1. No todo Grupo de Lie es Grupo Ma-
tricial
Se empieza por presentar la definici´n de grupo de Lie en seguida se
o
demuestra que la funci´n exp es localmente un difeomorfismo. Luego se
o
demuestra que todo subgrupo matricial de GLn (K) es un subgrupo de Lie.
Finalmente presentamos: No Todo Grupo de Lie es un Subgrupo
Matricial de GLn (K), usando el grupo Heisenberg de tama˜o 3 como
n
contraejemplo y herramientas de la teor´ de grupos.
ıa
4.1. Grupos de Lie
4.1 Definici´n. Un grupo de Lie es una variedad suave G que tambi´n es
o e
un grupo topol´gico en la cual las operaciones de multiplicaci´n e inverso
o o
mult : G × G −→ G inv : G −→ G
y
(x, y) −→ xy x −→ x−1
son suaves en variedades.
Aqu´ se entiende que G × G es la variedad producto, G es un espacio
ı
topol´gico Hausdorff separable y la extensi´n de mult e inv son funciones
o o
infinitamente diferenciables.
75
2. Newton Huaman´ castro
ı Grupos Matriciales y Grupo Geisenberg
4.2 Definici´n. Sea G un grupo de Lie. Un subgrupo cerrado H de G que
o
tambi´n es una subvariedad de G es llamado subgrupo de Lie de G.
e
Algunos ejemplos de grupos de Lie, no descritos en este trabajo, son los
siguientes:
1. (Rn , +) es un grupo de Lie, ya que es una variedad suave debido a que
es un espacio topol´gico Hausdorff separable con atlas la identidad, es
o
un grupo topol´gico aditivo y las operaciones de adici´n y cambio de
o o
signo son suaves.
2. U Tn (R) y SU Tn (R) son grupos de Lie, ya que son subgrupos cerrados
de (GLn (R), mult) Generalizando, todo grupo matricial es un grupo de
lie como veremos m´s adelante.
a
4.2. El GLn (K) y SLn (K) como Ejemplos de Grupos de
Lie
Como es costumbre sea K = R o C. En esta secci´n se demostrar´ que los
o a
conjuntos representativos
GLn (K) := {A ∈ Mn (K) : det(A) = 0} y SLn (K) := {A ∈ Mn (K) : detA = 1}
localmente tienen una estructura de espacio euclidiano.
4.1 Ejemplo. El GLn (K) es un grupo de Lie, con la multiplicaci´n
o
de matrices.
Demostraci´n. Por definici´n de grupo de Lie.
o o
1. Veamos que GLn (K) es variedad suave.
El Mn (K) es variedad suave puesto que es espacio topol´gico Hausdorff
o
separable con la topolog´ dada en cap´
ıa ıtulo 1 y tomando como carta
2
la coord se forma el atlas A = {coord : Mn (K) −→ Kn } . La coord es
2
un homeomorfismo (carta) entre Mn (K) y Kn por lo que dimensi´n de o
2
Mn (K) es n .
El GLn (K) es subconjunto abierto de la variedad suave Mn (K), proposi-
ci´n 1.18, lo que permite formar el atlas restringida, A|GLn (K) = {coord :
o
2
GLn (K) −→ Kn }. Adem´s es un espacio topol´gico Hausdorff separa-
a o
ble con la topolog´ relativa heredada de Mn (K). Por tanto GLn (K) es
ıa
una variedad suave.
76
3. Newton Huaman´ castro
ı Grupos Matriciales y Grupo Geisenberg
2. Por la proposici´n(1.17) GLn (K) es grupo bajo la mul-
o
tiplicaci´n de matrices. Por otro lado mult|GLn (K)
o y
inv|GLn (K) son continuas, ver proposici´n
o (1.19). Por
consiguiente GLn (K) es grupo topol´gico.
o
3. Adem´s, la multiplicaci´n e inversa son suaves por ser funciones
a o
polin´micas por coordenadas y funci´n racional por coordenadas re-
o o
spectivamente,
n n
a1k bk1 · · · a1k bkn
a11 · · · a1n b11 · · · b1n k=1 k=1
. ... . . .. . −→ . ... .
. . . .
. . . .
. .
. .
.
an1 · · · ann bn1 · · · bnn n n
a b ···
nk k1 a bnk kn
k=1 k=1
a11 · · · a1n i+j
.
. .. . −→ A−1 = transpuesta de la matriz (−1) det Aij .
.
. . . det A
an1 · · · ann
Por tanto GLn (K) es un grupo de Lie.
4.2 Ejemplo. El conjunto de matrices cuya determinante es uno,
SLn (K) = {A ∈ Mn (K) : detA = 1},
es un subgrupo de Lie de GLn (K).
Demostraci´n. Por definici´n de subgrupo de Lie.
o o
1. Como SLn (K) es subgrupo matricial de GLn (K). Entonces SLn (K) es
subgrupo cerrado de GLn (K).
2. Veamos que SLn (K) es subvariedad de GLn (K).
La funci´n determinante, det : GLn (K) −→ K, es una funci´n suave
o o
entre variedades.
As´ para A en SLn (K) = det−1 {1} tenemos que
ı,
d(det)A : TA GLn (K) = Mn (K) −→ T1 K = K
Si γ : (a, b) −→ GLn (K) es una curva suave con γ(0) = A. Entonces
d(det)A (γ (0)) = (det ◦ γ) (0).
77
4. Newton Huaman´ castro
ı Grupos Matriciales y Grupo Geisenberg
Sea γ0 : (a, b) −→ GLn (K); γ0 (t) := A−1 γ(t). Tenemos que γ0 (0) = I y
por lema 2.14
(det ◦ γ0 ) (0) = trγ0 (0).
Por lo tanto
(det ◦ γ) (0) = (det ◦ Aγ0 ) (0) = (detA)(det ◦ γ0 ) (0) = trγ0 (0),
d(det)A (γ (0)) = trγ0 (0) con, γ0 (t) = A−1 γ(t)
Entonces d(det)A (X) = tr(A−1 X) para γ (0) = X ∈ Mn (K). Co-
mo tr es sobreyectiva entonces la transformaci´n lineal es d(det)A :
o
Mn (K) −→ K es sobreyectiva para cada A ∈ det−1 {1} = SLn (K). De
este modo por el teorema de la funci´n implicita det−1 {1} = SLn (K)
o
es una subvariedad de GLn (K).
Por consiguiente SLn (K) es subgrupo de Lie de GLn (K).
N´tese que la dimensi´n de SLn (K) es dim Mn (K) − dim R = n2 − 1
o o
cuando K = R y su espacio tangente en A ∈ SLn (K) esta dado por
TA SLn (K) = ker d(det)A = {AX ∈ Mn (K)/tr(X) = 0}.
