finite area method phd thesis

1. ˇ ˇ
SVEUCILISTE U ZAGREBU
FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE
METODA KONTROLNIH VOLUMENA
NA DOMENAMA PROMJENJIVOG OBLIKA
DOKTORSKI RAD
Mentor:
Doc.dr.sc. HRVOJE JASAK ˇ ´
ZELJKO TUKOVIC
ZAGREB, 2005

2. 2

3. Podaci za bibliografsku karticu
UDK: 532.5:519.6
Kljuˇne rijeˇi:
c c Metoda kontrolnih volumena, pomica-
nje mreˇe, metoda konaˇnih elemenata,
z c
metoda kontrolnih povrˇina, strujanje
s
viˇefaznog fluida, slobodna povrˇina,
s s
metoda pra´enja slobodne povrˇine,
c s
surfaktanti, mjehuri´.
c
Znanstveno podruˇje:
c Tehniˇke znanosti
c
Znanstveno polje: Strojarstvo
Institucija u kojoj je rad izraden: Fakultet strojarstva i brodogradnje,
Sveuˇiliˇte u Zagrebu
c s
Mentor rada: Doc.dr.sc. Hrvoje Jasak
Broj stranica: 243
Broj slika: 77
Broj tablica: 10
Broj koriˇtenih bibliografskih jedinica:
s 90
Datum obrane: 14. veljaˇe 2005. godine.
c
Povjerenstvo: Prof.dr.sc. Branimir Matijaˇevi´,
s c
Doc.dr.sc. Hrvoje Jasak,
Prof.dr.sc. Zdravko Virag,
Prof.dr.sc. Zoran Mrˇa,
s
Prof.dr.sc. Ismet Demirdˇi´
zc
Institucija u kojoj je rad pohranjen: Fakultet strojarstva i brodogradnje,
Sveuˇiliˇte u Zagrebu
c s

4. 4

5. Zahvala
ˇ
Zelio bih se zahvaliti svojem mentoru Doc.dr.sc. Hrvoju Jasaku na potpori i pomo´i
c
koju mi je nesebiˇno pruˇao tijekom izrade ovog rada. Takoder bih se ˇelio zahvaliti
c z z
Prof.dr.sc. Branimiru Matijaˇevi´u koji je omogu´io uvjete potrebne da se ovaj rad us-
s c c
pjeˇno privede kraju.
s
Zahvaljujem se Doc.dr.sc. Miroslavu Ruˇevljanu na pomo´i pruˇenoj tijekom urediva-
s c z
nja teksta ovog rada.

6. 6

7. Sadrˇaj
z
Sadrˇaj
z 7
Predgovor 13
Saˇetak rada
z 15
Abstract 17
Kljuˇne rijeˇi
c c 19
Key words 19
Popis oznaka 21
Popis slika 27
Popis tablica 33
1 Uvod 35
1.1 Motivacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.2 Pregled postoje´ih spoznaja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c 38
1.2.1 Metoda kontrolnih volumena na pomiˇnoj mreˇi . . . . . . .
c z 38
1.2.2 Pomicanje mreˇe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
z 41
1.2.3 Numeriˇko modeliranje strujanja viˇefaznog fluida
c s
sa slobodnom povrˇinom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
s 43
1.2.4 Metoda kontrolnih povrˇina . . . . . . . . . . . . . . . . . .
s 45
1.3 Hipoteza rada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

8. 8 Sadrˇaj
z
1.4 Pregled rada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2 Matematiˇki model
c 51
2.1 Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.2 Jednadˇbe mehanike kontinuuma za proizvoljni volumen . . . . . .
z 52
2.3 Uvjeti na granici izmedu dva fluida . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.4 Povrˇinska napetost i surfaktanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
s 58
2.5 Zakljuˇak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c 60
3 Diskretizacija metodom kontrolnih volumena 61
3.1 Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.2 Diskretizacija domene rjeˇavanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
s 62
3.3 Diskretizacija transportne jednadˇbe . . . . . . . . . . . . . . . . .
z 68
3.3.1 Diskretizacija prostornih integrala . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.3.2 Vremenska diskretizacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.3.3 Utjecaj pomicanja mreˇe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
z 77
3.3.4 Primjena graniˇnih uvjeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c 80
3.4 Sustav linearnih algebarskih jednadˇbi . . . . . . . . . . . . . . . .
z 82
3.5 Postupak rjeˇavanja na paralelnim raˇunalima . . . . . . . . . . . .
s c 85
3.6 Zakljuˇak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c 88
4 Automatsko pomicanje mreˇe
z 89
4.1 Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.2 Definicija problema pomicanja mreˇe . . . . . . . . . . . . . . . . .
z 90
4.3 Pregled matematiˇkih modela pomaka mreˇe . . . . . . . . . . . . .
c z 93
4.3.1 Analogija tlaˇno – vlaˇnih opruga . . . . . . . . . . . . . . .
c c 94
4.3.2 Analogija torzijskih opruga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.3.3 Jednadˇba ravnoteˇe elastiˇnog tijela . . . . . . . . . . . . .
z z c 100
4.3.4 Laplaceova jednadˇba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
z 102
4.3.5 Biharmoniˇka jednadˇba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c z 103
4.4 Nova automatska metoda pomicanja mreˇe . . . . . . . . . . . . . .
z 104
4.4.1 Odabir jednadˇbe pomaka mreˇe . . . . . . . . . . . . . . .
z z 104

9. Sadrˇaj
z 9
4.4.2 Prostorno promjenjivi koeficijent difuzije u Laplaceovoj jednadˇbi
z
pomaka mreˇe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
z 107
4.4.3 Diskretizacija jednadˇbe pomaka mreˇe . . . . . . . . . . . .
z z 108
4.4.3.1 Kompozitni poliedarski konaˇni element . . . . . .
c 109
4.4.3.2 Diskretizacija Laplaceove jednadˇbe . . . . . . . .
z 111
4.4.3.3 Diskretizacija jednadˇbe ravnoteˇe elastiˇnog tijela
z z c 116
4.4.3.4 Sastavljanje globalnog sustava jednadˇbi . . . . . .
z 117
4.4.3.5 Primjena graniˇnih uvjeta . . . . . . . . . . . . . .
c 118
4.4.4 Postupak rjeˇavanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
s 120
4.4.5 Postupak rjeˇavanja na paralelnim raˇunalima . . . . . . . .
s c 121
4.5 Testiranje predloˇene metode pomicanja mreˇe . . . . . . . . . . . .
z z 122
4.5.1 Usporedba Laplaceove jednadˇbe pomaka s
z
jednadˇbom ravnoteˇe elastiˇnog tijela . . . . . . . . . . . .
z z c 122
4.5.2 Usporedba postupaka automatskog rasˇlanjivanja
c
poliedarskog kontrolnog volumena . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.5.3 Testiranje uˇinkovitosti minimizacije distorzije mreˇe primjenom
c z
promjenjivog koeficijenta difuzije . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.6 Zakljuˇak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c 135
5 Metoda kontrolnih povrˇina
s 137
5.1 Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
5.2 Diskretizacija prostorne domene rjeˇavanja . . . . . . . . . . . . . .
s 138
5.3 Diskretizacija transportne jednadˇbe . . . . . . . . . . . . . . . . .
z 140
5.3.1 Diskretizacija prostornih integrala . . . . . . . . . . . . . . . 142
5.3.2 Vremenska diskretizacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
5.3.3 Primjena graniˇnih uvjeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c 147
5.3.4 Sustav linearnih algebarskih jednadˇbi . . . . . . . . . . . .
z 148
5.4 Provjera numeriˇkog modela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c 149
5.4.1 Difuzijski transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
5.4.2 Konvekcijsko-difuzijski transport . . . . . . . . . . . . . . . 151
5.4.3 Nestacionarni konvekcijsko-difuzijski transport . . . . . . . . 154
5.5 Zakljuˇak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c 156

