Cálculo de cercha plana, empleando el método matricial de rigidez

1. MÉTODO DE RIGIDEZ PARA EL CÁLCULO DE
UNA CERCHA PLANA
Estudio de Caso: Puente Autopista Medellín –
Bogotá

2. POR:
ANDRÉS FELIPE GUZMÁN

4. GENERALIDADES
• Ubicación: Autopista Medellín-Bogotá
• Dimensiones (calculadas):
 Altura = 6m
 Longitud = 33.8m
• Número de barras: 37 (29 reales)
• Material: Hormigón Reforzado
• Tipo de Estructura: Cercha Plana

5. DESARROLLO
HISTÓRICO
 1880: análisis de deformaciones de nudos rígidos
producidas por momentos flectores y fuerzas
axiales.
 1892: método aproximado para estructuras
hiperestáticas que implicaba un sistema de
ecuaciones de rotación de nudos.
 1914: método de EPD en términos de rotación de
nudos.
 1930: método de distribución de momentos
 1945-1955: grandes progresos de la tecnología
digital y desarrollo del máximo potencial del
método de análisis matricial.

6. METODOLOGÍA
• Método Matricial de Rigidez aplicado a una
estructura tipo cercha plana.
• Caracterización de la estructura.
• Incógnitas = Desplazamientos.
• Determinación envolvente.

7. DESARROLLO
DEL MÉTODO
• Ubicación del sentido de las barras
• Cálculo de alturas y ubicación de coordenadas

8. COORDENADAS
h= 16,9
k= 0
a= 16,9
b= 6
NUDO X Y
1 0 0
2 3,8 2,190678669
3 3,8 3,790678669
4 7 2,4
5 7 4,86273903
6 10,3 2,4
7 10,3 5,523534733
8 13,6 2,4
9 13,6 5,884501592
10 16,9 2,4
11 16,9 6
12 20,2 2,4
13 20,2 5,884501592
14 23,5 2,4
15 23,5 5,523534733
16 26,8 2,4
17 26,8 4,86273903
18 30 2,190678669
19 30 3,790678669
20 33,8 0
(𝑥 − ℎ)2
𝑎2
+
(𝑦 − 𝑘)2
𝑏2
= 1

9. • Enumeración de las barras, los nudos y los grados
de libertad libres y restringidos de toda la
estructura.

11. • Cálculo de las matrices elementales para cada
elemento.
Cos²α Cosα Senα - Cos²α - Cosα Senα
= A*E Cosα Senα Sen²α - Cosα Senα - Sen²α
L - Cos²α - Cosα Senα Cos²α Cosα Senα
- Cosα Senα - Sen²α Cosα Senα Sen²α
𝐿 = (𝑋𝑓 − 𝑋𝑖)2+(𝑌𝑓 − 𝑌𝑖)2
𝐶𝑜𝑠𝛼 =
𝑋𝑓 − 𝑋𝑖
𝐿
𝑆𝑒𝑛𝛼 =
𝑌𝑓 − 𝑌𝑖
𝐿

12. BARRA 1
Xi= 0
Yi= 0
Xf= 3,8
Yf= 2,190678669
L= 4,386236773
A= 0,04
E= 2,00E+08
Cosα= 0,8663463
Senα= 0,499443779
37 38 1 2
(K) = 1823887 1368929,13077 789179,95964 -1368929,13077 -789179,95964 37
789179,95964 454957,81681 -789179,95964 -454957,81681 38
-1368929,13077 -789179,95964 1368929,13077 789179,95964 1
-789179,95964 -454957,81681 789179,95964 454957,81681 2
BARRA 3
Xi= 3,8
Yi= 2,19067867
Xf= 3,8
Yf= 3,79067867
L= 1,6
A= 0,0081
E= 200000000
Cosα= 0
Senα= 1
1 2 3 4
(K) = 1012500 0 0 0 0 1
0 1012500 0 -1012500 2
0 0 0 0 3
0 -1012500 0 1012500 4
BARRA 4
Xi= 3,8
Yi= 2,19067867
Xf= 7
Yf= 2,4
L= 3,20683885
A= 0,04
E= 200000000
Cosα= 0,99786742
Senα= 0,06527342
1 2 5 6
(K) = 2494668,54 2484039,71 162488,28 -2484039,71 -162488,28 1
162488,28 10628,8322 -162488,28 -10628,8322 2
-2484039,71 -162488,28 2484039,71 162488,28 5
-162488,28 -10628,8322 162488,28 10628,8322 6