Dada un grupo de Lie G y un elemento g ∈ G entonces existe el espacio
tangente de G en g, Tg G. Viendo a G como una variedad usaremos la
notaci´n usual TI G := g para el espacio tangente de G en la identidad de
o
G. Por tanto, se dice el ´lgebra de Lie correspondiente al grupo de Lie
a
al espacio vectorial tangente a la variedad suave en la identidad, que tiene
la misma dimensi´n que la variedad y la misma notaci´n.
o o
Para G un grupo de Lie y g ∈ G, las tres siguientes funciones son
particularmente importantes, ya que permiten demostrar teoremas.
Lg : G −→ G; Lg (x) := gx (multiplicaci´n a izquierda)
o
Rg : G −→ G; Rg (x) := xg (multiplicaci´n a derecha)
o
χg : G −→ G; χg (x) := gxg −1 (Conjugaci´n)
o
Apostilla. Para M y N variedad suave, respectivamente. Las funciones
78
5. Newton Huaman´ castro
ı Grupos Matriciales y Grupo Geisenberg
Ilustraci´n 3: El ´lgebra de Lie de un grupo de Lie.
o a
proyecciones p1 : M ×N −→ M y p2 : M ×N −→ N dadas por p1 (m, n) = m
y p2 (m, n) = n son suaves.
4.3 Proposici´n.
o Para cada g ∈ G
las funciones Lg , Rg , χg son difeomorfismo
con inversas
L−1 = Lg−1 , Rg = Rg−1 , χ−1 = χg−1 .
g
−1
g
Demostraci´n.
o
1. Sean g, x en G y p2 : G×G −→ G la funci´n proyecci´n usual. Entonces,
o o
mult(g, x) = Lg ◦ p2 (g, x).
Sean φ : U −→ V , φ : U −→ V y θ : W −→ W cartas en g, x y gx
respectivamente (suponiendo a mult(U × U ) y Lg (U ) subconjuntos de
W ).
Entonces, por ser G un grupo de Lie tenemos que
θ ◦ mult ◦ (φ × φ)−1 = θ ◦ mult ◦ φ−1 × φ−1 es suave.
Por lo tanto
θ ◦ mult ◦ (φ−1 × φ−1 ) = θ ◦ Lg ◦ p2 ◦ φ−1 × φ−1 = θ ◦ Lg ◦ φ−1
79
6. Newton Huaman´ castro
ı Grupos Matriciales y Grupo Geisenberg
es suave. Esto para cartas cualesquiera φ y θ de x ∈ G y gx ∈ G.
As´ Lg : G −→ G es una funci´n suave entre variedades.
ı, o
Por otro lado tenemos Lg ◦ Lg−1 = Id = Lg−1 ◦ Lg para la fun-
ci´n Lg−1 = G −→ G dada por Lg−1 x = g −1 x. Por consiguiente
o
Lg : G −→ G es biyectiva y su inversa es Lg−1 : G −→ G, que tambi´n
e
es suave por la forma Lg−1 : G −→ G.
2. Con argumentos similares se prueba que Rg es suave para cada g ∈ G.
3. Adem´s, note que
a
χ = Lg ◦ Rg−1 = Rg−1 ◦ Lg .
y la composici´n de funciones suaves es suave.
o
4.3. Todo Subgrupo de Matricial de GLn (K) es Grupo
de Lie
En esta secci´n se demuestra que la funci´n exponencial aplica localmente
o o
el ´lgebra de Lie de un grupo de Lie en el grupo mismo.
a
Para esto se empieza definiendo el conjunto
g := {A ∈ Mn (R)/ ∀t ∈ R, exp(tA) ∈ G}
donde G es un subgrupo matricial de GLn (R).
4.6 Teorema. g es una sub´lgebra de Lie real de Mn (R).
a
Demostraci´n. Por definici´n, si a es ´lgebra de Lie sobre K con corchete de
o o a
Lie [, ] entonces un subespacio vectorial b de a es una sub´lgebra de Lie
a
de a sobre K si es cerrada bajo corchete de Lie, es decir, si x, y ∈ b implica
[x, y] ∈ b.
1. Veamos que g es subespacio vectorial de Mn (R).
Por definici´n g ⊆ Mn (R). La matriz 0n ∈ g ya que exp(t0) = I ∈ G
o
para todo t ∈ R. Por definici´n g es cerrado bajo la multiplicaci´n por
o o
un escalar.
Sea A, B ∈ g. Para r ≥ 1 se tiene que los siguientes elementos
est´n en G:
a
r
1 1 1 1
exp A exp B , exp A exp B .
r r r r
80
7. Newton Huaman´ castro
ı Grupos Matriciales y Grupo Geisenberg
Por f´rmula del producto Trotter, teorema 2.17, para t ∈ R tenemos
o
que
r
1 1
exp(tA + tB) = l´
ım exp tA exp tB .
r−→∞ r r
Como G es un subgrupo cerrado de GLn (R) entonces el l´
ımite se en-
cuentra en G. Es decir (A + B) ∈ g.
2. Veamos que g es cerrado bajo el corchete de Lie.
Si A, B ∈ g y r ≥ 1 se tiene que el siguiente elemento est´ en G:
a
r2
1 1 −1 −1
exp A exp B exp A exp B .
r r r r
Por f´rmula del conmutador, teorema 2.17, para t ∈ R tenemos que
o
exp(t[A, B]) = exp([tA, B])
1 1 −1
= l´
ım exp tA exp B exp tA
r−→∞ r r r
r2
−1
exp B .
r
Como G es un conjunto cerrado en GLn (R) entonces el l´
ımite se en-
cuentra en G. Es decir, [A, B] ∈ g para A, B ∈ g.
Por consiguiente g es una sub´lgebra de Lie real de Mn (R).
a
Sea G un subgrupo matricial de GLn (K).
g := TI G = {γ (0) : γ es una curva diferenciable con γ(0) = I}.
4.7 Proposici´n. Para un grupo matricial inversible, G, g es una sub´lgebra
o a
de Lie real de g
Demostraci´n. Veamos que g es subespacio vectorial de g y es cerrada bajo
o
el corchete de Lie.
Afirmemos g ⊆ g. En efecto, sea A ∈ g entonces la curva
γ : R −→ G; γ(t) = exp(tA), satisface que γ(0) = I y γ (0) = A,
por lo tanto A ∈ g. Por otro lado g es subespacio de Mn (R) por la
proposici´n 4.6, mientras por la proposici´n 3.8 g subespacio de Mn (R). Por
o o
81
8. Newton Huaman´ castro
ı Grupos Matriciales y Grupo Geisenberg
consiguiente, g es subespacio vectorial g.
