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AUTOR:   ING. RAMÓN VILCHEZ REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL “FRANCISCO DE MIRANDA” ÁREA DE TECNOLOGÍA DEPARTAMENTO DE MECÁNICA  Y TECNOLOGÍA DE LA PRODUCCIÓN CÁTEDRA: RESISTENCIA DE LOS MATERIALES E-mail:  [email_address] http://resistenciadelosmaterialesteoria.blogspot.com   U N E F M
 
 
 
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Circulo de Morh Esfuerzo Axial y por Flexión Δ  del Esfuerzo con la orientación de elemento Flexión y Torsión Transformación de las componente del esfuerzo  Esfuerzo en un Punto Introducción ESQUEMA TEMA V. ESFUERZOS COMBINADOS. ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],Rosetas de Deformación
Circulo de Morh Esfuerzo Axial y por Flexión Δ  del Esfuerzo con la orientación de elemento Flexión y Torsión Transformación de las componente del esfuerzo  Esfuerzo en un Punto Introducción ESQUEMA TEMA V. ESFUERZOS COMBINADOS. ,[object Object],Rosetas de Deformación
Circulo de Morh Esfuerzo Axial y por Flexión Δ  del Esfuerzo con la orientación de elemento Flexión y Torsión Transformación de las componente del esfuerzo  Esfuerzo en un Punto Introducción ESQUEMA TEMA V. ESFUERZOS COMBINADOS. ,[object Object],Rosetas de Deformación Esfuerzo Principal Máximo,  σ 1 : Esfuerzo Principal Mínimo,  σ 2 : Esfuerzo Cortante Máximo,  τ máx
Circulo de Morh Esfuerzo Axial y por Flexión Δ  del Esfuerzo con la orientación de elemento Flexión y Torsión Transformación de las componente del esfuerzo  Esfuerzo en un Punto Introducción ESQUEMA TEMA V. ESFUERZOS COMBINADOS. ,[object Object],Rosetas de Deformación
Circulo de Morh Esfuerzo Axial y por Flexión Δ  del Esfuerzo con la orientación de elemento Flexión y Torsión Transformación de las componente del esfuerzo  Esfuerzo en un Punto ESQUEMA TEMA V. ESFUERZOS COMBINADOS. Rosetas de Deformación Introducción Esfuerzo en Punto. Calculo analítico De la ecuación deducida para el ángulo, se obtiene el siguiente triangulo: Del cual se obtiene las siguientes relaciones:
Circulo de Morh Esfuerzo Axial y por Flexión Δ  del Esfuerzo con la orientación de elemento Flexión y Torsión Transformación de las componente del esfuerzo  Esfuerzo en un Punto ESQUEMA TEMA V. ESFUERZOS COMBINADOS. Rosetas de Deformación Introducción Esfuerzo en Punto. Calculo analítico Esfuerzo Principal Máximo,  σ 1 : Esfuerzo Principal Mínimo,  σ 2 : NOTA:  En el elemento en el que actúan los esfuerzos principales, el esfuerzo cortante es  CERO. Esfuerzo Cortante Máximo,  τ máx :  en la ecuación (4).
