Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares GeometricosUnidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 11
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UNIDAD 2:
SISTEMAS DE
COORDENADAS Y
LUGARES
GEOMETRICOS
PROPOSITO...
Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 3
•Encontrar las coordenadas de un punto
en el plano utilizando los...
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•Entenderá los pasos de la deducción,
de la formula de distancia ...
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•Dadas las coordenadas de los extremos de
un segmento y las de un...
Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 6
•Reducirá algunas situaciones a otras mas
simples que ya sabe res...
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CONTENIDO TEMATICO
Estudio analítico de un punto en el plano.
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Estudio analítico de algunos lugares geométricos en el plano
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UNIDAD 2:SISTEMAS DE COORDENADAS Y LUGARES
GEOMETRICOS
PROPOSITOS...
Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 10
• Representara adecuadamente en cualquier cuadrante del plano
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INTRODUCCION.
En la historia del devenir humano, el siglo XVII m...
Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 12
En el año de 1637, Descartes publico un libro memorable, llamado...
Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 13
¿recuerdas? Que en un sistema de coordenadas cartesianas se
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O como en la figura 2.3 y 2.4, que si revisas bien las graficas
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Debes saber también que otra forma de representar puntos
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Si queremos localizar un punto (r) en el sistema de coordenadas
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También podemos tener distancias “negativas”:ya que
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Con estos conceptos básicos de localización de puntos en el
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Problema 2.3
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Problemas:
1) Localiza el punto B (4,210º), haciendo otro trazo ...
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SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES
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Consideremos la figura 2.16; por lo que sabes en trigonometría:
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Problema 2.4
Transformaremos el punto J(3,4) de coordenadas rect...
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Por lo tanto el punto J propuesto tiene de coordenadas
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Localizaremos este punto en los dos sistemas de coordenadas
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RESUELVE POR EQUIPOS LOS SIGUIENTES PROBLEMAS.
Localiza en coord...
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9) Dado A (0,5), transforma coordenadas polares.
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ESTUDIO ANALITICO DE UN SEGENTO RECTILINIO EN EL
PLANO CARTESIAN...
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DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
Si en una recta numerica queremos enc...
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En el plano. Supongamos ahora que tenemos dos puntos A y B
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Aplicando el teorema de Pitágoras
Sustituyamos estos valores en ...
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PROBLEMA 2.5
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SOLUCION
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Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 43
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Problema 2.7
Encontrar la distancia entre el Punto A(1,5) y
B(-2...
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Fig. 2.22
Sol. La distancia del segmento AB es 5 unidades de
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debe cumplir el te...
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Calculemos las distancias respectivas:
Escribe en tu cuaderno un...
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Calculemos las distancias. AB = -J(x2 -x,)J +(y1 -yj2
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PENDIENTE DE UNA RECTA.
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Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 52
Si hacemos el análisis del triángulo rectángulo que se
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Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 53
Pendiente de la recta L que pasa por
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Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 54
Problema 2.11
Problema 2.11
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Problemas.
cada uno de los problemas construye una gráfica y res...
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DIVISIÓN DE UN SEGMENTO
Aprendizajes. El Alumno:
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tanto, podemos afirmar que la distancia recorrida por el Auto, e...
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visión de un segmento rectilíneo
Suponiendo que tenemos en un es...
Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 60
Para encontrar la razón en que P divide a la
pista, se divide la...
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Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 62
La razón en que el punto T divide al
segmento PQ, se define como...
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tante, el punto T tiene por coordenadas T (X', Y'): =vmto medio ...
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Recordando la Teoría vista en el punto Anterior,
tenemos que:
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Siendo la expresión anterior, la fórmula general para
calcular e...
Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 66
punto es:
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P¡£ 2 — » segmentos
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Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 67
Figura 2.34
5 a segmento AB se divide en cinco partes iguales, l...
Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 68
Figura 2.35
Problema 2.13
Encontrar las coordenadas del punto P(...
Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 69
Problema 2.14
Hallar las coordenadas del punto M que divide en l...
Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 70
Solución:
Para observar una gráfica, véase la Fig. 2.38
...........
Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 71
T(X
'lY
'):|
1 + 2/3 ' 1 + 2/3 J Las coordenadas de T (X', Y')=
...
Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 72
3) Encuentra las coordenadas del punto P que divide al segmento
...
Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 73
satisfacen las coordenadas de los puntos de una "curva" en el pl...
Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 74
¿QUÉ ES UN LUGAR GEOMÉTRICO?
_a geometría analítica se propone u...
Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 75
El conjunto de los puntos (x, y} que satisfacen la ecuación x=b,...
Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 76
El lugar geométrico de los puntos que equidistan del eje y, del ...
Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 77
La distancia del punto P al eje y es igual a x(distancia
proyect...
Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 78
Resumiendo:
.a gráfica de una ecuación es el conjunto de los pun...
Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 79
Realicemos una relación de valores que puede
tomar la variable i...
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Conclusión: Podemos observar que la recta
interseca solamente a ...
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La figura nos ayuda a visualizar las simetrías. La
curva es simé...
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Milita gráficamente el lugar geométrico de y=3x.
una tabulación ...
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X Y=3X P(x,y)
-4 Y=3(-4)=-12 K-12)
-3 Y=3t3)=-9 Í-3.-9)
-2 Y=3(-...
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Conclusión: el lugar
geométrico de
estos puntos que
encontramos ...
Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 85
Solución: Sí analizamos la gráfica, podemos plantear fácilmente ...
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- Dada una ecuación, interpretar ésta geométricamente, es decir,...
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Problema 2.19
Construye la gráfica de la siguiente curva y2 = 8x...
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aoendo la relación con la ecuación que queremos analizar,
debemo...
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Analicemos sus simetrías.
1) Recordemos, si la ecuación de una c...
