Integrales dobles

3

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones

1. INTEGRALES DOBLES
En este trabajo se extiende el concepto de la integral de una función real de variable
real a funciones de varias variables, comenzando en este capítulo con integrales de
funciones de dos variables; es decir, funciones del tipo f : D ⊆

2

→

. La integral

doble tiene diversas aplicaciones tanto mecánicas como geométricas, pero su
significado intrínseco es el volumen, así como el significado de una integral de una
función de variable real es el área.

1.1 INTRODUCCIÓN: LA INTEGRAL DEFINIDA
El nombre de Suma de
Riemann se debe al
matemático alemán:
Georg Friedrich
Bernhard Riemann
(1826-1866).

Como referencia para la definición de la integral doble, se debe
recordar la integral definida de una función real de variable real, la
cual surge como solución al problema del cálculo de área bajo una
curva.
Sea f una función real definida en [a, b] y sea P una partición del
intervalo cerrado [a, b] , donde P = {x0 , x1 , x 2 ,

, xi −1 , xi ,

, x n −1 , x n }.

Una suma de Riemann de la función f para la partición P ,
denotada por RP es un número real obtenido como:
n

Sus contribuciones
destacaron en las áreas de
análisis y geometría
diferencial, la
fisicomatemática y la
teoría de funciones de
variables complejas.
Su nombre también está
relacionado con la
función zeta.
La
longitud
del
subintervalo genérico se
calcula de la siguiente
manera:

∆xi = xi − xi −1

RP = ∑ f ( xi* ) ∆xi

(I.1)

i =1

donde: n es el número de subintervalos de la partición P ,
xi* ∈ [ xi −1 ,xi ] y ∆xi

es la longitud del subintervalo genérico

(también llamado subintervalo i-ésimo).
En la figura 1 se aprecia el significado geométrico de la Suma de
Riemann para el caso de una función f positiva en el intervalo
cerrado [a, b] .

UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

4

Geraldine Cisneros


Significado geométrico
de la suma de Riemann
Si la función

f

es

[ ]

positiva
∀x ∈ a, b ,
entonces la suma de
Riemann corresponde a
un valor aproximado del
área de la región
comprendida bajo la
gráfica de la función f ,
sobre el eje x, y entre las
rectas x = a y x = b .

Figura 1.1
Significado geométrico de la Suma de Riemann para una función
positiva en el intervalo cerrado [a, b ] .

f

En la gráfica a) la región sombreada es la que está comprendida bajo la
gráfica de la función f , sobre el eje x, y entre las rectas x = a y x = b .
En la gráfica b) la suma de las áreas de los rectángulos sombreados es el
valor numérico de la Suma de Riemann para la función f en el intervalo
cerrado [a, b ] .

Decir que la norma de la
partición P tiende a cero,
P → 0 , es equivalente
a decir que el número de
subintervalos
de
la
partición P tiende a
infinito, n → ∞ .

Si la norma de una partición P, denotada como P , se define
como la longitud más grande de todos los subintervalos, entonces
al hacer que la norma sea lo suficientemente pequeña, esto es
P → 0 , la partición se hace más fina, lo cual lleva a la definición

de la Integral Definida.

∫

El símbolo lo introdujo
el matemático alemán
Gottfried Wilhelm

DEFINICIÓN: integral definida de

f en [a ,b ]

von Leibniz

Sea f una función real definida en un intervalo cerrado [a, b] .

(1646, 1716).

La integral definida de f desde a hasta b , denotada por

∫ f (x )dx , esta dada por:
b

a

∫

b
a

n

f ( x ) dx = Lím ∑ f ( xi* )∆x

si el límite existe.


p →0

i =1

(I.2)

5

Geraldine Cisneros
La

Integral

∫ f (x )dx
b

a

Definida

es un número

real
que
puede
interpretarse como el área
bajo la gráfica de la
función f , sobre el eje
x y entre las rectas x = a
y x = b , si la función es
positiva.

Donde:

∫

es el signo de integración, a y b son los límites de

integración inferior y superior, respectivamente;

f ( x ) es el

integrando o función integrando y la diferencial de x, denotada por
dx , indica que la variable de integración es x.

1.2 INTEGRAL DOBLE SOBRE RECTÁNGULOS
Sea f :

2

→

una función definida sobre la región rectangular

cerrada D , dada por:
D = [ a,b ] × [ c,d ] =

Una partición

Px

del

intervalo [a, b] es un
conjunto
finito
de
elementos, donde se
cumple:

{( x, y ) ∈

2

}

a ≤ x ≤ b ∧ c ≤ y ≤ d (I.3)

Sea P una partición de la región D , la cual se logra con el
producto cartesiano de las particiones Px y Py de los intervalos

[a, b] y [c, d ] , respectivamente, como se muestra a continuación:

a = x0 < x1 < … < xi −1 < xi < … < xn = b

Px = {x 0 , x1 , x 2 , … , xi −1 , xi , … , x n −1 , x n }

(I.4)

Py = {y 0 , y1 , y 2 , … , y j −1 , y j , … , y m −1 , y m }

(I.5)

P = Px × Py

(I.6)

entonces

Si la partición Px tiene n + 1 elementos y n subintervalos [ xi −1, xi ]
de longitud ∆xi = xi − xi −1 , y la partición Py tiene m + 1 elementos y

[

m subintervalos y j −1, y j

]

de longitud ∆y j = y j − y j −1 , entonces la

región rectangular D queda dividida por la partición P en n ⋅ m
rectángulos denominados Dij , tal como se muestra en la figura
1.2.


6

Geraldine Cisneros


En la figura 1.2, se
aprecia que:
*

xi −1 ≤ xi ≤ xi
*

y j −1 ≤ y j ≤ y j

Figura 1.2
Partición

Figura 1.3
Subrectángulo

El

punto

(x

*

i

El subrectángulo denotado Dij , es un elemento de la partición P ,

Dij

, y j ) ∈ Dij

Esquina inferior
izquierda
*
xi , y j * = xi −1 , y j −1

) (

(

Esquina inferior
derecha
xi * , y j * = xi , y j −1

(

Esquina superior
izquierda
xi * , y j * = xi −1 , y j

) (
) (

)

) (

)

i

*

(I.7)

Al tomar un punto arbitrario (xi * , y j * ) en el subrectángulo Dij , se
puede establecer la doble suma de Riemann para la función f

n

m

)

)

 x + x y j −1 + y j 
, y j * ) =  i −1 i ,

2
 2


(

)

S D = ∑∑ f xi , y j ∆Aij
i =1 j =1

Punto medio

(x

∆Aij = ∆xi ⋅ ∆y j

en la partición P , denotada como S D :

Esquina superior
derecha
*
*
xi , y j = x i , y j

(

cuya área, denotada ∆Aij se calcula como:

*

por lo tanto existen
diferentes
alternativas
para su selección las más
comunes son:

(

P de una región rectangular D .

*

*

(I.8)

Esta doble suma de Riemann es un valor numérico que se obtiene
al efectuar la suma del producto de la imagen de la función f en
cada punto arbitrario (xi * , y j * ) y el área de cada rectángulo Dij . Al
expandir la expresión (I.8) se obtiene:


7

Geraldine Cisneros


(

*

*

)

(

*

)
)∆A

(
+ f (x

*

S D = f x1 , y1 ∆A11 + f x1 , y 2 ∆A12 +

(

*

)

*
1

(

*

f x 2 , y ∆A21 + f x 2 , y 2

(

*

*

)

(

*

*

22

*

*

*

*

*

)
)∆A

+ f x1 , y m ∆A1m +

+

)

2

(

f x n , y1 ∆An1 + f x n , y 2 ∆An 2 +

, ym

*

2m

*

+

(I.9)

)

+ f x n , y m ∆Anm

Si se define la norma P de la partición P como la longitud de la
diagonal más grande de todos los rectángulos Dij y se hace que
P → 0 , entonces la partición P se hace más fina, esto es, ahora

la región R queda dividida en muchos más rectángulos, y se
puede plantear:
n

m

(

)

Lim S D = Lim ∑∑ f xi , y j ∆Aij
P →0

P →0

i =1 j =1

*

*

(I.10)

Todo esto permite establecer la definición de la integral doble.