10. 10 Sadrˇaj
z
6 Numeriˇko modeliranje strujanja fluida sa slobodnom povrˇinom
c s 157
6.1 Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
6.2 Diskretizacija sustava Navier-Stokesovih jednadˇbi na pomiˇnoj mreˇi
z c z 158
6.2.1 Izvod jednadˇbe tlaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
z 159
6.2.2 Graniˇni uvjeti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c 161
6.2.3 Postupak rjeˇavanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
s 163
6.3 Metoda pra´enja slobodne povrˇine . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c s 164
6.3.1 Uvodenje modificiranog tlaka . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
6.3.2 Primjena graniˇnih uvjeta na slobodnoj povrˇini . . . . . . .
c s 166
6.3.3 Pomicanje ˇvorova slobodne povrˇine . . . . . . . . . . . . .
c s 168
6.3.3.1 Oˇuvanje glatko´e slobodne povrˇine . . . . . . . .
c c s 171
6.3.3.2 Analiza toˇnosti i stabilnosti . . . . . . . . . . . . .
c 172
6.3.4 Primjena povrˇinske napetosti . . . . . . . . . . . . . . . . .
s 173
6.3.4.1 Raˇunanje normale u ˇvorovima slobodne povrˇine
c c s 176
6.3.4.2 Toˇnost raˇunanja povrˇinskih sila . . . . . . . . .
c c s 176
6.3.5 Postupak rjeˇavanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
s 179
6.3.6 Odrˇanje volumena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
z 180
6.4 Numeriˇko modeliranje mjehuri´a . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c c 181
6.5 Zakljuˇak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c 184
7 Rezultati 185
7.1 Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
7.2 Strujanje neviskoznog fluida preko 2-D rampe . . . . . . . . . . . . 186
7.3 Oscilacija slobodne povrˇine u 2-D spremniku . . . . . . . . . . . .
s 188
7.3.1 Neviskozni fluid pod djelovanjem gravitacijske sile . . . . . . 190
7.3.2 Viskozni fluid pod djelovanjem gravitacijske sile . . . . . . . 191
7.3.3 Viskozni fluid pod djelovanjem povrˇinske napetosti . . . . .
s 195
7.4 Podizanje mjehuri´a u miruju´oj teku´ini . . . . . . . . . . . . . . .
c c c 196
7.4.1 2-D mjehuri´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c 198
7.4.2 3-D mjehuri´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c 201
7.5 Zakljuˇak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c 211

11. Sadrˇaj
z 11
8 Zakljuˇak
c 213
8.1 Originalni znanstveni doprinos rada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
8.2 Budu´i rad
c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
A Reynoldsov transportni teorem 219
B Gaussov integralni teorem za zakrivljenu povrˇinu
s 221
C Reynoldsov transportni teorem za deformabilnu povrˇinu
s 223
D Normalno devijatorsko naprezanje na slobodnoj povrˇini
s 225
E Analitiˇko rjeˇenje za osnosimetriˇni konvekcijsko–difuzijski trans-
c s c
port na povrˇini sfere
s 227
Bibliografija 231
ˇ
Zivotopis 241
Biography 243

12. 12 Sadrˇaj
z

13. Predgovor
Jedan od razloga popularnosti metode kontrolnih volumena u inˇenjerskim primjenama
z
je mogu´nost koriˇtenja nestrukturiranih mreˇa sastavljenih od proizvoljnih poliedarskih
c s z
kontrolnih volumena. Takve proizvoljne nestrukturirane mreˇe u znaˇajnoj mjeri olak-
z c
ˇavaju diskretizaciju geometrijski kompliciranih prostornih domena, koje su vrlo ˇeste u
s c
inˇenjerskoj praksi.
z
Primjena metode kontrolnih volumena pri numeriˇkom modeliranju problema mehani-
c
ke kontinuuma kod kojih se oblik prostorne domene mijenja s vremenom uglavnom ovisi o
postupku obnove raˇunske mreˇe tijekom nestacionarne simulacije. Iako se problemu ob-
c z
nove mreˇe moˇe pristupiti na viˇe naˇina, ve´ina pristupa temelji se na primjeni pomiˇne
z z s c c c
odnosno deformabilne mreˇe. U takvim se pristupima mreˇa prilagodava promjenjivom
z z
obliku prostorne domene pomicanjem svojih unutraˇnjih ˇvorova, pri ˇemu se zadrˇava ne-
s c c z
promijenjena topologija mreˇe. Kombinacija metode kontrolnih volumena i automatskog
z
pomicanja mreˇe omogu´uje numeriˇko modeliranje problema s promjenjivom prostornom
z c c
domenom kod kojih je zakon promjene oblika prostorne domene sastavni dio rjeˇenja. U
s
ovu skupinu problema spadaju npr. strujanje viˇefaznog fluida sa slobodnom povrˇinom
s s
i medudjelovanje izmedu fluida i elastiˇnog tijela.
c
Strujanje fluida koji sadrˇi mjehuri´e ima vaˇnu ulogu u ˇirokom podruˇju industrij-
z c z s c
skih procesa, na primjer kod transporta ulja, mjeˇanja u kemijskim reaktorima, hladenja
s
nuklearnih reaktora, u izmjenjivaˇima topline s dvofaznim medijima itd. Metode koje se
c
danas koriste za numeriˇko modeliranje ovakvih procesa uglavnom su ograniˇene toˇnoˇ´u
c c c sc
matematiˇkih modela koji definiraju razmjenu koliˇine gibanja izmedu mjehuri´a i kon-
c c c
tinuirane faze. Ograniˇena toˇnost ovih matematiˇkih modela posljedica je teˇko´e mje-
c c c s c
renja odnosno nedostatka eksperimentalnih podataka potrebnih za definiranje modela.
Problem se dodatno komplicira kada se na slobodnoj povrˇini nalaze molekule surfak-
s
tanta, koje modificiraju povrˇinsku napetost i na taj naˇin utjeˇu na oblik i stabilnost
s c c
slobodne povrˇine. Definiranje takvog numeriˇkog postupka koji bi dozvoljavao numeriˇko
s c c
modeliranje dvofaznog fluida sa slobodnom povrˇinom primjenom metode kontrolnih vo-
s
lumena i pomiˇne mreˇe omogu´ilo bi direktnu numeriˇku simulacija mjehur´a plina u
c z c c c
teku´ini. Definiranje metode kontrolnih povrˇina za diskretizaciju povrˇinske transportne
c s s
jednadˇbe na deformabilnoj povrˇinskoj mreˇi omogu´ilo bi analizu uˇinka surfaktanata
z s z c c
na strujanje viˇefaznog fluida sa slobodnom povrˇinom. Rezultati direktne numeriˇke
s s c
simulacije znatno bi pridonijeli pove´anju toˇnosti matematiˇkih modela koji definiraju
c c c
medudjelovanje mjehuri´a i kontinuirane faze.
c