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Hagamos un breve resumen de los conceptos ilustrados en
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  1. 1. Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares GeometricosUnidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 11 UNIDAD II: Sistemas de Coordenadas y Lugares Geométricos “Es en busca de lo imposible que se reconoce lo posible” Mijail Bakunin
  2. 2. Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 2 UNIDAD 2: SISTEMAS DE COORDENADAS Y LUGARES GEOMETRICOS PROPOSITOS: Proporcionar una visión global del método de la geometría Analítica como el medio para resolver problemas de corte Euclidiano reduciéndolos a problemas algebraicos, así como proporcionar los elementos que servirán en unidades posteriores para emplear el método en situaciones mas complejas. APRENDIZAJE Y TEMATICA Al finalizar la Unidad , el alumno: •Reconocerá que un aspecto relevante en el método de la geometría analítica, consiste en definir y ubicar un sistema de referencia en un plano.
  3. 3. Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 3 •Encontrar las coordenadas de un punto en el plano utilizando los sistemas de referencia en un plano. •Localizara puntos en un plano cuando se proporcionen sus coordenadas rectangulares y coordenadas polares. •Representara adecuadamente en cualquier cuadrante del plano cartesiano , un conjunto cualquiera de puntos. •Identificara las condiciones para representar un segmento rectilíneo en el plano cartesiano: las coordenadas de sus puntos extremos o bien, las coordenadas de uno de ellos, la longitud del segmento y su ángulo de inclinación
  4. 4. Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 4 •Entenderá los pasos de la deducción, de la formula de distancia entre dos puntos en el plano cartesiano. •Calculara la longitud de un segmento dadas las coordenadas de sus puntos extremos. •Dadas las coordenadas de sus puntos extremos de un segmento, calcula su ángulo de inclinación a través de su pendiente. •Resolverá analíticamente problemas que impliquen determinar un segmento a partir de algunas de las propiedades que lo definen. •Explicara el significado de un punto que divide a un segmento en una razón dada.
  5. 5. Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 5 •Dadas las coordenadas de los extremos de un segmento y las de un punto interior a el, calculara la razón en que este ultimo divide al segmento. •Encontrara las coordenadas del punto que divide a un segmento en una razón dada. En particular, las coordenadas del punto medio. •Dadas las coordenadas del punto medio y de uno de los extremos de un segmento rectilíneo encontrara las coordenadas del otro extremo. •Reconocerá a una ecuación con dos variables como la expresión general que satisfacen las coordenadas de los puntos de un curva en el plano. •Resolverá problemas geométricos de intersección entre rectas, circunferencias o entre estas y los ejes coordenados.
  6. 6. Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 6 •Reducirá algunas situaciones a otras mas simples que ya sabe resolver, lo que reforzara una estrategia de resolución de problemas. •Incrementara su capacidad de generalizar, tanto al obtener formulas generales a partir de analizar casos concretos como al interpretar un concepto en dos representaciones distintas. •Identificara algunos de los procesos inversos que se presentan en esta unidad; lo que reforzara su capacidad de inversión de pensamiento.
  7. 7. Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 7 CONTENIDO TEMATICO Estudio analítico de un punto en el plano. a) Representación numérica de un punto en el plano: b) En el sistema de coordenadas polares c) En el sistema de coordenadas rectangulares Estudio analítico de un segmento rectilíneo en el plano cartesiano. a) Localización de un segmento rectilíneo en el plano. condiciones necesaria y suficientes. b) Longitud del segmento. distancia entre dos puntos c) Angulo de inclinación del segmento. Concepto de pendiente. d) Razón en que un segmento es dividido por uno de sus puntos e) Coordenadas del punto que divide al segmento en una razón dada.
  8. 8. Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 8 Estudio analítico de algunos lugares geométricos en el plano cartesiano. a) lugares geométricos sencillos que dan lugar a rectas, circunferencias y parábolas. b) Su representación algebraica c) Intersecciones entre ellos o con los ejes cartesianos.
  9. 9. Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 9 UNIDAD 2:SISTEMAS DE COORDENADAS Y LUGARES GEOMETRICOS PROPOSITOS: Proporcionar una visión global del método de la geometría Analítica como el medio para resolver problemas de corte Euclidiano reduciéndolos a problemas algebraicos, así como proporcionar los elementos que servirán en unidades posteriores para emplear el método en situaciones mas complejas. ESTUDIO ANALITICO DE UN PUNTO EN EL PLANO. Aprendizajes: •reconocerá que un aspecto relevante es un método de la geometría analítica, consiste en definir y ubicar un sistema de referencia en un plano. •Encontrara las coordenadas en un punto en el plano utilizando los sistemas de referencia cartesiano y polar. •Localizara puntos en el plano cuando se proporcionen sus coordenadas rectangulares y coordenadas polares.
  10. 10. Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 10 • Representara adecuadamente en cualquier cuadrante del plano cartesiano, un conjunto cualesquiera de puntos. Temática Estudio analítico de un punto en el plano. a) Introducción b) Representación numérica de un punto en el plano: c) En el sistemas de coordenadas polares d) En el sistema de coordenadas rectangulares.
  11. 11. Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 11 INTRODUCCION. En la historia del devenir humano, el siglo XVII marca un momento culminante en la evolución de la ciencia pues una de sus ramas mas importantes como lo es la matemática, empieza a escindirse de la filosofía ortodoxa adquiriendo una carta de identidad propia y además muy promisoria en cuanto a los servios que empezaría a ingeniería y la arquitectura por citar sola algunas. Correspondió al inminente pensador Rene Descartes el merito, entre otros tantos de haber contribuido al notable desarrollo de las matemáticas a través del establecimiento de las bases para alcanzar la desiciba confluencia entre dos ramas vitales de la matemática: El algebra y la geometría, disciplina que con el tiempo se llamaría geometría Analítica.