1.2.1 INTEGRAL DOBLE DE f SOBRE D
Así como la suma de
Riemann
es
una
aproximación
de
la
integral
definida, la
doble suma de Riemann
es una aproximación de
la integral doble.

DEFINICIÓN: Integral doble de f sobre D
Sea f :

2

→

una función real definida sobre un rectángulo

D del plano. La integral doble de f sobre D , denotada por

∫∫ f (x , y )dA , se define como:
D

∫∫

Otras notaciones para
la integral doble son:

∫∫ f (x , y )dxdy
D

D

n

m

(

)

f ( x , y )dA = Lim ∑∑ f xi , y j ∆Aij
P →0

i =1 j =1

*

*

(I.11)

si el límite existe.

∫∫ f (x , y )dydx
D

Decir que el límite existe significa que:

∫∫ f (x , y )dA = L
D

donde L ∈


(I.12)

8

Geraldine Cisneros
Definición del límite de
una función:

Si el límite de la expresión (I.11) existe se dice que

f

es

integrable sobre D , recordando la definición del límite, esto
significa que para todo ε > 0 existe un número δ > 0 , tal que:

El límite

Lim f ( x ) = L
x → x0

existe si ∀ ε > 0 ∃ δ > 0

∑∑ f (x

tal que f ( x ) − L < ε

m

i =1 j =1

*
i

)

(I.13)

P <δ

n

(I.14)

, y j ∆Aij − L < ε
*

siempre que
0 < x − x0 < δ

Siempre que:

Observe que la condición

0 < P no se coloca ya
que la norma
partición

P

de la
es

una

longitud por lo tanto ya

Para cualquier partición P del rectángulo D , y para cualquier

(x

*
i

, yj

*

) en el subrectángulo D

ij

.

es positiva.

1.2.2 INTEGRABILIDAD DE UNA FUNCIÓN CONTINUA
TEOREMA: Integrabilidad de una función continua
Sea f :

D

2

→


del plano acotada, y continua, excepto quizás en un

número finito de curvas suaves en D , entonces la función f
es integrable en D .


9

Geraldine Cisneros

1.3 INTERPRETACIÓN DE LA INTEGRAL DOBLE COMO
VOLUMEN
Sea f :

2

→


D = [a ,b]× [c , d ] , la cual es continua y positiva en D . Entonces la
gráfica de f es una superficie definida por la ecuación:

z = f (x , y )

(I.15)

En la figura 1.4 se aprecia la gráfica de una función f :
definida sobre un rectángulo D .

2

→

z = f ( x, y )

D

Figura 1.4
Gráfica de una función f :

2

→

definida sobre un rectángulo D

Sea S el sólido que está definido sobre la región D y bajo la
superficie definida por la gráfica de f . En la figura 1.5 se aprecia
el sólido S .


10

Geraldine Cisneros


x

y

Figura 1.5
Sólido S definido sobre la región D y bajo la gráfica de f

El volumen V del sólido S puede aproximarse como la suma del
volumen de los paralelepípedos base Dij y altura es f (xi * , y j * ), tal
como indica la expresión (I.16).
n

m

V ≈ ∑∑ Vij

(I.16)

i =1 j =1

donde Vij es el volumen del paralelepípedo de base Dij , también
llamado paralelepípedo aproximante, y cuya altura es f (xi * , y j * ) . El
punto (xi * , y j * ) pertenece al subrectángulo genérico. El volumen de
este paralelepípedo o caja rectangular viene dado por:

(

*

*

)

Vij = f xi , y j ∆Aij

(I.17)

Al sustituir (I.17) en (I.16) se obtiene la doble suma de Riemann
planteada en (I.8) como

∑∑ f (x
n

m

i =1 j =1

*
i

*

)

, y j ∆Aij por lo tanto esta doble

suma es una aproximación del volumen del sólido S , es decir:


11

Geraldine Cisneros

n

m

(

)

V ≈ ∑∑ f xi , y j ∆Aij
i =1 j =1

*

*

(I.18)

La figura 1.6 muestra la gráfica de un paralelepípedo aproximante
del volumen del sólido S sobre la región D .

(x

*
i

, y j* , f ( xi* , y j* )

)

z = f ( x, y )

D
y = y j −1
y = yj

x = xi −1
x = xi

Figura 1.6
Paralelepípedo de base

Dij y altura f ( xi* , y j* ) , empleado para

aproximar el volumen del sólido S definido sobre la región

D

La figura 1.7 muestra los paralelepípedos empleados en la
aproximación del volumen del sólido S , el cual se encuentra
limitado por la gráfica de la función f y por el rectángulo D .


12

Geraldine Cisneros


Figura 1.7
Paralelepípedos empleados para aproximar el volumen del sólido S
definido sobre la región D

Cuando P → 0 , la partición P se hace más fina y por lo tanto la
región R queda dividida en muchos más rectángulos, por lo cual
n

m

el límite Lim ∑∑ f ( xi* , y j * ) ∆Aij representa el volumen del sólido
P →0

i =1 j =1

S , es decir:
n

m

V = Lim ∑∑ f ( xi* , y j * ) ∆Aij = ∫∫ f ( x, y ) dA
P →0

i =1 j =1

D

(I.19)

En la figura 1.8 se observan los paralelepípedos empleados en la
aproximación del volumen del sólido S , pero ahora con una
partición más refinada sobre el rectángulo D .


13

Geraldine Cisneros


Figura 1.8
Paralelepípedos empleados en la aproximación del volumen del sólido S
con una partición refinada sobre

EJEMPLO 1.1

D.

Estime el volumen del sólido que se encuentra debajo de la
superficie

z = x2 + 4y

y

arriba

del

rectángulo

D = {( x, y ) 0 ≤ x ≤ 2 ∧ 0 ≤ y ≤ 3}. Utilice una suma de Riemann con
n = 2 y m = 3 y considerando el punto de muestra como:

a) La esquina superior derecha de cada subrectángulo.
b) El punto medio de cada subrectángulo
Figura 1.9
Sólido del ejemplo 1.1

Solución:
a) Sea V el volumen del sólido debajo de la superficie z = x 2 + 4 y
y arriba del rectángulo D . Entonces se desea estimar a V de la
siguiente manera:
2

3

V = ∫∫ ( x 2 + 4 y )dA ≈ ∑∑ f ( xi* , y j* )∆Aij
D


i =1 j =1

14

Geraldine Cisneros

donde

(x

*
i

, y j* ) es el punto perteneciente a Dij donde será

evaluada la función. El enunciado de este ejercicio exige que el
punto de muestra sea la esquina superior derecha de cada

(

)

subrectángulo, por lo cual xi , y j = (xi , y j ) .
*

*

La región D y su partición se muestran en la siguiente figura.
Si

m=3

y

n = 2,

entonces

∆x =

b−a 2−0
=
=1
n
2

∆y =

d −c 3−0
=
=1
m
3

(

) (

Como xi* , y j* = xi , y j

),

entonces se debe expresar
en función de i y j:

xi = x0 + i∆x = 0 + i(1) = i
y j = y0 + j∆y = 0 + j(1) = j

Figura 1.10
Partición empleada para el ejemplo1.1

Y además:

∆Aij = ∆x∆y = (1)(1) = 1

Luego, la aproximación del volumen es:
2

3

2

3

V ≈ ∑∑ f ( xi* , y j * )∆Aij = ∑∑ f ( i, j )(1)
i =1 j =1

Para evaluar esta doble suma de Riemman se pueden emplear las

Recuerde:
n

∑ k = kn

i =1 j =1

si k ∈

fórmulas y propiedades de la notación sigma:

i =1

n

∑i=
i =1
n

∑i
i =1

2

n ( n + 1)
2

=

n ( n + 1 )( 2 n + 1 )
6

2

3

2

3

2

V ≈ ∑∑ f ( i, j )(1) = ∑∑ ( i 2 + 4 j ) = ∑ ( 3i 2 + 24 ) = 15 + 48 = 63
i =1 j =1

i =1 j =1

i =1

V = ∫∫ ( x 2 + 4 y )dA ≈ 63
D


15

Geraldine Cisneros

Cuando

(x

*

i

se

)

selecciona

, y j = (xi , y j ) ,
*


en el

cálculo de la doble suma
de Riemann del ejemplo
1.1

parte

aproximación

a,

la
del

volumen obtenida es por
exceso ya que el volumen
del sólido

S

es inferior

al volumen de las cajas
rectangulares.

