Libro Estadistica y Diseño de Experimentos

Estadística y diseño de experimentos
I
Universidad Nacional de Ingeniería
Editorial Universitaria
Cecilia Ríos Varillas
Estadística y diseño
de experimentos

II
Rector Dr. Ing. Aurelio Padilla Ríos
Primer Vicerrector Geol. José S. Martínez Talledo
Segundo Vicerrector Msc. Ing. Walter Zaldívar Álvarez
Primera edición, setiembre de 2012
Impreso en el Perú / Printed in Peru
© Cecilia Ríos Varillas
Derechos reservados
© Derechos de edición
Editorial Universitaria
Av. Túpac Amaru 210, Rímac – Lima
Pabellón Central / Sótano
Telfs. 4814196 / 4811070 anexo 215
Correo-e: eduni@uni.edu.pe
Jefe EDUNI: Prof. Álvaro Montaño Freire
Coordinador Editorial: Nilton Zelada Minaya
Impreso en la Imprenta de la Editorial Universitaria de la
ISBN ....
Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú
Nº 2011-13203
Prohibida la reproducción de este libro por cualquier medio,
total o parcialmente, sin permiso expreso del autor.

III
Palabras liminares
Me complace felicitar a los docentes de nuestra Universidad ganadores del II
Concurso para la Publicación de Libros de Texto convocado por el Rectorado
y realizado en cada una de las Facultades. Una de las políticas medulares del
Rectorado es la permanente mejora en la calidad académica, y en ese sentido nos
interesa que cada docente tenga la oportunidad de convertir su labor cotidiana
de enseñanza en textos para uso de los estudiantes universitarios de todo el país.
Los autores han hecho un meritorio esfuerzo para organizar los temas de sus
exposiciones, realizando investigaciones y consultando fuentes peruanas y ex-
tranjeras, así como recogiendo el fruto del diálogo con sus colegas y los propios
estudiantes. Asimismo, se han esmerado en presentar sus cursos de manera que
facilita el acceso por parte de los interesados.
La publicación de textos académicos es una de las obligaciones de toda universi-
dad y uno de los índices que se toma en cuenta para la evaluación de la calidad
académica. Por ende, seguiremos apoyando la publicación de libros y revistas a
través de nuestra Editorial Universitaria, cuya meta es formar parte del liderazgo
peruano en la industria editorial dedicada a ingeniería, ciencia y arquitectura.
Es responsabilidad de la Universidad Nacional de Ingeniería aportar al Perú un
liderazgo de base tecnológica que trabaje en estrecha asociación con las autorida-
des gubernamentales, los dirigentes empresariales y la sociedad civil en su con-
junto, lo cual requiere de una política editorial y de publicaciones que estamos
impulsando.
Dr. Ing. Aurelio Padilla Ríos
Rector

V
Agradecimientos
Quisiera comenzar agradeciendo a mi esposo Luis y a mis hijas
Ana Cecilia, Claudia y Vanessa, por su apoyo incondicional
para hacer este libro una realidad.
A mi madre Anita, hermanos y a la memoria de mi padre La-
dislao Rios, quien me dejó, el mejor de los legados: la docencia.
Un agradecimiento muy especial al Mg. Jorge Chue Gallardo,
mi primer profesor de Estadística, quien forjó en mí la vocación
a esta carrera maravillosa y además por su aporte incondicional
en la presentación de este texto.
A la señorita Claudia Oscanoa Ríos, Bachiller en Ingeniería
Estadística, por su colaboración en la edición y la revisión final
del libro.
A todos mis alumnos, por sus deseos de superación que moti-
van e inspiran mi labor docente.

VII
Índice
Presentación................................................................................................................XIII
Introducción.................................................................................................................XV
Capítulo 1
Conceptos básicos en estadística................................................................................ 1
1.1. Definición y división de la estadística................................................................. 1
1.1.1. Estadística ............................................................................................................ 1
1.1.2. División de la Estadística.................................................................................... 1
1.2. Conceptos fundamentales en estadística............................................................. 2
1.2.1. Población............................................................................................................... 2
1.2.2. Muestra.................................................................................................................. 2
1.2.3. Parámetro.............................................................................................................. 3
1.2.4. Estadígrafo............................................................................................................ 3
1.2.5. Dato........................................................................................................................ 3
1.2.6. Unidad Elemental................................................................................................ 3
1.3. Variable..................................................................................................................... 3
1.3.1. Variable Cualitativa............................................................................................. 3
1.3.2. Variable Cuantitativa........................................................................................... 4
1.4. Ejercicios desarrollados.......................................................................................... 5
1.5. Ejercicios propuestos.............................................................................................. 7
Capítulo 2
Estadística descriptiva.................................................................................................. 9
2.1 Organización y presentación de los datos............................................................ 9
2.2 Tabla de frecuencias cuando la variable es cualitativa....................................... 9
2.3 Tabla de frecuencias cuando la variable es cuantitativa................................... 11
2.3.1 Tabla de Frecuencias cuando la variable es cuantitativa discreta................ 12

VIII
2.3.2 Tabla de Frecuencias cuando la variable es cuantitativa continua.............. 13
2.4 Medidas descriptivas............................................................................................. 17
2.4.1 Medidas de Tendencia Central.......................................................................... 17
2.4.2 Medidas de Dispersión...................................................................................... 26
2.5 Aplicación usando el paquete estadístico minitab............................................ 31
2.6 Ejercicios desarrollados......................................................................................... 37
2.7 Ejercicios propuestos............................................................................................. 48
Capítulo 3
Probabilidades............................................................................................................. 51
3.1 Definiciones básicas............................................................................................... 51
3.1.1 Experimento......................................................................................................... 51
3.1.2 Espacio muestral Ω ............................................................................................ 52
3.1.3 Evento o suceso................................................................................................... 52
3.2 Técnicas de conteo.................................................................................................. 54
3.2.1 Principio de adición............................................................................................ 54
3.2.2 Principio de multiplicación............................................................................... 55
3.2.3 Permutación......................................................................................................... 55
3.2.4 Permutación Circular.......................................................................................... 56
3.2.5 Combinación........................................................................................................ 57
3.2.6 Ejercicios de Conteo............................................................................................ 57
3.3 Probabilidad............................................................................................................ 59
3.3.1 Enfoque Clásico (Probabilidad de un Evento)................................................ 59
3.3.2 Enfoque Empírico............................................................................................... 60
3.4 Axiomas de probabilidad...................................................................................... 60
3.5 Propiedades de probabilidad............................................................................... 60
3.6 Probabilidad condicional...................................................................................... 62
3.6.1 Definición de probabilidad condicional.......................................................... 62
3.6.2 Propiedades de probabilidad condicional...................................................... 63
3.6.3 Tipos de muestreo............................................................................................... 65
3.6.4 Teorema de multiplicación de probabilidades (probabilidad conjunta).... 66
3.7 Eventos independientes........................................................................................ 67
3.8 Partición del espacio muestral............................................................................. 68
3.9 Ecuación de la probabilidad total........................................................................ 69
3.10 Teorema de Bayes................................................................................................. 71
3.11 Ejercicios desarrollados....................................................................................... 72
3.12 Ejercicios propuestos........................................................................................... 83

IX
Capítulo 4
Variable aleatoria........................................................................................................ 89
4.1 Definición................................................................................................................ 89
4.2 Variable aleatoria discreta..................................................................................... 90
4.2.1 Función de probabilidad (Distribución de probabilidades) de la
variable aleatoria discreta.................................................................................. 90
4.2.2 Función de distribución (acumulada) de la variable aleatoria discreta...... 91
4.3 Variable aleatoria continua................................................................................... 93
4.3.1 Función de probabilidad de la variable aleatoria continua.......................... 93
4.3.2 Función de distribución (acumulada) de la variable aleatoria continua.... 94
4.4 Valor esperado y varianza de la variable aleatoria........................................... 96
4.4.1 Valor esperado de la variable aleatoria............................................................ 96
4.4.2 Varianza de la variable aleatoria....................................................................... 98
Capítulo 5
Distribución de probabilidades............................................................................. 113
5.1 Distribuciones discretas notables...................................................................... 113
5.1.1 Distribución Binomial...................................................................................... 113
5.1.2 Distribución de Poisson.................................................................................... 116
5.1.3 Distribución Hipergeométrica........................................................................ 119
5.2 Distribuciones continuas notables..................................................................... 120
5.2.1 Distribución Uniforme..................................................................................... 120
5.2.2 Distribución exponencial................................................................................. 121
5.2.3 Distribución Normal o Gaussiana.................................................................. 123
5.2.4 Distribuciones relacionadas con la normal, distribuciones para
muestras pequeñas........................................................................................... 129
Capítulo 6
Muestreo aleatorio y distribuciones en el muestreo.......................................... 143
6.1 Definiciones básicas............................................................................................. 143
6.1.1 Distribución muestral....................................................................................... 143
6.1.2 Muestra aleatoria.............................................................................................. 143
6.1.3 Error en el muestreo......................................................................................... 144
6.2 Distribución de la media muestral.................................................................... 144

X
6.2.1 Teorema 1. La media y la varianza de las medias muestrales.................... 144
6.2.2 Teorema 2. Distribución de la media muestral cuando la población
es normal............................................................................................................ 145
6.2.3 Teorema 3. Teorema del límite central........................................................... 145
6.3 Distribuciones muestrales de los estimadores ................................................ 146
6.3.1 Distribución de la media muestral cuando la varianza poblacional σX
es conocida......................................................................................................... 146
6.3.2 Distribución de la media muestral cuando la varianza poblacional σx
no es conocida................................................................................................... 147
6.3.3 Distribución de la varianza muestral S2
......................................................... 148
6.3.4 Distribución de la diferencia de medias muestrales si σ1
y σ2
son
conocidas............................................................................................................ 149
6.3.5 Distribución de la diferencia de medias muestrales si σ1
y σ2
no son
conocidas............................................................................................................ 149
Capítulo 7
Inferencia estadística................................................................................................ 159
7.1 Definición de la estadística inferencial............................................................. 159
7.2 Objetivos de la inferencia estadística................................................................ 160
7.3 Estimación de parámetros.................................................................................. 160
7.3.1 Estimación puntual........................................................................................... 161
7.3.2 Estimación por intervalos (Límites de Confianza)....................................... 162
7.4 Prueba o contraste de hipótesis......................................................................... 170
7.4.1 Tipos de errores................................................................................................. 171
7.4.2 Tipos de prueba................................................................................................. 171
7.4.3 Pasos necesarios para realizar una prueba de hipótesis a un parámetro.....172
7.4.4 Prueba de hipótesis para los parámetros....................................................... 173
7.6 Ejercicios propuestos.......................................................................................... 192
Capítulo 8
Diseños experimentales........................................................................................... 195
8.1 Definición e importancia del diseño experimental......................................... 195
8.2 Pasos a seguir en el diseño de experimentos .................................................. 196
8.3 Definiciones básicas............................................................................................. 196
8.4 Principios básicos del diseño experimental..................................................... 198
8.5 Análisis de varianza (anva)................................................................................. 199
2
2
2 2
2 2

