11
7 12
Rep. IV
1 12
2 13
:3 14
4 8
5 9
6 10
7 11
Reo. 1
1 6 11
7 12
3 8 13
4 9 14
5 10 15
36.
Cuadro 19. RETICULO (Lattice) BALANCEADO 3x3
(tornado de Cochran y Cox)
Rep. 1
6 2 10
12 8 4
3 7 11
5 1 9
Rep. II
6 1 11
12 5 2
4 7 10
9•3 8
Ren. III
9 4 6
3 5 10
2 11 8
7 1 12
• Rep. IV
3 12 6
7 9 2
5 4 11_
1 10 8
Cuadro 21. RETICULO RECTANGULAR 7x2
Cuadro 22. RETICULO RECTANGULAR 5x3
Rep. II Rep. III
1 10 14 1 9 12
2 6 15 2 10 13
3 7. 11 3 6 14
4 8 12 4 7 15
5 9 13 5 811
Rep .IV
1 8 15
2 11
3 12
4 6 13
5 7 14

40. E 37.
VIII. BIBLIOGRAFIA.
1. Cochran, W. G. and Cox, G. H. (1968). Experimental Designs.
John Wiley. New York. 2nd. ed.
Cox, D. G. 1958. Planning of Experiments. Wiley. New York
Cramer 1946. Theory of Statistics. Princeton University Press.
Princeton.
1
Draper y Smith (1970). Applied Regression Analysis. Wiley,
New York.
S. Escobar, G. J. A. (1967). Consideraciones sobre la comparación
de diseños de tratamientos. Tesis de Maestría. Colegio
de Postgraduados. Chapingo
Federer, W. T. (1955). Experimental Design. Macmillan Co.
New York.
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Edinburgo.
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Experiments. The Macmillan Co. Londres.
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fertilizer cxperinients.. Proc International Society of
Sugarcane Technologists Mauricio
Rojas M. Basilio A. (1979). Design of Fertilizer Experiments.
Biometrics International Society. Congreso en Brasil.

41. 38
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14, 134-140.