  12. 12. Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 12 En el año de 1637, Descartes publico un libro memorable, llamado el francés “la geometrie”, en el que se fundamentan varios resultados relevantes como el método de coordenadas para estudiar propiedades subjetivas y objetivas de las curvas continuas ubicadas en un plano a través de relaciones analíticas. Tales reflexiones llevarían a la postre al importante concepto de “métrica”, entorno al cual giran y se fundamentan los principales resultados del análisis matemático, del Análisis tensorial, de la Teoría de la medida y asta de la misma Teoría de la relatividad de Einstein. Así por ejemplo, se ha demostrado que todos los cuerpos celestes que habitan el Universo, deforman al espacio en curvaturas a medida que se van desplazando en sus respectivas trayectorias, a tales espacios se les llama “Riemannianos” .
  13. 13. Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 13 ¿recuerdas? Que en un sistema de coordenadas cartesianas se puede localizar un punto con un pareja de valores (x,y) para el sistema de coordenadas rectangulares, cuyos valores son las distancias dirigidas, partiendo del origen de los ejes x e y respectivamente. Y que el origen es el punto donde se intersecan los dos ejes coordenados, como se muestra en las figuras.
  14. 14. Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 14 O como en la figura 2.3 y 2.4, que si revisas bien las graficas puedes darte cuenta cual es la pareja de valores que representa a cada uno de los puntos A,B,C,D,E,F,G Y H: Escribe los valores de las coordenadas de cada uno de los puntos, en tu cuaderno en borrador.
  15. 15. Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 15 Debes saber también que otra forma de representar puntos en el plano es empleando coordenadas polares, en este sistemas se necesitan conocer dos parámetros: Angulo y una distancia (r). entonces es el Angulo que se forma entre al recta que une los puntos P O y una recta fija llamada eje polar como se observa en la fig.2.5. θ
  16. 16. Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 16 Si queremos localizar un punto (r) en el sistema de coordenadas polares, lo que necesitamos conocer es r y lo que podemos hacer es trazar una circunferencia de radio r, después trazar una línea con un ángulo de inclinación y por ultimo, encontrar el punto de intersección entre la circunferencia y la recta; este punto es el que queremos localizar. A continuación localizamos varios puntos en el plano polar , con el ángulo medido en radianes:
  17. 17. Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 17 Observa que hay tres circunferencias, todos los puntos sobre estas circunfencias tienen una distancia al polo igual al radio de ella. Lo único que hace falta es encontrar el ángulo de inclinación. para medir el ángulo es necesario tomar en cuenta si este es positivo o negativo. Si es positivo hay que medirlo en sentido contrario al movimiento de las manecillas de el reloj y si es negativo, a favor del movimiento de las manecillas del reloj, como se aprecia en la figura 2.7.
  18. 18. Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 18 Como ves los ángulos pueden ser negativos dependiendo de cómo se midan a partir del eje polar, comos e aprecia en la figura 2.8:
  19. 19. Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 19 También podemos tener distancias “negativas”:ya que hallamos localizado el ángulo, la recta que parte del polo en esa dirección tendrá un radio positivo y los puntos que estén sobre la prolongación de esta recta en sentido contrario tendrán un radio negativo, es decir la proyección respecto al polo. Por ejemplo figura 2.9:
  20. 20. Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 20 Con estos conceptos básicos de localización de puntos en el sistema de coordenadas polares, podemos graficar funciones y no solo puntos en el plano. En este tipo de funciones la variable independiente es ángulo y la dependiente es r , así que las funciones son de tipo r =r “ángulo” . el método para graficar este tipo de funciones es el siguiente: Primero graficamos la función r=r (ángulo) en coordenadas rectangulares luego, a partir de esa grafica trazamos la correspondiente en polares. Guiándonos con la dependencia de r con respecto (ángulo). Recordemos que el ángulo es la variable independiente y va de cero a dos pi generalmente. Por ejemplo la función r=ángulo tiene como grafica en rectangulares, la figura.
  21. 21. Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 21 La grafica de la función r=ángulo en coordenadas polares se muestra en la siguiente figura.
  22. 22. Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 22 En la figura 2.11 tenemos la grafica de la misma función (figura 2.10) pero en coordenadas polares, se ve claro esta dependencia del radio con el ángulo. A esta grafica se le llama Espiral de Arquímedes. Mostraremos la localización de algunos puntos en coordenadas polares. Problema 2.1 Localizaremos el punto A (2,30º), asiendo otro trazo posible e indicaremos sus coordenadas
  23. 23. Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 23 Problema2.2 Localizaremos el punto P (-3,30º), haciendo dos trazos posibles, es decir representar el mismo punto en otra manera, he indicaremos las coordenadas.
  24. 24. Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 24 Problema 2.3 Localiza el punto U(5,75º), busca otro trazo posible para el mismo punto he indica sus coordenadas.
  25. 25. Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 25 Problemas: 1) Localiza el punto B (4,210º), haciendo otro trazo posible del mismo punto e indica sus coordenadas. 2) Localiza el punto A( -4,300º), y busca otro trazo posible indicando sus coordenadas. 3) Localiza el punto M(3, )y has otro trazo posible indicando las coordenadas del punto M. 4) Localiza el punto A (4, ) y has otro trazo posible, indicando las coordenadas del punto A. 5) Localiza el punto J(-4, )e indica las coordenadas del mismo J, haciendo otro trazo posible. π 6 1 π 6 5 π 6 4 −
  26. 26. Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 26 SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES En los cursos anteriores recordemos que en el sistema de coordenadas rectangulares divide al plano de coordenadas en cuatro cuadrantes, a través de dos rectas perpendiculares entre si, que se cortan en el punto “o” llamado origen de los ejes. A los ejes los conocemos como: Eje horizontal, eje de las “x”; O eje de las abscisas Eje vertical, eje de las “y”; O eje de las ordenadas La distancia de un punto al eje de las y’s se llama abscisa del punto mientras que la distancia del mismo punto al eje de las x’s se llama ordenada, y las dos juntas se llaman coordenadas del punto y se simbolizan P (x,y) .