13. • Matriz de Rigidez
K0
K3K2
K1
3852968,83991

14. • Tipos de carga impuestos en la estructura
Cargas Verticales Superiores = 13KN
Cargas Verticales Inferiores = 20KN
Cargas Horizontales = 15KN
Cargas Diagonales = 20KN

15. F1 0
F2 0
F3 0
F4 -13
F5 0
F6 0
F7 0
F8 -13
F9 0
F10 0
F11 0
F12 -13
F13 0
F14 0
F=
F15 0
F16 -13
F17 0
F18
= 0
F19 0
F20 -13
F21 0
F22 0
F23 0
F24 -13
F25 0
F26 0
F27 0
F28 -13
F29 0
F30 0
F31 0
F32 -13
F33 0
F34 0
F35 0
F36 -13
F37 F37
F38 F38
F39 F39
F40 F40
• Vectores de Cargas
Nodales
F1 0
F2 -20
F3 0
F4 0
F5 0
F6 -20
F7 0
F8 0
F9 0
F10 -20
F11 0
F12 0
F13 0
F14 -20
F=
F15 0
F16 0
F17 0
F18
= -20
F19 0
F20 0
F21 0
F22 -20
F23 0
F24 0
F25 0
F26 -20
F27 0
F28 0
F29 0
F30 -20
F31 0
F32 0
F33 0
F34 -20
F35 0
F36 0
F37 F37
F38 F38
F39 F39
F40 F40
F1 0
F2 0
F3 15
F4 0
F5 0
F6 0
F7 15
F8 0
F9 0
F10 0
F11 15
F12 0
F13 0
F14 0
F=
F15 15
F16 0
F17 0
F18
=
0
F19 15
F20 0
F21 0
F22 0
F23 0
F24 0
F25 0
F26 0
F27 0
F28 0
F29 0
F30 0
F31 0
F32 0
F33 0
F34 0
F35 0
F36 0
F37 F37
F38 F38
F39 F39
F40 F40
F1 0
F2 0
F3 18,96405481
F4 -6,353316075
F5 0
F6 0
F7 19,61070365
F8 -3,926869302
F9 0
F10 0
F11 19,88141472
F12 -2,174706614
F13 0
F14 0
F15 19,98776158
F16 -0,699562013
F17 0
F=
F18
=
0
F19 0
F20 0
F21 0
F22 0
F23 -19,98776158
F24 0,699562013
F25 0
F26 0
F27 -19,88141472
F28 2,174706614
F29 0
F30 0
F31 -19,61070365
F32 3,926869302
F33 0
F34 0
F35 -18,96405481
F36 6,353316075
F37 F37
F38 F38
F39 F39
F40 F40
F1 0
F2 -20
F3 33,96405481
F4 -19,35331607
F5 0
F6 -20
F7 34,61070365
F8 -16,9268693
F9 0
F10 -20
F11 34,88141472
F12 -15,17470661
F13 0
F14 -20
F=
F15 34,98776158
F16 -13,69956201
F17 0
F18
=
-20
F19 15
F20 -13
F21 0
F22 -20
F23 -4,98776158
F24 -12,30043799
F25 0
F26 -20
F27 -4,881414717
F28 -10,82529339
F29 0
F30 -20
F31 -4,610703646
F32 -9,073130698
F33 0
F34 -20
F35 -3,96405481
F36 -6,646683925
F37 F37
F38 F38
F39 F39
F40 F40
Verticales
Superiores
Verticales
Inferiores
Horizontales Diagonales Totales

16. • Cálculo de los Vectores
de Desplazamientos
Nodales
𝐹 = 𝐾 ∗ 𝑈
𝐹0
𝐹1
=
𝐾0 𝐾1
𝐾2 𝐾3
∗
𝐾0
𝐾1
𝐹0 = 𝐾0 ∗ 𝑈0 + 𝐾1 ∗ 𝑈1
𝐹1 = 𝐾2 ∗ 𝑈0 + 𝐾3 ∗ 𝐾1
𝐹0 = 𝐾0 ∗ 𝑈0
𝐹1 = 𝐾2 ∗ 𝑈0
𝑈0 = 𝐾0
−1
𝐹0

