ejercicios de transformadas de laplace

1. Análisis Sistemas y Señales
Grupo 4
Profesora : Elizabeth Fonseca Chávez
Integrantes :
García Jurado Stevenel Luis
Chávez Sandoval Gerardo
Aguilar Olín Joaquín
TRANSFORMADA INVERSA
DE LAPLACE
Sacar la transformada inversa de Laplace para las siguientes funciones :
Exposiciones en clase
1. ܺ ሺ‫ݏ‬ሻ =
ଶ௦మ ା ଵଶ௦ ା ଶ଴
௦య ା ଺௦ ାଵ଴௦ ା଼

2. ‫ݔ‬ሺ‫ݐ‬ሻ = 8݁ ିସ௧ + 2݁ ି௧ cosሺ‫ݐ‬ሻ + 22 ‫݊݁ݏ‬ሺ‫ݐ‬ሻ

3. 2
→ Sigue abajo

4. → Continuación
3.

5. 4.
5.

7. 6.

8. 7.
8.
‫ ݏ‬ଶ + 2‫61 + ݏ‬
ܺሺ‫ݏ‬ሻ = ଷ
‫ ݏ4 + ݏ‬ଶ + 8‫ݏ‬
=
௦మ ା ଶ௦ାଵ଺
௦ሺ௦మ ାସ௦ା଼ሻ
Desarrollando como fracciones parciales
‫ܣ‬ ‫ܿ + ݏܤ‬
= + ଶ
‫8 + ݏ4 + ݏ ݏ‬
Al resolver los Sis. de ecuaciones tenemos que :
A= 2 , B=-1, C=-6
Al aplicar las formulas de transformada de Laplace nos da como resultado
‫ݔ‬ሺ‫ݐ‬ሻ = 2 − ݁ ିଶ௧ cosሺ2‫ݐ‬ሻ − 2 ݁ ିଶ௧ ‫݊݁ݏ‬ሺ2‫ݐ‬ሻ

9. 9.

10. 10.

11. 11.
3‫ ݏ‬ଶ + 4‫1 + ݏ‬
ܺሺ‫ݏ‬ሻ = ଷ
‫ ݏ2 + ݏ‬ଶ + ‫2 + ݏ‬
Al desarrollar la expresión con fracciones parciales queda :
3‫ ݏ‬ଶ + 4‫1 + ݏ‬ ‫ܣ‬ ‫ܥ + ݏܤ‬
= + ଶ
ሺ‫ݏ‬ ଶ + 1ሻሺ‫2 + ݏ‬ሻ ‫1+ ݏ 2+ݏ‬
Donde A= 1 , C=0 , B=2
+
ଵ ଶ௦
௦ାଶ ௦ మ ାଵ
X(s) =
Al aplicar las formulas de transformadas de Laplace nos queda :
x(t) = ݁ ଶ௧ + 2 cosሺ‫ݐ‬ሻ
12.
‫ ݏ‬ଶ + 4‫1 + ݏ‬
ܺሺ‫ݏ‬ሻ = ଷ
‫ ݏ3 + ݏ‬ଶ + 3‫2 + ݏ‬
Las raíces de s son :
∓
ିଵ √ଷ ௜
ଶ ଶ
S=-2 , S23=
‫ ݏ‬ଶ + 4‫1 + ݏ‬ ‫ܣ‬ ‫ܥ + ݏܤ‬
= + ଶ
‫ ݏ‬ଷ + 3‫ ݏ‬ଶ + 3‫2 + ݏ‬ ‫1+ݏ+ ݏ 2+ݏ‬
Agrupando y resolviendo la ecuación nos dan los sig. Coeficientes :
A=-2 , B=4 ,C=3
ିଵ௧ 3 ିଵ௧ 3
−3݁ ିଶ௧ + 4݁ ଶ cos ቆට4 ‫ݐ‬ቇ + 5݁ ଶ ‫݊݁ݏ‬ሺට4 ‫ݐ‬ሻ
‫ݔ‬ሺ‫ݐ‬ሻ = ଵ
3ଶ
4