Por la proposici´n 4.6 g es cerrado bajo el corchete de Lie.
o
Antes de enunciar el teorema que sigue se requiere de un resultado
t´cnico.
e
4.8 Lema. Sea {An ∈ exp−1 G}n≥1 tal que An → 0 y {sn ∈ R}n≥1 .
Si sn An −→ A ∈ Mn (R) cuando n −→ ∞ entonces A ∈ g.
Es decir, dada {An } una sucesi´n de matrices cuadradas de orden n × n y
o
{sn } sucesi´n de n´meros reales tales que la sucesi´n {expAn } est´ contenida
o u o a
en el grupo matricial inversible G y el l´ ımite de la sucesi´n de normas
o
{ An } de las matrices dadas es cero. Entonces, el limite de {sn An } est´ en
a
g.
Demostraci´n. Sea x ∈ R y n un n´mero entero inmediato inferior de x. Se
o u
define
[x] = n para n ≤ x < n + 1.
Sea t ∈ R arbitrario. Para cada n ∈ N, escojamos un entero mn = [sn t] ∈ Z
la que verifica que |tsn − mn | ≤ 1. Entonces
mn An − tA ≤ mn An − An tsn + An tsn − tA
= |mn − tsn | An + |t| An sn − A
≤ An + |t| An sn − A .
Haciendo n −→ ∞ se obtiene mn An −→ tA ya que An −→ 0 y sn An −
A −→ 0.
Por otro, lado tenemos
exp(mn An ) = exp(An )mn ∈ G,
y como G es cerrado en GLn (R) ya que G es grupo matricial inversible, luego
se tiene
exp(tA) = l´ exp(mn An ) ∈ G.
ım
n→∞
Por lo tanto exp(tA) ∈ G para cada t ∈ R, esto es, A ∈ g.
La funci´n exponencial a menudo ayuda a determinar algebras de Lie;
o ´
por lo que la funci´n exponencial es relevante.
o
4.9 Teorema Sea G un subgrupo matricial de GLn (K).
1
La funci´n exponencial exp : g −→ G dada por exp(A) = n≥0 n! An , es
o
82
9. Newton Huaman´ castro
ı Grupos Matriciales y Grupo Geisenberg
localmente difeomorfismo en la matriz 0, aplica una bola abierta de la matriz
0 sobre una bola abierta de I en G.
Demostraci´n. Escogemos V un subespacio real complementario de g, esto
o
Ilustraci´n 4: La exponencial aplica una vecindad de 0 en g en una vecindad
o
de I en G.
es, un subespacio real de Mn (R) tal que g ⊕ V = Mn (R). Entonces cada
elemento X ∈ Mn (K) tiene una unica expresi´n de la forma X = A + B,
´ o
donde A ∈ g y B ∈ V .
Consideremos la funci´n
o
Φ : g ⊕ V = Mn (R) −→ GLn (R)
(A + B) −→ exp(A)exp(B), (A ∈ g, B ∈ V ).
La Φ es funci´n
o suave que aplica la ma-
triz nula 0 ∈ Mn (R) en la matriz identidad
I ∈ GLn (R),
1 1
exp(0 + 0) = exp(0)exp(0) = (I + 0 + 02 + ...)(I + 0 + 02 + ...) = I.
2 2
N´tese que el factor exp(A) est´ en G.
o a
Consideremos la derivada en 0,
DΦ(0) : Mn (R) −→ TI GLn (R) = Mn (R).
83
10. Newton Huaman´ castro
ı Grupos Matriciales y Grupo Geisenberg
Para determinar DΦ(0)(A+B), la derivada de Φ en 0 evaluada en un punto de
A + B ∈ Mn (R) = g ⊕ V donde A ∈ g y B ∈ V , hallamos la derivada de la
curva t −→ Φ(t(A + B)) en t = 0, es decir,
Φ(0 + t(A + B)) − Φ(0)
DΦ(0)(A + B) = l´
ım
t−→0 t
d
= Φ(t(A + B))|t=0 . (4.1)
dt
Tomemos A, B y t ∈ R peque˜os, con norma menor que 1/2, por la igualdad
n
(4.1) de la p´gina 48 tenemos que
a
Φ(t(A + B)) = exp(tA)exp(tB) = exp(C(t)) (4.2)
para una unica C(t) (que depende de t) matriz en Mn (R) tal que C(0) = 0
´
y por la proposici´n 2.16 se tiene
o
t2
C(t) − t(A + B) − [A, B] ≤ 65|t|3 ( A + B )3
2
t2
C(t) − t(A + B) ≤ [A, B] + 65|t|3 ( A + B )3
2
o
´
t2
C(t) − t(A + B) ≤ ( [A, B] + 130|t|( A + B )3 )
2
Haciendo |t| −→ 0, tenemos
C(t) − C(0) − t(A + B) C(t) − t(A + B)
l´
ım = l´
ım = 0.
t−→0 |t| t−→0 |t|
d
As´ pues,
ı dt
C(t)|t=0 = A + B. Por lo tanto de (4.1) y (4.2)
d d d
Φ(t(A + B))|t=0 = exp(C(t))|t=0 = exp(C(0)). C(t)|t=0 = A + B.
dt dt dt
Entonces DΦ(0) es la funci´n identidad en una vecindad peque˜a de la matriz
o n
0 ∈ Mn (K). Puesto que, para cualquier A en Mn (R) existen {Ai }1≤i≤m con
m
norma menor que 1/2 tal que A = Ai . Entonces se puede asegurar por la
i=1
linealidad de DΦ(0) que DΦ(0) es la funci´n identidad en todo Mn (R). En
o
consecuencia aplicando el teorema de funci´n inversa, ver proposici´n 3.30,
o o
84
11. Newton Huaman´ castro
ı Grupos Matriciales y Grupo Geisenberg
Φ es un difeomorfismo para alguna vecindad U de la matriz 0 en Mn (R),
llevando esto a terminos de bolas abiertas, existe bola abierta NMn (K) (0; δ)
para alg´n δ > 0 tal que la restricci´n de Φ a
u o
Φ|NMn (K) (0;δ) : NMn (K) (0; δ) −→ Φ(NMn (K) (0; δ))
es un difeomorfismo.
Ahora tenemos que demostrar que
exp|NMn (K) (0;δ)∩g = Φ|NMn (K) (0;δ)∩g : NMn (K) (0; δ)∩g −→ Φ|NMn (K) (0;δ)∩g (NMn (K) (0; δ)∩g)
aplica una bola abierta de NMn (K) (0; δ) ∩ g sobre una bola abierta de I en
G. Supongamos lo contrario, esto es, existe una sucesi´n en G, {Un }, tal
o
que Un −→ I pero Un ∈ Φ(g) para toda n ∈ N. Para un n grande sabemos
que Un ∈ Φ(NMn (K) (0; δ)) ya que Φ en NMn (K) (0; δ) es un difeomorfismo.