14. 14

15. Saˇetak rada
z
U podruˇju inˇenjerskog interesa postoji niz fizikalnih procesa koji se odvijaju u pro-
c z
storu ˇija se granica mijenja u vremenu. U ovom je radu definirana metodologija koja
c
omogu´ava numeriˇko modeliranje takvih procesa primjenom metode kontrolnih volu-
c c
mena i pomiˇne raˇunske mreˇe.
c c z
Oˇuvanje valjanosti i kvalitete raˇunske mreˇe tijekom simulacije osnovna je poteˇko´a
c c z s c
koja se javlja pri numeriˇkom modeliranju problema mehanike kontinuuma kod kojih se
c
prostorna domena mijenja u vremenu. U ovom je radu za obnovu mreˇe odabrano pomica-
z
nje mreˇe, gdje se mreˇa prilagodava promjenjivom obliku prostorne domene pomicanjem
z z
unutraˇnjih ˇvorova bez promjene topologije mreˇe. Definirana je automatska metoda
s c z
pomicanja mreˇe, koja podrˇava nestrukturiranu mreˇu sastavljenu od proizvoljnih po-
z z z
liedarskih kontrolnih volumena. Metoda daje pomake unutraˇnjih ˇvorova mreˇe na
s c z
temelju zadanih pomaka graniˇnih ˇvorova, bez potrebe za intervencijom korisnika. Za
c c
jednadˇbu koja definira pomake ˇvorova mreˇe odabrana je Laplaceova jednadˇba s pro-
z c z z
mjenjivim koeficijentom difuzije. Definirane su dvije zakonitosti promjene koeficijenta
difuzije, s ciljem minimizacije distorzije kontrolnih volumena u mreˇi. Jednadˇba pomaka
z z
je diskretizirana primjenom metode konaˇnih elemenata na kompozitnom poliedarskom
c
konaˇnom elementu. Predloˇeni postupak pomicanja mreˇe testiran je na nekoliko 2-D i
c z z
3-D primjera.
Strujanje viˇefaznog fluida sa slobodnom povrˇinom moˇe se definirati kao problem s
s s z
promjenjivom prostornom domenom tako, da se pojedine faze fluida promatraju kao sub-
domene globalne domene. Na subdomenama se definiraju odvojene mreˇe koje se dotiˇu
z c
na slobodnoj povrˇini. U sklopu rada definiran je postupak pra´enja slobodne povrˇine
s c s
koji objedinjuje postupak rjeˇavanja strujanja primjenom metode kontrolnih volumena na
s
pomiˇnoj mreˇi, te postupak pomicanja mreˇe primjenom metode konaˇnih elemenata.
c z z c
Primjena dinamiˇkog uvjeta na slobodnoj povrˇini ukljuˇuje utjecaj viskoznosti fluida
c s c
i promjenjive povrˇinske napetosti. Jedan od razloga nastanka promjenjive povrˇinske
s s
napetosti je u neravnomjernoj raspodjeli surfaktanata na slobodnoj povrˇini. Da bi se
s
mogla provesti numeriˇka analiza utjecaja surfaktanata razvijena je i primijenjena metoda
c
kontrolnih povrˇina, koja omogu´ava diskretizaciju povrˇinske transportne jednadˇbe na
s c s z
pomiˇnoj nestrukturiranoj povrˇinskoj mreˇi. Na kraju je postupak pra´enja slobodne
c s z c
povrˇine primijenjen za direktnu numeriˇku simulaciju podizanja mjehuri´a zraka u vodi.
s c c
Uz ˇistu povrˇinu mjehuri´a, promatran je i sluˇaj u kojem je povrˇina mjehuri´a na
c s c c s c
poˇetku simulacije prekrivena jednoliko raspodijeljenim molekulama netopivog surfak-
c
tanta.

16. 16

17. Abstract
In the range of engineering interest there exists a number of physical phenomena where the
shape of the computational domain changes in time. This Thesis describes a methodology
which allows numerical modelling of this kind of the phenomena using the Finite Volume
Method (FVM) and moving computational mesh.
The main difficulty which occurs during numerical modelling of continuum mechanics
problems with variable spatial domain is maintaining the mesh validity and quality. The
mesh update approach chosen in this study is mesh motion, where mesh is adjusting to
the variable shape of the spatial domain by moving the internal nodes of the mesh, while
keeping the mesh topology unchanged. An automatic mesh motion method is introduced
to support simulations on an unstructured mesh consisting of arbitrary polyhedral cells
in 3-D. The method provides displacement of the mesh internal nodes based on the
prescribed displacement of the boundary nodes with minimal user intervention. Mesh
motion is governed by the Laplace equation with variable diffusion coefficient. In order
to minimise mesh distortion, two set of rules are proposed which define variable diffusion
coefficient. Mesh motion equation is discretised using the Finite Element Method (FEM)
using composite polyhedral finite elements. Proposed mesh motion procedure is tested
on several 2-D and 3-D test cases.
Multiphase fluid flow with free surface can be defined as a problem with variable
spatial domain, where fluid phases are considered as a separate sub-domains of a global
spatial domain. On the sub-domains one defines separate computational meshes which
are in contact on the free surface. As a part of this study a free surface tracking procedure
is defined, consisting of the fluid flow solution using the FVM on moving mesh and mesh
motion procedure based on the FEM. Implementation of the dynamic condition on the free
surface includes effects of fluid viscosity and variable surface tension. The variable surface
tension can occur due to non-homogenous distribution of surfactant on a free surface.
In order to allow the numerical analysis of surfactant effects, a Finite Area Method is
developed for the discretisation of surface transport equation on the moving unstructured
surface mesh. Finally, the free surface tracking procedure is used for numerical modelling
of free-rising air bubble in still water. Along with the case where bubble surface is clean,
the case where bubble surface is covered with molecules of an insoluble surfactant is also
considered.

18. 18

19. Kljuˇne rijeˇi
c c
Metoda kontrolnih volumena, pomicanje mreˇe, metoda konaˇnih elemenata, metoda
z c
kontrolnih povrˇina, strujanje viˇefaznog fluida, slobodna povrˇina, metoda pra´enja slo-
s s s c
bodne povrˇine, surfaktanti, mjehuri´.
s c
Key words
Finite volume method, mesh motion, finite element method, finite area method, multi-
phase fluid flow, free surface, free surface tracking method, surfactants, bubble.

20. 20

21. Popis oznaka
Latiniˇni znakovi
c
Oznaka Opis Jedinica
aP Dijagonalni koeficijent za ´eliju
c
aN Koeficijent koji odgovara susjednoj ´eliji
c
ai Dijagonalni koeficijent za ˇvor
c
anb Koeficijent koji odgovara susjednom ˇvoru
c
[A] Matrica sustava linearnih algebarskih jednadˇbi
z
aF Ubrzanje ishodiˇta neinercijalnog koordinatnog sustava
s m/s2
b Brzina toˇaka proizvoljne povrˇine na slobodnoj povrˇini
c s s m/s
CD Koeficijent uzgona 1
CL Koeficijent otpora 1
df Vektor izmedu P i N m
db Vektor izmedu teˇiˇta ´elije i teˇiˇta graniˇne stranice
zs c zs c m
dn Vektor izmedu teˇiˇta ´elije i graniˇne stranice
zs c c m
dm Vektor izmedu teˇiˇta kontrolne povrˇine i graniˇnog brida
zs s c m
de Vektor izmedu teˇiˇta dvije susjedne kontrolne povrˇine
zs s m
e Vektor izmedu dva susjedna ˇvora mreˇe
c z m
e Totalna specifiˇna energija
c J/kg
ex Interpolacijski faktor za brid kontrolne povrˇine
s 1
fx Interpolacijski faktor za stranicu ´elije
c 1
fAi Smjer pomicanja ˇvorova slobodne povrˇine
c s 1
fAc Smjer pomicanja kontrolnih toˇaka slobodne povrˇine
c s 1
FD Sila otpora N

22. 22 Popis oznaka
Oznaka Opis Jedinica
FL Sila uzgona N
Fr Froudeov broj 1
g Gravitacijsko ubrzanje m/s2
I Jediniˇni tenzor drugog reda
c 1
kf Neortogonalni dio jediniˇne normale na stranicu ´elije
c c 1
ke Neortogonalni dio jediniˇne binormale na brid kontrolne
c 1
povrˇine
s
L Duljina luka m
Le Duljina brida kontrolne povrˇine
s m
LP N Geodetska udaljenost izmedu teˇiˇta susjednih kontrolnih po-
zs m
vrˇina
s
m Jediniˇni vektor vanjske binormale
c 1
me Jediniˇni vektor vanjske binormale na bridu kontrolne povr-
c 1
ˇine
s
mf
˙ Apsolutni maseni tok fluida kroz stranicu ´elije
c kg/s
Ni Funkcija oblika 1
Nt Broj trokuta koji ˇine poligonalnu stranicu ´elije
c c 1
Nτ Broj tetraedara koji ˇine poliedarsku ´eliju
c c 1
n Jediniˇni vektor vanjske normale
c 1
nf Jediniˇni vektor vanjske normale za stranicu ´elije
c c 1
nt Jediniˇni vektor vanjske normale trokuta
c 1
ni Jediniˇni vektor normale u ˇvoru kontrolne povrˇine
c c s 1
nP Jediniˇni vektor normale u teˇiˇtu kontrolne povrˇine
c zs s 1
ne Jediniˇni vektor normale na bridu kontrolne povrˇine
c s 1
Pe Pecletov broj 1
p Tlak N/m2
pm Modificirani tlak N/m2
q Toplinski tok W/m2
qφ Povrˇinski izvor/ponor svojstva φ
s
qΦ Difuzijski tok surfaktanta uzduˇ slobodne povrˇine
z s mol/(m s)