XI
8.6 Modelo matemático............................................................................................. 200
8.7 Tipos de modelos estadísticos............................................................................ 200
8.8 Diseños básicos..................................................................................................... 201
8.9 Diseño completamente aleatorio o al azar (DCA)........................................... 201
8.9.1 Características del diseño completamente al azar....................................... 202
8.9.2 Modelo aditivo lineal en el diseño completamente aleatorio..................... 202
8.9.3 Representación simbólica de los datos en el diseño completamente
aleatorio.............................................................................................................. 202
8.9.5 Prueba de Homogeneidad de varianzas........................................................ 207
8.10 Diseño bloque completamente al azar (DBCA)............................................. 209
8.10.1 Características del diseño bloque completamente al azar........................ 210
8.10.2 Modelo aditivo lineal en el diseño bloque completamente aleatorio...... 210
8.10.3 Representación simbólica de los datos en el diseño bloque
completamente aleatorio............................................................................... 211
8.10.4 Análisis de varianza en el diseño bloque completamente aleatorio........ 211
8.11 Diseño cuadrado latino (DCL)......................................................................... 215
8.11.1 Características del diseño cuadrado latino................................................. 215
8.11.2 Modelo aditivo lineal en el diseño cuadrado latino................................... 216
8.11.3 Análisis de varianza en el diseño cuadrado latino..................................... 216
8.12 Diseños estadísticos usando Minitab.............................................................. 220
8.13 Ejercicios desarrollados..................................................................................... 226
8.14 Ejercicios propuestos......................................................................................... 241
Glosario....................................................................................................................... 247
Bibliografía................................................................................................................. 249
Anexos......................................................................................................................... 251
Anexo 1. Tabla función de distribución acumulativa distribución
t-student F(t)=P(T≤t).................................................................................................. 251
Anexo 2. Tabla de la función de distribución acumulativa normal
estándar P(Z≤z)=F(z)................................................................................................. 253
Anexo 3. Tabla de la función de distribución acumulativa distribución
ji-cuadrado.................................................................................................................. 255
Anexo 4. Tabla de valores de la distribución F para una probabilidad
acumulada de 0,99 .................................................................................................. 258
Anexo 5. Tabla de valores de la distribución F para una probabilidad
acumulada de 0,95.................................................................................................... 261

XII
Índice de Figuras
Figura 2.1. Diagrama de Barras.................................................................................. 10
Figura 2.2. Diagrama por sectores circulares........................................................... 11
Figura 2.3. Histograma de Frecuencias..................................................................... 16
Figura 3.1. Partición del espacio muestral................................................................ 68
Figura 3.2. Probabilidad Total.................................................................................... 69
Figura 3.3. Diagrama de Árbol................................................................................... 70
Figura 4.1. Dominio y rango de la variable aleatoria.............................................. 89
Figura 4.2. Función de Densidad f............................................................................. 93
Figura 5.1. Distribución Binomial............................................................................ 114
Figura 5.2. Distribución Uniforme........................................................................... 121
Figura 5.3. Distribución Exponencial...................................................................... 122
Figura 5.4. Gráfica de la función de probabilidad de Distribución Normal..... 124
Figura 5.5. Gráficos de la normal, con probabilidades notables......................... 125
Figura 5.6. Distribución Normal Estándar............................................................. 126
Figura 5.7. Distribución Chi-Cuadrado.................................................................. 131
Figura 5.8. Distribución T......................................................................................... 132
Figura 5.9. Distribución F.......................................................................................... 133
Figura 7.1. Intervalo de confianza........................................................................... 163
Figura 7.2. Regiones críticas de una media µX
con varianza conocida............... 174
Figura 7.3. Regiones críticas de una media µX
con varianza desconocida......... 175
Figura 7.4. Prueba de Hipótesis para la varianza poblacional σX
....................... 178
Figura 7.5. Regiones críticas en la prueba de homogeneidad de varianzas...... 179
Figura 8.1. Regiones críticas en el diseño completamente aleatorio................... 205
Figura 8.2. Regiones críticas en el diseño bloque completamente aleatorio..... 212
Índice de cuadros y tablas
Cuadro 2.1. Tabla de Frecuencias por intervalos de clase...................................... 15
Cuadro 5.1. Cuadro de Conversiones..................................................................... 128
Cuadro 7.1. Tipos de Errores.................................................................................... 171
Cuadro 8.1. Agrupación de resultados del experimento en el diseño
completamente aleatorio..................................................................... 203
Tabla 1. ANVA Diseño Completo Aleatorio (Igual número de u.e. por
tratamiento).................................................................................... 204
Tabla 2. ANVA Diseño Completo Aleatorio (diferente número de u.e. por
tratamiento).................................................................................... 204
Cuadro 8.2 . Representación simbólica de los datos en el diseño bloque
completamente aleatorio.................................................................... 211
Tabla 3 Análisis de varianza para un diseño bloque completo al azar.............. 212
Tabla 4 Análisis de varianza en el diseño cuadrado latino.................................. 217

XIII
Presentación
El presente libro nace como producto de la dedicación y experiencia docente en
el dictado del curso de Estadística. Esta primera edición presenta aspectos fun-
damentales de los temas tratados en el nivel pregrado en la Universidad Nacio-
nal de Ingeniería, donde a través de los años adquirí la convicción de que era
necesario presentar en palabras simples los temas estadísticos que toda persona
debe conocer y con mayor razón nuestros alumnos, quienes son el motor de todo
docente que tiene la vocación de enseñar y trasmitir conocimientos.
En este libro se presentan temas muy importantes que va a permitir darle luego
al estudiante una visión de lo que puede hacer cuando tenga que realizar alguna
investigación, sobre todo cuando tenga que planificar y elegir el diseño más acor-
de al estudio que desee realizar.
Esta edición ha sido diseñada de manera tal que sea útil para diferentes finalidades,
como un libro de consulta, que imparte teoría y práctica de la Estadística Básica.
Algo muy importante que quiero resaltar, es que la mayoría de ejercicios desa-
rrollados y propuestos en este texto son ejercicios aplicados a la química y a la
manufactura textil, ya que soy docente de la Facultad de Ingeniería Química y
Textil de la UNI por más de 20 años; sin embargo, alumnos de nivel de pregrado
de cualquier especialidad también podrán buscar asesoría en este libro sin nin-
guna dificultad.
Hoy en día con el avance de la tecnología, la Estadística también se ha moderni-
zado. Actualmente se conocen muchos paquetes estadísticos que ayudan a sim-
plificar procedimientos extensos, lo cual permite ahorrar tiempo. En el presente
texto muestra el uso del Minitab que permitirá al alumno resolver situaciones
en Estadística Descriptiva y en Diseños de Experimentos. Las interpretaciones y
deducciones deberán ser realizadas por el alumno.
Finalmente, espero que este texto cumpla con el objetivo personal que me tracé,
de compartir conocimientos y experiencias que vayna más allá de las aulas y que
permita al lector entender la estadística como base para el análisis de sus futuras
investigaciones.

XV
Introducción
En un intento de captar que la Estadística puede ser un campo interesante y es-
timulante que toca muchísimos aspectos de gran importancia en nuestra vida
diaria y en toda rama del saber humano, como son las ciencias e ingeniería, es
necesario presentar un libro que además de contener los conceptos teóricos, sea
instructivo y legible con énfasis en datos químicos y textiles. Por esta razón el
presente texto incluye definiciones básicas y un gran número de ejemplos y ejer-
cicios, para demostrar que la estadística no es sólo presentar fórmulas abstractas
que tienen muy escasa relación con la aplicación práctica.
En todo trabajo que involucre recopilación de datos, la información recolectada
debe ordenarse para lograr una correcta presentación del informe, para ello con-
tamos con las tablas de frecuencias y los gráficos estadísticos. Es así que se ha
dado un lugar importante a la Estadística Descriptiva, a pesar de que no se pre-
tenda que las técnicas de la Estadística Descriptiva representen algo que sobre-
pase los fundamentos del análisis estadístico, es necesario dominar éstas técnicas
para la comprensión y la aplicación de los conceptos y procedimientos relaciona-
dos con la Inferencia Estadística.
En muchos problemas de tipo práctico es imposible probar u observar la tota-
lidad de los elementos que intervienen y por consiguiente es necesario recurrir
al muestreo, así se miden o consideran las propiedades de una muestra con el
objeto de estimar las características de la población de donde se extrajo la mues-
tra. No sólo es conveniente tomar la muestra representativa de la población, sino
también de que la conclusión a la que lleguemos es sólo probablemente correcta,
no se puede tener una certeza total con base en el muestreo.
De lo anterior se deduce que el estudio de la estadística y probabilidades están
fundamentalmente relacionados entre sí. En tanto que la Estadística se interesa
en gran medida en deducir conclusiones a partir de muestras alteradas por va-
riaciones aleatorias o incertidumbres, mediante la teoría de probabilidades se
pueden definir cómo controlar tales incertidumbres en los resultados.

XVI
Es muy importante que todo ingeniero, cuando pretenda realizar una investiga-
ción, planifique adecuadamente sus procedimientos y pasos a seguir, esto quiere
decir que “diseñe” un buen plan de acción. En este texto, se presenta también
de manera simple y muy práctica los diseños básicos que más se aplican en las
investigaciones.
Este libro incluye en su mayoría los apuntes de las clases que he elaborado y pre-
sentado a los alumnos de la Facultad de Ingeniería Química y Textil de la UNI,
en más de 20 años de labor docente. Por tal motivo, sirve como una guía tan-
to teórica como práctica para todo alumno que necesite de la estadística básica.
Asimismo los ejercicios desarrollados y propuestos representan en su mayoría a
aquellos evaluados en prácticas calificadas y exámenes.

1
El término alemán “statistik”, que fue primeramente introducido por Gottfried
Achenwall (1749), designaba originalmente el análisis de datos del Estado, es
decir, la "ciencia del Estado". Por lo que la Estadística estuvo asociada en un prin-
cipio a los Estados, para ser utilizados por el gobierno y cuerpos administrativos
(a menudo centralizados). En la actualidad, la colección de datos acerca de esta-
dos y localidades continúa ampliamente a través de los servicios de estadísticas
nacionales e internacionales. En particular, los censos suministran información
de toda la población. Esto fue base para la estadística moderna, que reúne la
estadística matemática y el análisis de datos, con el fin de resolver y obtener con-
clusiones válidas y objetivas a partir de los resultados de una muestra.
En este primer capítulo iniciaremos con definiciones básicas en estadística, necesa-
rias para una correcta comprensión de los temas a tratar en los siguientes capítulos,
siendo una definición muy importante lo que corresponde a variable, ya que ésta
representa la característica que se desea estudiar o analizar, sobre todo de aquellas
variables que se usan con más frecuencias en los análisis químicos y textiles.
Es importante enfatizar la diferencia entre una población de variables cuantitati-
vas y una población de variables categóricas.
1.1. DEFINICIÓN Y DIVISIÓN DE LA ESTADÍSTICA
1.1.1. Estadística
Es una ciencia aplicada a cualquier rama del saber humano y se encarga de los
métodos y procedimientos para recopilar, ordenar, clasificar y presentar una
información llamada muestra, con el fin de inferir acerca del comportamiento de
la población respectiva.
1.1.2. División de la Estadística
Estadística Descriptiva. Es la parte de la estadística que se encarga de recopilar,
ordenar, clasificar y presentar una información llamada muestra.
Los resultados de un análisis no pretenden ir más allá del conjunto de datos.
Conceptos básicos en estadística
CAPÍTULO 1

2
Estadística Inferencial. Es la parte de la estadística que se encarga de inferir (es-
timar, predecir) el comportamiento de la población a partir de una muestra, con-
siderando un margen de error o incertidumbre que es cuantificado por la teoría
de probabilidades.
1.2. CONCEPTOS FUNDAMENTALES EN ESTADÍSTICA
1.2.1. Población
Es un conjunto de observaciones que tienen una característica en común, la cual
se desea estudiar, la población representa la totalidad de elementos de un deter-
minado estudio. La población puede ser finita (cuando se conoce la totalidad de
elementos y se representa por N) o infinita (cuando no se puede determinar la
cantidad de elementos que conforma la población).
Una población estadística es entonces un conjunto de observaciones medidas o
descritas, para cada una de sus unidades elementales.
Ejemplos:
La población de un país, de granos cristalizados en una roca, de bienes manu-
facturados por una fábrica en particular durante un periodo dado, número de
bacterias en 1 cm3
de agua. También podría ser un proceso observado en varios
instantes y los datos recogidos de esta manera constituyen una serie de tiempo.
Una población si es infinita no se puede estudiar en forma completa, si es finita es
muy engorroso, ya que involucra pérdida de tiempo, dinero, etc. por esta razón
nos basaremos en la muestra.
1.2.2. Muestra
Es un subconjunto de la población, la muestra debe ser representativa o no ses-
gada (sin manipulación, ni adulteración) de la población respectiva. Si la muestra
es representativa de la población, inferencias y conclusiones hechas en la muestra
pueden ser extendidas a la población completa.
Existen diversos métodos para tomar la muestra (muestreo), como por ejemplo
un muestreo puede ser sistemático, estratificado, por conglomerado, aleatorio,
etc., el muestreo que más se aplica en ingeniería es el muestreo aleatorio (llamado
también probabilístico). Un muestreo es aleatorio cuando cada elemento de la
población tiene la misma posibilidad de ser seleccionado en la muestra.
La muestra se representa por la letra minúscula n (tamaño de la muestra o núme-
ro total de observaciones en la muestra).
Ejemplos:
Las mediciones de la humedad relativa (en porcentajes por día) en el lugar de
almacenamiento de una muestra de materias primas en 12 días