Circulo de Morh Esfuerzo Axial y por Flexión Δ  del Esfuerzo con la orientación de elemento Flexión y Torsión Transformación de las componente del esfuerzo  Esfuerzo en un Punto ESQUEMA TEMA V. ESFUERZOS COMBINADOS. Rosetas de Deformación Introducción Esfuerzo en Punto. Calculo analítico Dividiendo entre cos(2 Φ ):   Ángulo que localiza el esfuerzo cortante máximo,  τ máx De la ecuación deducida para el ángulo, se obtiene el siguiente triangulo: Del cual se obtiene las siguientes relaciones:
Circulo de Morh Esfuerzo Axial y por Flexión Δ  del Esfuerzo con la orientación de elemento Flexión y Torsión Transformación de las componente del esfuerzo  Esfuerzo en un Punto ESQUEMA TEMA V. ESFUERZOS COMBINADOS. Rosetas de Deformación Introducción Esfuerzo en Punto. Calculo analítico Esfuerzo Cortante Máximo,  τ máx Esfuerzo Normal que actúa en el elemento sometido a esfuerzo cortante máximo,  σ prom
Circulo de Morh Esfuerzo Axial y por Flexión Δ  del Esfuerzo con la orientación de elemento Flexión y Torsión Transformación de las componente del esfuerzo  Esfuerzo en un Punto ESQUEMA TEMA V. ESFUERZOS COMBINADOS. Rosetas de Deformación Introducción El circulo Mohr es la representación gráfica de las ecuaciones de transformación para el esfuerzo plano. Esta representación grafica es de gran utilidad porque permite visualizar las relaciones entre los esfuerzos normales y cortantes que actúan sobre varios planos inclinados en un punto de un cuerpo sometido a esfuerzos.  ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object]
Circulo de Morh Esfuerzo Axial y por Flexión Δ  del Esfuerzo con la orientación de elemento Flexión y Torsión Transformación de las componente del esfuerzo  Esfuerzo en un Punto ESQUEMA TEMA V. ESFUERZOS COMBINADOS. Rosetas de Deformación Introducción Ecuaciones del Circulo de Mohr.  Reordenando la ecuación I. nos queda: I ec. II ec. Por la geometría analítica, reconocemos que ambas son ecuaciones de un circulo en forma paramétrica. El ángulo 2ɵ es el parámetro y los esfuerzos  σ x1  y  τ x1y1  son las coordenadas.
Circulo de Morh Esfuerzo Axial y por Flexión Δ  del Esfuerzo con la orientación de elemento Flexión y Torsión Transformación de las componente del esfuerzo  Esfuerzo en un Punto ESQUEMA TEMA V. ESFUERZOS COMBINADOS. Rosetas de Deformación Introducción Para suprimir el parámetro 2 θ , elevamos al cuadrado ambos lados de la ecuación y luego sumamos ambas. El resultado es: IV ec. V ec. Recordando que: VI ec.
Circulo de Morh Esfuerzo Axial y por Flexión Δ  del Esfuerzo con la orientación de elemento Flexión y Torsión Transformación de las componente del esfuerzo  Esfuerzo en un Punto ESQUEMA TEMA V. ESFUERZOS COMBINADOS. Rosetas de Deformación Introducción Sustituyendo las ecuaciones V y VI en IV, nos queda: VII ec. Es la ecuación de un circulo en forma algebraica estándar. Las coordenadas son  σ x1  y  τ x1y1 , el radio es R y el centro del circulo tiene las coordenadas  σ x1  =  σ prom  y  τ x1y1  =0. ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object]
Circulo de Morh Esfuerzo Axial y por Flexión Δ  del Esfuerzo con la orientación de elemento Flexión y Torsión Transformación de las componente del esfuerzo  Esfuerzo en un Punto ESQUEMA TEMA V. ESFUERZOS COMBINADOS. Rosetas de Deformación Introducción ,[object Object],[object Object],[object Object],C
Circulo de Morh Esfuerzo Axial y por Flexión Δ  del Esfuerzo con la orientación de elemento Flexión y Torsión Transformación de las componente del esfuerzo  Esfuerzo en un Punto ESQUEMA TEMA V. ESFUERZOS COMBINADOS. Rosetas de Deformación Introducción ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object]
Circulo de Morh Esfuerzo Axial y por Flexión Δ  del Esfuerzo con la orientación de elemento Flexión y Torsión Transformación de las componente del esfuerzo  Esfuerzo en un Punto ESQUEMA TEMA V. ESFUERZOS COMBINADOS. Rosetas de Deformación Introducción ,[object Object],[object Object]
Circulo de Morh Esfuerzo Axial y por Flexión Δ  del Esfuerzo con la orientación de elemento Flexión y Torsión Transformación de las componente del esfuerzo  Esfuerzo en un Punto ESQUEMA TEMA V. ESFUERZOS COMBINADOS. Rosetas de Deformación Introducción ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],Nota: un concepto importante a recordar es que los ángulos obtenidos con el circulo de Mohr son el doble de los ángulos reales.