23. Popis oznaka 23
Oznaka Opis Jedinica
Q Volumni izvor energije W/kg
Re Reynoldsov broj 1
r Vektor poloˇaja
z m
rP Vektor poloˇaja teˇiˇta ´elije
z zs c m
rf Vektor poloˇaja teˇiˇta stranice ´elije
z zs c m
rt Vektor poloˇaja teˇiˇta trokuta
z zs m
ri Vektor poloˇaja ˇvora i kontrolne povrˇine
z c s m
ili desna strana diskretizirane jednadˇbe pomaka za ˇvor i
z c
rτ Vektor poloˇaja teˇiˇta tetraedra
z zs m
rF Vektor poloˇaja ishodiˇta neinercijalnog koordinatnog sustava
z s m
R Op´a plinska konstanta
c J/(mol K)
rP Desna strana diskretizirane transportne jednadˇbe za ´eliju
z c
rb Ekvivalentni polumjer mjehuri´a
c
rc Vektor poloˇaja teˇiˇta mjehuri´a
z zs c
{r} Desna strana sustava linearnih algebarskih jednadˇbi
z
s Specifiˇna entropija
c J/(kg K)
S Povrˇina
s m2
SM Materijalna povrˇina
s m2
Sf Povrˇina stranice ´elije
s c m2
St Povrˇina trokuta
s m2
Sτ
i Vektor povrˇine stranice tetraedra
s m2
sφ Volumenski izvor/ponor svojstva φ
sψ Povrˇinski izvor/ponor svojstva ψ
s
su Konstantni dio izvornog ˇlana
c
sp Linearni dio izvornog ˇlana
c
sΦ Povrˇinski izvor/ponor surfaktanta na slobodnoj povrˇini
s s mol/(s m2 )
se
˙ Povrˇinski tok ˇestica materijalne povrˇine kroz brid kontrolne
s c s m2 /s
povrˇine
s
t Vrijeme s
T Temperatura K

24. 24 Popis oznaka
Oznaka Opis Jedinica
u Pomak m
U Gusto´a energije deformacije
c N/m2
Ud Gusto´a distorzijske energije deformacije
c N/m2
vb Brzina gibanja teˇiˇta mjehuri´a
zs c m/s
V Volumen m3
VM Materijalni volumen m3
VP Volumen ´elije
c m3
Vτ Volumen tetraedra m3
v Brzina gibanja kontinuuma m/s
vs Brzina toˇaka proizvoljne povrˇine S
c s m/s
vF Brzina ishodiˇta neinercijalnog koordinatnog sustava
s m/s
˙
Vf Volumni tok stranice ´elije
c m3 /s
wi Teˇinska funkcija
z 1
Grˇki znakovi
c
Oznaka Opis Jedinica
αij Krutost tlaˇno – vlaˇne opruge
c c N/m
αφ Podrelaksacijski faktor 1
αe Kut neortogonalnosti brida kontrolne povrˇine
s rad
αf Kut neortogonalnosti stranice ´elije
c rad
γf Faktor kombinacije u kombiniranoj shemi diskretizacije 1
γ Koeficijent difuzije u Laplaceovoj jednadˇbi pomaka mreˇe
z z 1
Γφ Koeficijent difuzije za svojstvo φ
Γψ Koeficijent difuzije za povrˇinsko svojstvo ψ
s
ΓΦ Koeficijent difuzije za surfaktant na slobodnoj povrˇini
s 1/s
∆f Ortogonalni dio jediniˇne normale na stranicu ´elije
c c 1
∆e Ortogonalni dio jediniˇne binormale na brid kontrolne povrˇine
c s 1
δVf Volumen koji stranica ´elije obuhvati na putu od starog do novog
c m3
poloˇaja
z

25. Popis oznaka 25
Oznaka Opis Jedinica
ε Tenzor deformacije 1
κ Dvostruka srednja zakrivljenost 1
λ Lam´ov koeficijent
e N/m2
µ Dinamiˇka viskoznost fluida
c Ns/m2
ili Lam´ov koeficijent
e N/m2
ν Poissonov faktor 1
ρ Gusto´a
c kg/m3
σ Tenzor naprezanja N/m2
σ Povrˇinska napetost
s N/m
σ0 Povrˇinska napetost za ˇistu slobodnu povrˇinu
s c s N/m
τ Devijatorski dio tenzora naprezanja N/m2
φ Op´enito intenzivno fizikalno svojstvo
c
{φ} Vektor nepoznanica za diskretiziranu transportnu jednadˇbu
z
Φ Koncentracija surfaktanta na slobodnoj povrˇini
s mol/m2
Φ∞ Koncentracija zasi´enja surfaktanta na slobodnoj povrˇini
c s mol/m2
ψ Op´enito povrˇinsko fizikalno svojstvo
c s
Gornji indeksi
Oznaka Opis
φoo Vrijednost varijable se odnosi na vremenski trenutak prije starog
φo Vrijednost varijable se odnosi na stari vremenski trenutak
φn Vrijednost varijable se odnosi na novi vremenski trenutak
φe Vrijednost varijable se odnosi na konaˇni element
c
φτ Vrijednost varijable se odnosi na tetraedar
Donji indeksi
Oznaka Opis
vn Normalna komponenta vektora

26. 26 Popis oznaka
Oznaka Opis
vt Tangencijalna komponenta vektora
φf Vrijednost na stranici ´elije
c
ψe Vrijednost na bridu kontrolne povrˇine
s
φb Vrijednost na graniˇnoj stranici ´elije ili na graniˇnom bridu kontrolne
c c c
povrˇine
s
φτ Vrijednost se odnosi na tetraedar
ρA = ρ 1 Svojstvo fluida na strani A (1) slobodne povrˇine
s
ρB = ρ 2 Svojstvo fluida na strani B (2) slobodne povrˇine
s
vAf Vrijednost koja se odnosi na graniˇnu stranicu koja se nalazi na strani A
c
slobodne povrˇine
s
vBf Vrijednost koja se odnosi na graniˇnu stranicu koja se nalazi na strani B
c
slobodne povrˇine
s
rAi Vrijednost koja se odnosi na ˇvor na strani A slobodne povrˇine
c s
rAc Vrijednost koja se odnosi na kontrolni ˇvor slobodne povrˇine
c s

27. Popis slika
1.1 Prostorno-vremenska mreˇa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
z 40
2.1 Uz opis uvjeta na slobodnoj povrˇini. . . . . . . . . . . . . . . . . .
s 55
3.1 Kontrolni volumen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.2 Postupci rastavljanja poligonalne stranice na trokute. . . . . . . . . 64
3.3 Interpolacija na stranicu f kontrolnog volumena. . . . . . . . . . . . 70
3.4 Gamma shema diskretizacije u NVD dijagramu. . . . . . . . . . . . 72
3.5 Vektori df i nf na neortogonalnoj mreˇi. . . . . . . . . . . . . . . .
z 74
3.6 Poloˇaj i oblik kontrolnog volumen u dva uzastupna
z
vremenska trenutka. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.7 Volumen δVtn za stranicu f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.8 Parametri graniˇne stranice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c 80
3.9 Dekompozicija domene za paralelni postupak rjeˇavanja. . . . . . .
s 86
3.10 CG postupak s prekondicioniranjem za rjeˇavanje linearnog sustava alge-
s
barskih jednadˇbi A•x = b. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
z 87
4.1 Uz definiciju problema pomicanja mreˇe. . . . . . . . . . . . . . . .
z 91
4.2 Usporedba Dirichletovog i kliznog graniˇnog uvjeta
c
na nepomiˇnoj granici. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c 92
4.3 Analogija tlaˇno – vlaˇnih opruga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c c 94
4.4 Oblici naruˇavanja valjanosti trokutnog kontrolnog volumena. . . .
s 96
4.5 Trokut s pridruˇenim torzijskim oprugama. . . . . . . . . . . . . . .
z 97
4.6 Analiza utjecaja oblika raspodjele pomaka ˇvorova na svojstva pomaknute
c
mreˇe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
z 105