3
En trabajos químicos, se toman muestras de un material, se analiza y luego se
hacen inferencias (predicciones) para la totalidad de dicho material, a partir de
los resultados obtenidos.
1.2.3. Parámetro
Es cualquier característica de la población que sea medible, por eso representa a
la población. Este valor para ser calculado requiere de la información de toda la
población lo cual muchas veces es difícil, por eso generalmente los parámetros
son estimados a partir de valores calculados en la muestra (este procedimiento se
desarrollará en Inferencia Estadística).
Ejemplos:
µX
: Media poblacional
σX
: Varianza poblacional
1.2.4. Estadígrafo
Representan a las medidas descriptivas que se obtienen de un conjunto de ob-
servaciones, se les llama también estadístico. Es un número o constante que re-
presenta a la muestra y que puede ser calculado teniendo la información de la
muestra, con calculadoras o paquetes estadísticos.
1.2.5. Dato
Es la recopilación, registro o anotación de una característica o un valor en parti-
cular que toma la variable en estudio.
1.2.6. Unidad Elemental
Es el individuo u objeto del cual se toma la información de la característica a
estudiar. El resultado de observar una unidad elemental se llama observación.
Puesto que, en una investigación, se hace una observación de cada unidad ele-
mental escogida.
1.3. VARIABLE
Es la característica que presenta las unidades o datos que compone una pobla-
ción y es lo que se desea estudiar, se representa en forma simbólica mediante
símbolos o letras. Según los datos recopilados, las variables se clasifican en:
1.3.1. Variable Cualitativa
Representa datos que indican cualidades atributos, características, propiedades,
etc. Es llamada también variable categórica. No toman valores numéricos, si los
2

4
toma representan códigos. Con esta variable no se pueden realizar operaciones
aritméticas.
La variable cualitativa, siendo no medible, puede presentar cierto “orden” cuan-
do se desea clasificar en una tabla de frecuencias; por lo tanto la variable cualita-
tiva puede ser:
Variable cualitativa nominal. Cuando no existe ninguna “jerarquía” u “orden”
entre ellas, en la clasificación cualquiera puede ir primero.
Ejemplos:
- Tipos de tela
- Marcas de microscopios
- Profesiones
- Color de una sustancia química
Variable cualitativa ordinal. Estas variables no son medibles, sin embargo, ex-
presan cierto “orden o jerarquía”.
Ejemplos:
- Control de calidad de un producto (malo, regular, bueno, muy bueno)
- Intensidad del dolor (poco, regular, mucho)
1.3.2. Variable Cuantitativa
Representa a datos numéricos, son medibles, con estas variables se pueden hacer
operaciones aritméticas.
La variable cuantitativa puede ser:
Variable cuantitativa discreta. Representa a datos numéricos que surgen de un
proceso de conteo. Estos no se fraccionan, asumen valores enteros.
Ejemplos:
- Número de microscopios por laboratorio
- Número de alumnos por aula
- El número de bacterias de una muestra de agua
Variable cuantitativa continua. Representa a datos numéricos que surgen de un
proceso de medición, ya que pueden tomar valores sobre un intervalo o una co-
lección de intervalos.
La variable continua es la que más se emplea en ingeniería, dado que la mayoría
de datos que se usan se obtienen de mediciones. Además se debe indicar la uni-
dad de medida.

5
Ejemplos:
- Tiempo (años)
- Volumen (cm3)
- Temperatura (°C)
- Longitud (m)
1.4. EJERCICIOS DESARROLLADOS
Ejercicio 1
En cada caso, indique cuál es la población, la muestra, unidad elemental, cuál es
la variable que se quiere estudiar y especifique la clase de variable:
a) Tiempo (en minutos) que demoran 30 alumnos de la Facultad de Ingeniería
Química y Textil en el semestre 2010-1, en terminar el examen final de
Estadística y Diseños de Experimentos.
b) Estado Civil de 80 personas del distrito de San Miguel
c) Número de pipetas en cada uno de los laboratorios de la facultad
d) Control de calidad de 50 productos fabricados en un día
Solución
a) Tiempo (en minutos) que demoran 30 alumnos de la Facultad de Ingeniería
Química y Textil en el semestre 2010-1, en terminar el examen final de
Estadística y Diseños de Experimentos.
Población: total de alumnos de la Facultad de Ingeniería Química y
Textil en el semestre 2010-1
Muestra: 50 alumnos de la Facultad de Ingeniería Química y Textil
en el semestre 2010-1
Unidad elemental: un alumno de la Facultad de Ingeniería Química y Textil
Variable: Tiempo (en minutos) que demoran en terminar el examen
final de Estadística y Diseños de Experimentos.
Clase de variable: variable cuantitativa continua
b) Estado Civil de 80 personas del distrito de San Miguel
Población: total de personas del distrito de San Miguel
Muestra: 80 personas del distrito de San Miguel
Unidad elemental: una persona del distrito de San Miguel
Variable: estado civil
Clase de variable: variable cualitativa nominal

6
c) Número de pipetas en cada uno de los laboratorios de la facultad
Población: total de laboratorios de la facultad
Muestra: un grupo de laboratorios de la facultad
Unidad elemental: un laboratorio de la facultad
Variable: número de pipetas
Clase de variable: variable cuantitativa discreta
d) Control de calidad de 50 productos fabricados en un día
Población: total de productos fabricados en el día
Muestra: 50 productos fabricados en el día
Unidad elemental: un producto fabricado en el día
Variable: control de calidad
Clase de variable: variable cualitativa ordinal
Ejercicio 2
En agosto del 2006, una empresa de gaseosas decidió hacer una encuesta para
conocer el grado de aceptación que había tenido su producto “agua de man-
zana” (un nuevo producto que ha lanzado al mercado), entre los habitantes de
Lima Metropolitana. Para ello se entrevistaron a 50 amas de casa, utilizando un
cuestionario que incluía preguntas para determinar: si en la casa han probado
el producto, quiénes han consumido el producto, la edad de los que consumen
el producto, si el producto qué tanto les ha gustado o aceptado (poco, regular,
mucho), si seguirán consumiendo el producto, etc.
De acuerdo a lo anterior:
- ¿Cuál es la población de estudio? ¿Es finita o infinita?
- ¿Cuál es la muestra?
- ¿Cuál es la unidad estadística elemental?
- ¿Cuáles son las variables que se presentan en esta entrevista? y ¿Qué tipo de
variable es cada una de las señaladas en este caso?
Solución
Población: total de amas de casa de Lima Metropolitana
Muestra: 50 amas de casa de Lima Metropolitana
Unidad elemental: un ama de casa de Lima Metropolitana
Variables:
- Conocimiento del producto (variable cualitativa nominal)
- Edad de los consumidores (variable cuantitativa continua)
- Aceptación del producto (variable cualitativa ordinal)

7
Ejercicio 3
Indique la clase de variable que corresponde en cada caso:
a) Nivel de instrucción (primaria, secundaria, superior)
b) Años de estudios completados
c) Punto de fusión
d) El peso en kilogramos
e) Solubilidad (baja, media o alta)
f) La temperatura en grados Celsius
Solución
a) Variable cualitativa ordinal
b) Variable cuantitativa discreta
c) Variable cuantitativa continua
d) Variable cuantitativa continua
e) Variable cualitativa ordinal
f) Variable cuantitativa continua
1.5. EJERCICIOS PROPUESTOS
Ejercicio 1
Los alumnos del curso de Estadística de la FIQT realizaron una investigación
con el objetivo de establecer el perfil de los estudiantes de Postgrado de la UNI.
Como el total de alumnos que estudian posgrado es de 300, después de debatir
arduamente, los alumnos de Estadística seleccionaron a 10 alumnos del curso
para tomar datos a 40 estudiantes del posgrado. A tales estudiantes se les aplicó
un cuestionario de donde se obtuvieron datos como:
Nota promedio ponderado, nivel económico, sexo, estado civil, número de hijos,
número de horas de clase por semana, ciclo de estudios, ingresos mensuales,
minutos de viaje a casa.
a) Identifique la población
b) Identifique la muestra
c) Según el párrafo con letra cursiva, indique las variables y sus tipos
Ejercicio 2
En un programa de mejoramiento que se ha implementado en una empresa, se ha
diseñado un plan para mejorar el proceso de fabricación de un horno de microon-
das de alta fidelidad. Desde la línea de despacho, donde los productos egresan

8
uno a uno, se seleccionan 10 equipos los cuales son enviados a distintas áreas
donde son clasificados entre otras características, el estado de las bisagras de las
puertas, las dimensiones del diámetro del plato interior del horno, el voltaje de
salida, la temperatura interior del equipo después de dos minutos de trabajo, la
radiación emitida y el color del horno
a) Identifique la población, la muestra y la unidad elemental
b) Indique y clasifique las variables involucradas.
Ejercicio 3
En cada caso indique la población, la unidad elemental y cuál la variable que se
quiere estudiar. Especifique el tipo de variable:
a) Temperatura máxima diaria (en grados centígrados) de las ciudades, capitales
de provincia de La Libertad.
b) Deportes que practican los alumnos matriculados en la UNI en el semestre
2007-1.
c) Número de celulares que hay en cada aula de la UNI en un día en particular.
Ejercicio 4
En los siguientes casos indicar: la población, unidad elemental, la variable y el
tipo de variable.
- Código Postal de los distritos de Lima
- Categoría de los profesores de Estadística de la UNI
- Número de niños por escuela fiscal en el distrito del Rímac
- Tiempo que demoran los alumnos en terminar el examen de Estadística
Ejercicio 5
Una fábrica industrial actualmente cuenta con 400 empleados y desea ofrecer a
los mismos un servicio de salud, el cual posiblemente se instale a 1kilómetro de
distancia de la fábrica. Suponga que usted lo encargan de realizar un estudio de
las necesidades de salud que los empleados tienen al respecto.
- Defina la unidad elemental y la población delimitándolas claramente.
- Defina tres objetivos específicos de la investigación.
- Trabajaría usted con una muestra o la población total.
- Cite cuatro variables pertinentes de investigar y la clasificación de cada una de
ellas.