  27. 27. Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 27 Para hacer la representación de puntos en este tipo de coordenadas hay que adoptar una escala adecuada en ambos ejes y estas pueden ser entre si iguales o diferentes.
  28. 28. Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 28 RELACIONENTRE LAS COORDENADAS POLARES Y LAS COORDENDAS RECTANGULARES. Si consideramos que el punto P (r, ) y tomamos el eje polar OX y el polo O como el eje X, y el origen de los ejes respectivamente, de un sistema de coordenadas rectangulares, P ( x,y) es el mismo punto P, y en esas condiciones, tenemos la figura 2.16 que sigue: θ
  29. 29. Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 29 Consideremos la figura 2.16; por lo que sabes en trigonometría: entonces Al despejar x llegamos a: entonces También podemos escribir: entonces Al despejar y; llegamos a: Además Cos ; r x =θ ;cosθrx = ; r y sen =θ θrseny = ;tan x y =θ x y ang tan=θ
  30. 30. Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 30 Por otro lado, utilizando el teorema de Pitágoras en la misma figura 2.16, tenemos: (calculando la raíz cuadrada a los dos miembros de la expresión) Por lo que: (simplificando la expresión) 222 yxr += 22 2 yx r += 22 yxr +=
  31. 31. Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 31 Problema 2.4 Transformaremos el punto J(3,4) de coordenadas rectangulares a coordenadas polares. Dado J(3,4), a: J(r, Tan del Angulo= 4/3 Por que la tangente de un ángulo, es la ordenada del punto sobre la ábsisa del mismo punto. Tan =1.3333 Tan=1.3333=53.1294=53º07’46” 5 525169 43 22 22 = ===+= += += r rr r yxr
  32. 32. Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 32 Por lo tanto el punto J propuesto tiene de coordenadas polares: J (5,53º07’46”) si consideramos solamente los grados J(5, 53º). Ahora realizaremos el proceso inverso, es decir, pasar de coordenadas `polares a coordenadas cartesianas. Nuestros datos serian: r= 5 ángulo= 53º Nuestras incógnitas serán el valor de las coordenadas x,y Haremos uso de las formulas antes mencionadas:
  33. 33. Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 33 Si sustituyes los datos en estas formulas encontraras el valor de las coordenadas de este punto en tu cuaderno de notas realiza esa sustitución así como las operaciones y obtendrás que las coordenadas del punto J son: x=3 , y=4; es decir J (3,4), como se muestra en la figura 2.17
  34. 34. Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 34 Localizaremos este punto en los dos sistemas de coordenadas
  35. 35. Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 35 RESUELVE POR EQUIPOS LOS SIGUIENTES PROBLEMAS. Localiza en coordenadas polares y en coordenadas cartesianas los siguientes puntos: 1) A(4,30º) 2) B(3,45º) 3) C(2,60º) 4) D(3,5) 5) E(5,7) 6) F(-2,4) 7) G(3,120º) 8) H(4,210º)
  36. 36. Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 36 9) Dado A (0,5), transforma coordenadas polares. 10)Dado S(5,104º), transforma a coordenadas rectangulares. 11)Dadas A(3,45º)transforma a coordenadas rectangulares.
  37. 37. Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 37 ESTUDIO ANALITICO DE UN SEGENTO RECTILINIO EN EL PLANO CARTESIANO. Aprendizajes: el alumno *identificara las condiciones para representar un segmento rectilíneo en el plano cartesiano. Las coordenadas de sus puntos extremos, o bien las coordenadas de uno de ellos, la longitud del segmento y su ángulo de inclinación. Temática: a) Localización de un segmento rectilíneo en el plano. Condiciones necesarias y suficientes. b) Longitud del segmento. Distancia entre dos puntos c) Angulo de inclinación del segmento. Concepto de pendiente.
  38. 38. Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 38 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS Si en una recta numerica queremos encontrar las distancias entre dos puntos Ay B se toma el valor absoluto de las diferencias de sus coordenadas, es decir:
  39. 39. Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 39 En el plano. Supongamos ahora que tenemos dos puntos A y B en el plano y que escogeremos un par de ejes cartesianos , respecto a los cuales podremos identificar sus coordenadas de estos dos puntos A ( x,y) B(x,y) Representemos estos puntos en un sistema coordenado, ver Fig.2.19, tracemos AK paralela al eje de las x,y perpendicular al mismo eje; el AKB es un triangulo de tal manera que AB es la hipotenusa, por el Teorema de Pitágoras tenemos:
  40. 40. Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 40 Aplicando el teorema de Pitágoras Sustituyamos estos valores en la ecuación (1) y despejamos Sabemos por la geometría elemental que la distancia mas corta de un punto a otro, es el segmento de recata que los une. Así obtendremos la formula para encontrar la distancia entre dos puntos . 1 2 12 222 yyBK xxAK BKAKAB = −= += 2 22 2 12 2 122 2 2 )()( ))(())1(( yyxxAB yyxxAB −+−= −+−= 2 22 2 12 )()( yyxxAB −+−=
  41. 41. Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 41 PROBLEMA 2.5 En mar abierto el origen se sitúa en un faro que se encuentra en una bahía considerado un plano cartesiano. Un barco se encuentra en el punto A cuyas coordenadas son A(-4,5) y el otro en el punto B coordenadas B(3,1). ¿Qué distancia ay entre ellos considerando como unidad de medida el km.?ver fig.2.20
  42. 42. Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 42 SOLUCION Aplicando el teorema de Pitágoras. Datos: A (-4,5) Y B(3,1) Incógnita: d AB Calculemos las longitudes de los catetos de este triangulo. Podemos conocer C(-4,1) Observemos estos resultados en la fig.2.20
  43. 43. Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 43 Como tenemos un triangulo rectángulo podemos aplicar el teorema de Pitágoras para conocer a que distancia se encuentran estos dos barcos Recordemos el teorema “ En un triangulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual ala suma de los cuadrados de los catetos”; luego entonces, sustituyendo. Los dos barcos se encuentran a una distancia que es aproximada de 8.1 kilómetros.