Entonces existen An ∈ g y Bn ∈ V − {0} tal que Φ(An + Bn ) = Un . Por ser
Φ en NMn (K) (0; δ) un difeomorfismo tenemos que si
Un −→ I =⇒ Φ−1 (Un ) = An + Bn → Φ−1 (I) = 0
y esto implica que An → 0 y Bn → 0. Por definici´n de Φ tenemos que
o
Φ(An + Bn ) = exp(An )exp(Bn ) = Un ∈ G
o
´
exp(Bn ) = (exp(An ))−1 Un ∈ G,
entonces Bn ∈ exp−1 (G). Consideremos a Bn := Bn Bn que est´ en la esfera
1
a
unitaria de Mn (R), la cual es compacta, entonces existe una subsucesi´n o
convergente de {Bn }. Renombrando, si es necesario, tomamos Bn → B con B
en la esfera unitaria de Mn (R), B = 1. Por el lema 4.8 para {Bn ∈ exp−1 G}
1
y { Bn ∈ R} se obtiene que
1
Bn = Bn → B ∈ g
Bn
Pero cada Bn y por lo tanto cada Bn est´ en V . Por ser V cerrado en Mn (R)
a
tenemos que B ∈ V . Por lo tanto B ∈ g ∩ V = {0}, pero esto genera una
contradicci´n siempre que B = 1.
o
Por consiguiente exp es un difeomorfismo de una bola abierta de 0,
85
12. Newton Huaman´ castro
ı Grupos Matriciales y Grupo Geisenberg
NMn (K) (0; δ1 ) ∩ g ⊆ g, en una bola abierta de I, NMn (K) (I; δ2 ) :=
exp(NMn (K) (0; δ1 ) ∩ g) ⊆ G.
Como vemos la funci´n exponencial aplica difeomorficamente el ´lge-
o a
bra de Lie de un grupo de Lie en el grupo mismo localmente. Por lo que
el algebra de Lie captura muchas de las propiedades del grupo matricial
´
inversible, y como se trata de un algebra su manejo es m´s sencillo.
´ a
4.10 Teorema. Todo subgrupo matricial de GLn (R) es un subgrupo
de Lie de GLn (R).
Demostraci´n. Por definici´n de subgrupo de Lie.
o o
Sea G un subgrupo matricial de GLn (K) cualquiera. Entonces G es subgrupo
cerrado en GLn (K).
Veamos que G es una subvariedad de GLn (R). En efecto, G es un espacio
topol´gico Hausdorff separable pues su topolog´ relativa es la heredada de
o ıa
GLn (K) dada por TG = {U ⊆ G : U = F ∩
G para alg´n abierto F en GLn (K)}.
u
Por el teorema 4.9 tenemos que para alg´n abierto V
u ⊆ g tal que
0 ∈ V y un abierto U ⊆ G tal que I ∈ G
exp|V : V ⊆ g −→ U ⊆ G
es un difeomorfismo. Como g ⊆ Mn (R) es un subespacio normado real de
dimensi´n finita entonces g es una variedad suave y sus cartas vienen dadas
o
por restricciones abiertas del homeomorfismo entre g y RdimR g . Para el home-
omorfismo coord entre g y RdimR g tenemos que
φg := coord ◦ exp−1 ◦ Lg−1 : Lg (U ) ⊆ G −→ V ⊆ RdimR g
es una carta de dimensi´n dimR g en g ∈ G y donde V = coord ◦ exp−1 U .
o
Sea φg1 y φg2 cartas arbitrarias tal que Lg1 (U1 ) ∩ Lg2 (U2 ) = φ.
−1
φg2 ◦ φ−1 = coord ◦ exp−1 ◦ Lg2 ◦ coord ◦ exp−1 ◦ Lg1
g1 −1 −1
= coord ◦ exp−1 ◦ Lg2 ◦ Lg1 ◦ exp ◦ coord−1 ,
−1
entonces φg2 ◦ φ−1g1 es un difeomorfismo en
dimR g
abiertos de R . Entonces φg1 y φg2
86
13. Newton Huaman´ castro
ı Grupos Matriciales y Grupo Geisenberg
est´n relacionados. Por lo tanto A := {φg /g ∈ G} es un atlas de dimensi´n
a o
dimR g para G.
Versi´n simple del ´lgebra de Lie de un subgrupo
o a
matricial de GLn (K)
Sea G un subgrupo matricial de GLn (K), entonces
g = g.
Donde los espacios vectoriales son definidas por g := {A ∈
Mn (R)/ ∀t ∈ R, exp(tA) ∈ G} y g := TI G = {α (0) ∈ Mn (K) :
α es una curva diferenciable con α(0) = I}.
En efecto:
Sea G es un subgrupo matricial de GLn (K). La dimensi´n de G, como
o
variedad, es la dimensi´n de sus cartas dimR g, la cual es igual a la dimensi´n
o o
de su algebra de Lie, seg´n la definici´n 3.7, que es dimR g. Por lo tanto,
´ u o
dimR g = dimR g y dado que g ⊆ g se tiene que g = g.
4.4. Grupo Heisenberg de Tama˜ o 3
n
Los siguientes parr´fos extra´ de Esther GALINA en [11] describe al grupo
a ıdo
Heisenberg, haciendo uso de las series de Fourier y teor´ de representaciones,
ıa
de la forma siguiente:
“ ... El grupo Heisenberg Hn es un grupo de Lie conexo, simplemente conexo,
dos pasos nilpotente, un grupo no conmutativo y no compacto. Su nombre
y su significado en la mec´nica cu´ntica proviene del hecho que su ´lgebra
a a a
de Lie sobre R est´ definida por las relaciones can´nicas de conmutaci´n
a o o
de Heisenberg. EL grupo de Heisenberg tiene aplicaciones en diversas ´reas
a
de la matem´tica, la f´sica te´rica, la teor´a de c´digos y se˜ales digitales,
a ı o ı o n
como as´ tambi´n en la ingenier´ el´ctrica ...”
ı e ıa e
Aunque es posible definir el grupo Heisn para n arbitrario. Aqu´ de- ı
scribimos el grupo de Heisenberg de tama˜o 3, Heis3 , obteniendo de una
n
forma sencilla como el cociente de dos grupos matriciales inversibles, donde
una ellos es un subgrupo normal del otro.
Construcci´n del grupo Heisenberg. Sea SU T3 (R) el conjunto de
o
matrices triangulares superiores tal que a11 = a22 = a33 = 1, esto es,
1 a b
SU T3 (R) = 0 1 c : a, b, c ∈ R .