9
No fue hasta el siglo XIX cuando el término estadística adquirió el significado
de recolectar y clasificar datos. Este concepto fue introducido por el inglés John
Sinclair.
La mayor parte de los experimentos que se realizan en el laboratorio requiere de
mediciones y como son numéricas (cuantitativas), se necesita encontrar medidas
que representen a estos datos, para luego hacer juicios sobre el experimento que
se está realizando.
En este capítulo, se muestra de una manera simple y práctica, la forma de orga-
nizar y tabular los valores recopilados (mediciones realizadas en el laboratorio)
mediante la construcción de tablas de frecuencias, como también la presentación
de gráficos estadísticos.
2.1 ORGANIZACIÓN Y PRESENTACIÓN DE LOS DATOS
Luego de recopilar los datos, tienen que ser revisados, corregidos, ordenados y
clasificados para una correcta presentación,
La presentación puede ser mediante Tablas de Frecuencias y/o Gráficos.
La Tabla de Frecuencias tiene como objetivo resumir los datos sin perder ningu-
no de ellos. Indica la distribución de las frecuencias de los valores de la variable
dentro de varias clases. El término distribución de frecuencias se abrevia nor-
malmente como distribución: por ejemplo, se dice distribución de empleados de
una empresa por niveles de ingreso, distribución de las mediciones del volumen
(cm3
), etc.
Según el tipo de variable tenemos los siguientes casos:
2.2 TABLA DE FRECUENCIAS CUANDO LA VARIABLE ES CUALITATIVA
En este caso de manera inmediata se construye la tabla de frecuencias, según las
diferentes opciones que se obtenga como respuesta.
Estadística descriptiva
CAPÍTULO 2

10
Ejemplo:
En el laboratorio de Textiles de la FIQT se desea clasificar 50 retazos de tela según su
tipo para luego realizar una investigación sobre la calidad de ellas, los tipos de tela
que corresponden a los 50 retazos analizados se presentan en el siguiente cuadro:
Tipo de tela Número de retazos %
Brocado 5 10%
Chenille 10 20%
Cretona 20 40%
Gasa 10 20%
Organza 5 10%
Existen diversos gráficos que se pueden presentar cuando la variable es cualitati-
va, algunos de ellos son: Diagrama de barras, Diagrama de Pareto, Pictogramas,
Gráficos por Sectores Circulares, etc.; los más comunes son los Diagramas de
barras y por Sectores Circulares.
El Diagrama de Barras. Se utiliza para representar los caracteres cualitativos
(también los cuantitativos discretos). En el eje horizontal, o eje de abscisas, se
representan los datos de la variable analizada; en el eje vertical o de ordenadas,
se representan las frecuencias de cada dato.
Diagrama por Sectores Circulares. Se utiliza cuando queremos representar frecuen-
cias de la variable cualitativa. Los datos se representan en un círculo. Cada sector
indica la parte proporcional a la frecuencia y, por tanto, un valor de la variable, El
ángulo de cada sector circular es proporcional a la frecuencia de cada dato.
Estos gráficos y otros pueden ser realizados por cualquier software estadístico.
Del ejemplo anterior se presentan estos gráficos usando Excel.
Figura 2.1. Diagrama de Barras.

11
2.3 TABLA DE FRECUENCIAS CUANDO LA VARIABLE ES CUANTITATIVA
Primero debemos tener presente las siguientes definiciones:
Frecuencia Absoluta. (fi
): número de observaciones por cada clase o intervalo,
donde se verifica:
1
0
m
i i
i
f n f n
=
= ≤ ≤∑
n : tamaño de la muestra
m: número de clases o intervalos de clase
Frecuencia Absoluta Acumulada. (Fi
), número de observaciones acumuladas
desde la primera clase hasta la clase i.
1
m
i j
j
F f
=
= ∑
Frecuencia Relativa. (hi
): relación entre la frecuencia absoluta y el número total
de observaciones.
1
0 1 1
m
i
i i i
i
f
h h h
n =
= ≤ ≤ =∑
Generalmente la frecuencia relativa se expresa en porcentaje: % 100%i ih h= ×
Figura 2.2. Diagrama por sectores circulares
i

12
Frecuencia Relativa Acumulada. (Hi
) Representa a las frecuencias relativas acu-
muladas desde la primera clase hasta la clase i.
1
m
i j
j
H h
=
= ∑ también i
i
F
H
n
=
Generalmente esta frecuencia también se expresa en porcentaje: Hi
% = Hi
x 100%
2.3.1 Tabla de Frecuencias cuando la variable es cuantitativa discreta
En este caso generalmente se agrupa por clase, considerando de manera directa
los valores de los datos en forma ordenada, además generalmente la muestra es
pequeña (usualmente n<30) y los datos se repiten con mucha frecuencia ya que
no debe haber muchas clases.
Ejemplo:
Los siguientes datos corresponden al número de imperfecciones observadas en
30 rollos de tela:
2 0 4 4 1 4 0 3
1 1 0 1 2 4 1 1
5 3 4 0 4 0 0 0
2 1 2 0 3 1
En este caso, la tabla de frecuencias se agrupa por clase, ya que los datos discretos
se repiten con frecuencia. En la tabla de frecuencias se presenta cada uno de estos
valores ordenados y se cuenta la cantidad de veces que se repite cada dato.
N° de Imperfecciones N° de rollos de tela ( fi
) Fi
hi
% Hi
%
0 8 8 26,67 26,67
1 8 16 26,67 53,33
2 4 20 13,33 66,67
3 3 23 10,00 76,67
4 6 29 20,00 96,67
5 1 30 3,33 100
Se observa que sólo 1 rollo de tela presenta 5 imperfecciones, este valor repre-
senta el 3,33% del total, mientras que 16 rollos de tela presentan a lo mucho una
imperfección,es decir el 53,33% del total.
i

13
2.3.2 Tabla de Frecuencias cuando la variable es cuantitativa continua
Cuando la variable es cuantitativa continua (generalmente las mediciones realiza-
das en laboratorio son de este tipo), los datos se agrupan por intervalos de clase.
El número de intervalos depende del número de datos y de su dispersión. Si el
número de intervalos es demasiado pequeño pueden estarse ocultando carac-
terísticas importantes de los datos en esta agrupación, si se tienen demasiados
intervalos se pueden presentar muchos intervalos de clase vacíos que resten sig-
nificado a la distribución. Entonces, el número de intervalos de clase será deter-
minado por el número de datos considerando también que tan uniformes sean
los datos. Una muestra pequeña requiere en general pocos intervalos de clase,
inclusive en algunos casos no es necesaria agruparla.
A continuación se presenta un procedimiento para construir este tipo de Tabla
de Frecuencias.
2.3.2.1 Procedimiento para construir una Tabla de Frecuencias por Intervalos
de Clases:
Primer paso
Cálculo del número de intervalos de Clase (m).
Para calcular el número de intervalos, se tiene dos criterios:
- Por criterio personal (según la experiencia del investigador), se fija el valor de m.
- La regla de Sturges: m = 1 + 3,3 log n (redondear a entero)
Segundo paso
Cálculo del rango de la muestra (R).
De todos los datos recopilados se consideran los extremos, el valor mayor y el
valor menor.
R= Valor Máx. – Valor Mín.
Tercer paso
Cálculo de la amplitud o ancho del Intervalo (c).
Para calcular la amplitud del intervalo, nos basamos en la siguiente expresión:
R
c
m
=
Observaciones:
- Con este procedimiento la amplitud del intervalo que se calcula es constante
para todos los intervalos y es preferible que tenga la misma cantidad de
decimales que presentan los datos, por lo tanto debe ser redondeado y este
redondeo debe ser por exceso, para no perder ningún dato.
- Para determinar los límites de clase, se deberá considerar los siguientes puntos:

14
a. Los límites de clase deben ser mutuamente excluyentes, no debe haber duda
en cuanto a la clase a que pertenece una observación determinada.
b. La elección de los límites de clase depende en gran parte si los datos son
continuos o discretos.
Los límites pueden ser:
- Límites Traslapantes
Ejemplo: 4,18 – 4,28
4,28 – 4,38

- Límites No Traslapantes
Ejemplo: 4,18 – 4,27
4,28 – 4,37
Ambos tipos pueden usarse para datos continuos o para datos tratados
como continuos.
Al tratar datos discretos se puede usar los límites no traslapantes.
c) Los intervalos más comunes, corresponde a límites traslapantes, estos
intervalos son semiabiertos de la forma [ X
′
i-1
– X
′
i
, a excepción del último
que puede ser cerrado.
Cuarto paso
Tabulación, mediante el conteo adecuado a considerar.
Quinto paso
Calcular las marcas de clase Xi
(punto medio de cada intervalo), se calcula me-
diante el promedio de los límites del intervalo respectivo. Sirve para representar
a los datos de cada intervalo:

' '
1
2
i i
i
x x
x − +
=
'
1ix − : Límite inferior del intervalo

'
ix : Límite superior del intervalo

15
2.3.2.2 Representación de la tabla de frecuencias por intervalos de clase
Cuadro 2.1. Tabla de Frecuencias por intervalos de clase
' '
1i ix x−
 − ix if iF %ih %iH
' '
0 1x x − 1x 1f 1F 1%h 1%H
' '
1 2x x − 2x 2f 2F 2 %h 2 %H
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
' '
1m mx x−
 − 
mx mf mF n= %mh % 100%mH =
Ejemplo:
Los siguientes datos corresponden a 30 mediciones del punto de ebullición de un
compuesto de silicio (en grados Celsius):
166 178 136 170 162 155 146 183 157 148 138 160 153 175 157 156
165 160 159 168 170 150 148 179 167 165 162 158 173 164.
Solución
Realizamos el procedimiento para construir la tabla de frecuencias.
1er.
Paso. Calculamos en número de intervalos con la Regla de Sturges:
m = 1+ (3,3)log30 = 5,8745 ≈ 6
2do.
Paso. Rango de la muestra: R = 183 – 136 = 47
3er.
Paso. Cálculo de la amplitud del intervalo:
c =
47
= 7,83 ≈ 8

6
Se redondea al entero ya que los datos no tienen decimales.

16
4to.
Paso. Tabulación
Punto de ebullición (°C) xi
fi
Fi
hi
% Hi
%
136 – 144 140 2 2 6,7 6,7
144 – 152 148 4 6 13,3 20,0
152 – 160 156 7 13 23,3 43,3
160 – 168 164 9 22 30,0 73,3
168 – 176 172 5 27 16,7 90,0
176 – 184 180 3 30 10,0 100
Se puede observar que son 9 las mediciones cuyo punto de ebullición son de por
lo menos 160 °C pero menos de 168 °C y éstas representan el 30% del total de las
mediciones. También vemos que el 43,3% de las mediciones presentan un punto
de ebullición menor que 160 °C, las cuales corresponden a 13 de las mediciones.
Los gráficos en este caso son:
Histograma de frecuencias
Para realizar un histograma se marcan una serie de intervalos sobre un eje horizon-
tal, y sobre cada intervalo se coloca un rectángulo de altura proporcional al número
de observaciones (frecuencia absoluta) que caen dentro de dicho intervalo. De esta
manera el histograma de frecuencias resulta muy útil para representar gráficamen-
te la distribución de frecuencias. También se puede usar la frecuencia relativa en
lugar de la frecuencia absoluta y el histograma es proporcional al anterior.
Polígono de frecuencias
Para construir el polígono de frecuencias se toma la marca de clase que coincide
con el punto medio de cada rectángulo de un histograma y la altura respectiva es
la frecuencia absoluta (también puede ser la frecuencia relativa). Este gráfico se
presenta en la sección 2.5.
Figura 2.3. Histograma de Frecuencias

17
Ojivas (usando frecuencias acumuladas)
Es un gráfico que se basa en frecuencias acumuladas, se le conoce también como
diagrama “menor que”, ya que la frecuencia que se representa en cada frontera
de clase son el número de observaciones menores que la frontera señalada.
2.4 Medidas descriptivas
En esta sección, se presenta algunas medidas descriptivas más frecuentemente
empleadas, sobre todo cuando en el laboratorio se realizan mediciones, se nece-
sita encontrar aquellas medidas que representen a estas mediciones y también
que midan la variabilidad de ellas. Estas medidas descriptivas se usan cuando
los datos son cuantitativos.
A las medidas descriptivas también se les conoce como estadígrafos o estadísti-
cos, y se clasifican en:
- Medidas de Tendencia Central
- Medidas de Dispersión
2.4.1 Medidas de Tendencia Central
Llamados de tendencia central, porque tienden a ubicar el centro de las observa-
ciones, además el valor central es el más representativo de un conjunto de datos,
por eso cuando se realizan mediciones o se recopilan datos es necesario calcular
una medida de tendencia central para que represente a este conjunto de datos.
Estas medidas se expresan en las mismas unidades de medición que los datos;
esto es, si la observación es en gramos, el valor de tendencia central también re-
sulta en gramos.
Algunas medidas de tendencia central son: media aritmética, mediana, moda,
media geométrica, media armónica etc. y las que más se usan son: la media arit-
mética, mediana y moda, son las que se presentan a continuación:
2.4.1.1 Media Aritmética
También se le conoce como promedio aritmético o simplemente promedio; es la
medida de tendencia central que más se usa en estadística, es simple y fácil de
calcular. Se denota X ó M(x).
Cálculo de la media aritmética
Se calcula teniendo en cuenta los siguientes casos:
1er. Caso: Datos no agrupados en tablas de frecuencias
Sean x1 ,
x2
, x3
,.
..., xn
un conjunto de n observaciones que representan a los datos
o mediciones de una muestra, la media aritmética se calcula :