  44. 44. Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 44 Problema 2.7 Encontrar la distancia entre el Punto A(1,5) y B(-2,1) Escribe en tu cuaderno cuáles son tus datos y cuáles son las incógnitas en la solución de este problema: Solución. Sustituimos las coordenadas de los puntos A y B en la formula
  45. 45. Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 45 Fig. 2.22 Sol. La distancia del segmento AB es 5 unidades de medida. Problema 2.8 Mostrar que los puntos A(2,-2), B(-8,4) y C(5,3) son tos vértices de un triángulo Rectángulo.
  46. 46. Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 46 Recuerda que si es un triángulo rectángulo se debe cumplir el teorema de Pitágoras. BC2 =AB* +AC2 Fig.2.23 Solución: Calculemos las distancias de cada uno de los lados del triángulo, utilizando la formula: ¿(2-2) £(-8,4) dAB = A /(-8-2)2 +(4-(-2))2 = ^/Í36 A(2,-2) C(5,3) dAC = V(5-2)2 +(3-(-2))2 = £(-8,4) C(5,3) dBC = A /(5-(-8))2 +(3-4)2 = -JTO 170 = 136 + 34 = 170 Escribe una conclusión en tu cuaderno de notas respecto a esta igualdad y la solución del problema: 70
  47. 47. Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 47 roblema 2.9 rueba que el triángulo con vértices A(2,5), B(4,-1) y C(6,5) es un triángulo isósce olución: ecuerda que propiedad se debe cumplir para que un triangulo sea Isósceles: Fig.2.24 Simboliza en tu cuaderno que igualdad que se debe cumplir en la figura ante
  48. 48. Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 48 Calculemos las distancias respectivas: Escribe en tu cuaderno una conclusión considerando estos resultados: Problema 2.10 Mostrar que los siguientes puntos son colíndales A (12,1), B(-3,-2), C(2,-1). Fig.2.25 Escriben tu cuaderno que propiedad deben cumplir los tres puntos para que sean colíndales:__________________ ____
  49. 49. Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 49 Calculemos las distancias. AB = -J(x2 -x,)J +(y1 -yj2 Por Geometría elemental se debe cumplir la siguiente propiedad. dAB=dAC+dBC • Si sustituimos éstos valores en ésta igualdad. Escribe una conclusión que muestre que resolvimos correctamente el problema. ¡Fíjate en os valores de las distancias que se calcularon!
  50. 50. Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 50 PENDIENTE DE UNA RECTA. •haciendo uso del teorema de Tales, podemos llegar a una conclusión física de un problema práctico: Si tenemos un auto que sube una rampa recta, y dados dos puntos a cualquiera sobre la rampa R y S, la razón entre lo subido y lo avanzado, si el auto se desplaza de R a S, siempre será la misma.
  51. 51. Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 51 = tan0 Donde la constante que denotaremos como m, está expresada de la siguiente manera: D subida Es decir, la constante m es igual a la tangente del ángulo e (ángulo de inclinación de la rampa), como se observa en la figura. De manera análoga, y observando que la rampa de nuestro dibujo es una línea recta, definimos la pendiente m, de una recta L, como la tangente de su ángulo de inclinación, exceptuando el caso donde la recta sea perpendicular al eje x..Una linea perpendicular al eje x, no tiene pendiente, debido a que la Tangente de 90° se encuentra indefinida. Por los puntos extremos que determinan un segmento pasa una línea recta. Sean los puntos P, (x,, y}) y P^ (x2, y1) Los extremos de un segmento en el plano cartesiano - = cte D avanzada
  52. 52. Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 52 Si hacemos el análisis del triángulo rectángulo que se forma por trigonometría podemos decir que Cateto'. opuesto -......,.. tan = —————-—— = ——— =m y^-y^ Cateto: Adyacente x2 -x}
  53. 53. Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 53 Pendiente de la recta L que pasa por estos dos puntos, a éste cociente lo denotamos con la letra m (número que nos relaciona con el ángulo de inclinación de ésta recta L y el eje x). Conociendo la pendiente podemos conocer éste ángulo. Si m = tan&;0 = tan" m
  54. 54. Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 54 Problema 2.11 Problema 2.11 Dados los puntos tracemos el segmento que los une, así como la recta que pasa por estos dos puntos y encontremos su pendiente y su ángulo de inclinación.
  55. 55. Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 55 Problemas. cada uno de los problemas construye una gráfica y resuélvelos 1.Encuentra la distancia entre los puntos A(7,1) y B(2,3) 2. Prueba que el triángulo con vértices A(2,5), B(4,-1) y C(6,5) es isósceles. Sol. dAB=dBC= A/40, AC= el triángulo es isósceles. 3. Prueba que los siguientes puntos son colineales. A(-3,-2),B(5,2),C(9,4) Sol. Como dAC=dAB+dBC son colineales. 6^5 = 4-/5 + 2-J5 son colineales. 4. Prueba que el triángulo, cuyos vértices son M(-1,1), N(1,3) y S(-JT,2 + j3) es equilátero. Sol. dMN=dMS=dNS=2-72 5. Prueba que el triángulo formado por los puntos A(1,2), B(3,4) y C(-1,4) es un triángulo rectángulo.