0 0 1
87
14. Newton Huaman´ castro
ı Grupos Matriciales y Grupo Geisenberg
SU T3 (R) es un subgrupo matricial de GL3 (R), ya que del ejemplo 2.3 es
grupo bajo multiplicaci´n de matrices y es cerrado en GLn (K).
o
La regla pr´ctica de multiplicaci´n de dos matrices en SU T3 (R) viene dado
a o
por
1 x1 x2 1 y1 y2 1 x1 + y 1 x2 + x 1 y 3 + y 2
0 1 x 3 0 1 y3 = 0 1 x3 + y3
0 0 1 0 0 1 0 0 1
y la regla pr´ctica para obtener la inversa
a de una matriz en SU T3 (R) viene
dado por
−1
1 a b 1 −a ac − b
0 1 c = 0 1 −c .
0 0 1 0 0 1
Se precisa aqu´ si G es grupo y N es subgrupo de G. Se dice que N es
ı,
normal en G si y s´lo si gng −1 ∈ N , para cualesquier n ∈ N y g ∈ G.
o
Acontinuaci´n se define el conjunto
o
1 0 z
Z3 := 0 1 0 : z ∈ Z .
0 0 1
Luego se deduce que Z3 es un subgrupo normal de SU T3 (R).
En efecto, dado cualquier A ∈ SU T3 (R) y z ∈ Z3 , entonces para cualquier
a, b, c ∈ R y s ∈ Z se tiene que
1 a b 1 0 z 1 −a ac − b 1 0 s
AzA−1 = 0 1 c 0 1 0 0 1 −c = 0 1 0 = z ∈ Z3 .
0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1
4.12 Definici´n. El grupo Heisenberg de tama˜o 3, se define como el co-
o n
ciente de dos grupos
Heis3 := SU T3 (R)/Z3 = {AZ3 : A ∈ SU T3 (R)}.
N´tese, Heis3 es el conjunto de todas las clases laterales de Z3 en SU T3 (R)
o
donde las clases laterales o bien son ajenas o bien iguales. Como Z3 es sub-
grupo normal de SU T3 (R) entonces AZ3 = Z3 A y (AZ3 )(BZ3 ) = (AB)Z3
88
15. Newton Huaman´ castro
ı Grupos Matriciales y Grupo Geisenberg
para cualesquier A, B ∈ SU T3 (R). En consecuencia es posible darle a Heis3
una estructura de grupo con la siguiente operaci´n binaria
o
mult : Heis3 × Heis3 −→ Heis3
(AZ3 , BZ3 ) −→ mult(AZ3 , BZ3 ) = (AZ3 )(BZ3 ) = ABZ3 .
Lo cual cumple los axiomas de grupo con I3 Z3 como elemento identidad
(donde I3 es la matriz identidad de SU T3 (R)) y A−1 Z3 como inverso de AZ3 .
Adem´s, la proyecci´n can´nica o natural q : SU T3 (R) −→ SU Z3 (R) = Heis3
a o o T
3
dada por q(A) = AZ3 es un homomorfismo sobreyectivo cuyo n´cleo es Z3 ,
u
es decir Ker q = Z3 .
4.13 Proposici´n. El grupo Heisenberg de
o tama˜o 3, Heis3 , es un
n
grupo de Lie.
Demostraci´n.
o
(i) Veamos que Heis3 es una variedad suave.
Sea q : SU T3 (R) −→ Heis3 = SU Z3 (R) dada por
T
3
1 a b 1 a b 1 a b+z
q 0 1 c = 0 1 c Z3 = 0 1 c :z∈Z
0 0 1 0 0 1 0 0 1
la proyecci´n
o natural entonces q es ho-
momorfismo sobreyectivo. Aprovechando esto
daremos al grupo Heisenberg, Heis3 , una estructura topol´gica como
o
sigue:
U ⊆ Heis3 es abierto si y solo si q −1 (U ) ⊆ SU T3 (R) es abierto.
El grupo Heisenberg, Heis3 , con esta topolog´ es Hausdorff separable. En
ıa
−1 −1
efecto, como q (φ) = φ y q (Heis3 ) = SU T3 (R) son abiertos en SU T3 (R)
entonces φ y Heis3 son abiertos en Heis3 . Sea {Uλ } una familia cualquiera
de abiertos en Heis3 entonces q −1 (Uλ ) es abierto en SU T3 (R) para cada
λ luego q −1 (Uλ ) = q −1 ( Uλ ) es abierto en SU T3 (R) por lo que Uλ
es un abierto en Heis3 . Tambi´n es Uλ es abierto en Heis3 dado que
e
−1 −1
q ( Uλ ) = q (Uλ ) y {Uλ } es familia finita de abiertos en Heis3 .
Esta topolog´ hace de q una aplicaci´n abierta. Para U ⊆ SU T3 (R) se tiene
ıa, o
−1
q (qU ) = sU donde U s = {us ∈ SU T3 (R) : u ∈ U }. Si U ⊆ SU T3 (R)
s∈Z3
es abierto, entonces cada U s (s ∈ Z3 ) es abierto. Por lo tanto q(U ) es abierto
89
16. Newton Huaman´ castro
ı Grupos Matriciales y Grupo Geisenberg
en Heis3 .
Esta topolog´ hace de q una aplicaci´n continua. Sea U ⊆ Heis3 un abierto
ıa, o
entonces por definici´n de q, q −1 (U ) es abierto en SU T3 (R).
o
El Heis3 = SU Z3 (R) es separable. En efecto, Como SU T3 (R) es separable
T
3
entonces existe una base contable de abiertos SU T3 (R) = Ui . Luego
i∈N
aplicando tenemos Heis3 = q(Ui ) que es una base contable de abiertos.
i∈N
Finalmente Heis3 es Hausdorff. Sea AZ3 , BZ3 ∈ Heis3 con AZ3 = BZ3
entonces AZ3 ∩ BZ3 = φ luego aplicando q −1 (AZ3 ) ∩ q −1 (BZ3 ) = φ o sea
que A = B son puntos distintos en SU T3 (R). Como SU T3 (R) es un espacio
topol´gico Hausdorff separable entonces para A y B existen abiertos U A
o
yV B en SU T3 (R) tal que U ∩ V = φ. Como q es sobreyectiva entonces
existen conjuntos U = q −1 (U ) con AZ3 ∈ U y V = q −1 (V ) con BZ3 ∈ V .
Como φ = U ∩ V = q −1 (U ) ∩ q −1 (V ) entonces U ∩ V = φ.
Se
define Ux1 ,x2 ,x3 como bola abierta de radio 1/2 y centro
1 x1 x2
0 1 x3 ∈ SU T3 (R) con x1 , x2 , x3 ∈ Q en SU T3 (R), esto es,
0 0 1
1 y1 y2 1 x1 x2 1 y1 y2
Ux1 ,x2 ,x3 = 0 1 y3 : 0 1 x3 − 0 1 y3 < 1/2 .