12. 13.
‫1+ݏ‬
ܺሺ‫ݏ‬ሻ =
‫ ݏ‬ଶ + 5‫7 + ݏ‬
Sabiendo los valores de alfa y beta
ିହ √ଶ
ଶ ଷ
α= β= P= α+ βj
Sacamos los coeficientes C1 y C2
‫= 1ܥ‬ + y ‫= 2ܥ‬ +
ିଷ ଵ ଷ ଵ
ଶ√ଷ௝ ଶ ଶ√ଷ௝ ଶ
Evaluando nos da lo mismo
3 1
+
2√3݆ 2
Ahora de la formula :
‫ݔ‬ሺ‫ݐ‬ሻ = 2|‫ ݁|1ܥ‬ఈ௧ cosሺߚ‫1ܥ ≮+ݐ‬ሻ + ‫ ݁3ܥ‬௉௧
Donde :
‫1ܥܽ݅ݎܽ݊݅݃ܽ݉ܫ‬
tanିଵ , ‫0 > 1ܥ ∗ ݈ܽ݁ݎ‬
≮ ‫ = 1ܥ‬൞ ‫1ܥ݈ܽ݁ݎ‬
‫1ܥܽ݅ݎܽ݊݅݃ܽ݉ܫ‬
180° + tanିଵ , ‫0 < 1ܥ ∗ ݈ܽ݁ݎ‬
‫1ܥ݈ܽ݁ݎ‬
Calculando ≮ ‫1ܥ‬
‫1ܥܽ݅ݎܽ݊݅݃ܽ݉ܫ‬
≮ ‫ + °081 = 1ܥ‬tanିଵ = 120°
‫1ܥ݈ܽ݁ݎ‬
Sustituyendo valores
ିହ௧ √3
‫ݔ‬ሺ‫ݐ‬ሻ = 2݁ ଶ cos ሺ ‫°021 + ݐ‬ሻ
2

13. Extras :
1. ܺሺ‫ݏ‬ሻ =
ଶ௦మ ିଽ௦ ିଷହ
௦మ ା ସ௦ ା ଶ
‫ݔ‬ሺ‫ݐ‬ሻ = ߜሺ‫ݐ‬ሻ − 10.27݁ ି଴.ହ଼଺௧ − 6.73݁ ିଷ.ସଵସ௧
2. ܺሺ‫ݏ‬ሻ =
ଷ௦మ ା ଶ௦ ାଵ
௦య ା ହ௦మ ା ଼௦ ା ସ

14. ‫ݔ‬ሺ‫ݐ‬ሻ = 2݁ ି௧ + ݁ ିଶ௧ − 9݁ ିଶ௧
A=2 , B=1 , C=-9
3. ܺ ሺ‫ݏ‬ሻ =
௦మ ା ଵ
௦ఱ ାଵ଼ ௦య ା ଼ଵ௦
Simplificando
‫ݏ‬ଶ + 1
‫ݏ‬ሺ‫ ݏ‬ସ + 18 ‫ ݏ‬ଶ + 81ሻ
Cambio de variable
m=s2
(m+9)(m+9)=0
1 1 2
‫ݔ‬ሺ‫ݐ‬ሻ = − cosሺ3‫ݐ‬ሻ + ‫ ݐ‬cosሺ3‫° 09 + ݐ‬ሻ
81 81 13.5
4. ܺሺ‫ݏ‬ሻ =
௦ା ௘ షೞ
௦మ ା ௦ାଵ

15. √3
‫ݔ‬ሺ‫ݐ‬ሻ = 1.1547[݁ ି଴.ହ௧ cos ቆ ‫03 + ݐ‬ቇ ‫ݑ‬ሺ‫ݐ‬ሻ
2
√3
+ ݁ ି଴.ହሺ௧ିଵሻ cos ሺ ሺ‫1 − ݐ‬ሻ − 90°ሻ‫ݑ‬ሺ‫1 − ݐ‬ሻ]
2
5. ‫ ܨ‬ሺ‫ݏ‬ሻ = +
௦ ௦௘ షೞ ା௘ షమೞ
௦ାଵ ௦మ ାଶ௦ାଵ
‫ݔ‬ሺ‫ݐ‬ሻ = ߜሺ‫ݐ‬ሻ − ݁ ି௧ + ሺ2 − ‫ݐ‬ሻ݁ ିሺ௧ିଵሻ ‫ݑ‬ሺ‫1 − ݐ‬ሻ +
ሺ‫2 − ݐ‬ሻ݁ ିሺ௧ିଶሻ ‫ݑ‬ሺ‫2 − ݐ‬ሻ