Figura 1.11
descrito en el ejemplo 1.1 parte a

En la figura 1.11, se aprecia la superficie definida por la función f
y los paralelepípedos aproximantes de volumen.
b) Cuando se desea estimar el volumen V del sólido debajo de la
superficie z = x 2 + 4 y y arriba del rectángulo D en donde ( xi* , y j * )
es el punto medio de cada subrectángulo, entonces se tiene:
xi−1 = x0 + ( i −1) ∆x = i −1
y j −1 = y0 + ( j −1) ∆y = j −1

(x

i

*

 x + x y + y j   i −1+ i j −1+ j   1
1
, y j * ) =  i −1 i , j −1
,
=
 = i − , j − 
2
2   2
2
 2
  2

Luego:
2
3
2
3
1
 1
V ≈ ∑∑ f ( xi* , y j* )∆Aij = ∑∑ f  i − , j −  (1)
2
 2
i =1 j =1
i =1 j =1

A continuación esta doble suma de Riemann se resolverá
calculando la imagen de cada

(x

posteriormente se efectuará la suma.


i

*

, y j * ) en la función

f

y

16

Geraldine Cisneros


(x

*

i

1
 1
, y j* ) =  i − , j − 
2
 2

f ( xi* , y j * ) = ( xi* ) + 4 y j *
2

i
j

1

2

1

2

1

1 1
 , 
2 2

3 1
 , 
2 2

9
4

17
4

2

1 3
 , 
2 2

3 3
 , 
2 2

25
4

33
4

3

1 5
 , 
2 2

3 5
 , 
2 2

41
4

49
4

Cuadro 1.1

(

*

Valores de f xi , y j
En el ejemplo 1.1 parte

V≈

b, cuando se selecciona

(x

i

*

, y j * ) como el punto

medio

de

cada

subrectángulo se puede

Por lo tanto

*

) empleados en el ejemplo 1.1 (b)

9 25 41 17 33 49
+ + + + +
= 43,5
4 4
4 4 4
4
V = ∫∫ ( x 2 + 4 y ) dA ≈ 43,5
D

apreciar en la figura 1.12
que la gráfica de la
función

f

atraviesa a

los paralelepípedos, por
lo cual no se puede
asegurar

si

la

aproximación
volumen del sólido

del

S

es

por exceso o por defecto.

Figura 1.12
descrito en el ejemplo 1.1 parte b

En la figura 1.12, se observa la superficie definida por la función f
y los paralelepípedos aproximantes de volumen.


17

Geraldine Cisneros

Sea

EJEMPLO 1.2

el sólido que se encuentra arriba del cuadrado

S

D = [ 0, 4] × [ 0, 4] y abajo del paraboloide elíptico z = 36 − x 2 − y 2 .

Estime el volumen del sólido tomando como punto de muestra la
esquina superior derecha de cada subcuadrado y dividiendo a la
región D en:
a) Cuatro cuadrados iguales.
Figura 1.13

b) Diez mil cuadrados iguales.
Solución:
a) Sea V

el volumen del sólido debajo de la superficie

z = 36 − x 2 − y 2 y arriba del rectángulo D . Entonces se desea
Como D = [ 0, 4 ] × [ 0, 4 ]
y

se

divide

subcuadrados,

en

estimar a V de la siguiente manera:

4

2

n=m=2
∆x =

b−a 4−0
=
=2
n
2

∆y =

d −c 4−0
=
=2
m
3

2

V = ∫∫ ( 36 − x 2 − y 2 ) dA ≈ ∑∑ f ( xi* , y j * )∆Aij

entonces

D

(

i =1 j =1

)

donde xi , y j = (xi , y j )
*

*

La región R y su partición se muestran en la siguiente figura.

Figura 1.14
Partición empleada para el ejemplo 1.2


18

Geraldine Cisneros


∆Aij = ∆x∆y = ( 2 )( 2 ) = 4

(

) (

Como xi* , y j* = xi , y j

),

entonces

2

3

2

3

2

3

2
2
V ≈ ∑∑ f ( xi* , y j * )∆Aij = ∑∑ f ( 2i, 2 j )( 4 ) = 4∑∑ 16 − ( 2i ) − ( 2 j ) 


i =1 j =1
i =1 j =1
i =1 j =1

xi = x0 + i∆x = 0 + i ( 2) = 2i
yj = y0 + j∆y = 0 + j ( 2) = 2 j

Resolviendo de manera análoga al ejemplo anterior:
V = ∫∫ ( 36 − x 2 − y 2 ) dA ≈ 256
D

a, la aproximación del
volumen obtenida es por
defecto ya que las cajas
rectangulares empleadas
se encuentran dentro del
sólido

S.

Figura 1.15
Volumen aproximado en el ejemplo 1.2 parte a

y los paralelepípedos aproximantes empleados.


19

Geraldine Cisneros

b) Ahora la región D , está dividida en diez mil subcuadrados
iguales; es decir, n = m = 100 . Por lo tanto, la estimación del
volumen del sólido viene dada por:
100 100

V = ∫∫ ( 36 − x 2 − y 2 ) dA ≈ ∑∑ f ( xi* , y j * )∆Aij
D

i =1 j =1

Realizar este cálculo como se ha ilustrado en los ejemplos 1.1 y la
parte a de éste, es muy largo pues el número de subcuadrados es
elevado. Entonces para resolver la doble suma de Riemann
planteada es necesario emplear un software matemático.
A continuación se presenta los resultados obtenidos, con un
software matemático, para el ejemplo 1.2 parte b. También se
incluye otra aproximación empleando una partición aún más
refinada.
Número de
subcuadrados

n

m

Diez mil

100

100

402, 7648

Un millón

1.000

1.000

405, 077248

n

m

∑∑ f (x
i =1 j =1

i

*

, y j * )∆Aij

Cuadro 1.2
Aproximaciones del volumen del sólido planteado en el ejemplo 1.2


Con

b, se aprecia que la

aproximaciones:

aproximación

S

ayuda

del

software

se

obtuvo

del

volumen del sólido

la

aumenta a medida que se
incrementa el número de
subcuadrados.

V = ∫∫ ( 36 − x 2 − y 2 ) dA ≈ 402 , 7648
D

V = ∫∫ ( 36 − x 2 − y 2 ) dA ≈ 405, 077248
D


las

siguientes

20

Geraldine Cisneros
EJEMPLO 1.3

Sea

S

el sólido que se encuentra arriba del cuadrado

D = [0 ,3]× [− 1,1] y bajo el plano de ecuación z = 1 − y . Estime el

volumen del sólido considerando:
a) n = 3 , m = 2 y el punto de muestra como el punto medio de
cada subrectángulo.
b) n = 6 , m = 8 y el punto de muestra como el punto medio de
Figura 1.16

cada subrectángulo.

Solución:
a) Sea V el volumen del sólido debajo de la superficie z = 1 − y y
arriba del rectángulo D .
La región D y su partición se muestran en la siguiente figura

Figura 1.17
Partición empleada para el ejemplo 1.3 parte a


21

Geraldine Cisneros
Si

m=2

y

n = 3,

entonces

b − a 3−0
∆x =
=
=1
n
3
∆y =

d − c 1 − (− 1)
=
=1
m
2

∆Aij = (∆x )(∆y ) = 1

Entonces se desea estimar a V de la siguiente manera:
3

2

V = ∫∫ (1 − y ) dA ≈ ∑∑ f ( xi* , y j* )∆Aij , donde
D

i =1 j =1

y j = y0 + j∆y = −1+ j

i

*

, y j * ) es el punto

medio de cada subrectángulo, entonces se tiene:

(

*

f xi , y j
y j −1 = y0 + ( j − 1)∆y = j − 2

(x

*

)= 1− y

*
j

 2 j − 3 5
= 1− 
= − j
 2  2

3
2
3
5

V ≈ ∑∑  − j (1) = ∑ 2 = 6

i =1 j =1  2
i =1

V = ∫∫ (1 − y ) dA ≈ 6
D

y la aproximación del volumen.

a, en la aproximación del
volumen, se observa que
la gráfica de la función

f

atraviesa

a

los

paralelepípedos, por lo
cual no se puede asegurar
si la aproximación es por
exceso o por defecto.