0 0 1 0 0 1 0 0 1
max
Entonces la colecci´n U := {Ux1 ,x2 ,x3 : xi ∈ Q} es un cubrimiento contable
o
de SU T3 (R).
La aplicaci´n (restringida de la proyecci´n natural) definida por
o o
φa,b,c : Ua,b,c −→ φa,b,c (Ua,b,c ) ⊆ Heis3
1 x1 x2 1 x1 x2
0 1 x3 −→ 0 1 x3 Z3
0 0 1 0 0 1
es un homeomorfismo entre Ua,b,c y φa,b,c (Ua,b,c ). En efecto, la aplicaci´n φa,b,c
o
es
sobreyectiva.
1 x1 x2 1 y1 y2
Veamos que φa,b,c es inyectiva. Sean 0 1 x3 , 0 1 y3 en
0 0 1 0 0 1
90
17. Newton Huaman´ castro
ı Grupos Matriciales y Grupo Geisenberg
Ua,b,c entonces |x2 − b| < 1 y |y2 − b| < 2 .
2
1
Si
1 x1 x2 1 x1 x2 + z
0 1 x3 Z3 = 0 1 x3 : z ∈ Z
0 0 1 0 0 1
es igual a
1 y1 y2 1 y1 y2 + z
0 1 y3 Z3 = 0 1 y3 : z ∈ Z
0 0 1 0 0 1
entonces
1 x1 x2 1 y1 y2 1 0 z
0 1 x3 = 0 1 y3 0 1 0 para alg´n z ∈ Z
u
0 0 1 0 0 1 0 0 1
1 x1 x2 1 y1 y2 + z
0 1 x3 = 0 1 y3
0 0 1 0 0 1
por igualdad de matrices se sigue x1 = y1 , x3 = y3 y x2 − y2 = z ∈ Z.
Por otro lado |x2 − y2 | ≤ |x2 − b| + |y2 − b| < 2 + 1 < 1. Como x2 − y2 ∈ Z
1
2
entonces x2 = y2 . Entonces φa,b,c : Ua,b,c ⊆ SU T3 (R) −→ φa,b,c (Ua,b,c ) dada
por φa,b,c (A) = AZ3 es biyectiva con inversa φ−1 : φa,b,c (Ua,b,c ) −→ Ua,b,c
a,b,c
dada por φ−1 (AZ3 ) = A.
a,b,c
Las funciones φa,b,c y φ−1 son continuas. Supongamos U ⊆ Heis3 abierto en
a,b,c
Heis3 entonces por definici´n de topolog´ φ−1 (U ) es abierto en SU T3 (R).
o ıa
Supongamos U ⊆ SU T3 (R) es abierto en SU T3 (R). Como la funci´n φ−1 es
o a,b,c
sobreyectiva entonces existe un conjunto V ⊆ Heis3 tal que U = φ−1 (V ) a,b,c
luego por definici´n de topolog´ V es abierto en Heis3 . Como φ−1 es
o ıa a,b,c
−1 −1 −1
biyectiva entonces (φa,b,c ) (U ) = φa,b,c (U ) = φa,b,c (φa,b,c (V )) = V es
abierto en Heis3 . Por consiguiente φa,b,c es homeomorfismo.
1 a b
La aplicaci´n, ψ : SU T3 (R) −→ R3 dada por 0 1 c −→ (a, b, c) es un
o
0 0 1
difeomorfismo de manera natural. Entonces la compuesta
ψ ◦ φ−1 : φa,b,c (Ua,b,c ) ⊆ Heis3 −→ ψ(Ua,b,c ) ⊆ R3
a,b,c
91
18. Newton Huaman´ castro
ı Grupos Matriciales y Grupo Geisenberg
es homeomorfismo de un abierto de Heis3 en un abierto de R3 . En conse-
cuencia ψ ◦ φ−1 es una carta de Heis3 de dimensi´n 3.
a,b,c o
Sean dos cartas, ψ ◦ φ−1 y ψ ◦ φ−1 ,c , tal que Ua,b,c ∩ Ua ,b ,c = φ
a,b,c a ,b
entonces (ψ ◦ φ−1 ) ◦ (ψ ◦ φ−1 ,c )−1 = (ψ ◦ φ−1 ) ◦ (φa ,b ,c ◦ ψ −1 ) la
a,b,c a ,b a,b,c
composici´n es difeomorfismo, por lo tanto las cartas est´n relacionadas.
o a
Por otro lado, como SU T3 (R) = {Ua,b,c : a, b, c ∈ Q} luego aplicando φa,b,c
tenemos Heis3 = q(SU T3 (R)) = {φa,b,c (Ua,b,c ) : a, b, c ∈ Q}. Por tanto
A := ψ ◦ φ−1 : a, b, c ∈ Q es un atlas de dimensi´n 3 para Heis3 .
a,b,c o
Por consiguiente, Heis3 es una variedad suave de dimensi´n 3.
o
(ii) Veamos que Heis3 es grupo topol´gico. El Heis3 es grupo con la
o
operaci´n (AZ3 )(BZ3 ) = ABZ3 , donde AZ3 , BZ3 ∈ Heis3 ,. La operaci´n
o o
binaria mult = LAZ3 ◦ P2 , donde AZ3 ∈ Heis3 , es continua porque LAZ3
y P2 son continuas. La operaci´n unaria inv = LA−1 Z3 ◦ CT EIZ3 , donde
o
CT EIZ3 : Heis3 −→ {IZ3 } dada por CT EIZ3 (AZ3 ) = IZ3 , es continua
porque LA−1 Z3 y CT EIZ3 son continuas.
(iii) Puesto que LAZ3 , P2 , LA−1 Z3 y CT EIZ3 son suaves. Entonces
mult : Heis3 × Heis3 −→ Heis3 inv : Heis3 −→ Heis3
y
(xZ3 , yZ3 ) −→ xyZ3 xZ3 −→ x−1 Z3
son funciones suaves.
Por lo tanto de (i), (ii) y (iii) se concluye que el grupo Heisenberg, Heis3 ,
es un grupo de Lie de dimensi´n 3.
o
4.14 Definici´n.o
Los centros de SU T y Heis3 est´n definidos por
3 (R) a
1 0 b
1. C(SU T3 (R)) := 0 1 0 :b∈R .
0 0 1
1 0 b
2. C(Heis3 ) := 0 1 0 Z3 : b ∈ R .
0 0 1
Luego C(SU T3 (R)) es subgrupo normal de SU T3 (R) y C(Heis3 ) es
subgrupo normal abeliano de Heis3 .