17. U1 -2,06308E-06
U2 -8,10994E-05
U3 5,98482E-05
U4 -0,000114831
U5 -4,46262E-07
U6 -0,000517084
U7 0,000144736
U8 -0,000553277
U9 -9,56323E-06
U10 -0,000869474
U11 0,00013775
U12 -0,000899171
U13 -1,01669E-05
U=
U14
=
-0,001109502
U15 8,14777E-05
U16 -0,001129092
U17 8,91526E-06
U18 -0,00121508
U19 2,38175E-06
U20 -0,001228737
U21 1,22807E-05
U22 -0,001097524
U23 -7,6295E-05
U24 -0,001117114
U25 1,1677E-05
U26 -0,000860402
U27 -0,000132885
U28 -0,000890099
U29 2,56004E-06
U30 -0,000510919
U31 -0,000140453
U32 -0,000547112
U33 3,9925E-06
U34 -7,77526E-05
U35 -5,65096E-05
U36 -0,000111485
U1 5,92004E-06
U2 -0,000146345
U3 0,000103428
U4 -0,000180799
U5 6,36476E-06
U6 -0,000814044
U7 0,000230786
U8 -0,00084028
U9 -9,23552E-06
U10 -0,001332384
U11 0,000214888
U12 -0,001340083
U13 -1,15741E-05
U=
U14
=
-0,00166337
U15 0,000124752
U16 -0,001650802
U17 1,01492E-05
U18 -0,001786156
U19 2,7114E-06
U20 -0,001762923
U21 1,39804E-05
U22 -0,001649734
U23 -0,000118852
U24 -0,001637166
U25 1,16419E-05
U26 -0,001322057
U27 -0,00020935
U28 -0,001329755
U29 -3,95842E-06
U30 -0,000807025
U31 -0,00022591
U32 -0,000833262
U33 -3,72358E-06
U34 -0,000142535
U35 -9,96272E-05
U36 -0,000176989
U1 0,000325538
U2 -0,000491175
U3 0,000400846
U4 -0,000461892
U5 0,000345256
U6 -0,000435589
U7 0,000374006
U8 -0,000412527
U9 0,000358389
U10 -0,000339763
U11 0,000347121
U12 -0,000314339
U13 0,000364235
U=
U14
=
-0,000221284
U15 0,00032562
U16 -0,000194114
U17 0,000366164
U18 -8,80987E-05
U19 0,000310538
U20 -8,48557E-05
U21 0,000357673
U22 6,29865E-05
U23 0,000291084
U24 4,24232E-05
U25 0,000345015
U26 0,000208787
U27 0,000291478
U28 0,000189667
U29 0,000326876
U30 0,000344787
U31 0,00031115
U32 0,000324631
U33 0,000307823
U34 0,000451924
U35 0,000347687
U36 0,000419246
U1 0,000179164
U2 -0,000292293
U3 0,000238707
U4 -0,000284927
U5 0,00018767
U6 -0,000332516
U7 0,000228776
U8 -0,000323233
U9 0,000188798
U10 -0,000316541
U11 0,00019557
U12 -0,000300189
U13 0,000185239
U=
U14
=
-0,000258317
U15 0,000152471
U16 -0,000239188
U17 0,000143085
U18 -0,000209292
U19 0,000103927
U20 -0,000200588
U21 0,000131788
U22 -0,000112292
U23 5,97778E-05
U24 -0,000113623
U25 0,000120221
U26 -1,49202E-05
U27 4,22681E-05
U28 -1,40425E-05
U29 0,000108906
U30 7,73979E-05
U31 4,92343E-05
U32 7,69654E-05
U33 0,000103767
U34 0,000149064
U35 7,53834E-05
U36 0,000136742
U1 0,000750275
U2 -0,001366767
U3 0,001077957
U4 -0,001373036
U5 0,000795643
U6 -0,002377599
U7 0,001226911
U8 -0,002392122
U9 0,000799227
U10 -0,00303683
U11 0,00112973
U12 -0,003017704
U13 0,000808384
U=
U14
=
-0,003323809
U15 0,000918901
U16 -0,003268688
U17 0,000846399
U18 -0,003229285
U19 0,000668239
U20 -0,003211147
U21 0,000833453
U22 -0,00260507
U23 0,00042634
U24 -0,002656879
U25 0,000801295
U26 -0,001689281
U27 0,000287678
U28 -0,001766779
U29 0,000735864
U30 -0,000511694
U31 0,000318422
U32 -0,000614536
U33 0,000696315
U34 0,000811019
U35 0,000616874
U36 0,000672694
• Vectores de
Desplazamientos Nodales
Verticales
Superiores
Verticales
Inferiores
Horizontales Diagonales Totales

18. • Cálculo de Reacciones
𝐹1 = 𝐾2 ∗ 𝑈0
F=
158,336950
136,2422636
-293,336950
160,7577364

19. • Fuerzas en las barras y
envolvente de la estructura
𝐹𝑖 =
𝐴𝑖 ∗ 𝐸𝑖
𝐿𝑖
∗ cos 𝛼 ∗ 𝑈 𝑥𝑓 − 𝑈 𝑥𝑖 + sin 𝛼 ∗ 𝑈 𝑦𝑓 − 𝑈 𝑦𝑖