Figura 1.18
Aproximación del volumen para el ejemplo 1.3 parte a


22

Geraldine Cisneros

b) Se desea estimar el volumen V pero ahora con una partición
refinada, donde n = 6

y

m = 8 . En la figura 1.19 se aprecia

esta partición.

Figura 1.19
Partición empleada para el ejemplo 1.3 parte b
Si

n=6

m=8

y

D

entonces

∆x =

b−a 1
=
n
2

∆y =

d −c 1
=
m
4

∆A ij =

2

i =1 j =1

el punto medio de cada subrectángulo, pero como la partición es
más fina, entonces:

(

)

 2 j − 9  17 j
*
*
*
f xi , y j = 1 − y j = 1 − 
−
=
 8  8 4

1
8

y j −1 = y0 + ( j − 1)∆y =

y j = y0 + j∆y =

3

V = ∫∫ (1 − y )dA ≈ ∑∑ f ( xi* , y j* )∆Aij , donde ( xi* , y j * ) sigue siendo

j −4
4

j −5
4

Entonces el volumen aproximado es:
6
8
 17 j  1  1 6
V ≈ ∑∑  −   = ∑ 8 = 6
4  8  8 i =1
i =1 j =1  8

V = ∫∫ (1 − y ) dA ≈ 6
D


23

Geraldine Cisneros

En la figura 1.20 se aprecia la aproximación del volumen del sólido
S empleando la partición más refinada.

Figura 1.20
Aproximación del volumen para el ejemplo 1.3 parte b


24

Geraldine Cisneros

1.4 INTEGRALES ITERADAS
Para evaluar una integral definida en un intervalo cerrado se

Segundo Teorema
Fundamental del

tienen dos alternativas: la definición, donde se emplean fórmulas y

Cálculo

propiedades de la notación sigma y además, la resolución de un

Si f es una función
continua en el intervalo
cerrado [a,b] y si F es
una antiderivada de
entonces:

f

,

límite; la otra opción para resolver una integral definida de una
función real de variable real, es el Segundo Teorema Fundamental
del Cálculo, el cual consiste en encontrar una antiderivada y

evaluarla en los extremos del intervalo de integración. El primer
∫ f ( x ) dx = F ( x )
∫ f ( x ) dx = F ( b ) − F ( a ) método, la definición como el límite de una suma suele ser un
b

b

a

a

b

a

procedimiento más riguroso en comparación con el segundo.
Análogamente, la resolución de una integral doble por definición
es un cálculo muy complejo, ya que es el resultado del límite de
una doble suma de Riemann.
A continuación se expone un método que consiste en expresar
una integral doble como una integral iterada, lo cual implica la
evaluación sucesiva de dos integrales simples.
DEFINICIÓN: La Integral Iterada
Sea f :

2

→

una función real y continua de dos variables,

definida en la región rectangular D = [a, b ]× [c, d ] . La integral
iterada
d

b

c

a

∫ ∫

de

la

función

f ( x, y )dxdy ó

∫ ∫

d

b

c

a

b

d

a

c

b

d

a

c

∫ ∫

f

sobre

D,

denotada

por

f ( x, y )dydx , se define como:

d
b
f ( x, y ) dxdy = ∫  ∫ f ( x, y ) dx  dy

c  a



(I.20)

b
d
f ( x, y ) dydx = ∫  ∫ f ( x, y ) dy  dx

a  c



(I.21)

O también

∫ ∫


25

Geraldine Cisneros
Recuerde
integral

que

en

la

b

∫ f ( x, y) dx , la
a

dx indica que la variable
de integración es x, por lo
tanto la variable y se
considera constante en
esta integral. Esto se
conoce como integración
parcial con respecto a x

Entonces, la integral iterada es la evaluación sucesiva de dos
integrales simples. En la ecuación (I.20), la integral que debe
resolverse primero es la que se encuentra dentro del corchete; es
decir,

b

∫ f ( x,y) dx . El resultado de esta integral es una función de
a

y, ya que y se considera constante. Tal como se ilustra:

Entonces para resolver

∫

d
c

b

∫ f ( x,y) dx = A( y)

f ( x, y ) dy se integra

parcialmente respecto a
la variable y; es decir x es
considerada constante.

(I.22)

a

Finalmente:

∫ ∫ f ( x, y ) dxdy = ∫  ∫ f ( x, y ) dx  dy = ∫




d

d

b

d

c

En

b

a

c

a

c

forma

b

d

a

c

∫ ∫

análoga,

en

la

expresión

(I.21),

A ( y ) dy (I.23)
la

integral

d

f ( x, y ) dydx se resuelve primero ∫ f ( x, y ) dy , resultando una
c

función de x, como sigue:
d

∫ f ( x,y) dy = A( x)

(I.24)

c

para luego integrar respecto a y:
b

EJEMPLO 1.4

b
d
b
f ( x, y ) dydx = ∫  ∫ f ( x, y ) dy  dx = ∫ A ( x ) dx

a  c
a



d

a

c

∫ ∫

(I.25)

Evalúe las siguientes integrales iteradas:
3

a) ∫

0

c) ∫

0

e) ∫

4

∫ (x
2

0

2

+ 4 y ) dxdy

∫ ( 36 − x

1
−1

4

0

2

− y 2 )dxdy

3

∫ (1 − y ) dxdy
0


2

b) ∫

0

d) ∫

0

f) ∫

4

3
0

∫ (x
3

0

2

+ 4 y ) dydx

∫ ( 36 − x
4

0

1

2

− y 2 )dydx

∫ (1 − y ) dydx
−1

26

Geraldine Cisneros

Solución:

Recuerde

que

en

el

ejemplo 1.1 se aproximó
la integral doble de dos

a) Para resolver la integral ∫

V = ∫∫ ( x + 4 y ) dA ≈ 63
D

D

Al

comparar

estas

puede

comprobar que la primera

8

8
2
∫ 0  3 + 8 y  dy =  3 y + 4 y 





0

8
= + 8y
3

3

= 8 + 36 = 44
0

Por lo tanto:

∫ ∫ (x
3

mejor

2

0

mientras que la segunda
una

2

2

estimación es por exceso,
es

+ 4 y ) dxdy , primero se integra

3

valor de la integral, en
se

2

Luego se evalúa la segunda integral

aproximaciones con el
efecto

2

0

 x3

x + 4 y ) dx =  + 4 xy 
∫0 (
3

2

2

V = ∫∫ ( x + 4 y ) dA ≈ 43,5

∫ (x

parcialmente respecto a x,

maneras diferentes:

2

3
0

0

2

+ 4 y ) dxdy = 44

aproximación.

b) Se desea resolver ∫

∫ (x
3

2

0

∫ ( 3x
2

0

2

2
0

∫ (x
3

2

0

+ 4 y ) dydx :

+ 4 y ) dy =  x 2 y + 2 y 2 


+ 18 ) dx =  x 3 + 18 x 



∫ ∫ (x
2

3

0

0

2

2
0

3
0

= 3 x 2 + 18

= 8 + 36 = 44

+ 4 y ) dydx = 44

c) Para resolver la integral ∫

4
0

∫ ( 36 − x
4

0

2

− y 2 )dxdy , primero se

integra parcialmente respecto a x:
3


( 36 − x − y ) dx = 36 x − x3 − y 2 x 
∫0


4

2

4

= 144 −

2


0

64
368
− 4 y2 =
− 4 y2
3
3

27

Geraldine Cisneros
Recuerde

que

en

el

Luego se resuelve la segunda integral, cuya variable es y

ejemplo 1.2 parte a se
obtuvo una aproximación
por defecto de:
V = ∫∫ ( 36 − x − y ) dA ≈ 256
2

4 3
 368
 368
2
∫ 0  3 − 4 y  dy =  3 y − 3 y 




4

4

=
0

1472 256 1216
−
=
≈ 405,3
3
3
3

2

D

Por lo tanto:

Mientras que en la parte

∫ ∫ ( 36 − x
4

4

0

b, se obtuvo:

0

2

− y 2 )dxdy = 405,3

V ≈ 402,7648 y
V ≈ 405,077248

Al observar el valor real
de

la

integral

∫ ∫ ( 36 − x
4

4

0

0

2

doble,

d) Resolviendo

− y 2 )dxdy = 405,3

se puede concluir que
las aproximaciones de la
parte b son mejores que

∫ ∫ ( 36 − x
4

4

0

0

2

− y 2 )dydx

1 3

2
∫ 0 ( 36 − x − y ) dy = 36 y − x y − 3 y 


4

2

4

= 144 − 4 x 2 −

2

0

64 368
=
− 4 x2
3
3

la estimación de la parte
a.