18
1
n
i
i
x
X
n
=
=
∑
2do. Caso: Datos agrupados en tabla de frecuencias
Cuando los datos están clasificados en tablas de frecuencias, entonces la media
aritmética se calcula mediante la siguiente fórmula:
1
m
i i
i
x f
X
n
=
=
∑
Donde:
xi
= marca de clase o valor numérico de la variable
m = número de intervalos de clase
fi
= frecuencia absoluta
Ejemplo:
Supóngase que se determinó que a 22°C una pipeta de 5,000 mililitros, después
de pesar por seis ocasiones su volumen vertido, generó los siguientes pesos apa-
rentes de agua en gramos:
4,995; 4,993; 4,994; 4,996; 4,998; 4,992. Calcular el peso promedio.
Solución
La media aritmética para esta muestra pequeña (datos no agrupados en tabla de
frecuencias) se calcula:
1 4,995+ 4,993 +4,994 +4,996+ 4,998 +4,992
4,9947
6
n
i
i
x
X
n
=
= = =
∑
Esto significa que la pipeta escurre a una temperatura de 22°C, en promedio
4,9947 gramos de agua.
Ejemplo:
De la siguiente tabla de frecuencias construida en un ejemplo anterior, calcular la
media aritmética para datos agrupados.

19
fi
Fi
hi
% Hi
%
136 – 144 140 2 2 6,7 6,7
144 – 152 148 4 6 13,3 20,0
152 – 160 156 7 13 23,3 43,3
160 – 168 164 9 22 30,0 73,3
168 – 176 172 5 27 16,7 90,0
176 – 184 180 3 30 10,0 100
Solución
La media aritmética para datos agrupados en tabla de frecuencias es:
X = 161,333°C
Es decir el punto de ebullición promedio es de 161,333°C.
Propiedades de la media aritmética
Propiedad 1
Si todos los datos son iguales a una constante k, entonces la media es igual a dicha
constante: k = k
Demostración:
Sea 1
n
i
i
x
X
n
=
=
∑
Si 1
n
i
i
k
n k
x k k k
n n
=
= ⇒ = = =
∑
(140)(2) + (148)(4) + (156)(7) + (164)(9) + (172)(5) + (180)(3)
30
4840
30
=
m
∑ xi
fi
i=1
n
=X =‾
‾
‾

20
Propiedad 2
Si a cada dato se le suma o resta una constante k, a la media también se le suma
o resta, dicha constante:
x + k = x + k
Demostración:
( )
1 1 1
n n n
i i
i i i
x k x k
x k
n n
= = =
+ +
+= = =
∑ ∑ ∑
1 1
n n
i
i i
x k
n k
x x k
n n n
= =
= + =+ =+
∑ ∑
Propiedad 3
Si a cada dato se le multiplica o divide por una constante k, a la media también se
le multiplica o divide dicha constante:
x k x k=
Demostración:
( )
1 1 1
n n n
i i i
i i i
x k k x x
x k k x k
n n n
= = =
= = = =
∑ ∑ ∑
Propiedad 4
La suma de las desviaciones con respecto a la media es igual a cero:
( )1
0
n
i
i
x x
=
− =∑
Demostración:
( )
1 1 1 1
n n n n
i i i
i i i i
x x x x x n x
= = = =
− = − = − =∑ ∑ ∑ ∑
1
1 1 1
0
n
in n n
i
i i i
i i i
x
x n x x
n
=
= = =
= − = − =
∑
∑ ∑ ∑
Nota. Todas las propiedades cumplen para datos agrupados y no agrupados.
‾

21
Media ponderada Xw
Si cada observación xi
tiene un peso o ponderación Wi
, esto es, cuando las ob-
servaciones no tienen la misma importancia dentro de una muestra, entonces
tenemos la media ponderada que se calcula de la siguiente manera:
Ejemplo:
Las notas de un alumno de ingeniería química al finalizar el semestre 2010-1
fueron:
Curso Nota Créditos
Estadística y diseños de experimentos 11 4
Física III 09 5
Introducción al diseño mecánico 12 3
El promedio ponderado del alumno en el semestre 2010-1 es:
11(4) 09(5) 12(3)
10,4
12
wX
+ +
= =
2.4.1.2 Mediana
Es el estadígrafo de posición que divide en dos partes iguales al conjunto de ob-
servaciones, es decir, la mediana representa el valor central de una distribución
de datos ordenados en forma creciente o decreciente, y es aquel que divide a la
distribución de los datos de tal forma que 50% de los valores son menores o igua-
les que él, y 50% de los valores son mayores o iguales que él.
Cálculo de la mediana
1er. Caso: Datos no agrupados en tabla de frecuencias
Primero se ordena los datos en forma creciente o decreciente y luego se tiene en
cuenta sí:
n es impar.- La mediana es el valor central.
me
= Xn+1
(Posición del valor central)
2
1
1
.
m
i i
i
w m
i
i
x w
X
w
=
=
=
∑
∑
‾

22
Ejemplo:
Los siguientes datos corresponden al contenido de sólidos en el agua en partes
por millón (ppm) : 4520 4570 4520 4490 4570 4500 4520 4590 4540 4500 4520.
Calcule la mediana.
Solución
Primero se ordenan: 4490 4500 4500 4520 4520 4520 4520 4540 4570 4570 4590
Como n=11 (impar) el valor central es: me = 4520 ppm (representa la 6ta. posición)
entonces, el valor que tiene 50% de los valores por encima y 50% por debajo de
él es 4520 ppm.

n es par.- La mediana es igual al promedio de los 2 valores centrales:
1
2 2
2
n n
e
x x
m
+
+
=
Ejemplo:
Del ejemplo anterior de la media aritmética para datos no agrupados, después de
pesar su volumen vertido por seis ocasiones, generó los siguientes pesos aparen-
tes de agua en gramos: 4,995 4,993 4,994 4,996 4,998 4,992. Calcule la media-
na.
Solución
Se ordena: 4,992 4,993 4,994 4,995 4,996 4,998
Como n = 6 (par), entonces la mediana resulta:
4,994 4,995
4,9945
2
em g
+
= =
Se observa que el valor de la mediana es muy similar a la media aritmética calcu-
lada anteriormente.
2do.Caso: Datos agrupados en tabla de frecuencias
En este caso la mediana se calcula mediante la siguiente fórmula:

1
'
1
2
me
e me me
me
n
F
m x c
f
−
−
 
− 
= +  
 
 

23
Donde:
X’me–1
= límite inferior de la clase mediana
Cme
= tamaño del intervalo de la clase mediana
Fme–1
= frecuencia absoluta acumulada anterior a la clase mediana
fme
= frecuencia absoluta de la clase mediana
Clase mediana
Es aquél intervalo que contiene al valor que ocupa la posición media, es decir,
contiene a la mediana.
Donde se cumple:
Fme-1
≤ n < Fme
Fme
= frecuencia absoluta acumulada de la clase mediana
2
Ejemplo:
De la tabla de frecuencias anterior,
fi
Fi
hi
% Hi
%
136 – 144 140 2 2 6,7 6,7
144 – 152 148 4 6 13,3 20,0
152 – 160 156 7 13 23,3 43,3
160 – 168 164 9 22 30,0 73,3
168 – 176 172 5 27 16,7 90,0
176 – 184 180 3 30 10,0 100
Calcule la mediana.
Solución
Como n=30 entonces: 15 13 15 22
2
n
= ⇒ < <
por lo tanto el intervalo que contiene a la posición 15 es el cuarto, es la clase me-
diana, y además:
'
1 1160 8 15 13 9
2
me me me me
n
x c F f− −= = = = =
Reemplazando en la fórmula de la mediana:
15 13
160 8 161,7778
9
em C
− 
=+ = ° 
 

24
El cálculo anterior de la media aritmética para datos agrupados en tablas de fre-
cuencias resultó:
X = 161,333°C
Lo cual es muy cercano al valor calculado de la mediana, ambas son medidas de
tendencia central y cualquiera de ellos puede representar al conjunto de datos.
2.4.1.3 Moda
Representa al valor que más se repite en un conjunto de observaciones. Esta me-
dida no es muy útil, porque puede ocurrir que una distribución tenga dos ó más
valores que se repitan con la misma frecuencia, en tal caso se tienen dos o más
modas.
Entonces:
- Si la distribución de frecuencias tiene un sólo valor que más se repite:
UNIMODAL.
- Si la distribución presenta dos o más valores que se repitan: POLIMODAL.
- Si no hay algún valor que se repita con más frecuencia: DISTRIBUCIÓN
UNIFORME.
Cálculo de la moda
1er.Caso: Datos no agrupados
Es fácil de calcular, bastará con observar cual es el dato que más se repite.
Ejemplo:
Calcule la moda en cada caso
(i): 4 5 6 7 4 5 4 6 5 5 4 5 5
Mo = 5 UNIMODAL (es el valor que más se repite)
(ii) 7 7 6 8 8 6 8 7 7 9 12 11 10 8
Mo=7 Mo=8 BIMODAL (son dos valores que se repiten con más frecuencia)
2do.Caso: Datos agrupados en tablas de frecuencias

' 1
1
1 2
o mo mo
d
m x c
d d
−
 
= +  
+ 
‾

25
Donde:
X
’
mo-1
: Límite inferior de la clase modal.
cmo
: amplitud de la clase modal.
d1
: Diferencia entre la frecuencia absoluta de la clase modal menos la
frecuencia absoluta anterior.
d2
: Diferencia entre la frecuencia absoluta de la clase modal menos la siguiente.
Clase Modal. Representa el intervalo con la mayor frecuencia absoluta.
Ejemplo:
De la Tabla de Frecuencias anterior, luego de calcular la media aritmética y me-
diana para datos agrupados, ahora se calcula la moda.
El intervalo que presenta más datos (mayor frecuencia absoluta) es el cuarto,
entonces esa es la clase modal, además:
'
1 160mox − = cmo
= 8 1 29 7 2 9 5 4d d= − = = − =
Reemplazamos en la fórmula
2
160 8 162,6667
2 4
om C
 
=+ = ° 
+ 
Este es el valor de la moda para datos agrupados en tabla de frecuencias.
Finalmente, se observa que las tres medidas son muy cercanas y cualquiera de
ellas puede representar al conjunto de observaciones.
2.4.1.4. Relación entre la media aritmética, mediana y moda
- La media aritmética es muy sensible cuando hay valores extremos, y como la
mediana es un valor posicional, se ve menos afectada por valores extremos;
esta es una ventaja de la mediana que la convierte en más representativa que
la media aritmética cuando hay valores extremos.
- X = mediana = moda, si la distribución es simétrica (frecuencias absolutas
equidistantes son iguales), es decir polígono de frecuencias simétrico.
-

X < mediana < moda o moda < mediana < X, si la distribución de las frecuencias
no es simétrica
‾
‾
‾