Circulo de Morh Esfuerzo Axial y por Flexión Δ  del Esfuerzo con la orientación de elemento Flexión y Torsión Transformación de las componente del esfuerzo  Esfuerzo en un Punto ESQUEMA TEMA V. ESFUERZOS COMBINADOS. Rosetas de Deformación Introducción Eje x Eje y
Circulo de Morh Esfuerzo Axial y por Flexión Δ  del Esfuerzo con la orientación de elemento Flexión y Torsión Transformación de las componente del esfuerzo  Esfuerzo en un Punto ESQUEMA TEMA V. ESFUERZOS COMBINADOS. Rosetas de Deformación Introducción ,[object Object],[object Object],[object Object],Elemento Sometido a Esfuerzo Principales.
Circulo de Morh Esfuerzo Axial y por Flexión Δ  del Esfuerzo con la orientación de elemento Flexión y Torsión Transformación de las componente del esfuerzo  Esfuerzo en un Punto ESQUEMA TEMA V. ESFUERZOS COMBINADOS. Rosetas de Deformación Introducción ,[object Object],[object Object],[object Object],Elemento Sometido a esfuerzos cortantes máximos
Circulo de Morh Esfuerzo Axial y por Flexión Δ  del Esfuerzo con la orientación de elemento Flexión y Torsión Transformación de las componente del esfuerzo  Esfuerzo en un Punto ESQUEMA TEMA V. ESFUERZOS COMBINADOS. Rosetas de Deformación Introducción Considerando que la fuerza P 1  genera un Momento Flector M 1  y la fuerza P 2  genera solamente un esfuerzo axial  σ 2 .   Distribución de esfuerzos debido a la fuerza P 2 Distribución de esfuerzos debido a la fuerza P 1 C A B D C y σ 1 _compresión σ 1_tensión C M 1
Circulo de Morh Esfuerzo Axial y por Flexión Δ  del Esfuerzo con la orientación de elemento Flexión y Torsión Transformación de las componente del esfuerzo  Esfuerzo en un Punto ESQUEMA TEMA V. ESFUERZOS COMBINADOS. Rosetas de Deformación Introducción C A B D Distribución de esfuerzos cortante debido a la fuerza  P 1 r r
Circulo de Morh Esfuerzo Axial y por Flexión Δ  del Esfuerzo con la orientación de elemento Flexión y Torsión Transformación de las componente del esfuerzo  Esfuerzo en un Punto ESQUEMA TEMA V. ESFUERZOS COMBINADOS. Rosetas de Deformación Introducción Entonces en el punto A se ve afectado por el esfuerzo axial generado por la fuerza P 2.  el cual es uniforme en toda la sección; a demás de un esfuerzo cortante  τ 1 . Por lo tanto el elemento de esfuerzo queda de la siguiente manera: A
Circulo de Morh Esfuerzo Axial y por Flexión Δ  del Esfuerzo con la orientación de elemento Flexión y Torsión Transformación de las componente del esfuerzo  Esfuerzo en un Punto ESQUEMA TEMA V. ESFUERZOS COMBINADOS. Rosetas de Deformación Introducción Entonces en el punto B se ve afectado por el esfuerzo axial generado por la fuerza P 2.  el cual es uniforme en toda la sección; a demás de un esfuerzo flexionante  σ 1 . Por lo tanto el elemento de esfuerzo queda de la siguiente manera: B
Circulo de Morh Esfuerzo Axial y por Flexión Δ  del Esfuerzo con la orientación de elemento Flexión y Torsión Transformación de las componente del esfuerzo  Esfuerzo en un Punto ESQUEMA TEMA V. ESFUERZOS COMBINADOS. Rosetas de Deformación Introducción Entonces en el punto C se ve afectado por el esfuerzo axial generado por la fuerza P 2.  el cual es uniforme en toda la sección; a demás de un esfuerzo cortante  τ 1 . De igual manera que el punto A. Por lo tanto el elemento de esfuerzo queda de la siguiente manera: C