28. 28 Popis slika
4.7 Rasˇlanjivanje poliedarskog kontrolnog volumena na tetraedre. . . .
c 110
4.8 Linearni tetraedarski konaˇni element . . . . . . . . . . . . . . . . .
c 113
4.9 Utjecaj oblika tetraedra na svojstva matrice sustava linearnih algebarskih
jednadˇbi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
z 115
4.10 Uz objaˇnjenje primjene graniˇnih uvjeta za jednadˇbu pomaka mreˇe.
s c z z 119
4.11 Poˇetna mreˇa za pomicanje 2-D cilindra u kanalu. . . . . . . . . .
c z 123
4.12 Pomaknuta mreˇa za graniˇni pomak cilindra. . . . . . . . . . . . .
z c 124
4.13 Pomaknuta mreˇe za pomak cilindra 0.15Di. Boje predstavljaju raspodjelu
z
gusto´e distorzijske energije deformacije. . . . . . . . . . . . . . . .
c 125
4.14 Poˇetna mreˇa za numeriˇko modeliranje mjehuri´a primjenom pomiˇne
c z c c c
mreˇe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
z 127
4.15 Jedna osmina pomaknute mreˇe u podruˇju mjehuri´a. Boje definiraju
z c c
raspodjelu gusto´e energije deformacije. . . . . . . . . . . . . . . . .
c 129
4.16 Poˇetna mreˇa oko osciliraju´eg NACA0012 profila. . . . . . . . . .
c z c 130
4.17 Vremenska ovisnost maksimalne neortogonalnosti mreˇe u prvoj polovini
z
perioda oscilacije NACA0012 profila. . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.18 Pomaknuta mreˇa u podruˇju izlaznog brida NACA0012 profila u trenutku
z c
t = 0.5 s za razliˇite zakonitosti raspodjele koeficijenta difuzije u Laplaceovoj
c
jednadˇbi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
z 133
4.19 Pomaknuta mreˇa za graniˇni pomak cilindra uz razliˇite raspodjele koe-
z c c
ficijenta difuzije u Laplaceovoj jednadˇbi pomaka mreˇe. Boje definiraju
z z
raspodjelu odgovaraju´eg koeficijenta difuzije. . . . . . . . . . . . .
c 134
5.1 Glatka zakrivljena povrˇina vremenski promjenjivog oblika. . . . . .
s 138
5.2 Odstupanje kontrolne povrˇine od pripadaju´eg dijela
s c
prostorne domene. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.3 Kontrolne povrˇine P i N. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
s 140
5.4 Lokalni ortogonalni krivocrtni koordinatni sustav
na bridu kontrolne povrˇine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
s 143
5.5 Uz definiciju neortogonalnosti povrˇinske mreˇe. . . . . . . . . . . .
s z 145
5.6 Uz definiciju geometrijskih parametara graniˇnog brida mreˇe. . . .
c z 148

29. Popis slika 29
5.7 Nestrukturirana povrˇinska mreˇa za raˇunanje difuzijskog transporta na
s z c
povrˇini sfere. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
s 150
5.8 Rjeˇenje osnosimetriˇnog difuzijskog transporta na povrˇini sfere. .
s c s 151
5.9 Strukturirana mreˇa za rjeˇavanje konvekcijsko-difuzijskog transporta na
z s
povrˇini sfere; (a) 600 KP, (b) 2400 KP, (c) 9600 KP. . . . . . . . .
s 152
5.10 Nestrukturirana mreˇa za rjeˇavanje konvekcijsko-difuzijskog transporta na
z s
povrˇini sfere; (a) 600 KP, (b) 2400 KP, (c) 9600 KP. . . . . . . . .
s 152
5.11 Rjeˇenje osnosimetriˇnog konvekcijsko-difuzijskog transporta na povrˇini
s c s
sfere za Pe = 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
5.12 Pogreˇka rjeˇenja osnosimetriˇnog konvekcijsko-difuzijskog transporta na
s s c
povrˇini sfere za Pe = 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
s 154
5.13 Nestrukturirana povrˇinska mreˇa za raˇunanje nestacionarnog konvekcij-
s z c
sko-difuzijskog transporta na povrˇini sfere. . . . . . . . . . . . . . .
s 155
5.14 Rjeˇenje nestacionarnog osnosimetriˇnog konvekcijsko-difuzijskog transpor-
s c
ta na povrˇini sfere za Pe = 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
s 156
6.1 Definicija prostorne domene za numeriˇko modeliranje strujanje dvofaznog
c
fluida sa slobodnom povrˇinom primjenom pomiˇne mreˇe. . . . . .
s c z 165
6.2 Definicija slobodne povrˇine pomo´u graniˇnih stranica mreˇe. . . .
s c c z 165
6.3 Definicija slobodne povrˇine pomo´u kontrolnih toˇaka. . . . . . . .
s c c 169
6.4 Kontrolna povrˇina Af . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
s 174
6.5 Uz objaˇnjenje postupka raˇunanja normala u ˇvorovima slobodne povrˇi-
s c c s
ne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
6.6 Povrˇina elipsoida sa rijetkom nestrukturiranom mreˇom. . . . . . .
s z 177
6.7 Mjehuri´ u neinercijalnom koordinatnom sustavu. . . . . . . . . . .
c 182
7.1 Definicija prostorne domene za strujanje neviskoznog fluida preko 2-D
rampe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
7.2 Poˇetna raˇunska mreˇa za strujanje neviskoznog fluida preko 2-D ram-
c c z
pe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
7.3 Konaˇna raˇunska mreˇa za strujanje neviskoznog fluida preko 2-D ram-
c c z
pe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

30. 30 Popis slika
7.4 Definicija prostorne domene za oscilaciju slobodne povrˇine u 2-D sprem-
s
niku. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
7.5 Poˇetna raˇunska mreˇa za oscilaciju slobodne povrˇine s jednim neviskoz-
c c z s
nim fluidom. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
7.6 Vremenska ovisnost poloˇaja slobodne povrˇine na lijevom zidu spremnika,
z s
za razliˇite metode vremenske diskretizacije. . . . . . . . . . . . . .
c 191
7.7 Vremenska ovisnost amplitude vala za razliˇite pristupe u definiranju gra-
c
niˇnog uvjeta na slobodnoj povrˇini. . . . . . . . . . . . . . . . . .
c s 192
7.8 Vremenska ovisnost amplitude vala kod oscilacije slobodne povrˇine u 2-D
s
spremniku za razliˇite omjere gusto´a fluida s gornje i donje strane slobodne
c c
povrˇine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
s 193
7.9 Vektori brzine kod oscilacije slobodne povrˇine u 2-D spremniku za omjer
s
gusto´a fluida ρB /ρA = 0.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c 194
7.10 Vremenska ovisnost amplitude vala kod oscilacije slobodne povrˇine u 2-D
s
spremniku pod djelovanjem povrˇinske napetosti. . . . . . . . . . .
s 196
7.11 Poˇetna raˇunska mreˇa za numeriˇko modeliranje podizanja 2-D mje-
c c z c
huri´a u miruju´oj teku´ini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c c c 199
7.12 Brzina podizanja 2-D mjehuri´a ekvivalentnog polumjera rb = 0.75 mm, za
c
ˇistu slobodnu povrˇinu i uz nazoˇnost molekula surfaktanta na slobodnoj
c s c
povrˇini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
s 200
7.13 Vektori brzine za 2-D mjehuri´ ekvivalentnog polumjera rb = 0.75 mm, sa i
c
bez nazoˇnosti molekula surfaktanta na slobodnoj povrˇini, u vremenskom
c s
trenutku t = 0.4 s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
7.14 Deformirana mreˇa za 2-D mjehuri´ ekvivalentnog polumjera rb = 0.75 mm,
z c
sa i bez nazoˇnosti molekula surfaktanta na slobodnoj povrˇini, u vremen-
c s
skom trenutku t = 0.4 s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
7.15 Putanja 3-D mjehuri´a polumjera rb = 1 mm bez prisustva surfaktanta na
c
slobodnoj povrˇini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
s 202
7.16 Brzina 3-D mjehuri´a ekvivalentnog polumjera rb = 1 mm bez prisustva
c
surfaktanta na slobodnoj povrˇini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
s 203