  56. 56. Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 56 6. Hallar la pendiente y ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos: A(-1,5) y B(7,-3). Sol. m=-1,a = l35° . • 7. Probar que el triángulo determinado por los puntos A(-4,3),B(-1,-1) y C(3,2) es isósceles, construye una gráfica. Sol dAB=dBC=5; dAC=7.1 8. Encuentra las pendientes de los lados del triángulo cuyes vértices son: A(-4,-4), B(2,7) y C(-7,10). 9. Encuentra las pendientes de las medianas del triángulo cuyos vértices son: A (2,6), B(8,3) y C(-2,-1). Sol. 0.7857,-5,1/6. 10. Hallar la pendiente de una recta perpendicular a la recta determinada por los puntos A (-5,-4) y B (3,-2). Sol. m=-4
  57. 57. Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 57 DIVISIÓN DE UN SEGMENTO Aprendizajes. El Alumno: plicará qué significa que un punto divida un segmento rectilíneo en una razón d • Dadas las coordenadas de los extremos de un segmento y las de un punto interior a él, calculará la razón en que este último divide al segmento. Temática: a) Razón en que un segmento es dividido por uno de sus puntos. b) Coordenadas del punto que divide al segmento en una razón dada. " Problema 2.12 Un corredor se ejercita sobre una avenida recta, a través de la cual circula un Auto a mayor velocidad, después de un minuto, el Auto ha recorrido 1000 metros, y el corredor tan solo 50 metros, ¿Cuál es la razón entre la longitud recorrida por el Auto y la longitud "recorrida por el corredor?.
  58. 58. Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 58 tanto, podemos afirmar que la distancia recorrida por el Auto, es 20 veces, la distancia transcurrida por el corredor, y por cada metro recorrido por el corredor, el Auto recorre veinte litros.
  59. 59. Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 59 visión de un segmento rectilíneo Suponiendo que tenemos en un estadio, una pista de 500 metros en linea recta; anotaremos como M y S al punto Inicial y Final de la pista respectivamente, y P al punto : se localiza el corredor. Supongamos que el corredor ha recorrido 200 metros de la asta y se localiza en el punto P. ¿En que razón divide P a la pista? 500 m M Fig. 2.30
  60. 60. Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 60 Para encontrar la razón en que P divide a la pista, se divide la distancia recorrida desde el inicio de la pista (Punto M) hasta el punto P, entre la distancia que falta por correr hasta llegar al final de la pista (Punto S), De tal forma, tenemos que la razón es: MP 200 ___ = ___ PS 300 Suponiendo, que el corredor ahora se encuentra a 250 m. del punto inicial de la pista
  61. 61. Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 61 ra, supongamos que el corredor se encuentra a 400 m. del punto inicial de la pis Por tanto, podemos concluir lo siguiente: • Si el corredor se encuentra en el inicio de la Pista. El punto P divide a la pista en una razón r de O • Si el corredor, ya ha recorrido un tramo de Pista, dividimos la pista exactamente a la mitad(250 m), y el atleta se encuentra en la mitad inicial de la pista, la razón en la que P divide a la pista, será mayor que cero, pero menor que 1 como se observa en ri. • Cuando el corredor se encuentra a la mitad de la pista, P divide a la pista en razón de 1, como se observa en rz. • Si el corredor, se encuentra, en la mitad final de la pista, conforme este se acerque a la meta, la razón en que P divide a la pista será mayor que 1 hasta el infinito. Si tomarnos un punto T, sobre un segmento dirigido en el plano cartesiano PQ, estando definido PQ como:
  62. 62. Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 62 La razón en que el punto T divide al segmento PQ, se define como: PT Aplicándose las mismas conclusiones del caso anterior a este mismo caso, tenemos un teorema: Teorema: Sea un segmento dirigido PQ en el plano cartesiano, definido por los puntos P(Xi, Yi) y Q(Xz, Yz), si deseamos encontrar el punto T(X',Y') que divide al segmento PQ en la razón r, las coordenadas X' e Y' del punto T, están definidas por:
  63. 63. Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 63 tante, el punto T tiene por coordenadas T (X', Y'): =vmto medio de un segme general, consideremos dos puntos P(xl,yl) y Q(x2,y2)- Deseamos encontrar las s para determinar las coordenadas del punto T (x', y') que divide al Segmento PQ Exactamente por la mitad.
  64. 64. Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 64 Recordando la Teoría vista en el punto Anterior, tenemos que: • Sea un punto J, situado exactamente a la mitad del segmento PQ, la razón en que T Divide a PQ es exactamente de r = 1. Por tanto, es posible aplicar la fórmula que divide a un segmento en el plano cartesiano por una razón dada, teniendo como dato r=1. conr=1
  65. 65. Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 65 Siendo la expresión anterior, la fórmula general para calcular el punto medio de un segmento en el plano cartesiano. Determinación de la razón cuando un segmento dado se divide en n partes iguales Si un segmento se divide en n partes iguales, la razón para determinar las coordenadas de cada punto que divide a dicho segmento, se calcula como se indica a continuación: Si el segmento AB se divide en tres partes iguales, es decir, si se triseca, la razón para cada
  66. 66. Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 66 punto es: Para el punto /> se tiene: r- P¡£ 2 — » segmentos AP~ 2 Para el punto P2 se tiene: /- = =lr = - = 2 (ver Figura 2.33)
  67. 67. Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 67 Figura 2.34 5 a segmento AB se divide en cinco partes iguales, la razón para cada punto es: ~AP 1 Para el punto P, se tiene: r = =¿- = - 1 PtB 4 ~AP~ 2 Para el punto P, se tiene: r = =4 = - 2 ara el punto P, se tiene: r = =? = - 3 P3B 2 ~AP~ 4 Para el punto P4 se tiene: r = =á- = - = 4 (ver Figura 2.35) PB 1
  68. 68. Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 68 Figura 2.35 Problema 2.13 Encontrar las coordenadas del punto P(x,y) que divide a un segmento determina por las coordenadas /4(8,2)y £(-5,7) en la razón r - -. 4 Solución Al sustituir los datos dados en las fórmulas se tiene que: v *r „ * 17 l + r 3 7 7 4 4 2 l + r 3 7 •* + 4 4
  69. 69. Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 69 Problema 2.14 Hallar las coordenadas del punto M que divide en la razón 2/3 al segmento que une a los puntos A(-6, 2) con B(4,7). Construyamos una gráfica para localizar los datos
  70. 70. Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 70 Solución: Para observar una gráfica, véase la Fig. 2.38 ..........._r Apliquemos la formula: T (X', Y>
  71. 71. Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 71 T(X 'lY '):| 1 + 2/3 ' 1 + 2/3 J Las coordenadas de T (X', Y')= (-2,4), corrobora la solución en la gráfica. Hallar las coordenadas del punto medio del segmento que une los puntos A(1, 3) y B(2,5) 2) Si el extremo de un segmento es el punto P(5,3) y el punto medio de dicho segmento es K(6,1) ¿ cual es el otro extremo del segmento?
