Ángulos De Euler

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Breve introducción a los ángulos y rotaciones de Euler.

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Ángulos De Euler

  1. 1. Ángulos de Euler Ángel M. Carreras MATH 5800 Tópicos en Álgebra Abstracta Prof. Álvaro Lecompte
  2. 2. Rotaciones de Euler • Precesión – Cambio de la dirección del eje alrededor del cual gira un objeto. • Nutación – Movimiento en el eje de rotación. • Rotación – Movimiento en el cual dado un punto cualquiera en un objeto este permanece equidistante a un punto fijo.
  3. 3. Ángulos de Euler • Teorema de rotación de Euler – Cualquier rotación puede ser descrita utilizando tres ángulos. • Si las rotaciones son escritas en términos de matrices de rotación D, C y B, entonces una rotación general A puede ser escrita como A = BCD • Los tres ángulos que dan las matrices de rotación son llamados ángulos de Euler.
  4. 4. • Los ángulos de Euler constituyen un conjunto de tres coordenadas angulares que sirven para especificar la orientación de un sistema de referencia de ejes ortogonales, normalmente móvil, respecto a otro sistema de referencia de ejes ortogonales normalmente fijos.
  5. 5. Ángulos de Euler • Las rotaciones dadas por los ángulos de Euler (, , ), son: 1. La primera rotación es por un ángulo  a través del eje de z utilizando D. 2. La segunda rotación es por un ángulo   [0, π] sobre el que era originalmente el eje de x utilizando C. 3. La tercera rotación es por un ángulo  sobre el que era originalmente el eje de z utilizando B.
  6. 6. Ángulos de Euler • Los componentes de rotación están dados por: cos   sin  0 1 0 0  D   sin  cos   0  , C  0 cos     sin     0  0 1 0 sin   cos    cos   sin  0 B   sin  cos   0   0  0 1  Mathematica
  7. 7. Ángulos de Euler Así que ahora podemos encontrar a A = BCD a11 = cos(f) cos(j) - cos(q) sin(f) sin(j) a12 = -cos(j) sin(f) - cos(q) cos(f) sin(j) a13 = sin(q) sin(j) a21 = cos(q) cos(j) sin(f) + cos(f) sin(j) a22 = cos(q) cos(f) cos(j) - sin(f) sin(j) a23 = -cos(j) sin(q) a31 = sin(q) sin(f) a32 = cos(f) sin(q) a33 = cos(q)
  8. 8. Ángulos de Euler • ¿Cómo descomponer la matriz de rotaciones A para encontrar los ángulos de Euler?  a31    arctan    a32   a    arctan  13    a23    arctan  a33  Esto se puede hacer solamente si sabemos como están definidos ,  y .
  9. 9. Aplicaciones • Euler Angles for Space Shuttle

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