31. Popis slika 31
7.17 Koeficijenti otpora i uzgona za 3-D mjehuri´ ekvivalentnog polumjera rb =
c
1 mm bez prisustva surfaktanta na slobodnoj povrˇini. . . . . . . .
s 204
7.18 Vektori brzine u x–z ravnini koja prolazi kroz teˇiˇte 3-D mjehuri´a. Sluˇaj
zs c c
bez prisustva surfaktanta na slobodnoj povrˇini. . . . . . . . . . . .
s 205
7.19 Putanje obiljeˇenih ˇestica iza 3-D mjehuri´a u trenutku t = 0.56 s, kada
z c c
je CL,x−z = 0, za sluˇaj bez surfaktanta na slobodnoj povrˇini. . . .
c s 206
7.20 Putanja 3-D mjehuri´a polumjera rb = 1 mm sa surfaktantom na slobodnoj
c
povrˇini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
s 207
7.21 Brzina teˇiˇta 3-D mjehuri´a polumjera rb = 1 mm sa surfaktantom na
zs c
slobodnoj povrˇini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
s 208
7.22 Koeficijent otpora CD i uzgona CL za 3-D mjehuri´ polumjera rb = 1 mm
c
sa surfaktantom na slobodnoj povrˇini. . . . . . . . . . . . . . . . .
s 208
7.23 Vektori brzine u x–z ravnini za 3-D mjehuri´ sa surfaktantom na slobodnoj
c
povrˇini. Boje definiraju raspodjelu koncentracije surfaktanta (C, mol/m2 )
s
na povrˇini mjehuri´a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
s c 209
E.1 Analitiˇko rjeˇenje za osnosimetriˇni konvekcijsko-difuzijski transport na
c s c
povrˇini sfere. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
s 228
E.2 ”Toˇno” numeriˇko rjeˇenje za osnosimetriˇni nestacionarni konvekcijsko-
c c s c
difuzijski transport skalarnog svojstva na povrˇini sfere. . . . . . . .
s 230

32. 32 Popis slika

33. Popis tablica
4.1 Graniˇni pomak cilindra i neortogonalnost pomaknute mreˇe za Laplaceovu
c z
jednadˇbu i jednadˇbu elastiˇnosti. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
z z c 123
4.2 Kvaliteta mreˇe i uˇinkovitost postupka rjeˇavanja uz pomak cilindra 0.15Di
z c s
za Laplaceovu jednadˇbu i jednadˇbu elastiˇnosti. . . . . . . . . . .
z z c 124
4.3 Graniˇni pomak cilindra i odgovaraju´a neortogonalnost mreˇe pri pomi-
c c z
canju u viˇe koraka s pomakom 0.15Di u jednom koraku. . . . . . .
s 125
4.4 Kvaliteta mreˇe i uˇinkovitost postupka rjeˇavanja za predloˇene postupke
z c s z
automatskog rasˇlanjivanja poliedarskog kontrolnog volumena na tetraed-
c
re. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.5 Maksimalna neortogonalnost mreˇe i proteklo vrijeme rjeˇavanja problema
z s
pomicanja mreˇe u trenutku t = 0.5 s za razliˇite zakonitosti raspodjele
z c
koeficijenta difuzije u Laplaceovoj jednadˇbi pomaka mreˇe. . . . .
z z 132
4.6 Graniˇni pomak (∆gr ) cilindra za razliˇite raspodjele koeficijenta difuzije
c c
u Laplaceovoj jednadˇbi pomaka mreˇe. . . . . . . . . . . . . . . . .
z z 133
5.1 Toˇnost metode diskretizacije ovisno o vrsti mreˇe i shemi diskretizacije.
c z 154
6.1 Rezultati proraˇuna zakrivljenosti na povrˇini elipsoida. . . . . . . .
c s 178
7.1 Usporedba izraˇunate (h2 ) i analitiˇke (ha,2 ) vrijednosti visine slobodne
c c
povrˇine na izlazu iz prostorne domene. . . . . . . . . . . . . . . . .
s 188
7.2 Usporedba vremena trajanja pojedinih dijelova postupka rjeˇavanja.
s 210

34. 34 Popis tablica

35. Poglavlje 1
Uvod
1.1 Motivacija
Problemi mehanike kontinuuma kod kojih se prostorna domena mijenja s vremenom ˇesti
c
su u inˇenjerskoj praksi. Cilindri motora s unutraˇnjim izgaranjem, regulacijski ven-
z s
tili, kormila na plovilima, pomiˇna krilca na zrakoplovima, karakteristiˇni su primjeri
c c
problema kod kojih se granica prostorne domene mijenja prema unaprijed zadanoj za-
konitosti. Druga je skupina problema karakteristiˇna po tome, da zakon promjene granice
c
prostorne domene nije unaprijed poznat, nego je dio rjeˇenja. U tu skupinu spadaju stru-
s
janje viˇefaznog fluida sa slobodnom povrˇinom, medudjelovanje izmedu fluida i elastiˇnog
s s c
tijela te problemi mehanike elastoplastiˇnih tijela, kao npr. oblikovanje materijala defor-
c
miranjem. Istraˇivanje na ovom podruˇju omogu´ava pristup ˇirem spektru problema
z c c s
mehanike kontinuuma i proˇiruje mogu´nosti industrijske primjene numeriˇkog modeli-
s c c
ranja.
Op´enito gledano, postoje dva osnovna pristupa u numeriˇkom modeliranju problema
c c
s promjenjivom prostornom domenom. Pristup koji je neˇto zastupljeniji kod simulaci-
s
je strujanja viˇefaznih fluida sa slobodnom porˇinom, ali koji se moˇe primijeniti i na
s s z
op´enite probleme s promjenjivom prostornom domenom, koristi nepomiˇnu raˇunsku
c c c
mreˇu koja pokriva maksimalno mogu´u prostornu domenu, pri ˇemu je trenutna konfi-
z c c
guracija prostorne domene oznaˇena bezteˇinskim ˇesticama, ili skalarnom indikatorskom
c z c
funkcijom. Prednost ovakvog pristupa je da teorijski ne postavlja ograniˇenje na intenzitet
c
deformacije prostorne domene, a glavna poteˇko´a u njegovom koriˇtenju je oˇuvanje
s c s c

36. 36 Uvod
oˇtrine pomiˇne granice prostorne domene.
s c
U ovom je radu odabran drukˇiji pristup, koji se temelji na koriˇtenju promjenjive
c s
(dinamiˇke) raˇunske mreˇe, koja se prilagodava trenutnom obliku prostorne domene. Za
c c z
razliku od pristupa s nepomiˇnom raˇunskom mreˇom, ovdje je pomiˇna granica pro-
c c z c
storne domene definirana granicom raˇunske mreˇe. Osnovni problem koji se javlja kod
c z
ovakvog pristupa je kako oˇuvati valjanost i kvalitetu raˇunske mreˇe tijekom simulacije.
c c z
Jedan od mogu´ih naˇina je da se u svakom vremenskom trenutku napravi nova mreˇa,
c c z
primjenom automatskog postupka. Automatska izrada mreˇe je vremenski vrlo zahtijevan
z
postupak, a naroˇito u sluˇajevima u kojima se promatrani problem rjeˇava na paralelnim
c c s
raˇunalima. Programi za automatsku izradu mreˇe su joˇ uvijek nepouzdani i zahtije-
c z s
vaju intervenciju od strane korisnika. Uz to, izrada nove mreˇe zahtijeva interpolaciju
z
rjeˇenja sa stare na novu mreˇu, ˇime se u rjeˇenje unosi tzv. pogreˇka interpolacije. S
s z c s s
druge strane, moˇe se pretpostaviti da granica prostorne domene postupno mijenja ob-
z
lik tijekom simulacije. To navodi na ideju da se mreˇa moˇe prilagoditi promjeni oblika
z z
prostorne domene pomicanjem unutraˇnjih ˇvorova bez promjene topologije. Pomicanje
s c
mreˇe se kao samostalni postupak obnove mreˇe moˇe primijeniti samo za ograniˇene
z z z c
promjene oblika prostorne domene. U sluˇajevima kada prostorna domena mijenja svoju
c
globalnu topologiju, ne moˇe se izbje´i da dode do barem lokalne promjene topologije
z c
mreˇe. Medutim, pomicanje mreˇe ima primjenu i kod takvih ekstremnih promjena ob-
z z
lika prostorne domene, u kombinaciji s lokalnom promjenom topologije mreˇe. Obnova
z
mreˇe pomicanjem u takvim se sluˇajevima provodi tako dugo dok su valjanost i kvaliteta
z c
elemenata mreˇe na zadovoljavaju´oj razini. Kada taj uvjet viˇe nije ispunjen pristupa
z c s
se globalnoj ili lokalnoj promjeni topologije mreˇe. Prema tome, od postupka pomicanja
z
mreˇe zahtijeva se da osigura oˇuvanje valjanosti i kvalitete mreˇe, uz ˇto ve´u dozvolje-
z c z s c
nu promjenu oblika prostorne domene, sa svrhom da se potreba za promjenom topologije
mreˇe svede na najmanju mogu´u mjeru.
z c
Problem strujanja sa slobodnom povrˇinom se moˇe formulirati kao problem s vremen-
s z
ski promjenjivom prostornom domenom, tako da se svaka od faza promatra kao posebna
subdomena globalne prostorne domene. Na svakoj od subdomena (faza) definiraju se
odvojene pomiˇne mreˇe, koje se dodiruju na slobodnoj povrˇini (engl. interface). Znaˇaj
c z s c
ovakvog pristupa se ˇesto umanjuje, uz argument da je ograniˇen samo na umjerene pro-
c c