20. BARRA
FUERZAS EN LAS BARRAS (KN) ENVOLVENTE
VERTICALES
SUPERIORES
VERTICALES
INFERIORES
HORIZONTALES DIAGONALES TOTALES CARGA MÁX
POSITIVA
CARGA MÁX
NEGATIVA
1 -77,13568314 -123,9556225 66,96251938 16,84262577 -59,50557692 66,96251938 -123,9556225
2 -28,28375856 -39,77573924 -30,97862485 -23,53732908 -150,8310016 - -150,8310016
3 -34,15363959 -34,88426993 29,64923184 7,457469055 -6,347495021 29,64923184 -34,88426993
4 -66,96903074 -107,6179993 58,1367123 14,62273071 -51,66261123 58,1367123 -107,6179993
5 48,76539172 75,85533896 -28,53917921 -12,92634947 65,68597019 75,85533896 -28,53917921
6 -68,28566996 -103,0685113 -11,3454439 -25,07129417 -211,9710297 - -211,9710297
7 -23,80797777 -17,2586585 15,16979359 6,106599126 -9,552999975 15,16979359 -23,80797777
8 -22,10173618 -37,81886196 31,83843323 2,736331049 8,69050626 31,83843323 -37,81886196
9 25,75190672 40,11550217 -22,04605202 -14,17969789 16,85382423 40,11550217 -14,17969789
10 -87,08196752 -132,4577578 -8,250065555 -32,65500436 -254,0544484 - -254,0544484
11 -15,40202475 -3,992784847 13,18558049 8,480772325 9,91985251 13,18558049 -15,40202475
12 -1,463462672 -5,669215157 14,17013176 -8,627661778 22,19761615 22,19761615 -8,627661778
13 13,24883958 20,59465065 -18,3753183 -12,93711364 -8,184828751 20,59465065 -18,3753183
14 -95,57570476 -145,7004217 -9,802374983 -42,75863789 -279,7048848 - -279,7048848
15 -9,107544135 5,842783542 12,63159852 8,893256861 25,62643156 25,62643156 -9,107544135
16 14,54829891 16,56187367 1,47095839 -32,13891252 28,98262762 28,98262762 -32,13891252
17 4,232216124 6,573211673 -16,57272722 -9,505850756 -26,48623947 6,573211673 -26,48623947
18 -97,97913622 -149,4478679 -13,35663724 -55,99069152 -295,0021701 - -295,0021701
19 -6,145751825 10,45480513 1,459372367 3,916896086 8,162223958 10,45480513 -6,145751825
20 -97,97913622 -149,4478679 -28,36582168 -55,99069152 -310,0113546 - -310,0113546
21 4,232216124 6,573211673 14,56276019 4,111180993 42,79019318 42,79019318 -
22 8,158615587 9,287818559 -20,58457405 -27,38673212 -31,38275819 9,287818559 -31,38275819
23 -9,107544135 5,842783542 -9,560205039 -0,618711201 -24,08716946 5,842783542 -24,08716946
24 -95,57570476 -145,7004217 -18,44413386 -33,33940316 -277,0530862 - -277,0530862
25 13,24883958 20,59465065 13,90733012 0,900045647 64,13406589 64,13406589 -
26 -1,463462672 -5,669215157 -30,68488646 -28,04039764 -77,96064883 - -77,96064883
27 -15,40202475 -3,992784847 -9,916856262 0,455193083 -40,19371028 0,455193083 -40,19371028
28 -87,08196752 -132,4577578 -8,397925397 -12,85690205 -228,3967612 - -228,3967612
29 25,75190672 40,11550217 16,58080425 -0,7610746 100,6427945 100,6427945 -0,7610746
30 -22,10173618 -37,81886196 -43,97319077 -27,4304519 -158,6185023 - -158,6185023
31 -23,80797777 -17,2586585 -13,25886677 -0,284454817 -67,64979815 - -67,64979815
32 -68,28566996 -103,0685113 5,329918153 6,743402903 -146,2582808 6,743402903 -146,2582808
33 48,76539172 75,85533896 22,64104016 -3,292536022 168,5118278 168,5118278 -3,292536022
34 -66,96903074 -107,6179993 -64,8764495 -24,46291907 -313,8359826 - -313,8359826
35 -34,15363959 -34,88426993 -33,08644084 -12,47588194 -140,0536983 - -140,0536983
36 -28,28375856 -39,77573924 36,46846693 31,55263868 28,0091287 36,46846693 -39,77573924

21. GRACIAS