4 3
 368
 368
2
∫ 0  3 − 4 x  dx =  3 x − 3 x 




4

∫ ∫ ( 36 − x
4

0

En el ejemplo 1.3, se
aproximó
doble

la

integral

mediante
dos

diferentes,

0

e) Para resolver la integral

2

=
0

1472 256
−
= 405,3
3
3

− y 2 )dydx = 405,3

1

3

∫ ∫ (1 − y ) dxdy ,
−1

0

primero se integra

respecto a x como sigue:

una

doble suma de Riemann
con

4

4

3



∫ 0 (1 − y ) dx = (1 − y ) x 

particiones
donde

ambos casos se obtuvo:

3
0

= 3 (1 − y )

en

Seguidamente se resuelve la integral:

V = ∫∫ (1 − y ) dA ≈ 6
D

1

3
2


∫ −1 3 (1 − y )dy = − 2 [1 − y ] −1 = 6
1

Es decir:


28

Geraldine Cisneros

1

3

∫ ∫ (1 − y ) dxdy = 6
−1

f) Ahora se resuelve

0

3

1

0

−1

∫ ∫ (1 − y ) dydx

en el orden de integración

inverso, primero respecto a la variable x:
1


1
y2 
3 
(1 − y ) dx =  y −  =  −  −   = 2


∫−1
2  −1  2  2  

1

Ahora respecto a la variable y:

∫
3

1

0

−1

3
0

2dx = 6

∫ ∫ (1 − y ) dydx = 6


29

Geraldine Cisneros

1.5 TEOREMA DE FUBINI

El nombre de Teorema
de Fubini se debe al
matemático italiano:

El siguiente teorema proporciona un método práctico para evaluar
una integral doble expresándola como una integral iterada

Guido Fubini
(1879, 1943).

TEOREMA de Fubini para Integrales Dobles
Sea f :

2

→

una función real y continua en el rectángulo

D = [a, b]× [c, d ] , entonces:
d

También resaltó por sus
contribuciones en los
campos de geometría
diferencial, ecuaciones
diferenciales, funciones
analíticas y funciones de
varias variables.

b

c

a

∫∫ f ( x, y ) dA = ∫ ∫
D

f ( x, y ) dxdy = ∫

b
a

∫

d
c

f ( x, y ) dydx (I.25)

Demostración intuitiva:
Considere que la función f es positiva, es decir, f (x, y ) ≥ 0 , por lo

El principio de Cavalieri
se debe al matemático
italiano

Bonaventura
FrancescoCavalieri
(1598, 1647).

cual la integral doble

∫∫ f ( x, y ) dA
D

representa el volumen del

sólido S que se encuentra arriba del rectángulo D y por debajo
de la superficie definida por z = f ( x, y ) .

El volumen del sólido S también puede ser calculado empleando
el principio de Cavalieri, donde el volumen de secciones
transversales conocidas se calcula mediante una integral simple.
Célebre por introducir en
Italia
el
cálculo
logarítmico y por su
teoría de indivisibles, la
cual es el principio del
cálculo de una integral
definida pero sin la
rigurosidad moderna del
límite.

b

V = ∫ A ( x ) dx
a

(I.26)

En la figura 1.21 se ilustra una sección transversal del sólido S .


30

Geraldine Cisneros


z = f(x,y)

A(x)

D

a
x = x0
b
Figura 1.21
Interpretación geométrica del Teorema de Fubini

donde A(x ) es el área de la sección transversal del sólido S que
es perpendicular al eje x y al plano xy , entonces A(x ) se puede
obtener como:
d

A ( x ) = ∫ f ( x, y ) dy

(I.27)

c

Sustituyendo la ecuación (I.27) en (I.26), se obtiene:
V = ∫∫ f ( x, y ) dydx = ∫
D

b
a

∫

d
c

f ( x, y )dydx

(I.28)

En forma análoga, el volumen del sólido S se puede obtener
como:
d

V = ∫ A ( y ) dy
c


(I.29)

31

Geraldine Cisneros

donde A( y ) es el área de la sección transversal del sólido S que
es perpendicular al eje y y al plano xy , como se ilustra en la
figura 1.22; es decir:
b

Figura 1.22

A ( y ) = ∫ f ( x, y ) dx

A( y)

Interpretación
geométrica del
teorema de Fubini

A( y)
sección transversal del
sólido
S que es
perpendicular al eje y y al
plano xy .

(I.30)

a

Al sustituir la expresión de A( y ) en la ecuación (I.29) se tiene:
V = ∫∫ f ( x, y ) dydx = ∫
D

es el área de la

d
c

∫

b
a

f ( x, y )dxdy

(I.31)

Finalmente, se concluye que la integral doble de f sobre D es
igual a la integral iterada de la función f ; es decir:
b

d

a

c

∫∫ f ( x, y ) dA = ∫ ∫
D


f ( x, y ) dydx = ∫

d
c

∫

b
a

f ( x, y ) dxdy (I.32)

32

Geraldine Cisneros

1.6 INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES MÁS
GENERALES
En esta sección se amplía la definición de la integral doble de una
función f , sobre regiones más generales que rectángulos, para
posteriormente explicar cómo se resuelven este tipo de integrales.
En la figura 1.23 se presenta una región D de una forma más
general.

Figura 1.23
Región D con una forma más general

Entre las regiones más generales se tienen las de tipo 1 y las de
tipo 2.
DEFINICIÓN: Regiones de Tipo 1
Sean g , h : [ a, b ] →
Como las funciones f y
g son continuas en
[a , b] , entonces son
acotadas, por lo cual la
región D del tipo 1 es
una región acotada del
plano.

, dos funciones reales de variable real,

continuas en [a ,b] , de modo que g ( x ) ≤ h ( x ) ,∀x ∈ [ a,b ] .
Una región de tipo 1, es una región definida como:
D=

{ ( x, y )

a≤ x≤b ∧

}

g ( x) ≤ y ≤ h ( x)

(I.33)

En otras palabras, la región D está limitada por la izquierda por la
recta x = a , por la derecha por la recta x = b , inferiormente por la


33

Geraldine Cisneros

gráfica de la función g y superiormente por la gráfica de la función
h.

En la figura 1.24 se observan algunas regiones de tipo 1.
En una región de tipo 1 ó
de tipo 2, las curvas y
segmentos de rectas que
limitan a la región D ,
constituyen la frontera de
D y se denota como
∂D .

Figura 1.24
Regiones de tipo 1

DEFINICIÓN: Regiones de Tipo 2
Sean g , h : [ c, d ] →

, dos funciones reales de variable real,

continuas en [ c, d ] , de modo que g ( y ) ≤ h ( y ) , ∀y ∈ [ c, d ] .
Una región de tipo 2, es una región definida como:
D=

{ ( x, y )

g ( y) ≤ x ≤ h( y) ∧ c ≤ y ≤ d

}

(I.34)

Entonces toda región D está limitada por la izquierda por la
gráfica de la función g , por la derecha por la gráfica de la función
h , y superior e inferiormente por las rectas y = d y y = c ,

respectivamente.
En la figura 1.25 se aprecian algunas regiones de tipo 2.


