1. Mención :Educación Matemática
Tema : Ecuaciones diofanticas
Presentado por :Víctor Z. Millán Pecho
Cátedra : Teoría de Números para
docentes
Mg. Fabio A. Contreras Ore
Huancayo – Perú - 2012

2. RESOLUCION
Son necesarios 4 pasos para resolver una ecuación diofántica
ax + by = c
Paso 1: Calcular el MCD de los coeficientes: a y b (por el algoritmo de
Euclides)
Paso 2: Comprobar si d c para saber si la ecuación tiene soluciones
enteras.
-En caso negativo, entonces la ecuación no admite ninguna
solución entera.
-En caso afirmativo, continuamos con el siguiente paso.
Calcular los valores enteros de “p” y “q” por Bezout,…
Paso 3: Usamos las formulas anteriores para hallar la solución particular.
Paso 4: Usamos estos valores encontrados para determinar la solución
general.

3. 4. Hallar la solución parcial y la solución general de la ecuación
diofántica:
91x – 61y = 45 ; x, y ϵ Z
Resolución:

4. 2. Hallar la solución parcial y la solución general de la ecuación
diofántica: 30x + 12y = 1200
Resolución:
(i) Determinando el MCD de 30 y 12, luego:
2 2
30 12 6
6 0
(ii) Comprobamos: 6 1200 por tanto si tiene soluciones enteras. Luego los valores de “p”
y “q” 2 2
0 1 2 5 1(5) - 2(2) = 1
1 0 1 2 Luego, multiplicamos por 6:
1( 5x6) – 2(2x6) = 1x6
1(30) – 2(12) = 6
Ordenando, tenemos: 30(1) + 12(-2) = 6
P= 1 y q= -2
(iii) Solución particular:
Xo = cp/d = 1200(1)/6 = 200
Yo = cq/d = 1200(-2)/6 = -400

5. (iv) Solución general:
X = Xo + k b/d = 200 + 2k
Y = Yo – ka/d = -400 – 5k
Obtenemos por tanto que las soluciones de la ecuación
diofántica son:
X = 200 + k
Y = - 400 – 5k

6. Problema 4.
Un granjero gasto S/. 100 000.00 en los 100 animales entre
ovejas, caballos y terneras. Si las ovejas las compro a S/ 50.00;
A S/. 1000.00 los caballos y a S/. 5000.00 las terneras y adquirió
animales de tres clases. ¿Cuántos animales compro de cada
clase?
Procedimiento:
Sea x : Numero de ovejas
y : Numero de caballos
z : Numero de terneras
De acuerdo al enunciado, tenemos el siguiente sistema de
ecuaciones:
x + y + z = 100……………………(I)
50x + 1000y + 5000z = 100 000 si ( : 50)
x +20y + 100z = 2000 …………..(II)

7. De la ecuación (II): x + y + 19y + z + 99z = 2000
x + y + z + 19y + 99z = 2000
100 + 19y + 99z = 2000
Por tanto: 19x + 99z = 1900
(i) Hallamos el MCD por el algoritmo de Euclides:
5 4 1 3
99 19 4 1 3
4 3 1 0
Luego: d = 1 = (19; 99)
(ii) Comprobamos si la ecuación tiene soluciones enteras:
1 1900, tiene soluciones enteras.

8. Luego hallamos los valores de p y q:
5 4 1 3
0 1 5 21 26 99 5(99) –
26(19) = 1
1 0 1 4 5 19
Ordenando : 19(-26) + 99(5) = 1
p = -26 ; q = 5
(iii) Luego, hallamos una solución particular:
Yo = c.p/d Yo = 1900(-26)/1 Yo = -49 900
Zo = cq/d Zo = 9500
(iv) Solución general:
y = yo + kb/d y= -49 900 +99k
z = zo - ka/d z = 9500 – 19k, siendo k un numero entero
cualquiera.
(v) Finalmente, cuantos animales de cada clase adquirió, teniendo en
cuenta que adquirió animales de las 3 clases.
yo > 0, entonces -49900 +99k > 0, luego k > 498.9

9. Luego, z0 > 0 entonces: 9500 – 19k > 0 , luego: K< 500
498.9< k < 500, como “k” ϵ Z, se sigue que: k = 499
Luego: y = -49400 + 99(499)
y=1
Análogamente z = 19, en la ecuación (I)
x + y + z = 100
x + 1 + 19, entonces: x = 80.
Respuesta: compro: 80 ovejas; 01 caballo y 19 terneras.

10. Problema 4. Un comerciante de frutas gasta s/. 4000.00
comprando 156 cajones de frutas entre, bananas, mangos y
papayas. Si las bananas los compro a S/15.00; a S/. 20.00 los
mangos y a S/ 40.00 las papayas, se sabe que ha adquirido los 3
tipos de frutas, ¿Cuántos cajones de frutas de cada clase compro?
Procedimiento:
Sea: Sea x : Numero de cajones de bananas
y : Numero de cajones de mangos
z : Numero de cajones de papayas.
De acuerdo al enunciado, tenemos el siguiente sistema de
ecuaciones:
x + y + z = 156……………………(I)
15x + 20y + 40z = 4000 si ( : 5)
3x +4y + 8z = 800 …………..(II)

11. De la ecuación (II): x + 2x + y + 3y + z + 7z = 800
x + y + z + 2x + 3y + 7z = 800
156 + 2x + 3y + 7z = 800
…
Por tanto: 1.x + 5z = 332 ……………
(III)
(i) Hallamos el MCD : de 1 y 5
Luego: d = 1 = (1 ; 5)
(ii) Comprobamos si la ecuación tiene soluciones enteras:
1 132, es cierto, luego tiene soluciones enteras.
Luego hallamos “p” y “q” por el teorema de Bezout – Bachet, donde
1 puede expresarse como combinación lineal de a/d y b/d
entonces existe: p, q que pertenecen al conjunto de los números
enteros.
MCD(a,b) = (a/d) .p + (b/d).q
Luego: 1 = 1(p)/1 +5(q)/1
Ordenando: 1(p) + 5(q) = 1, donde 1(-9) + 5(2) = 1, luego
p= -9 y
q= 2

12. (iii) Luego, hallamos una solución particular:
Yo = c.p/d Yo = 332(-9)/1 Yo = - 2988
Zo = cq/d Zo = 332(2)/1 Zo = 664
(iv) Solución general:
y = yo + kb/d y= - 2988 + 5k
z = zo - ka/d z = 664 – k, siendo k un numero entero
cualquiera.
(v) Finalmente, cuantos cajones de frutas de cada clase compro,
teniendo en cuenta que adquirió frutas de las 3 clases.
yo > 0, entonces -2988 + 5k > 0, luego k > 597,6
Luego, z0 > 0 entonces: 664 – k > 0 , luego: K< 664
597,6< k < 664, y como “k” es un numero entero, se sigue que:
k = 598
Luego: y = -2988 + 5(598)
y=2

13. Análogamente z = 664 - 598, z = 66 luego, en la ecuación (I)
x + y + z = 156
x + 2 + 66 156, entonces: x = 88.
Respuesta: compro: 88 cajones de bananas; 02 cajones de mangos y
66 cajones de papayas.

14. Muchas Gracias