37. 1.1 Motivacija 37
mjene oblika slobodne povrˇine. Jasno je da njegovo ograniˇenje leˇi u postupku obnove
s c z
mreˇe. Prema tome, unapredenjem postupka pomicanja mreˇe proˇiruju se mogu´nosti
z z s c
primjene jednog od potencijalno najtoˇnijih pristupa u modeliranju strujanja sa slobod-
c
nom povrˇinom.
s
Kod definiranja numeriˇkog postupka rjeˇavanja problema s promjenjivom prostornom
c s
domenom najprije je potrebno odabrati odgovaraju´u formulaciju matematiˇkog modela,
c c
koja u skladu s odabranim pristupom omogu´ava promjenu oblika i veliˇine prostorne
c c
domene. Najˇeˇ´e koriˇtene metode diskretizacije matematiˇkog modela su metoda kon-
c sc s c
trolnih volumena i metoda konaˇnih elemenata. Odabir metode diskretizacije je stvar
c
subjektivne procjene, budu´i da teorijski ne postoji problem koji se moˇe rjeˇavati pri-
c z s
mjenom metode konaˇnih elemenata, a koji se ne bi mogao rjeˇavati i primjenom metode
c s
kontrolnih volumena. Naravno, vrijedi i obrnuto. U ovom je radu odabrana metoda
kontrolnih volumena, koja prevladava kod numeriˇkog modeliranja strujanja fluida.
c
U cilju pojednostavljenja izrade raˇunske mreˇe na geometrijski kompliciranim trodi-
c z
menzijskim prostornim domenama vrlo su ˇeste takve primjene metode kontrolnih vo-
c
lumena, koje podrˇavaju nestrukturiranu mreˇu sastavljenu od proizvoljnih poliedarskih
z z
kontrolnih volumena (Jasak [46]). Iako su komercijalni raˇunalni programi koji omogu´a-
c c
vaju izradu poliedarskih mreˇa joˇ uvjek rijetkost (STAR-CD [72]), moˇe se oˇekivati da ´e
z s z c c
u bliˇoj budu´nosti to postati standardna mogu´nost komercijalnih predprocesora. Prema
z c c
tome, postupak pomicanja mreˇe koji ne podrˇava nestrukturiranu mreˇu, sastavljenu
z z z
od proizvoljnih poliedarskih kontrolnih volumena, ve´ danas predstavlja ograniˇenje u
c c
industrijskim primjenama raˇunalne mehanike kontinuuma pri rjeˇavanju problema na
c s
vremenski promjenjivim prostornim domenama.
U ovom je radu razvijena automatska metoda pomicanja mreˇe koja podrˇava nestruk-
z z
turiranu mreˇu, sastavljenu od proizvoljnih poliedarskih kontrolnih volumena. Opisana je
z
metoda kontrolnih volumena koja primjenom pomiˇne nestrukturirane mreˇe omogu´ava
c z c
rjeˇavanje problema s vremenski promjenjivom prostornom domenom. Takva metoda
s
kontrolnih volumena je, u kombinaciji s predloˇenim postupkom pomicanja mreˇe, pri-
z z
mijenjena na numeriˇko modeliranje strujanja viˇefaznog fluida sa slobodnom povrˇinom.
c s s
Postupak pra´enja slobodne povrˇine definiran je s ciljem rjeˇavanja problema kod kojih
c s s
postoji znaˇajan utjecaj povrˇinskih i viskoznih sila na strujanje sa slobodnom povrˇinom.
c s s

38. 38 Uvod
Nadalje, da bi se omogu´ila numeriˇka analiza utjecaja surfaktanata1 na strujanje sa slo-
c c
bodnom povrˇinom, definirana je konzervativna metoda diskretizacije, koja omogu´ava
s c
diskretizaciju povrˇinskih transportnih jednadˇbi na deformabilnoj nestrukturiranoj povr-
s z
ˇinskoj mreˇi. Metoda se temelji na metodi kontrolnih volumena, pa je nazvana metodom
s z
kontrolnih povrˇina.
s
1.2 Pregled postoje´ih spoznaja
c
U ovom je odjeljku dan kratki pregled postoje´ih spoznaja relevantnih za temu ovog rada.
c
Ukljuˇena su sljede´a podruˇja: metoda kontrolnih volumena koja podrˇava pomiˇnu
c c c z c
mreˇu, postupak pomicanja mreˇe, razliˇiti pristupi u numeriˇkom modeliranju strujanja
z z c c
viˇefaznih fluida sa slobodnom povrˇinom, te metoda kontrolnih povrˇina koja omogu´ava
s s s c
diskretizaciju povrˇinskih transportnih jednadˇbi na deformabilnoj zakrivljenoj povrˇini.
s z s
1.2.1 Metoda kontrolnih volumena na pomiˇnoj mreˇi
c z
U numeriˇkom se modeliranju strujanja fluida metoda kontrolnih volumena pojavljuje
c
kao prevladavaju´a metoda diskretizacije. Ta je metoda razvijana tijekom posljednjih
c
30 godina, i danas se standardno primjenjuje u inˇenjerskoj praksi. Metoda je detaljno
z
opisana u struˇnoj literaturi, npr. Ferziger i Peri´ [28], Demirdˇi´, Muzaferija i Peri´ [23].
c c zc c
U metodi kontrolnih volumena polazi se od integralnog oblika zakona odrˇanja, koji se
z
diskretizira za svaki kontrolni volumen u raˇunskoj mreˇi. Konvektivni i difuzijski trans-
c z
port se u matematiˇkom modelu definiraju primjenom Gaussovog integralnog teorema u
c
obliku povrˇinskih integrala. Povrˇinski se integrali numeriˇki integriraju po stranicama
s s c
kontrolnih volumena, tako da tok konzervativne varijable kroz svaku unutraˇnju stranicu
s
ima jednaku apsolutnu vrijednost, ali suprotni predznak za dva kontrolna volumena koji
dijele tu stranicu. Na ovaj se naˇin osigurava globalna konzervativnost rjeˇenja, ˇto je
c s s
vaˇno za numeriˇko modeliranje problema mehanike fluida. Kod nestacionarnih se proble-
z c
ma metoda kontrolnih volumena najˇeˇ´e primjenjuje samo za diskretizaciju prostornih
c sc
integrala u transportnoj jednadˇbi, dok se vremenska diskretizacija provodi primjenom
z
metode konaˇnih razlika, kao ˇto su npr. implicitna Eulerova, Crank-Nicolsonova ili
c s
1
Surfaktanti su tvari koje se adsorbiraju na slobodnoj povrˇini i modificiraju povrˇinsku napetost.
s s