Notaci´n de cociente del grupo Heisenberg.
o
92
19. Newton Huaman´ castro
ı Grupos Matriciales y Grupo Geisenberg
Notemos que C(Heis3 ) = C(SU T3 (R))/Z3 .
El grupo circular
S1 := {z ∈ C : |z| = 1}
es ismomorfo al centro de Heis3 , es decir C(Heis3 ) ∼ S1 con el isomorfismo
=
natural dada por
1 0 t
0 1 0 Z3 ←→ e2πit . (4,2)
0 0 1
De ahora en adelante denotaremos un cociente
1 x t
0 1 y Z3 ∈ Heis3
0 0 1
como [x, y, e2πit ].
Entonces un elemento de Heis3 tendr´ la forma [x, y, z] para x, y ∈ R y
a
1
z ∈ S . El elemento unidad de Heis3 es [0, 0, 1] = IZ3 .
La multiplicaci´n, inversos y conmutadores en Heis3 est´n dados
o a
por
[x1 , x2 , x3 ][y1 , y2 , y3 ] = [x1 + y1 , x2 + y2 , x3 y3 e2πx1 y2 ],
[x, y, z]−1 = [−x, −y, z −1 e2πixy ],
[x1 , x2 , x3 ] [y1 , y2 , y3 ] [x1 , x2 , x3 ]−1 [y1 , y2 , y3 ]−1 = [0, 0, e2πi(x1 y2 −x2 y1 ) ].
Para x1 , x2 , y1 , y2 ∈ R y x3 , y3 ∈ S1 .
4.5. No Todo Grupo de Lie Tiene Representaci´n
o
Matricial
El siguiente teorema nos muestra que el grupo de Heisenberg de tama˜o 3,
n
Heis3 , no puede ser considerado como un subgrupo matricial de GLn (K) en
un sentido m´s amplio y t´cnico podemos decir que entre Heis3 y GLn (C)
a e
no existe un isomorfismo continuo de grupos con lo que se da por finalizado
este trabajo de pregrado de la que se desprende una pregunta y es: ¿Cu´ndo
a
un grupo de Lie es un subgrupo matricial de GLn (K)?, seg´n lo expuesto
u
por Andrew Baker en su libro Matrix Groups[5]; todo grupo de Lie compacto
puede ser representado por un subgrupo matricial de GLn (K).
93
20. Newton Huaman´ castro
ı Grupos Matriciales y Grupo Geisenberg
4.15 Teorema
No existen homomorfismo continuos de grupos ϕ : Heis3 −→ GLn (C) con
kernel trivial, kerϕ = {[0, 0, 1]} = {I3 Z3 }, para cualquier n ∈ N. Es decir, el
grupo de Heisenberg de tama˜o 3, Heis3 , no tiene representaci´n mediante
n o
un subgrupo matricial de GLn (K).
Demostraci´n por absurdo.
o
Supongamos que ϕ : Heis3 −→ GLn (C) es un homomorfismo continuo con
kernel trivial, kerϕ = {[0, 0, 1]} = {I3 Z3 }, y sea n el m´ ınimo para el cual
esto sucede.
Por cada g ∈ Heis3 , la matriz ϕ(g), act´a sobre Cn del siguiente
u
modo
Heis3 × Cn → Cn
(g, v) → ϕ(g)v.
Identificamos a C(Heis3 ) con S1 por medio del isomorfismo dado en la
ecuaci´n 4.2.
o
Sean z0 ∈ C(Heis3 ) ∼ S1 y λ un valor propio de la matriz ϕ(z0 ) con
=
vector propio v, entonces det(ϕ(z0 ) − λIn ) = 0, ϕ(z0 )v = λv y adem´s
a
k
ϕ(z0 )v = ϕ(z0 )k v = ϕ(z0 )k−1 λv = λk v.
N´tese que el autovalor λ = 0 pues si λ = 0 entonces det(ϕ(z0 )) = 0 lo cual
o
contradice al det(ϕ(z0 )) = 0 ya que ϕ(z0 ) ∈ GLn (C).
−1
Tomemos a |λ| ≥ 1 (reemplazando, si es necesario, z0 por z0 )
Si |λ| > 1 se obtiene que
k |ϕ(z0 )k x|
ϕ(z0 ) := m´x
a : x ∈ Cn − {0} ≥ |λ|k ;
|x|
k
por lo tanto ϕ(z0 ) → ∞ cuando k → ∞, lo cual implica que
k
{ϕ(z0 ) : k ∈ N} no est´ acotada por el criterio de comparaci´n.
a o
k
Por otro lado {z0 : k ∈ N} ⊆ C(Heis3 ) = ∼ S1 y S1 es compacto entonces
por la continuidad de ϕ la imagen ϕ(S1 ) es compacto. En consecuencia
k
{ϕ(z0 ) : k ∈ N} es acotada. Lo cual es una contradicci´n. As´ necesaria-
o ı,
mente |λ| = 1.
94
21. Newton Huaman´ castro
ı Grupos Matriciales y Grupo Geisenberg
Sea g un elemento cualquiera de Heis3 , entonces
ϕ(z0 )ϕ(g)v = ϕ(z0 g)v = ϕ(gz0 )v = ϕ(g)ϕ(z0 )v = λϕ(g)v,
lo cual muestra que ϕ(g)v ∈ Cn es un vector propio de ϕ(z0 ) para el valor
propio λ.
Sean
Vλk := {v ∈ Cn /∃k ≥ 1 tal que (ϕ(z0 ) − λIn )k v = 0} y Vλ := Vλk .
k
Se deduce que
Vλ1 ⊆ Vλ2 ⊆ · · · ⊆ Vλk ⊆ · · ·
EL conjunto Vλ es un subespacio vectorial de Cn , el cual es cerrado bajo la
acci´n de las matrices ϕ(g) con g ∈ Heis3 , es decir, si v est´ en Vλ , entonces
o a
ϕ(g)v est´ en Vλ . Esto es verdad ya que si v est´ en Vλ existe un k > 0 para
a a
el cual (ϕ(z0 ) − λIn )k v = 0, as´
ı
(ϕ(z0 ) − λIn )k ϕ(g)v = (ϕ(z0 ) − λIn )k−1 (ϕ(z0 )ϕ(g) − λϕ(g))v
= (ϕ(z0 ) − λIn )k−1 (ϕ(z0 g) − λϕ(g))v
= (ϕ(z0 ) − λIn )k−1 (ϕ(gz0 ) − λϕ(g))v
= (ϕ(z0 ) − λIn )k−1 ϕ(g)(ϕ(z0 ) − λIn )v
= ϕ(g)(ϕ(z0 ) − λIn )k v
= 0,
Por lo tanto ϕ(g)v ∈ V λ.