Circulo de Morh Esfuerzo Axial y por Flexión Δ  del Esfuerzo con la orientación de elemento Flexión y Torsión Transformación de las componente del esfuerzo  Esfuerzo en un Punto ESQUEMA TEMA V. ESFUERZOS COMBINADOS. Rosetas de Deformación Introducción Entonces en el punto D se ve afectado por el esfuerzo axial generado por la fuerza P 2.  el cual es uniforme en toda la sección; a demás de un esfuerzo flexionante  σ 1 . Pero en este caso este esfuerzo actúa a compresión en la parte inferior del elemento. Por lo tanto el elemento de esfuerzo queda de la siguiente manera: D
 

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  • 1. AUTOR:   ING. RAMÓN VILCHEZ REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL “FRANCISCO DE MIRANDA” ÁREA DE TECNOLOGÍA DEPARTAMENTO DE MECÁNICA Y TECNOLOGÍA DE LA PRODUCCIÓN CÁTEDRA: RESISTENCIA DE LOS MATERIALES E-mail: [email_address] http://resistenciadelosmaterialesteoria.blogspot.com U N E F M
  • 2.  
  • 3.  
  • 4.  
  • 5. Como se muestra en la siguiente figura
  • 6.  
  • 7.
  • 8.
  • 9.
  • 10.
  • 11. Circulo de Morh Esfuerzo Axial y por Flexión Δ del Esfuerzo con la orientación de elemento Flexión y Torsión Transformación de las componente del esfuerzo Esfuerzo en un Punto ESQUEMA TEMA V. ESFUERZOS COMBINADOS. Rosetas de Deformación Introducción Esfuerzo en Punto. Calculo analítico De la ecuación deducida para el ángulo, se obtiene el siguiente triangulo: Del cual se obtiene las siguientes relaciones:
  • 12. Circulo de Morh Esfuerzo Axial y por Flexión Δ del Esfuerzo con la orientación de elemento Flexión y Torsión Transformación de las componente del esfuerzo Esfuerzo en un Punto ESQUEMA TEMA V. ESFUERZOS COMBINADOS. Rosetas de Deformación Introducción Esfuerzo en Punto. Calculo analítico Esfuerzo Principal Máximo, σ 1 : Esfuerzo Principal Mínimo, σ 2 : NOTA: En el elemento en el que actúan los esfuerzos principales, el esfuerzo cortante es CERO. Esfuerzo Cortante Máximo, τ máx : en la ecuación (4).
  • 13. Circulo de Morh Esfuerzo Axial y por Flexión Δ del Esfuerzo con la orientación de elemento Flexión y Torsión Transformación de las componente del esfuerzo Esfuerzo en un Punto ESQUEMA TEMA V. ESFUERZOS COMBINADOS. Rosetas de Deformación Introducción Esfuerzo en Punto. Calculo analítico Dividiendo entre cos(2 Φ ): Ángulo que localiza el esfuerzo cortante máximo, τ máx De la ecuación deducida para el ángulo, se obtiene el siguiente triangulo: Del cual se obtiene las siguientes relaciones:
  • 14. Circulo de Morh Esfuerzo Axial y por Flexión Δ del Esfuerzo con la orientación de elemento Flexión y Torsión Transformación de las componente del esfuerzo Esfuerzo en un Punto ESQUEMA TEMA V. ESFUERZOS COMBINADOS. Rosetas de Deformación Introducción Esfuerzo en Punto. Calculo analítico Esfuerzo Cortante Máximo, τ máx Esfuerzo Normal que actúa en el elemento sometido a esfuerzo cortante máximo, σ prom
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  • 16. Circulo de Morh Esfuerzo Axial y por Flexión Δ del Esfuerzo con la orientación de elemento Flexión y Torsión Transformación de las componente del esfuerzo Esfuerzo en un Punto ESQUEMA TEMA V. ESFUERZOS COMBINADOS. Rosetas de Deformación Introducción Ecuaciones del Circulo de Mohr. Reordenando la ecuación I. nos queda: I ec. II ec. Por la geometría analítica, reconocemos que ambas son ecuaciones de un circulo en forma paramétrica. El ángulo 2ɵ es el parámetro y los esfuerzos σ x1 y τ x1y1 son las coordenadas.
  • 17. Circulo de Morh Esfuerzo Axial y por Flexión Δ del Esfuerzo con la orientación de elemento Flexión y Torsión Transformación de las componente del esfuerzo Esfuerzo en un Punto ESQUEMA TEMA V. ESFUERZOS COMBINADOS. Rosetas de Deformación Introducción Para suprimir el parámetro 2 θ , elevamos al cuadrado ambos lados de la ecuación y luego sumamos ambas. El resultado es: IV ec. V ec. Recordando que: VI ec.
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  • 19.
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  • 23. Circulo de Morh Esfuerzo Axial y por Flexión Δ del Esfuerzo con la orientación de elemento Flexión y Torsión Transformación de las componente del esfuerzo Esfuerzo en un Punto ESQUEMA TEMA V. ESFUERZOS COMBINADOS. Rosetas de Deformación Introducción Eje x Eje y
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  • 26. Circulo de Morh Esfuerzo Axial y por Flexión Δ del Esfuerzo con la orientación de elemento Flexión y Torsión Transformación de las componente del esfuerzo Esfuerzo en un Punto ESQUEMA TEMA V. ESFUERZOS COMBINADOS. Rosetas de Deformación Introducción Considerando que la fuerza P 1 genera un Momento Flector M 1 y la fuerza P 2 genera solamente un esfuerzo axial σ 2 . Distribución de esfuerzos debido a la fuerza P 2 Distribución de esfuerzos debido a la fuerza P 1 C A B D C y σ 1 _compresión σ 1_tensión C M 1
  • 27. Circulo de Morh Esfuerzo Axial y por Flexión Δ del Esfuerzo con la orientación de elemento Flexión y Torsión Transformación de las componente del esfuerzo Esfuerzo en un Punto ESQUEMA TEMA V. ESFUERZOS COMBINADOS. Rosetas de Deformación Introducción C A B D Distribución de esfuerzos cortante debido a la fuerza P 1 r r
  • 28. Circulo de Morh Esfuerzo Axial y por Flexión Δ del Esfuerzo con la orientación de elemento Flexión y Torsión Transformación de las componente del esfuerzo Esfuerzo en un Punto ESQUEMA TEMA V. ESFUERZOS COMBINADOS. Rosetas de Deformación Introducción Entonces en el punto A se ve afectado por el esfuerzo axial generado por la fuerza P 2. el cual es uniforme en toda la sección; a demás de un esfuerzo cortante τ 1 . Por lo tanto el elemento de esfuerzo queda de la siguiente manera: A
  • 29. Circulo de Morh Esfuerzo Axial y por Flexión Δ del Esfuerzo con la orientación de elemento Flexión y Torsión Transformación de las componente del esfuerzo Esfuerzo en un Punto ESQUEMA TEMA V. ESFUERZOS COMBINADOS. Rosetas de Deformación Introducción Entonces en el punto B se ve afectado por el esfuerzo axial generado por la fuerza P 2. el cual es uniforme en toda la sección; a demás de un esfuerzo flexionante σ 1 . Por lo tanto el elemento de esfuerzo queda de la siguiente manera: B
  • 30. Circulo de Morh Esfuerzo Axial y por Flexión Δ del Esfuerzo con la orientación de elemento Flexión y Torsión Transformación de las componente del esfuerzo Esfuerzo en un Punto ESQUEMA TEMA V. ESFUERZOS COMBINADOS. Rosetas de Deformación Introducción Entonces en el punto C se ve afectado por el esfuerzo axial generado por la fuerza P 2. el cual es uniforme en toda la sección; a demás de un esfuerzo cortante τ 1 . De igual manera que el punto A. Por lo tanto el elemento de esfuerzo queda de la siguiente manera: C
  • 31. Circulo de Morh Esfuerzo Axial y por Flexión Δ del Esfuerzo con la orientación de elemento Flexión y Torsión Transformación de las componente del esfuerzo Esfuerzo en un Punto ESQUEMA TEMA V. ESFUERZOS COMBINADOS. Rosetas de Deformación Introducción Entonces en el punto D se ve afectado por el esfuerzo axial generado por la fuerza P 2. el cual es uniforme en toda la sección; a demás de un esfuerzo flexionante σ 1 . Pero en este caso este esfuerzo actúa a compresión en la parte inferior del elemento. Por lo tanto el elemento de esfuerzo queda de la siguiente manera: D
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Editor's Notes

  1. UNEFM. RESISTENCIA DE LOS MATERIALES. ING. RAMON VILCHEZ
  2. UNEFM. RESISTENCIA DE LOS MATERIALES. ING. RAMON VILCHEZ
  3. UNEFM. RESISTENCIA DE LOS MATERIALES. ING. RAMON VILCHEZ
  4. UNEFM. RESISTENCIA DE LOS MATERIALES. ING. RAMON VILCHEZ
  5. UNEFM. RESISTENCIA DE LOS MATERIALES. ING. RAMON VILCHEZ
  6. UNEFM. RESISTENCIA DE LOS MATERIALES. ING. RAMON VILCHEZ
  7. UNEFM. RESISTENCIA DE LOS MATERIALES. ING. RAMON VILCHEZ
  8. UNEFM. RESISTENCIA DE LOS MATERIALES. ING. RAMON VILCHEZ
  9. UNEFM. RESISTENCIA DE LOS MATERIALES. ING. RAMON VILCHEZ
  10. UNEFM. RESISTENCIA DE LOS MATERIALES. ING. RAMON VILCHEZ
  11. UNEFM. RESISTENCIA DE LOS MATERIALES. ING. RAMON VILCHEZ
  12. UNEFM. RESISTENCIA DE LOS MATERIALES. ING. RAMON VILCHEZ
  13. UNEFM. RESISTENCIA DE LOS MATERIALES. ING. RAMON VILCHEZ
  14. UNEFM. RESISTENCIA DE LOS MATERIALES. ING. RAMON VILCHEZ
  15. UNEFM. RESISTENCIA DE LOS MATERIALES. ING. RAMON VILCHEZ
  16. UNEFM. RESISTENCIA DE LOS MATERIALES. ING. RAMON VILCHEZ
  17. UNEFM. RESISTENCIA DE LOS MATERIALES. ING. RAMON VILCHEZ
  18. UNEFM. RESISTENCIA DE LOS MATERIALES. ING. RAMON VILCHEZ
  19. UNEFM. RESISTENCIA DE LOS MATERIALES. ING. RAMON VILCHEZ
  20. UNEFM. RESISTENCIA DE LOS MATERIALES. ING. RAMON VILCHEZ
  21. UNEFM. RESISTENCIA DE LOS MATERIALES. ING. RAMON VILCHEZ
  22. UNEFM. RESISTENCIA DE LOS MATERIALES. ING. RAMON VILCHEZ
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  25. UNEFM. RESISTENCIA DE LOS MATERIALES. ING. RAMON VILCHEZ
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