39. 1.2 Pregled postoje´ih spoznaja
c 39
Gearova metoda.
Da bi se omogu´ila primjena pomiˇne mreˇe pri numeriˇkom modeliranju problema
c c z c
s promjenjivom prostornom domenom, potrebno je zakone odrˇanja tako preformulirati,
z
da se dopuste proizvoljne promjene oblika prostorne domene i poloˇaja kontrolnih vo-
z
lumena u mreˇi. Formulacija matematiˇkog modela koja to omogu´ava je tzv. ALE
z c c
(engl. arbitrary Lagrangian-Eulerian) formulacija, u kojoj su integralni zakoni odrˇanja
z
umjesto za nepomiˇni kontrolni volumen zapisani za proizvoljni volumen. ALE formu-
c
laciju su u kontekstu metode konaˇnih razlika uveli Hirt, Amsden i Cook [41], nakon ˇega
c c
je prihva´ena i kod metode kontrolnih volumena na strukturiranim i nestrukturiranim
c
pomiˇnim mreˇama (Demirdˇi´ i Peri´ [25], Batina [5], Demirdˇi´ i Muzaferija [22], Perot
c z zc c zc
i Nallapati [63]). ALE formulacija metode kontrolnih volumena podrazumijeva da se
raˇunska mreˇa prilagodava promjenjivom obliku prostorne domene pomicanjem ˇvorova
c z c
bez promjene topologije.
Da bi se kod ALE formulacije metode kontrolnih volumena oˇuvalo svojstvo konzer-
c
vativnosti metode, potrebno je uz zakone odrˇanja mase, koliˇine gibanja i energije, zado-
z c
voljiti i zakon odrˇanja prostora (Thomas i Lombard [76], Demirdˇi´ i Peri´ [24]). Zakon
z zc c
odrˇanja prostora mora biti zadovoljen u disretiziranom obliku, pri ˇemu diskretizacija
z c
mora biti provedena primjenom istih shema diskretizacije pomo´u kojih su diskretizirani
c
ostali zakoni odrˇanja. Demirdˇi´ i Peri´ [24] predlaˇu da se brzina stranice kontrolnog
z zc c z
volumena, odnosno odgovaraju´i volumni tok, raˇuna iz poznatog poloˇaja promatrane
c c z
stranice u starom i novom vremenskom trenutku tako, da zakon odrˇanja prostora bude
z
eksplicitno zadovoljen u diskretiziranom obliku. Na taj naˇin nije potrebno numeriˇki
c c
rjeˇavati zakon odrˇanja prostora zajedno s ostalim jednadˇbama, kao ˇto su to radili
s z z s
Thomas i Lombard [76].
Zwart, Raithby i Raw [90] uvode pristup u kojem se metoda kontrolnih volumena
primjenjuje za diskretizaciju zakona odrˇanja u prostoru i vremenu. Radi se o tzv.
z
prostorno-vremenskoj formulaciji metode kontrolnih volumena, koja je proizaˇla iz pro-
s
storno-vremenske formulacije metode konaˇnih elemenata (Tezduyar et al. [74, 75]). Pro-
c
storno-vremenska domena rjeˇavanja diskretizira se u prostorno-vremensku mreˇu koja
s z
se sastoji od prostorno-vremenskih kontrolnih volumena. Zakoni odrˇanja se integriraju
z
na svakom prostorno-vremenskom kontrolnom volumenu tako, da diskretni tok konzer-

40. 40 Uvod
vativne veliˇine kroz svaku unutraˇnju prostorno-vremensku stranicu ima jednaku apso-
c s
lutnu vrijednost, ali suprotni predznak za dva kontrolna volumena koji dijele promatranu
stranicu. Na taj je naˇin implicitno zadovoljen zakon odrˇanja prostora ˇak i u sluˇaju
c z c c
kada se topologija prostorne mreˇe mijenja, ako se ta promjena odvija po odredenim
z
zakonitostima. Prostorno-vremenska mreˇa se u stvari sastoji od prostorne mreˇe u
z z
starom i novom vremenskom trenutku, a ove su dvije mreˇe medusobno povezane pomo´u
z c
prostorno-vremenskih stranica. Na slici 1.1(a) prikazana je prostorno-vremenska mreˇa
z
kod koje ne dolazi do promjene topologije prostornog dijela mreˇe, nego se samo unutraˇnji
z s
ˇvorovi prostornog dijela mreˇe pomiˇu sukladno pomaku graniˇnih ˇvorova. Kod mreˇe
c z c c c z
prikazane na slici 1.1(b) dolazi do promjene topologije prostornog dijela mreˇe tako, da
z
centralni prostorni kontrolni volumen io na staroj prostornoj mreˇi konvergira u centralni
z
ˇvor in na novoj prostornoj mreˇi.
c z
in in
k k
t t
io io
x x
(a) Bez promjene topologije (b) S promjenom topologije
prostornog dijela mreˇe.
z prostornog dijela mreˇe.
z
Slika 1.1: Prostorno-vremenska mreˇa (Zwart, Raithby i Raw [90]).
z
Prostorno-vremenska formulacija metode kontrolnih volumena uvedena je zato da bi se
omogu´ila promjena topologije mreˇe, a da se pri tom ne izgubi svojstvo konzervativnosti
c z
metode. Dobivena fleksibilnost u obnovi mreˇe komplicira postupak diskretizacije potre-
z
bom integracije matematiˇkog modela na prostorno vremenskom kontrolnom volumenu.
c
S druge strane, ovakvu ograniˇenu topoloˇku promjenu mreˇe mogu´e je ugraditi i u
c s z c
ALE formulaciju metode kontrolnih volumena, a da se pri tom takoder saˇuva svojstvo
c
konzervativnosti metode.
Svaka topoloˇka promjena mreˇe, pa tako i promjena koja je lokalnog i konzervativnog
s z
karaktera, u najmanju ´e ruku rezultirati smanjenjem efikasnosti postupka rjeˇavanja.
c s
Zbog toga je, bez obzira na formulaciju metode kontrolnih volumena, obnovu mreˇe
z

41. 1.2 Pregled postoje´ih spoznaja
c 41
potrebno ˇto je mogu´e viˇe provoditi pomicanjem, bez promjene topologije.
s c s
1.2.2 Pomicanje mreˇe
z
Zadatak postupka pomicanja mreˇe je da odredi pomake unutraˇnjih ˇvorova mreˇe na
z s c z
osnovi zadanih pomaka graniˇnih ˇvorova. Pri tome je potrebno oˇuvati valjanost i zado-
c c c
voljavaju´u geometrijsku kvalitetu mreˇe.
c z
Najjednostavniji pristup, iako ne i najpouzdaniji, je da se pomaci unutraˇnjih ˇvorova
s c
mreˇe raˇunaju primjenom algebarskog izraza koji povezuje pomake unutraˇnjih ˇvorova
z c s c
s pomakom jednog ili viˇe graniˇnih ˇvorova [18, 7, 32]. Glavne zamjerke ovom pristupu
s c c
su manjak automatizma i ograniˇenost na jednostavne promjene oblika granice prostorne
c
domene.
Kada je rijeˇ o mreˇi koja se koristi uz metodu kontrolnih volumena pomicanje mreˇe
c z z
se najˇeˇ´e provodi primjenom tzv. analogije tlaˇno – vlaˇnih opruga koju je predloˇio
c sc c c z
Batina [5]. Mreˇa se promatra kao diskretni elastiˇni sustav na naˇin da se bridovi
z c c
kontrolnih volumena zamjene s tlaˇno – vlaˇnim oprugama, kojima je krutost obrnuto
c c
proporcionalna duljini brida. Pomaci ˇvorova mreˇe slijede iz zahtjeva da sustav nakon
c z
pomaka graniˇnih ˇvorova mora biti u statiˇkoj ravnoteˇi. Ovaj je pristup vrlo jednosta-
c c c z
van za primjenu, rezultira s pomacima u ˇvorovima mreˇe, a ne postavlja ograniˇenje na
c z c
vrstu kontrolnih volumena od koji se mreˇa sastoji. Upravo je to razlog da se analogija
z
tlaˇno – vlaˇnih opruga ˇesto koristi, usprkos dokazanoj nepouzdanosti zbog mogu´nosti
c c c c
naruˇavanja valjanosti kontrolnih volumena prolazom ˇvora kroz nasuprotnu stranicu
s c
(Blom [10]).
Farhat et al. [27] uoˇavaju nedostatak analogije tlaˇno – vlaˇnih opruga i predlaˇu
c c c z
poboljˇanje u obliku tzv. analogije torzijskih opruga. Uz tlaˇno – vlaˇne opruge pridru-
s c c
ˇene stranicama trokuta, svakom ˇvoru trokuta pridruˇuje se torzijska opruga ˇija krutost
z c z c
je vezana uz kut izmedu pripadaju´ih stranica. Analogijom torzijskih opruga uspjeˇno
c s
je rijeˇen problem nepouzdanosti analogije tlaˇno – vlaˇnih opruga, medutim, pristup je
s c c
ograniˇen samo na dvodimenzijsku (2-D) mreˇu sastavljenu od trokuta. Degand i Farhat
c z
[21] proˇiruju primjenjivost analogije torzijskih opruga na trodimenzijsku (3-D) mreