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Exercícios - Progressões: Aritmética e Geométrica
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Exercícios - Progressões: Aritmética e Geométrica
Resolução
por
Prof.: Rony Henrique Barros – PVS Cederj (PDC)
E-mail: rony.henrique@hotmail.com – Tel.: (21) 9274-0861
Pg 40
1) ܪ ൌ ܽଵ ܽଶ ܽଷ ڮ ൌ ܵ∞. Observe que os termos da sequência dada crescem em PG.
Por semelhança de triângulos, temos que
భ
ൌ
మ
֜
మ
భ
ൌ
ൌ .ݍ
ܪ ൌ
ܽ
1 െ
ܿ
ܾ
ൌ
ܾܽ
ܾ െ ܿ
2) ܣଵ ൌ 2
. ܤଵ
൜
ܣ௧ ൌ ሺ2ଶሻ௧ିଵ
. ܣଵ
ܤ௧ ൌ 6௧ିଵ
. ܤଵ
.
a) ܤଶ ൌ 6. ܤଵ ൌ 20 ܤଵ ֜ ܤଵ ൌ
ଶ
ହ
ൌ 4.
ܣଵ ൌ 2
. 4 ൌ 2
. 2ଶ
ൌ 2ଽ
ൌ 512.
b) ܣ௧ ൏ ܤ௧ ֜ 2ଶ௧ିଶ
. 2ଽ
൏ 6௧ିଵ
. 2ଶ
֜ 2ଶ௧ା
൏ 2௧ିଵ
. 3௧ିଵ
. 2ଶ
֜ 2ଶ௧ା
൏ 2௧ାଵ
. 3௧ିଵ
֜
ଶమశళ
ଶశభ ൏ 3௧ିଵ
֜
2௧ା
൏ 3௧ିଵ
֜ log 2௧ା
൏ log 3௧ିଵ
֜ ሺݐ 6ሻ. log 2 ൏ ሺݐ െ 1ሻ. log 3 ֜ ݐ 6 ൏ ሺݐ െ 1ሻ.
୪୭ଷ
୪୭ଶ
֜ ݐ
6 ൏ ሺݐ െ 1ሻ logଶ 3 ֜ ݐ 6 ൏ ሺݐ െ 1ሻ. 1,6 ֜ 7,6 ൏ 0,6ݐ ֜ ݐ
ൎ 13.
A partir 13/05/2005.
3) ሺ1,3,5,7, … ሻ
ܽଵ ൌ 1 ሺ10 െ 1ሻ. 2 ൌ 1 9.2 ൌ 19.
LETRA C
4) a) ܳ ൌ ሺ1,3,5, … ሻ
ݍହ ൌ 1 ሺ50 െ 1ሻ. 2 ൌ 1 49.2 ൌ 99.
b) Já possuímos a quantidade de termos da linha 50, agora basta encontrar o primeiro e o último termo desta
sequência.
Observando a sequência formada pela primeira coluna, temos:
ሺ1,2,3,4, … ሻ. Daí, ܽହ ൌ 1 49.1 ൌ 50.
Agora encontraremos o último termo da sequência da linha 50, assim: ܾଽଽ ൌ 50 ሺ99 െ 1ሻ. 1 ൌ 50 98 ൌ
148.
Portanto, ܵ ൌ
ሺହାଵସ଼ሻ.ଽଽ
ଶ
ൌ
ଵଽ଼.ଽଽ
ଶ
ൌ 99.99 ൌ 99ଶ
.
c) Calculemos em função de ݊ a quantidade de termos:
ݍ ൌ 1 ሺ݊ െ 1ሻ. 2 ൌ 1 2݊ െ 2 ൌ 2݊ െ 1
O primeiro termo da ݊ െ éܽ݉݅ݏ linha:
ܽ ൌ 1 ሺ݊ െ 1ሻ. 1 ൌ ݊
O último termo da ݊ െ éܽ݉݅ݏ linha:
ܾଶିଵ ൌ ݊ ሺ2݊ െ 1 െ 1ሻ. 1 ൌ ݊ ሺ2݊ െ 2ሻ. 1 ൌ ݊ 2݊ െ 2 ൌ 3݊ െ 2
Calculando finalmente a soma:
ܵ ൌ
ሺ݊ 3݊ െ 2ሻሺ2݊ െ 1ሻ
2
ൌ
ሺ4݊ െ 2ሻሺ2݊ െ 1ሻ
2
ൌ ሺ2݊ െ 1ሻሺ2݊ െ 1ሻ ൌ ሺ2݊ െ 1ሻଶ
- 4. 5)
Bolero Samba Fox
2 1 1
3 2 2
4 3 3
5 4 4
6 5 5
Soma 20 15 15
Total: 20 15 15 ൌ 20 30 ൌ 50.
LETRA B
6) 77 ൊ 4 ൌ 19 ܿ݉ ݐݏ݁ݎ 1. Logo ocorreram 19 aniversários.
7) Seja ܥܤ ൌ .ݔ
Observemos que ݔ ܦܥ ൌ 2, além disso,
ൌ
֞
ଶ
௫
ൌ
௫
֞ ݔଶ
ൌ 2.ܦܥ
ቄ
ݔ ܦܥ ൌ 2
ݔଶ
ൌ 2ܦܥ
֜ ݔଶ
ൌ 2ሺ2 െ ݔሻ ֞ ݔଶ
2ݔ െ 4 ൌ 0 ֜ ݔ ൌ
െ2 േ ඥ2ଶ െ 4.1. ሺെ4ሻ
2.1
ൌ
ିଶേ√ଶ
ଶ
ൌ
ିଶേଶ√ହ
ଶ
ൌฎ
௫வ
െ 1 √5.
ݍ ൌ
ൌ
௫
ଶ
ൌ
ିଵା√ହ
ଶ
.
ܵ∞ ൌ
ଶ
ଵି
షభశ√ఱ
మ
ൌ
ଶ
మశభష√ఱ
మ
ൌ
ସ
ଷି√ହ
.
ሺଷା√ହሻ
ሺଷା√ହሻ
ൌ
ସሺଷା√ହሻ
ଽିହ
ൌ 3 √5.
LETRA D
Pg 41.
8) 1 െ
ଵ
ଶ
ଵ
ସ
െ
ଵ
଼
ଵ
ଵ
…
Separemos em duas partes:
ܵ∞భ
ൌ 1
1
4
1
16
ڮ ൌ
1
1 െ
1
4
ൌ
1
3
4
ൌ
4
3
ܵ∞మ
ൌ െ
1
2
െ
1
8
െ
1
32
െ ڮ ൌ
െ 1
2ൗ
1 െ 1
4ൗ
ൌ
െ1
2
.
4
3
ൌ െ
2
3
݈ܶܽݐ ൌ ܵ∞భ
ܵ∞మ
ൌ
ସ
ଷ
െ
ଶ
ଷ
ൌ
ଶ
ଷ
.
LETRA B
9)ሺ,ݒ ,ܧ 1ሻ Usando o termo médio de uma PA, temos:
ܧ ൌ
ݒ 1
2
֜
݉ݒଶ
2
ൌ
ݒ 1
2
֜
1. ݒଶ
2
ൌ
ݒ 1
2
֜ ݒଶ
െ ݒ െ 1 ൌ 0
ݒ ൌ
1 ඥ1 െ 4.1. ሺെ1ሻ
2
ൌ
1 √5
2
ൌ ߶
LETRA B
10) ሺݐሻ ൌ 4,3. 10ଵ
. ሺ100% െ 16%ሻ௧ିଵ
ൌ 4,3. 10ଵ
. ሺ84%ሻ௧ିଵ
com ݐ 1. Assim,
ሺ1ሻ ൌ 4,3. 10ଵ
e ݍ ൌ
଼ସ
ଵ
ܵ∞ ൌ
4,3. 10ଵ
1 െ
84
100
ൌ
4,3. 10ଵ
16
100
ൌ
4,3. 10ଵ
. 10ଶ
16
ൌ
43. 10ଵ
16
؆ 2,7. 10ଵ
LETRA D
- 5. 11) O primeiro termo da décima linha é ݇ െ é݉݅ݏ 1 termo da sequência ሺ1,3,5, … ሻ, onde ݇ ൌ 1 2 3
ڮ 9 ൌ
ሺଵାଽሻ.ଽ
ଶ
ൌ 45.
ܽାଵ ൌ ܽସ ൌ 1 ሺ46 െ 1ሻ. 2 ൌ 1 90 ൌ 91
O último termo é: ܽହହ ൌ 1 54.2 ൌ 109.
ܵ ൌ
ሺ91 109ሻ. 10
2
ൌ 100.10 ൌ 1000
LETRA C
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