34

Geraldine Cisneros


Algunas regiones pueden
ser del tipo 1 del tipo 2
simultáneamente, a estas
regiones se les clasifica
como de tipo 3.
Ejemplo:
y = 1 − x2

Figura 1.25
Regiones de tipo 2
y = − 1 − x2

Una vez explicadas las regiones de tipo 1 y de tipo 2, se presenta
Figura 1.26
El círculo unitario
como una región
tipo 1

la siguiente definición:

DEFINICIÓN: Integrales dobles sobre regiones generales
x = 1− y2

Sea f :

2

→

una función real y continua de dos variables,

definida en una región general D .
x = − 1− y2

Figura 1.27

Sea R un rectángulo que contiene a la región D .
Sea F una función definida en el rectángulo R como:

El círculo unitario
como una región
tipo 2

si ( x, y ) ∈ D
 f ( x, y )

F ( x, y ) = 

 0 si ( x, y ) ∉ D ∧ ( x, y ) ∈ R
La integral doble de f sobre D , denotada

(I.35)

∫∫ f ( x, y ) dA , está
D

dada por:

∫∫ f ( x, y )dA = ∫∫ F ( x, y )dA
D

R

Ahora bien, para resolver la integral

∫∫ f ( x, y )dA ,
D

identificar si la región D es de tipo 1 o de tipo 2.


(I.36)

se debe

35

Geraldine Cisneros

Si la región D es de tipo 1, se debe seleccionar un rectángulo

R = [ a,b ] × [ c,d ] que contenga a D , tal como se ilustra en la
siguiente figura.

Figura 1.28
Rectángulo R que contiene a la región D de tipo 1

Luego, como ∫∫ f ( x, y )dA = ∫∫ F ( x, y )dA , por el teorema de Fubini
D

R

resulta:
b

d

a

c

∫∫ F ( x, y )dA = ∫ ∫
R

F ( x, y ) dydx

(I.37)

Y según la definición de la función F , se tiene que F ( x, y ) = 0 si
y < g ( x ) ∨ y > h ( x ) , entonces:

∫

d
c

F ( x, y ) dy = ∫

h( x )
g ( x)

F ( x, y ) dy = ∫

h( x )
g ( x)

f ( x, y ) dy

(I.38)

Por lo que se puede definir la integral doble sobre una región de
tipo 1 de la siguiente manera:


36

Geraldine Cisneros

DEFINICIÓN: Integrales dobles sobre regiones de tipo 1
Sea f una función real y continua de dos variables, definida
en una región D del tipo 1, tal que

D=

{ ( x, y )

}

g ( x) ≤ y ≤ h ( x)

a≤ x≤b ∧

(I.39)

La integral doble de f sobre una región D de tipo 1, denotada

∫∫ f ( x, y ) dA , está dada por:
D

b

h( x )

a

g ( x)

∫∫ f ( x, y )dA = ∫ ∫
D

f ( x, y )dydx

(I.40)

Si por el contrario, la región D es de tipo 2, se debe seleccionar
un rectángulo R = [ a,b ] × [ c,d ] que contenga a D , tal como se
muestra en la figura 1.29.

y

x = h(y)

d

D
R

c
x = g(y)
a

b

x

Figura 1.29
Rectángulo

R que contiene a la región D de tipo 2

Como ∫∫ f ( x, y )dA = ∫∫ F ( x, y )dA , por el teorema de Fubini se
D

R

tiene:
d

b

c

a

∫∫ F ( x, y )dA = ∫ ∫
R


F ( x, y ) dxdy

(I.41)

37

Geraldine Cisneros

donde F ( x, y ) = 0 si x < g ( y ) ∨ x > h ( y ) , entonces:

∫

b
a

F ( x, y ) dx = ∫

h( y )
g( y)

F ( x, y ) dx = ∫

h( y )
g( y)

f ( x, y ) dx

(I.42)

La integral doble sobre una región del tipo 2 se puede definir
como:
DEFINICIÓN: Integrales dobles sobre regiones de tipo 2
Sea f una función real y continua de dos variables, definida
en una región D del tipo 2, tal que

D=

{ ( x, y )

g ( y) ≤ x ≤ h( y) ∧ c ≤ y ≤ d

}

(I.43)

La integral doble de f sobre una región D de tipo 2, denotada

∫∫ f ( x, y ) dA , está dada por:
D

d

h( y )

c

g( y)

∫∫ f ( x, y )dA = ∫ ∫
D

COMENTARIO

f ( x, y )dxdy

(I.44)

De ahora en adelante, para indicar el orden de integración y para
una mejor visualización de los límites de integración, se emplearán
unas flechas, sobre la gráfica de la región D , que indicarán el
valor inicial y final de la variable de acuerdo a la entrada y salida
de la flecha, respectivamente.
En una región de tipo 1, la integral doble de la función f se
obtiene como

b

h( x )

a

g ( x)

∫ ∫

f ( x, y )dydx , de acuerdo a la ecuación (I.40),

esta integral indica que la primera integración se realiza respecto a
la variable y , por lo cual se indicará sobre la región D como se
ilustra en la siguiente figura:


38

Geraldine Cisneros


: Indica cual es el
valor de la variable
y a la salida de la
región D (límite
superior).
: Indica cual es el
y a la entrada de la
región D (límite
inferior).

Figura 1.30
Orden de integración para la integral doble de

f sobre una región tipo 1

Por otra parte, la ecuación (I.44) señala que en una región de tipo
2, la integral doble de la función
d

h( y )

c

g( y)

∫ ∫

se obtiene como

f

f ( x, y )dxdy , lo que indica que la primera integración se

realiza respecto a la variable x, por lo cual se señalará sobre la
región D como se muestra a continuación:

y
: Indica cual es el
x a la salida de la
región D (límite
superior).
: Indica cual es el
x a la entrada de la
región D (límite
inferior).

x = h(y)

d

D
R

c
x = g(y)
a

b

x

Figura 1.31
Orden de integración para la integral doble de


f sobre una región tipo 2

39

Geraldine Cisneros


EJEMPLO 1.5

Evalúe las siguientes integrales iteradas, dibuje la región D
determinada por los límites de integración e indique cuales
regiones son del tipo 1, del tipo 2 o de ambos.
a) ∫
c) ∫

1
0

2
0

∫
∫

x2
0

b)

dydx
4− y2

− 4− y

2

d)

dxdy

3 x +1

2

∫ ∫
1

2x

1

ey

0

y

∫ ∫

dydx
xdxdy

Solución:
a) Para resolver la integral ∫

1
0

∫

x2
0

dydx , se evalúa primero la integral

interna, pero a diferencia del ejemplo 1.4 de aquí en adelante se
mantendrá la integral externa, como sigue:
1

Figura 1.32
parte a

x2

0

0

∫ ∫

1
 x 
dydx = ∫  ∫ dy dx = ∫  y
0
0

 0

1

2

1

x2

0

0

∫ ∫

x2
0

dydx =

3
dx = 1 x 2 dx = x
∫0


3

1

=
0

1
3

1
3

La región D de este ejercicio es de tipo 1 y de tipo 2, ya que se
puede definir como:
Figura 1.33
Función f definida en

Región tipo 1: D =

{( x, y )

Región tipo 2: D =

la región D del
ejemplo 1.5 parte a

{( x, y )

0 ≤ x ≤ 1 ∧ 0 ≤ y ≤ x2

}

}

y ≤ x ≤1 ∧ 0 ≤ y ≤1

La gráfica de la región D, junto con el orden de integración se
muestra en la siguiente figura:


40

Geraldine Cisneros

Valor de y a
la salida de D

y = x2

En el ejemplo 1.5 a la
integral 1 x dydx = 1 , lo

∫ ∫
0

2

0

3

cual quiere decir que el
sólido definido sobre
D bajo la gráfica de
f , tiene como volumen
3
1 (UL) , donde UL son

D

3

unidades de longitud.
Valor de y a
la entrada de D

y=0

Figura 1.34

Región D del ejemplo 1.5 a

b) Se desea resolver la integral ∫
2

∫ ∫
1

3 x +1
2x

2
1

∫

3 x +1
2x

dydx

2
3 x +1
2
2
3 x +1
dydx = ∫  ∫
dy dx = ∫  y 2 x dx = ∫ ( x + 1)dx


1  2x
1 
1



( x + 1)
∫ 1 ( x + 1)dx =

Figura 1.35
parte b

2

2

=

2

2

∫ ∫
1

3 x +1
2x

2

1

dydx =

5
2

5
2

La región D es una región de tipo 1, definida como:
Figura 1.36
la región D del
ejemplo 1.5 parte b

D=

{( x, y )

1≤ x ≤ 2 ∧

}

2 x ≤ y ≤ 3x + 1

La gráfica de la región D se muestra en la siguiente figura


41

Geraldine Cisneros

Valor de y a
la salida de D

y = 3x + 1

x=2

x =1

D
Valor de y a
la entrada de D

y = 2x

Figura 1.37
Región

D del ejemplo1.5 b

c) Resolviendo la integral doble ∫

∫ ∫
0

Figura 1.38
parte c

−

Esta

0

∫

4− y2
− 4− y2

2
4− y 2
2

dxdy = ∫  ∫
dx dy = ∫  x
4− y2
0
− 4− y 2
0 




4− y2

2

2

integral

se

resuelve

dxdy , se tiene:

4− y2
− 4− y2

dy = 2 2 4 − y 2 dy
∫0



empleando

una

sustitución

trigonométrica:
2

4− y 2

2

0

− 4− y

0

∫ ∫
Figura 1.39

dxdy = 2∫
2

4 − y 2 dy = 4∫

Al sustituir el cambio de variable se tiene:

la región D del
ejemplo 1.5 parte c


2
0

2

 y
1 −   dy
2

42

Geraldine Cisneros


CV: Cambio de Variable
y
= senθ
2

2

∫ ∫
0

4− y2
− 4− y2

dxdy = 4 ∫

π

π

1 − ( senθ ) 2 cos θ dθ = 8∫ 2 cos 2 θ dθ
2

2
0

0

dy = 2 cos θ dθ

CLI: Cambio de los
límites de integración
LI:
y = 0 → θ = arcsen0 = 0
LS:

y = 2 → θ = arcsen1 =

∫ ∫
0

1 + cos ( 2θ )

sen ( 2θ ) 
dxdy = 8∫ 2
dθ = 4 θ +

2
4− y
0
2
2


π

4− y2

2

−

2

∫ ∫

π

0

2

4− y2

− 4− y 2

π
2

= 2π

0

dxdy = 2π

La región D del ejemplo 1.5 c es de tipo 1 y de tipo 2, ya que se
puede definir como:
De radio = 2 y altura = 1
por lo tanto se puede
calcular su volumen
como:
2
π ( 2 ) (1)
V=
= 2π
2

lo que coincide con la
integral:
2

∫ ∫
0

4− y2
− 4− y2

Región tipo 1: D =

{( x, y )

− 2 ≤ x ≤ 2 ∧ 0 ≤ y ≤ 4 − x2

Región tipo 2: D =

{( x, y )

− 4 − y2 ≤ x ≤ 4 − y2

}
}

∧ 0≤ y≤2

dxdy = 2π

La gráfica de la región D se muestra en la siguiente figura:

Valor de x a
la entrada de D

Valor de x a
la salida de D

x = − 4 − y2

x = 4 − y2

D

Figura 1.40
Región D del ejemplo 1.5 c


y =0

43

Geraldine Cisneros

1

ey

0

y

∫ ∫

d) La integral

xdxdy es diferente a las tres partes

anteriores, ya que la función integrando es diferente a la unidad.
1

ey

0

y

1

ey

0

y

∫ ∫
Figura 1.41
parte d

∫ ∫

e
xdxdy = ∫  ∫
0 y

1

12 3
xdx  dy = ∫  x 2

0 3



y

2  2 3y
2 5 
xdxdy =  e 2 − y 2 
3 3
5


1

ey

0

y

∫ ∫
Figura 1.42

1

=
0

ey
y


1 2  3y
3 
 dy = ∫ 0 e 2 − y 2  dy
3



2  2 3 2 2  2  4 3 2 32
 e − −  = e −
3  3
5  3 9
45


4 3 32
xdxdy = e 2 −
9
45

La región D es una región de tipo 2, definida como:

la región D del
ejemplo 1.5 parte d

D=

{( x, y )

}

y ≤ x ≤ ey ∧ 0 ≤ y ≤ 1

La gráfica de la región D se muestra en la siguiente figura:
y=1

D

Valor de x a
la entrada de D

Valor de x a
la salida de D

x= y

x = ey

y=0
Figura 1.43
Región D del ejemplo 1.5 d


44

Geraldine Cisneros

1.7 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DOBLE
A continuación se presentan las propiedades de la integral doble
de una función f :

2

→

real de dos variables sobre una región

general D.
1.7.1 Propiedad de linealidad
2

Sean f :

→

y g:

2

→

dos funciones reales y continuas

definidas en una región D , y sean α y β dos números reales
cualesquiera, entonces:

∫∫

D

α f ( x, y ) + β g ( x, y ) dA = ∫∫ α f ( x, y ) dA + ∫∫  β g ( x, y ) dA




D
D
(I.45)

1.7.2 Propiedad de orden
2

Sean f :

→

y g:

2

→

dos funciones reales y continuas

definidas en una región D , tales que f ( x, y ) ≥ g ( x, y ) ∀ ( x, y ) ∈ D ,
entonces:

∫∫ f ( x, y )dA ≥ ∫∫ g ( x, y )dA
D

D

(I.46)

1.7.3 Propiedad aditiva respecto a la región de integración
Sea f :

2

→

una función real y continua definida en una región

general D . Si la región D está dividida en dos subregiones D1 y
D2 (es decir D = D1 ∪ D2 ), entonces:

∫∫ f ( x, y )dA = ∫∫
D


D1

f ( x, y )dA + ∫∫ f ( x, y )dA
D2

(I.47)

45

Geraldine Cisneros
EJEMPLO 1.6

Evalúe la siguiente integral doble y dibuje la región D .

∫∫ ( x + y + 1) dA ,
D

D=

{ ( x, y ) y ≥ x

2

+ 2x ∧

}

y≤3 ∧

y ≤ 3x + 6

Solución:
El primer paso para resolver este ejercicio es identificar si la región
D es tipo 1 o tipo 2. En la siguiente figura se muestra la región D .
Figura 1.44
la región D del
ejemplo 1.6

y=3
y = 3x+6

Nótese como en este
ejemplo la función f no
es estrictamente positiva.

y = x2+2x

Figura 1.45
Región D del ejemplo 1.6

La región D de este ejemplo no es de tipo 1, ni de tipo 2, por lo
tanto, para evaluar la integral doble pedida, se empleará la
propiedad señalada en la ecuación (I.47).
Para este ejemplo, se tienen dos alternativas: dividir a la región D
en dos subregiones tipo 1 o dividirla en dos subregiones tipo 2. A
continuación se analizan ambas situaciones.
i) Cuando la región D es dividida por la recta x = −1 , se obtienen
dos subregiones de tipo 1; es decir, D = D1 ∪ D2 , donde:
D1 =

{( x, y )

D2 =

}

− 2 ≤ x ≤ −1 ∧ x 2 + 2 x ≤ y ≤ 3 x + 6 y

{( x, y )

}

−1 ≤ x ≤ 1 ∧ x2 + 2 x ≤ y ≤ 3


46

Geraldine Cisneros

En la figura 1.46 se aprecia la región D dividida en dos regiones
tipo 1.
x = −1

Valor de y a
la salida de D2
y =3

Valor de y a
la salida de D1
y = 3x + 6

D2

D1

Valor de y a
la entrada de D1
y = x2 + 2 x

Valor de y a
la entrada de D2
y = x2 + 2 x

Figura 1.46

Región D del ejemplo 1.6 dividida en dos regiones tipo 1

Por lo tanto:
I = ∫∫ ( x + y + 1) dA = ∫
D

−1

3 x+6

1

3

( x + y + 1)dydx + ∫ −1 ∫ x + 2 x ( x + y + 1)dydx
−2 ∫ x + 2 x
2

2

−1 
1  15


x4
5x2
x4
I = ∫  −24 − − 3 x3 +
+ 25 x  dx + ∫  − − 3 x3 + 5 x 2 + x  dx
−2
−1 2
2
2
2





I=

29 172
+
60 15

I = ∫∫ ( x + y + 1) dA =
D

239
20

ii) Cuando se traza la recta y = 0 , la región D se divide en dos
subregiones de tipo 2; es decir, D = DA ∪ DB , donde:
DA =

{( x, y )

− 1 − 1 + y ≤ x ≤ −1 + 1 + y ∧


DB = ( x, y )


y−6

≤ x ≤ −1 + 1 + y ∧ 0 ≤ y ≤ 3
3



}

−1 ≤ y ≤ 0 y

47

Geraldine Cisneros

La figura 1.47 muestra la región D dividida en dos regiones tipo 2.

Valor de x a
la entrada de DB

Valor de x a
la salida de DB

y −6
x=
3

x = −1 + 1 + y

DB

y=0

Valor de x a
la entrada de DA
x = −1 − 1 + y

Valor de x a
la salida de DA

DA

x = −1 + 1 + y

1

Figura 1.47

Entonces, siendo I = ∫∫ ( x + y + 1) dA , se tiene que:
D

I =∫

0
−1

∫

−1+ 1+ y

3

−1+ 1+ y

( x + y + 1)dxdy + ∫ 0 ∫ y −6
−1− 1+ y

( x + y + 1)dxdy

3

Resolviendo se obtiene I = −

8 749
+
, luego:
15 60

I = ∫∫ ( x + y + 1) dA =
D


239
20

48

Geraldine Cisneros
EJEMPLO 1.7


∫∫ (10 + 4 x

2

D

− y ) dA , D =

{ ( x, y )

y−x ≤2 ∧

}

x2 + y 2 ≤ 4

Solución:
Tal como se explicó en los ejemplos anteriores, el primer paso
para resolver la integral doble planteada consiste en clasificar a la
Figura 1.48
la región D del
ejemplo 1.7

región D en una región de tipo 1 o tipo 2. Para ello se deben
estudiar las inecuaciones que definen a la región D .
La solución de la inecuación y − x ≤ 2 es la intersección de las
i) y − x ≤ 2 (si y ≥ x )

inecuaciones:

ii) x − y ≤ 2 (si y < x )
Según la definición del
valor absoluto:
 y − x si

y−x =
 x − y si


y≥x
y<x

La solución de la inecuación x 2 + y 2 ≤ 4 es el conjunto de pares
ordenados

( x, y )

que

se

encuentran

dentro

y

sobre

la

circunferencia de radio 2 y con centro en el origen del sistema de
coordenadas.
La región D del ejemplo 1.7 se muestra en la figura 1.49

y = x+2

x2 + y 2 = 4

D

y = x−2

Figura 1.49
Región


D del ejemplo 1.7

49

Geraldine Cisneros

En la figura anterior se aprecia que la región D no es de tipo 1, ni
de tipo 2, por lo tanto, para evaluar la integral doble pedida, se
emplea la propiedad aditiva respecto a la región de integración,
señalada en 1.7.3. Por lo que la región D se divide en dos
regiones tipo 1, esto es: D = D1 ∩ D2 , las cuales se detallan en la
figura 1.50.
Valor de y a
la salida de D2

x=0

y = 4 − x2

Valor de y a
la salida de D1
y = x+2

D2

D1
Valor de y a
la entrada de D1

Valor de y a
la entrada de D2

y = x−2

y = − 4 − x2

Figura 1.50

{( x, y ) − 2 ≤ x ≤ 0 ∧ − 4 − x ≤ y ≤ x + 2} y
D = {( x, y ) 0 ≤ x ≤ 2 ∧ x − 2 ≤ y ≤ 4 − x }

Donde: D1 =

2

2

2

Por lo tanto:

I = ∫∫ (10 + 4 x 2 − y ) dA = ∫∫ (10 + 4 x 2 − y ) dA + ∫∫
D

D1

I =∫

0
−2

∫

x+2
− 4− x

D2

10 + 4 x 2 − y )dydx + ∫
2 (

2
0

∫

4− x2
x−2

(10 + 4 x

(10 + 4 x

2

2

− y ) dA

− y )dydx

(8x + 20 + 10 4 − x + 4 x + 7 x + 4 x 4 − x ) dx +
+ ∫ ( −12 x + 20 + 10 4 − x − 4 x + 9 x + 4 x 4 − x ) dx

I =∫

0

2

3

2

2

2

−2

2

0


2

3

2

2

2

50

Geraldine Cisneros

80 

I = 14π +  + (14π + 24 )
3 


∫∫ (10 + 4 x

2

D

EJEMPLO 1.8

− y ) dA = 28π +

152
3


∫∫

D

x + y dA , D =

{ ( x, y )

y≥0 ∧

}

x2 + y 2 ≤ 9

Solución:
La región D es una región tipo 1 tal como se muestra en la
siguiente figura.
y = 9 − x2

Figura 1.51
la región D del
ejemplo 1.8

D

y=0

Figura 1.52
Región

D del ejemplo 1.8

Sin embargo, como la función integrando es un valor absoluto,
también llamado módulo, se tiene que:
 x + y si x + y ≥ 0

f ( x, y ) = x + y = 

− ( x + y ) si x + y < 0

A continuación se debe verificar si existe intersección entre la
región y las inecuaciones x + y ≥ 0 y x + y < 0 . Este resultado se
muestra en la figura siguiente.


51

Geraldine Cisneros


y = 9 − x2

D1
y = -x

x+ y ≥0

D2

x+ y <0
y=0
Figura 1.53

D con las inecuaciones x + y ≥ 0 y x + y < 0

Intersección de la región

Entonces se tiene:
 x + y si ( x, y ) ∈ D1

f ( x, y ) = 
− ( x + y ) si ( x, y ) ∈ D
2


Donde: D1 =

{ ( x, y )

D2 =

{ ( x, y )

y≥0 ∧
y≥0 ∧

x2 + y2 ≤ 9 ∧

}

x+ y ≥0 y

x2 + y 2 ≤ 9 ∧

}

x+ y <0

Por lo tanto la integral doble se resuelve como:
I = ∫∫ x + y dA = ∫∫
D

D1

( x + y ) dA + ∫∫D

2

 − ( x + y )  dA



En las figuras 1.54 y 1.55, se muestra el orden de integración para
resolver las integrales dobles anteriores.
Valor de y a
la salida de D1 .A

y = 9− x

En la figura 1.54, se tiene
que:

D1 = D1.A ∪ D1.B

x=0

Valor de y a
la salida de D1 .B

2

y = 9 − x2

 3 3 
,
−

2 2


D1.A

D1.B

Valor de y a
la entrada de D1.A
y = −x
Valor de y a
la entrada de D1.B

Figura 1.54

y=0

Región D1 del ejemplo 1.8


52

Geraldine Cisneros

Entonces:

∫∫

D1

( x + y ) dA = ∫

0

∫

3
2

−

0



2

−x

( x + y )dydx + ∫

3
0

∫

9− x2
0

( x + y )dydx

3
9
9 x2 
9 − x 2 +  dx + ∫  x 9 − x 2 + −  dx
0
2
2 2



∫∫D ( x + y ) dA = ∫ − 3  x
1

9− x2

∫∫ ( x + y ) dA = ( 9
D1

)

2 − 9 + 18

Ahora para la región D2:
 3 3 
,
−

2 2


D2
Valor de x a
la entrada de D2

Valor de x a
la salida de D2

x = −y

x = − 9 − y2

y=0
Figura 1.54
Región D2 del ejemplo 1.8

Así:


∫∫D2 − ( x + y ) dA = − ∫ 0

∫∫

3
2

D2

∫

3

−y
− 9− y

2


( x + y )dxdy = − ∫ 0 2 

 − ( x + y )  dA = 9 2 − 9



Por lo tanto
I = ∫∫ x + y dA = 18 2
D


9

− y 9 − y 2  dy
2


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