26
2.4.1.5 Otras medidas de tendencia Central
También existen otras medidas de tendencia central, algunas de ellas son:
Media Geométrica
Representa a un valor de tendencia central y se calcula mediante la raíz enésima
del producto de los datos de la muestra.
1 2 ....n
nMg x x x=
No es muy útil en química ni en textiles, ya que cuando la variable toma al menos
un valor cero entonces la Mg se anula, y si la variable toma valores negativos se
pueden presentar una gama de casos particulares en los que tampoco queda de-
terminada debido al problema de las raíces de índice par de números negativos.
Media armónica
Esta medida representa la inversa del promedio de las inversas de cada dato
recopilado.
1 1
1
1 1n n
i ii i
n
Mh
x x
n
= =
= =
∑ ∑
Se suele utilizar para promediar variables tales como productividades, velocida-
des, tiempos, rendimientos, cambios, etc.
Su cálculo no tiene sentido cuando algún valor de la variable toma valor cero.
2.4.2 Medidas de Dispersión
En el laboratorio, cuando se realizan mediciones, la variabilidad de los datos
afecta la precisión y exactitud de los resultados, y esto puede influir en los análi-
sis que se realicen con ellos. Por eso es muy importante calcular una medida que
cuantifique la dispersión de los datos.
En esta sección se presenta las medidas de dispersión, estas medidas son núme-
ros que miden o cuantifican la variabilidad de las observaciones con respecto a
un estadígrafo de tendencia central (generalmente la media aritmética).
Los principales estadígrafos de dispersión son los siguientes:

27
2.4.2.1 Varianza V(X)
Se define como el promedio del cuadrado de las desviaciones con respecto a la
media.
Cuando la varianza es muestral, entonces V(X) se puede denotar como S
2
(x) ; y
si la varianza es poblacional, entonces V(X) se denota como s
2
.En este capítulo
estudiaremos la varianza muestral.
Cálculo de la varianza
La varianza se calcula teniendo en cuenta los siguientes casos:
1er. Caso: Datos no agrupados en tablas de frecuencias

( )
2
2 1
-
( )
-1
n
i
i
x x
S x
n
=
=
∑
Desarrollando esta sumatoria, se obtiene una forma más simple para calcular la
varianza:
( )22 2 2
2 1 1 1 1
- 2 - 2
( )
- 1 - 1
n n n n
i i i i
i i i i
x x x x x x x x
S x
n n
= = = =
+ +
= =
∑ ∑ ∑ ∑

2 2 2 21
1 1 1
- 2 - 2
- 1 - 1
n
in n n
i
i i i
i i i
x
n
x x x n x x x n n x
n n
n n
=
= = =
 
+ + 
 =
∑
∑ ∑ ∑

22 2 2 2
1 1
- 2 - 2
- 1 - 1
n n
i i
i i
x x n x n x x n x n x
n n
= =
+ +
= =
∑ ∑
2 2
2 1
-
( )
- 1
n
i
i
x n x
S x
n
=
=
∑
x

28
2do. Caso: Datos agrupados en tablas de frecuencias

( )
2
2 1
-
( )
-1
m
i i
i
x x f
S x
n
=
=
∑
De manera similar a la anterior, desarrollando esta sumatoria se obtiene:

2 2
2 1
-
( )
- 1
m
i i
i
x f n x
S x
n
=
=
∑
Donde:
Xi
= marca de clase
fi
= frecuencia absoluta
Propiedades de la varianza
Propiedad 1
El valor de la varianza es un valor no negativo: S
2
(x) ≥ 0
Propiedad 2
Si todos los datos son iguales, no hay dispersión. Esto es si cada xi
= k (constante):
S
2
(k) = 0
Demostración

( ) ( )
2 2
2 1 1
- -
( ) 0
-1 -1
n n
i i
k k k k
S k
n n
= =
= = =
∑ ∑
Propiedad 3
Si a cada dato xi
se le suma (o resta) una constante k entonces la varianza no
cambia:
S
2
(x ± k) = S
2
(x)
Demostración:

( ) ( )( ) ( ) ( )( )
2 2
2 1 1
- -
( )
- 1 - 1
n n
i i
i i
x k x k x k x k
S x k
n n
= =
+ + + +
+= = =
∑ ∑

29
( ) ( )
2 2
21 1
- - -
( )
- 1 - 1
n n
i i
i i
x k x k x x
S x
n n
= =
+
= = =
∑ ∑
Propiedad 4
Si a cada dato se multiplica (o divide) por una constante k, entonces la varianza
queda multiplicada por la constante al cuadrado.
S
2
(kx) = k
2
S
2
(x)
Demostración:

( ) ( )( ) ( ) ( )( )
2 2
2 1 1
- -
( )
- 1 - 1
n n
i i
i i
x k xk x k xk
S xk
n n
= =
= = =
∑ ∑

( ) ( )
2 2
2
2 2 21 1
- -
( )
- 1 - 1
n n
i i
i i
k x x x x
k k S x
n n
= =
= = =
∑ ∑
Propiedad 5
En general:
2 2 2 2 2
( ) ( ) ( )S ax by a S x b S y± = +
Siendo a y b constantes, x e y variables independientes.
La varianza no tiene la misma magnitud que las observaciones (ejemplo: si las
observaciones se miden en metros (m), la varianza lo hace en m2
). Si queremos
que la medida de dispersión sea de la misma dimensionalidad que las observa-
ciones, bastará con tomar su raíz cuadrada.
2.4.2.2 Desviación estándar o típica
Se define como la raíz cuadrada positiva de la varianza, y como la varianza esta
expresada en unidades cuadradas, la desviación estándar (que está expresada en
las mismas unidades de los datos) representa mejor la variabilidad de las obser-
vaciones.
2
( ) ( )S x S x=

30
2.4.2.3 Coeficiente de variación (C.V.)
Las medidas de tendencia central y la desviación estándar nos dan información
sobre una muestra y se expresan en las mismas unidades de medida que presen-
tan los datos. Ahora, si se desea comparar dos muestras de diferentes unidades
de medida, por ejemplo, en la variable altura podemos usar como unidad de
longitud el metro y en la variable peso, el kilogramo; comparar una desviación
medida en metros con otra en kilogramos no tiene ningún sentido. El mismo
problema se plantea si medimos cierta cantidad, por ejemplo la masa, de dos
muestras, pero con distintas unidades de valor, por ejemplo si comparamos el
peso en gramos de una muestra de 20 hornos microondas con el correspondiente
en gramos de una muestra de 50 sobres de té filtrante.
El problema no se resuelve tomando las mismas escalas para ambas poblaciones.
El coeficiente de variación es lo que nos permite evitar estos problemas, pues elimi-
na la dimensionalidad de las variables y tiene en cuenta la proporción existente
entre la media X y la desviación estándar S(x).
Se calcula del siguiente modo:
( )
. . .100%
S x
CV
x
=
El C.V. como no tiene unidades se debe expresar en porcentaje y sirve como me-
dida de comparación con otras distribuciones de cualquier tipo de unidad, es
decir, el coeficiente de variación mide el grado de dispersión de los datos.
Para calcular el C.V. se considera al promedio en valor absoluto, además se debe
tener en cuenta lo siguiente:
C.V. < 10% representa a una muestra que tiende a ser homogénea, los datos o
mediciones no son muy dispersos.
10% ≤ C.V. ≤ 20% presentan una regular o moderada dispersión.
C.V >20% los datos de la muestra son muy dispersos.
Ejemplo:
Se tiene dos muestras, con la siguiente información para cada una de ellas:
1 1 1
3 3
2 2 2
25 274.46 8,58
27 7,3 0,75
n x kg S kg
n x cm S cm
= = =
= = =
¿En qué muestra hay menos variabilidad en las observaciones?
‾

31
Solución
Primero hay que tener en cuenta que no se puede comparar las desviaciones es-
tándares de cada muestra, porque están expresadas en diferentes unidades, pero
sí podemos compararlas con sus respectivos C.V.
1
1
1
8,58
.100% .100% 3,126%
274.46
S
CV
x
= = =
2
2
2
0,75
.100% .100% 10,274%
7,3
S
CV
x
= = =
Entonces, comparando ambos coeficientes de variación se observa que existe me-
nor dispersión en los datos de la primera muestra, es así que, la primera muestra
es más homogénea y la dispersión es mínima.
2.5 Aplicación usando el paquete estadístico minitab
También se pueden procesar los datos usando Minitab, se presenta a continua-
ción de una manera práctica y muy simple:
Procedimiento:
Se ingresan los datos correspondientes a las variables: Tipos de Tela, Número de
imperfecciones y Punto de Ebullición (de los ejemplos anteriores).
Los datos se pueden ingresar por variable (en columnas). Se debe ingresar el
nombre de la columna. Cuando los datos son del tipo alfanumérico (variable
cualitativa), el Minitab automáticamente a la columna le añade el sufijo –T.
La versión del Minitab que se usó para este texto usa la coma como separador
decimal, ya que algunas versiones del Minitab usan el punto como separador
decimal.
Guardar los datos como un proyecto: del menú la opción File / Save Proyect As
Nombre del archivo lab1.MPJ .

32
Ejecute los siguientes comandos: Stat/Tables/ Tally Individual Variables.
Para variable Cualitativa:
Seleccione la variable Cualitativa “Tipos de tela” luego elija las opciones Counts
y Percents, luego OK y se obtiene el siguiente cuadro, para la variable cualitativa
“Tipos de tela” (Tabla de Frecuencias):
Tipos de tela Count Percent
Brocado 5 10.00
Chenille 10 20.00
Cretona 20 40.00
Gasa 10 20.00
Organza 5 10.00
Para realizar los gráficos de la variable cualitativa, se elige Graph/Bar Chart, luego
la opción “simple” y OK. En la ventana que aparece, se selecciona la variable
“Tipos de tela”, luego se presiona el botón “Chart Options” y por “Default“la grá-
fica se presenta como se muestra en la figura (si se elije las opciones “Decreasing
Y”y “Show Y as Percent”, las barras aparecen ordenadas de mayor a menor y en
porcentaje). Presione OK. Luego presionamos el botón “Labels” e ingrese el título
del trabajo: TIPOS DE TELA, al momento seleccione “Data Labels” y elija “Use y-
value labels”. En “Data View” marcar la opción Bars Presione OK y otra vez OK,
se muestra la siguiente figura:

33
Para el gráfico por Sectores Circulares, ejecute los siguientes comandos: Graph/
Pie Char. Seleccione la variable “Tipos de tela”. Elija Pie Options/Decreasing vo-
lumen OK. Elija Labels (coloque título)/Slice labels/Percent OK. El Gráfico es el
siguiente:
Para la variable Cuantitativa Discreta:
Ahora trabajaremos con la variable cuantitativa discreta “Número de imperfec-
ciones” del ejemplo de las imperfecciones en los rollos de Tela.
Ingrese: Stat/Tables/ Tally Individual Variables, luego se selecciona la variable
cuantitativa discreta “Número de Imperfecciones” y se elije las opciones Counts,
Percents, Cumulative counts, Cumulative Percents, OK y se obtiene lo siguiente:

34
Tally for Discrete Variables: N°de Imperfecciones
Número de
Imperfecciones
Count CumCnt Percent CumPct
0 8 8 26,67 26,67
1 8 16 26,67 53,33
2 4 20 13,33 66,67
3 3 23 10,00 76,67
4 6 29 20,00 96,67
5 1 30 3,33 100,00
N=30
Para graficar esta variable discreta, se ejecuta los siguientes comandos: Graph/
Bar Chart, elija la opción “simple”, OK, luego se selecciona la variable “Número
de Imperfecciones”. Presione el botón “Chart Options” y elija la opción “Show
Y as Percent” (debe estar activada la opción “Default”). Presione OK, luego pre-
sione el botón “Labels” e ingrese el título del trabajo Número de Imperfecciones,
al momento seleccione “Data Labels” y elija “Use y-value labels”. Presione OK.
Seguidamente, presione el botón “Data View” y elija la opción “Project lines”
(desactivar la opción “Bars” si se encuentra activa). Presionar OK y la gráfica es
la siguiente figura:
Para la variable Cuantitativa Continua:
Ahora se hará el procesamiento para los datos correspondiente a la variable
cuantitativa continua, se elige Graph/Histogram, luego “simple”, OK.

35
Seleccionar la variable “Punto de ebullición”, presione “Labels” (coloque título)
elegir la ficha “Data labels”, luego elija “Use Y-value labels” o si no desea que apa-
rezca las frecuencias sobre cada barra entonces elegir “None”, OK y luego otra
vez OK. Aparece el Histograma con 11 intervalos (por defecto).
Para modificar el Histograma, hacemos clic dos veces dentro del histograma, en la
ventana que aparece escoja en la ficha Binning, las opciones “cutpoint”,”Midpoint
/cutpoint positions”, seguidamente se ingresa el valor mínimo (136), dos puntos,
valor máximo (183), diagonal y finalmente la amplitud 8, como aparece en la
siguiente ventana:
Hacer clic en OK y aparece el Histograma:

36
Para graficar el Polígono de frecuencias, ingrese los valores de las frecuencias
relativas y de las marcas de clase de la tabla de frecuencias en otras columnas
C2 (punto de ebullición) y C3 (Porcentaje) de Minitab, finalmente ejecute los si-
guientes comandos: Graph/Scatterplot y elija “With Connect Line”. OK:
Estadísticos:
Para calcular los estadísticos de las variables cuantitativas: Stat/Basic Statistics/
Display Descriptive Statistics, se seleccionan los datos ingresados en la columnas
C2 (N° de imperfecciones) y C3 (punto de ebullición), se hace clic en statistics y se
marcan los estadísticos que se desean encontrar seguido de OK; los estadísticos
resultantes para los datos de estas dos variables (sin agrupar en tablas de fre-
cuencias) aparecen en la ventana Session que se muestra a continuación:

Descriptive Statistics: N°de Imperfecciones, Punto de ebullición
Variable Mean StDev Variance CoefVar Minim Median Maximum
N°de Imperfecciones 1.800 1.606 2.579 89.22 0.000 1.000 5.000
Punto de ebullición 160.93 11.39 129.72 7.08 136.00 161.00 183.00
N for
Variable Range Mode Mode
N°de Imperfecciones 5.000 0, 1 8
Punto de ebullición 47.00 148, 157, 160, 162 2
The data contain at least five mode values. Only the smallest four are shown.

37
2.6 EJERCICIOS DESARROLLADOS
Ejercicio 1
Los siguientes datos corresponden a 20 lecturas de temperatura (en °F) tomadas
en varios puntos de un horno de gran tamaño
415 460 510 475 430 410 425 490 500 470
450 425 485 470 450 455 460 480 475 465
Sin agrupar los datos en tabla de frecuencias, calcule: media aritmética, mediana,
moda y el coeficiente de variación C.V. interprete.
Solución
1 415 460 510 ..... 465 9200
460
20 20
n
i
i
X
X F
n
= + + + +
= = = = °
∑
Para calcular la mediana ordenamos
410 415 425 425 430 450 450 455 460 460
465 470 470 475 475 480 485 490 500 510
460 465
462,5
2
em F
+
= = °
Es polimodal, las modas son:
mo1
= 425 mo2
= 450 mo3
= 460 mo4
= 470 mo5
= 475 (todas se repiten dos veces)
( ) 27,9096286S x F= ° (Se calcula directamente con la calculadora)
27,9096286
. . 100% 6,07 %
460
CV= =
Los datos son pocos dispersos

38
Ejercicio 2
En el laboratorio de química se han realizado n determinaciones del volumen (cm3
)
de una sustancia química, los datos se han clasificado en una tabla de frecuencias
con 6 intervalos de igual amplitud, donde se conoce la siguiente información:
6
3
1
264 (suma de marcas de clase) mediana=43,625i
i
x cm
=
=∑
2 4 4 3 6 1
4
10 7 25 -30
17
F f F h f f n= = = = = =
Calcular la media aritmética, moda, determine e interprete el coeficiente de va-
riación (C.V.)
Solución
Colocamos los datos dados, donde X1
: es la primera marca de clase y c es la amplitud
del intervalo
Intervalo Xi
fi
Fi
hi
Hi
X1
X1
+ c 10
X1
+ 2c 4/17
X1
+ 3c 7 25
X1
+ 4c
X1
+ 5c
Se observa que:
3 4 4- 25-7 18F F f= = =
3 3 2- 18-10 8f F F= = =
3
3
4 8
34
17
f
h n
n n
= ⇒ = ⇒ =
6 1entonces 34-30 4f f= = =

39
Se completa las frecuencias absolutas y relativas:
Intervalo Xi
fi
Fi
hi
% Hi
%
X1
4 4 11,8 11,8
X1
+ c 6 10 17,6 29,4
X1
+ 2c 8 18 23,5 52,9
X1
+ 3c 7 25 20,6 73,5
X1
+ 4c 5 30 14,7 88,2
X1
+ 5c 4 34 11,8 100
Como: 17 10 17 18
2
n
= ⇒ < <
Entonces: Fme–1
= 10 y Fme
= 18
La mediana está en el 3er. intervalo
'
-1 1 1
3
2 -
2 2
me
c
x x c x c=+ =+ (Límite inferior de la clase mediana)
1
3 17 -10
43,625
2 8
em x c c
 
= + + = 
 
1 1
19
43,625 8 19 349.......(1)
8
x c x c+ = ⇒ +=
Del dato:
1
1
264 6 15 264 ........(2)
m
i
i
x x c
=
= ⇒ + =∑
Resolviendo las ecuaciones (1) y (2) se obtienen: X1
= 36,5 c = 3

40
Entonces la tabla de frecuencias completa es:
Intervalos Xi
fi
Fi
hi
% Hi
%
35 – 38 36,5 4 4 11,8 11,8
38 – 41 39,5 6 10 17,6 29,4
41 – 44 42,5 8 18 23,5 52,9
44 – 47 45,5 7 25 20,6 73,5
47 – 50 48,5 5 30 14,7 88,2
50 – 53 51,5 4 34 11,8 100
Luego:
( )( ) ( )( ) ( )( )
6
31
36,5 4 39,5 6 ... 51,5 4
43,8235
34 34
i i
i
x f
X cm=
+ + +
= = =
∑
X = 43,8235 cm3
La clase modal es el tercer intervalo ya que tiene la mayor cantidad de mediciones
d1
= 8 - 6 = 2 d2
= 8 - 7 = 1
Reemplazando en la fórmula de la moda, tenemos:
32
41 3 43 43
2 1
mo mo cm
 
=+ = ⇒ = 
+ 
Ahora calculamos la desviación estándar:
6
2 2
2
31
-
66002,5 - 34(43,8235)
( ) 4,6238
-1 33
i i
i
x f n x
S x cm
n
=
= = =
∑
Finalmente se calcula el coeficiente de variación (C.V.)
( ) 4,6238
. . 100% 100% 10,55% . . 10,55%
43,8235
S x
CV CV
x
= = = ⇒ =
Se observa una moderada dispersión en las mediciones.
¯

41
Ejercicio 3
Para encontrar el efecto de la carga de polvo en la salida de un sistema con un
precipitante, se efectuaron las siguientes mediciones (en gramos por m3
en el
tubo del gas):
1,5 1,5 1,4 1,1 1,7 1,8 1,6 1,5 1,6 2,2 1,7 1,4 1,9 1,9 1,5 1,4 1,9 2,1
1,8 2,0 1,7 1,2 1,5 2,2 2,1 2,0 1,8 1,7 1,3 1,9 1,4 1,7 1,5 1,2
a. Clasifique los datos en una tabla de frecuencias usando la regla de Sturges.
b. Calcule la media, mediana y C.V. para los datos agrupados e interprételos.
Solución
Primero hacemos el procedimiento para la construcción de la tabla de frecuencias
por intervalos:
m = 1 + 3,3 log(34) = 6,054 ≈ 6
R = 2,2 - 1,1 = 1,1
1,1
0,183 0,2
6
c= = ≈
Se ha redondeado a un decimal porque los datos tienen un decimal.
La tabla de frecuencias es la siguiente:
Intervalos Xi
fi
Fi
hi
% Hi
%
1,1 – 1,3 1,2 3 3 8,8 8,8
1,3 – 1,5 1,4 5 8 14,7 23,5
1,5 – 1,7 1,6 8 16 23,5 47
1,7 – 1,9 1,8 8 24 23,5 70,5
1,9 – 2,1 2,0 6 30 17,7 88,2
2,1 - 2,3 2,2 4 34 11,8 100
Cálculo de los estadísticos pedidos:
31,2(3) 1,4(5) 1,6(8) 1,8(8) 2(6) 2,2(4)
1,7235 por
34
X g m
+ + + + +
=

42
317 16
1,7 0,2 1,725 por
8
em g m
− 
=+ = 
 
2 2
2
2 1
-
103,88-34(1,7235)
( ) 0,087412833
-1 33
( ) 0,087412833 0,2956566
m
i i
i
x f nX
S x
n
S x
=
= = =
= =
∑
( ) 0,2956566
. . 100% 100% 17,15%
1,7235
S x
CV
X
= = =
Se observa una regular dispersión en las mediciones.
Ejercicio 4
Se realizaron las mediciones del volumen (cm3
) de 30 sustancias químicas so-
metidas a la misma temperatura, los resultados se clasificaron en una tabla de
frecuencias simétrica con 5 intervalos de igual amplitud. Se conoce la siguiente
información:
X4
= 61 (cuarta marca de clase) X = 55 cm3
f1
= 4 F2
= 10
Complete la tabla de frecuencias, luego calcule la mediana, moda y el coeficiente
de variación, interprete sus resultados.
Solución
Como la tabla de frecuencias es simétrica y con la información dada, entonces
f1
= f5
= 4 f2
= f4
= 6
Se ubican los datos en la tabla de frecuencias y se tiene:
Intervalos Xi
fi
Fi
hi
% Hi
%
61-3c 4 4
61-2c 6 10
61-c 10 20
61 6 26
61+c 4 30
‾

43
Sea c = amplitud, usamos el valor de la media:
(61 3 )(4) (61 2 )(6) (61 )(10) (61)(6) (61 )(4)
55
30
c c c c
X
− + − + − + + +
=
1830 - 30c = 1650 ð 30c = 180 ð c = 6
Luego la tabla de frecuencias completa es la siguiente:
Intervalos Xi
fi
Fi
hi
% Hi
%
40 - 46 43 4 4 13,3 13,3
46 – 52 49 6 10 20,0 33,3
52 – 58 55 10 20 33,3 66,7
58 – 64 61 6 26 20,0 86,7
64 – 70 67 4 30 13,3 100
Como la distribución de frecuencias es simétrica:
X = me = mo = 55 cm3
Entonces, el volumen promedio, la mediana y la moda de las mediciones corres-
pondientes a las 30 sustancias es 55 cm3
2 2
2
2 1
-
92334 30(55)
( ) 54,62068966
-1 29
m
i i
i
x f nX
S x
n
= −
= = =
∑
3
( ) 54,62068966 7,39058S x cm⇒= =
Por lo tanto el C.V. es:
( ) 7,39058
. . 100% 100% 13,44%
55
S x
CV
X
= = =
Este valor indica que los datos son regularmente heterogéneos, la dispersión es
moderada.
‾

44
Ejercicio 5
La contaminación con petróleo de los mares estimula el crecimiento de ciertos
tipos de bacterias. Un conteo de microorganismos oleolíticos (bacterias por 100
mililitros) en n muestras de agua de mar, fueron clasificados en una tabla de
frecuencias con 6 intervalos de igual amplitud, además se presenta los siguientes
resultados:
f1
= f5
h4
% = 25% h5
% + h6
% = 15% F3
= 24
H1
% = 10% f3
= 6f6
X = 21 X3
=
Complete la tabla de frecuencias y calcule la mediana.
Solución
Primero se coloca la información dada:
Intervalo Xi
fi
Fi
hi
% Hi
%
a
10%
n/2 6b 24
25%
a
b
h4
% = 25% h5
% + h6
% = 15% ð h4
% + h5
% + h6
% = 40%
h1
% + h2
% + h3
% = 100% – 40% = 60% = H3%
3 3
3
3
24
como : 40
0,60
F F
H n
n H
= ⇒ = = =
Colocando algunos resultados en la tabla de frecuencias:
n
2
‾