  72. 72. Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 72 3) Encuentra las coordenadas del punto P que divide al segmento con extremos A(0,1/2) y B(2,5) en la razón r=3/4 4) ¿ En que razón divide el punto de coordenadas P(-1, -7) al segmento AB que une los puntos A(-3, -15) y 8(2,5) Solr=2/3 5) El centro de un hexágono regular se encuentra en el onrigen; si uno de los vértices es el punto A(5,0), ¿cuáles son las coordenadas de los vértices restantes? ESTUDIO ANALÍTICO DE ALGUNOS LUGARES GEOMÉTRICOS EN EL PLANO CARTESIANO Aprendizajes. El Alumno: ,, " • Reconocerá a una ecuación con dos variables, como la expresión general qu
  73. 73. Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 73 satisfacen las coordenadas de los puntos de una "curva" en el plano. • Reducirá algunas situaciones a otras más simples que ya sabe resolver, lo que reforzará estas estrategias de resolución de problemas. • Identificará algunos de los procesos inversos que se presentan en esta unidad; >o que reforzará su capacidad de inversión de pensamiento. Temática: • Estudio analítico de algunos lugares geométricos en el plano cartesiano. a) Lugares geométricos sencillos que dan lugar a rectas circunferencias y parábolas. b) Su representación algebraica. Xl-—I c) Intersecciones entre ellos o con los ejes cartesianos. X 2^
  74. 74. Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 74 ¿QUÉ ES UN LUGAR GEOMÉTRICO? _a geometría analítica se propone utilizar el álgebra para obtener resultados geométricos. Es se puede hacer porque, como hemos visto, se pueden identificar objetos geométricos como el punto, la recta, los semiplanos, etc. , con conjunto de puntos que hacen alguna relación algebraica. A los conjunto de puntos los llamaremos lugares geométricos y si la relación algebraica está dada por una ecuación, a esta le llamaremos exacción del lugar geométrico. cualquier punto cuyas coordenadas satisfagan la ecuación del lugar geométrico, ! a la gráfica de la ecuación. templos de lugares geométricos: «* ' El lugar geométrico de los puntos (x, y) que satisfacen la ecuación y=mx + b es una recta que pasa por el punto (O, b) y tiene pendiente m.
  75. 75. Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 75 El conjunto de los puntos (x, y} que satisfacen la ecuación x=b, es una línea recta paralela al eje y (b es un número fijo). A la ecuación Ax + By + C = O se le asocia a una línea recta. Si en esta ecuación se tiene que B#0, entonces se puede transformar en la ecuación v--á.g-— , y el conjunto de puntos (x, y) que satisfacen esta ecuación, ( B) B ( A C coincide con la gráfica de la función f(x)= -_ te-- En el caso en que B=0, obtenemos la ecuación x = — que corresponde a la recta paralela al eje y. La circunferencia con centro en el origen (0,0) y radio r. Como Sabemos, se trata del conjunto de puntos (x, y) cuya distancia al origen es r. Usando la fórmula de la distancia obtenemos que los puntos satisfacen la ecuación: x2 +y1 = r2. Esto es, la circunferencia de centro (O, 0) y radio r Problema
  76. 76. Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 76 El lugar geométrico de los puntos que equidistan del eje y, del punto : (2, 0), son: ver(Fig..2.39) .„.,:.
  77. 77. Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 77 La distancia del punto P al eje y es igual a x(distancia proyectada en el eje x), lo puedes corroborar con la formula de la distancia, y la distancia de P al punto (2,0), que le llamaremos F(2,0), aplicando la fórmula obtenemos: dPF=^/(jc-2)2 +y2 .Entonces tenemos que los puntos del lugar geométrico satisfacen la ecuación: x= -/(x-2)2 +y2 elevando al cuadrado x2 = (x-2)2 +y2 ; simplificando términos semejantes, obtenemos el lugar geométrico buscado: y2 - 4x + 4 = O (Una parábola)
  78. 78. Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 78 Resumiendo: .a gráfica de una ecuación es el conjunto de los puntos cuyas coordenadas (x, y) satisfacen tal ecuación. La ecuación de un lugar geométrico es la relación algebraica entre x e y que satisfacen las coordenadas (x,y) de los puntos del lugar geométrico y que solamente ellos la satisfacen. Problema 2.15 Encontrar la ecuación de la recta L paralela al eje x situada a 4 unidades por arriba de este eje. analicemos el problema: Como la recta L es paralela al eje V y se encuentra por arriba extemos asegurar que interseca el lado positivo del eje "y", en 4 unidades de medida a sartir del origen ver gráfica. .
  79. 79. Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 79 Realicemos una relación de valores que puede tomar la variable independiente "X" y la variable dependiente "Y", con la finalidad de analizar por que la ecuación debe ser Y=4, podemos tener una tabulación de la gráfica correspondiente. X Y -4 4 -3 4 -2 4 -1 4 0 4 1 4 2 4 3 4 4 4 TablaZI
  80. 80. Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 80 Conclusión: Podemos observar que la recta interseca solamente a uno de los ejes que es el eje y por ser paralela al eje x i Las siguientes gráficas nos dan la idea de un lugar geométrico.
  81. 81. Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 81 La figura nos ayuda a visualizar las simetrías. La curva es simétrica al eje x, si al sustituir en la ecuación por "-y" la ecuación no se altera. Observemos que sucede en la ecuación que estamos analizando: x2 + y2 = 9,x2 +(-y)2 =9 No se altera, esto quiere decir que la curva es simétrica respecto al eje x (significa que para cualquier punto de la curva que este por arriba del eje x existe otro punto de la curva por debajo del eje x, los mismo sucede para el eje y si sustituimos en la ecuación (1) a la variable V por "-x" la ecuación no se altera esto quiere decir que la curva es simétrica respecto al eje y.
  82. 82. Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 82 Milita gráficamente el lugar geométrico de y=3x. una tabulación podemos encontrar puntos de ésta gráfica, y finalmente, al • os puntos, el lugar geométrico buscado. valores a la variable independiente x, y sustituimos estos valores en nuestra para obtener las correspondientes ordenadas. Para ver ese desarrollo, consulta 22.
  83. 83. Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 83 X Y=3X P(x,y) -4 Y=3(-4)=-12 K-12) -3 Y=3t3)=-9 Í-3.-9) -2 Y=3(-2)=-6 Í-2.-6) -1 Y=3(-1)=-3 í-1,-3) 0 Y=3(0)=0 (0,0) 1 Y=3(1)=3 (1,3) 2 Y=3(2)=6 (2,6) 3 Y=3(3)=9 (3,9) 4 Y=3(4)=12 (4,12) Grafiquemos su lugar geométrico (Rg. 2.45), a partir de los valores obten/dos en la tabla 2.2, obteniendo la uniónde puntos.
  84. 84. Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 84 Conclusión: el lugar geométrico de estos puntos que encontramos se localiza en la recta cuya ecuación es: _Escribe por Escribe cuanto vale su pendiente:__ que no se interseca con ninguno de los ejes: . Su ángulo de inclinación:. Problema 2.17Encuentra la ecuación del lugar geométrico de los puntos de la circunferencia que tiene su centro en el origen y su radio mide 2 unidades de medida.
  85. 85. Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 85 Solución: Sí analizamos la gráfica, podemos plantear fácilmente la ecuación x2 +_y2 =22; x2 + y2 =4, ya que observamos en la gráfica que el centro está en el origen y su radio mide 2. Corrobora que esta ecuación es correcta aplicando la formula de distancia entre dos puntos, primero calcula la distancia entre el centro de la circunferencia C(0,0) y un punto que pertenezca a la circunferencia P(x, y), es decir dPC, anota los cálculos y el valor dPC, en tu cuaderno: Calcula la distancia del radio con la formula de distancia entre dos puntos, realiza los cálculos: . ;.^:._. :, •:, igualando estas dos distancias, debes llegara la ecuación: x2 +y2 = 4 En el concepto de lugar geométrico están implícitos dos problemas fundamentales de la geometría analítica.
  86. 86. Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 86 - Dada una ecuación, interpretar ésta geométricamente, es decir, construir la gráfica correspondiente. 1 - Dada una figura geométrica, o la condición que deben cumplir los puntos de la misma, «terminar su ecuación. Es importante señalar que para poder representar gráficamente el lugar geométrico que si responde a toda ecuación dada, es conveniente conocer algunas propiedades del lugar geométrico correspondiente, como: Intersecciones con los ejes, simetrías, campo de (Dominio y Rango), etc.
  87. 87. Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 87 Problema 2.19 Construye la gráfica de la siguiente curva y2 = 8x y analiza la simetría con los ejes. Solución: -nalicemos la ecuación: Podemos utilizar el discriminante para saber que cónica es, Recuerda: 3'--4AC = Q, Parábola v.r" -4AC{0, Elipse o circunferencia : r: f:-4/4C>0, Hipérbola ^acordemos la ecuación general de las cónicasAx2 + Bxy + Cy2 +Dx+Ey+F = 0
  88. 88. Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 88 aoendo la relación con la ecuación que queremos analizar, debemos igualar con cero; í.:-y2 = 0, podemos decir que B=0, A=0 y C=-1; sustituyendo en el discriminante :'- -44C = (o)2-(4)(0)(-l)=0; Es una parábola con vértice en el origen, si aesoejamos y2 podemos observar el vértice, su eje coincide con el eje "X", abre a la derecha. centremos el valor de P para saber las coordenadas de su foco, aproximadamente ya joaemos construir si gráfica. Si queremos la gráfica más exacta podemos tabular, realiza tabulación en tu cuaderno. beremos la ecuación: y2 = Sx , entonces 4P=8 . •...... =2 entonces su foco tiene por coordenadas F(2,0). Ver figura 2.48
  89. 89. Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 89 Analicemos sus simetrías. 1) Recordemos, si la ecuación de una curva no se altera cuando la variable y es sustituida por -y, se dice que la curva es simétrica respecto del al eje "X". Observemos la gráfica anterior. 1) Substituyamos en la ecuación y'1 = 8x "x por -x"; y1 = 8(-x) = -8x. Si se altera la ecuación, esto quiere decir que la curva no es simétrica respecto del eje "y" (Observa la gráfica). 2) Sustituyamos "y por -y" en la ecuación y2 = 8x; (- y)2 = 8x; y2 = 8x. Como no se altera la ecuación, podemos afirmar que la gráfica es simétrica respecto del eje X, lo puedes observar en la figura.
  90. 90. Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 90 Hagamos un breve resumen de los conceptos ilustrados en los problemas. Las intersecciones de la curva con ios ejes son las distancias negativas o positivas desde el origen hasta los puntos en los que la curva corta a los ejes coordenados. Decimos que dos puntos son simétricos con respecto a una recta, si ésta es la mediatriz del segmento que los une. Como consecuencia: 1. Si una ecuación no se altera al sustituir "x" por "-x" la curva es simétrica con respecto al eje y. 2. Si una ecuación no se altera al sustituir Y por "-y" 'a curva es simétrica con respecto al ejex. 3. Si una ecuación no se altera al sustituir "x" por "-x" e y por "-y" la curva o lugar geométrico, es simétrico con respecto al origen.

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