Escojamos k0 ≥ 1 el mayor n´mero natural para la cual exista v0 ∈ Vλ que
u
satisfaga
(ϕ(z0 ) − λIn )k0 v0 = 0, pero (ϕ(z0 ) − λIn )k0 −1 v0 = 0.
Si k0 > 1,
0 = (ϕ(z0 ) − λIn )(ϕ(z0 ) − λIn )(ϕ(z0 ) − λIn )k0 −2 v0 ,
Sean v := (ϕ(z0 ) − λIn )(ϕ(z0 ) − λIn )k0 −2 v0 y u := (ϕ(z0 ) − λIn )k0 −2 v0
vectores que porsupuesto son no nulos en Vλ tales que
95
22. Newton Huaman´ castro
ı Grupos Matriciales y Grupo Geisenberg
ϕ(z0 )u = λu + v, ϕ(z0 )v = λv.
Dado que v = 0 y para cualquier k ∈ N,
k
ϕ(z0 )u = ϕ(z0 )k u
= ϕ(z0 )k−1 (λu + v)
= λϕ(z0 )k−1 u + ϕ(z0 )k−1 v
= λϕ(z0 )k−1 u + λk−1 v
= λϕ(z0 )k−2 (λu + v) + λk−1 v
= λ2 ϕ(z0 )k−2 u + λk−1 v + λk−1 v
= λ2 ϕ(z0 )k−3 (λu + v) + λk−1 v + λk−1 v
= λ3 ϕ(z0 )k−3 u + λk−1 v + λk−1 v + λk−1 v
.
.
.
= λk u + kλk−1 v,
puesto que |λ| = 1 se obtiene
ϕ(z0 ) = ϕ(z0 )k ≥ |λ|k−1 |λu + kv| = |λu + kv| → ∞
k
cuando k → ∞. Esta afirmaci´n esta en contradicci´n con el hecho que ϕ(S1 )
o o
es acotada, entonces k0 = 1. Por consiguiente Vλ es el espacio vectorial de los
vectores propios de ϕ(z0 ) para el valor propio λ, es decir,
Vλ := {v : (ϕ(z0 ) − λIn )v = 0}.
As´ pues, la siguiente acci´n del Heis3 sobre Vλ
ı o
ϕ : Heis3 × Vλ → Vλ
(g, v) → ϕ(g)v
es la representaci´n de Heis3 sobre el espacio vectorial Vλ , por lo tanto la
o
aplicaci´n (la cual podemos tomar ϕ sin perder la generalidad)
o
ϕ : Heis3 −→ GLdimVλ (C)
es un homomorfismo continuo con kernel trivial tal que ϕ(z0 ) = λI(dimVλ ) y
por la condici´n m´
o ınima de n se debe tener que dimVλ = n. Es m´s, por la
a
continuidad de ϕ tenemos que para todo z en C(Heis3 ), ϕ(z) = (escalar)In .
96
23. Newton Huaman´ castro
ı Grupos Matriciales y Grupo Geisenberg
Dado que todo z ∈ C(Heis3 ) es un conmutador; z = ghg −1 h−1 para
g, h ∈ Heis3 , y det como ϕ son homomorfismos, tenemos que
detϕ(z) = detϕ(ghg −1 h−1 ) = 1 (∀z ∈ C(Heis3 )).
Entonces, existe una funci´n continua µ : C(Heis3 ) −→ C× = C − {0} tal
o
que para todo z en C(Heis3 ),
ϕ(z) = µ(z)In y µ(z)n = detϕ(z) = 1.
Como C(Heis3 ) ∼ S1 es un subconjunto conexo de C y ϕ(I3 Z3 ) = In donde
=
I3 Z3 ∈ C(Heis3 ), se tiene que µ(z) = 1 para toda z en S1 ∼ C(Heis3 ). As´
= ı,
ϕ(z) = In para todo z en C(Heis3 ), por lo tanto C(Heis3 ) est´ contenido en
a
Kerϕ, es decir C(Heis3 ) ⊆ Kerϕ. Lo cual es contradictorio con la suposici´n
o
de que el kernel de ϕ es trivial, es decir kerϕ = {IZ3 }.
Por tanto, no existe homomorfismos continuo entre Heis3 y GLn (C),
ϕ : Heis3 −→ GLn (C), con kernel trivial, kerϕ = {[0, 0, 1]}. Es decir, el
grupo de Heisenberg de tama˜o 3, Heis3 , no tiene representaci´n mediante
n o
un subgrupo matricial de GLn (K).
97
24. Newton Huaman´ castro
ı Grupos Matriciales y Grupo Geisenberg
La funci´n exponencial aplica el ´lgebra de Lie de un subgrupo
o a
matricial de GLn (K) en el grupo mismo.
98
25. Bibliograf´
ıa
[1] EMILIO LLUIS PUEBLA. Teor´a
ı de
grupos: Publicaci´n
o de la Sociedad
Matem´tica Mexicana, 2006.
a
[2] E. LAGES LIMA. Introdu¸˜o `s variedades diferenci´veis: Editorial
ca a a
Meridional, 1960.
[3] ´
E. LAGES LIMA. Algebra linear : Publicaci´n de IMPA, s´ptima edi-
o e
ci´n, 2004.
o
[4] GUILLERMO MORENO & MIGUEL ANGEL TORRES. Grupos de
Lie que no son Grupos de Matrices: Departamento de Matem´ticas
a
CINVESTAV-MEXICO, Publicado en 1991.
[5] ANDREW BAKER. Matrix Groups:
An introduction to Lie group theory:
Editorial Springer-Verlag-Inglaterra, 2002.
[6] R. CARTER, G. SEGAL & I. MACDONALD. Lectures on Lie Groups
and Lie Algebras: Impreso en Cambridge University, 2004.
[7] MICHAEL SPIVAK. C´lculo en Variedades: Editorial Revert´, 1988.
a e
[8] ANDREW BAKER. An introduction to matrix groups and their ap-
plications: Departamento de matem´ticas de University of Glasgow-
a
Inglaterra, 2000.
[9] E. LAGES LIMA. An´lise no espa¸o Rn . Editorial Universidad de
a c
Bras´
ılia-San Paulo-Brasil, 1970.
99
26. [10] MORRIS W. HIRSCH & STEPHEN SMALE. Differential Equations,
Dynamical Systems, and Linear Algebra-1974: Versi´n en espa˜ol por
o n
Carlos Fern´ndez P´rez, editorial Alianza-Madrid-Espa˜a, 1983.
a e n
[11] ESTHER GALINA. Representaciones del grupo de Heisenberg: Notas
´
del curso de Analisis Armonico en el Grupo Heisenberg en la Univer-
sidad Nacional de Cordova-Espa˜a, dictadas en el primer semestre de
n
2008.
[12] SERGE LANG. Algebra: Editorial Addison-Wesley, segunda edici´n
o
1984.
100