45
Intervalo Xi
fi
Fi
hi
% Hi
%
20-2c 4 4 10% 10%
20-c 8 12 20% 30%
20 12 24 30% 60%
20+c 10 34 25% 85%
20+2c 4 38 10% 95%
20+3c 2 40 5% 100%
X=
(20-2c)(4) + (20-c)(8) + (20)(12) + (20+c)(10) + (20+2c)(4) + (20 + 3c)(2)
= 21
40
800 + 8c = 840 ð c = 5
Completando la tabla de frecuencias:
Intervalos Xi
fi
Fi
hi
% Hi
%
7,5 - 12,5 10 4 4 10% 10%
12,5 – 17,5 15 8 12 20% 30%
17,5 -22,5 20 12 24 30% 60%
22,5 – 27,5 25 10 34 25% 85%
27,5 – 32,5 30 4 38 10% 95%
32,5 – 37,5 35 2 40 5% 100%
Calculando la mediana (el tercer intervalo contiene a la mediana):
20 12
17,5 5 20,8333
12
em
− 
=+ = 
 
El valor de la mediana es de 20,8333 bacterias por 100 mililitros.
Ejercicio 6
La siguiente tabla de frecuencias, representa la distribución de la Resistencia a la
ruptura (en onzas) de 50 fibras de nylon. La longitud de clase es constante e igual
a 20, además se conoce que la resistencia promedio es 76 onzas y S(X) = (30/7) √58
onzas.
‾

46
Resistencia Frecuencia absoluta
a
8
b
[ - 100 > 17
c
6
Se pide,
a. Las frecuencias a, b y c.
b. El valor de la mediana.
Solución
2
230 30
58 58
7 7
S S
 
= ⇒=  
 
22 2 2 2
2 2
( ) 50(76)30
58 341000
49 7 49
i i i i
i i
x f n X x f
S x f
− − 
= ⇒ = ⇒= 
 
∑ ∑
∑
Como la amplitud es 20 y con los datos de la tabla se tiene:
Resistencia Xi
fi
20 - 40 30 a
40 - 60 50 8
60 - 80 70 b
80 - 100 90 17
100 - 120 110 c
120 - 140 130 6
2 2 2 2
341000 30 70 110 81900 9 49 121 819i ix f a b c a b c= ⇒ + + = ⇒ + + =∑
76 3800 3 7 11 109
50
i i
i i
x f
x x f a b c= = ⇒ = ⇒ + + =
∑ ∑

47
50 19if a b c= ⇒ + +=∑
Operando y simplificando tenemos:
9 49 121 819 (1)a b c+ + =
19 (2)a b c+ + =
3 7 11 109 (3)a b c+ + =
10 5 4a b c⇒ = = =
El valor de la mediana es:
25 23
80 20 82,3529 onzas
17
me
− 
=+ = 
 
Ejercicio 7
Una fábrica de productos químicos paga en promedio 700 soles de salario sema-
nal a los trabajadores y la desviación estándar de los salarios es de 54 soles, el
sindicato pide un aumento para cada trabajador del 15% de su salario más una
bonificación por riesgo de planta de 25 soles por semana.
a. Calcule el promedio y la desviación estándar de los salarios de los trabajadores
considerando el aumento.
b. Compare el C.V. sin el aumento y el C.V. con el aumento, ¿cambió la dispersión?
Solución
Este ejercicio se resuelve considerando las propiedades de la media y varianza,
entonces:
Sean
x = salario inicial de cada trabajador
y = salario de cada trabajador con el aumento
Datos: X = 700 S(X) = 54
Yi
= xi
+ 0,15x + 25 = 1,15xi
+ 25
Y = 1,15X + 25 = 1,15(700) + 25 = 830 soles
S(1,15x + 25) = 1,15 S(x) = 1,15(54) = 62,1 soles
‾
‾ ‾

48
El salario promedio de los trabajadores considerando los aumentos es de 830
soles, y la desviación estándar respectiva es de 62,1 soles.
Calculando el C.V. :
54
. .( ) 100% 7,71%
700
CV x = × =
62,1
. .( ) 100% 7,48%
830
CV y = × =
La dispersión en los sueldos se modificó muy brevemente, con los aumentos la
dispersión en los sueldos disminuyó.
2.7 EJERCICIOS PROPUESTOS
Ejercicio 1
Los siguientes datos representan el peso (g) de 34 madejas de lana de las mismas
dimensiones:
6,23 6,78 6,32 6,34 6,17 6,32 6,54 6,70 6,78 6,43 6,89 6,54 6,78 6,54 6,54
6,78 6,54 6,32 6,73 6,58 6,54 6,76 6,50 6,43 6,32 6,54 6,21 6,45 6,65 6,64
6,63 6,43 6,54 6,69.
a. Clasificar los datos en una tabla de frecuencias, usando la regla de Sturges.
b. Calcular la media aritmética, mediana, moda y C.V., interpretar
Ejercicio 2
Los químicos orgánicos a menudo purifican los compuestos orgánicos por un
método conocido como cristalización fraccionada. Un experimentador deseaba
preparar y purificar 4,85 gramos de anilina. Se prepararon individualmente 30
cantidades de anilina de 4,85 gramos y se purificaron convirtiéndose en acetani-
lida. Las cantidades obtenidas fueron las siguientes (en gramos):
3,85 3,88 3,90 3,62 3,72 3,80 3,85 3,36 4,02 3,83
3,80 3,85 3,36 4,01 3,85 3,88 3,90 3,90 3,62 3,72
3,62 3,72 3,80 3,85 3,72 3,80 3,85 3,36 4,01 3,85
Agrupando los datos en una tabla de frecuencias por intervalos:
a. Calcule el número medio de gramos de acetanilida que se ha obtenido.
b. Calcule la mediana, moda y C.V.

49
Ejercicio 3
En una determinada prueba se obtuvieron los siguientes datos acerca de los pesos
(en gramos) de n productos elaborados por una fábrica. Los datos se agruparon en
una tabla de frecuencias con 7 intervalos de igual amplitud y se obtuvo un peso pro-
medio de 170 gramos, se sabe que el menor peso recopilado es de 100 gramos y que:
F2
= 9 f3
= 7 F3
= f4
H4
% = 64% h1
% = 6% f5
+ f7
= 12
Límite superior del 5to intervalo = 200, complete la tabla de frecuencias y calcule
la mediana, la moda y el coeficiente de variación.
Ejercicio 4
Los datos correspondientes a una muestra de 60 sustancias químicas se clasifi-
caron en una tabla de frecuencias simétrica con 7 intervalos de igual amplitud,
resultando la mediana igual a 25,5 gramos.
Además algunos valores de la tabla son:
L6 = 50 (límite superior del 6to. intervalo); h3
= 0,2; H4
= 0,65; H6
=0,95; se pide:
a. Complete la tabla de frecuencias
b. Calcule el C.V. e interprételo.
Ejercicio 5
Los siguientes son los resultados obtenidos en la determinación de plomo en
partículas suspendidas en el aire en ug/m3
: 2,4 2,1 1,6 2,2 1,9
2,5 2,8 2,2 3,5 3,9
a. Sin agrupar los datos calcule la media, mediana, moda y C.V. Interprete
b. Si cada dato disminuye un 18% y luego aumenta en 0,5 ug/m3
¿Cuál es la nueva
media y el nuevo C.V.?
Ejercicio 6
En un Laboratorio de Química, se realizan mediciones acerca de los tiempos de ig-
nición (en segundos) de ciertos materiales expuestos al fuego. Se elaboró una tabla
de frecuencias con 6 intervalos de igual amplitud, resultando ser simétrica, además:
X3
= 16,5 X6
= 25,5 f1
= 4a + 1 (a es la amplitud del intervalo)
h5
= 0,26 y
H2
H3
=
2
5

50
a. Calcule qué tanto por ciento tienen un tiempo menor de 21 minutos.
b. Calcule la mediana de los datos.
Ejercicio 7
Los gastos (en dólares) correspondientes al mes de junio del 2005 de un grupo
de personas profesionales, las cuales fueron seleccionadas al azar en la ciudad
de Lima se distribuyó en una tabla de frecuencias con 6 intervalos de clase con
amplitud constante igual a 80 dólares; si se conocen los siguientes datos:
f1
= f6
f2
= f5
f4
– f3
= 4 h1
% – h2
% = 9% h4
% = 30%
6
H3
% = 49% ΣXi
= 4800 (suma de marcas de clase)
i=1
Complete la tabla de frecuencias y calcule la mediana y la moda.
Ejercicio 8
El coeficiente de variación de los ingresos de 200 empleados de una compañía
es 57%. Después de reajustar, según ley, todos los sueldos en 11 dólares, este
coeficiente de variación es ahora de 50%. Sin embargo, la gerencia fija un sueldo
mínimo de 71 dólares. Antes del reajuste había 35 personas que tenían un sueldo
promedio de 40 dólares y todos ellos ganaban menos de 60 dólares, con la nueva
política de la gerencia, sus sueldos serán elevados en promedio a 71 dólares. De-
termine la cantidad de dinero que necesitará mensualmente la compañía, para
pagar los sueldos después de hacer efectivos los reajustes.
Ejercicio 9
Un ingeniero químico vigila la calidad del agua midiendo la cantidad de sólidos
suspendidos en una muestra de agua pluvial. En n días distintos observó los
sólidos suspendidos (partes por millón) y estas mediciones las agrupó en una
tabla de frecuencias con 6 intervalos de amplitud constante e igual a 10, se sabe
que la suma de las marcas de clase es igual a 240, y además se tiene la siguiente
información de la tabla de frecuencias.

6
2 3 1 6
4
2 4 5
% 52,5% 28 38
% % 38,75 % % 21,25 %
j
j
h F F f f
h h h
=
= = = =
+= =
∑

Complete la tabla de frecuencias.
En base a la tabla de frecuencias calcule la media, mediana, moda y C.V., interprete.

51
Los métodos estadístico-matemáticos emergieron desde la teoría de probabili-
dad, la cual data desde la correspondencia entre Pascal y Pierre de Fermat (1654).
Christian Huygens (1657) da el primer tratamiento científico que se conoce a la
materia. El “Ars Coniectandi” (1713) de Jakob Bernoulli y la “Doctrina de posibili-
dades” (1718) de Abraham de Moivre estudiaron la materia como una rama de
las matemáticas. Laplace (1774) representó la ley de probabilidades de errores
mediante una curva y dedujo una fórmula para la media de tres observaciones.
En la era moderna, el trabajo de Kolmogórov ha sido un pilar en la formulación
del modelo fundamental de la Teoría de Probabilidades, el cual es usado a través
de la estadística.
En los capítulos anteriores se han tratado principalmente las técnicas empleadas
para describir y presentar en la forma más significativa posible, la información
que se obtiene cuando se realizan mediciones o determinaciones en el laborato-
rio, o simplemente cuando se recopila una muestra.
En este capítulo se presentará de una manera didáctica la teoría de probabilida-
des, algo que no es tan extraño para muchas personas, ya que en la vida diaria
con mucha frecuencia emitimos juicios probabilísticos, debido a las acciones o ex-
perimentos que realizamos, así también se genera cierto grado de incertidumbre
cuando queremos realizar estas actividades. La cuantificación de esa incertidum-
bre es base en la teoría de probabilidades, la que se basa en la experimentación.
3.1 DEFINICIONES BÁSICAS
3.1.1 Experimento
Es todo proceso de observación o ejecución de un fenómeno, se dice que un ex-
perimento es aleatorio cuando tiene dos o más resultados posibles y no se conoce
“a priori” el resultado a obtener.
Por ejemplo, se presentan tres experimentos aleatorios:
Probabilidades
CAPÍTULO 3

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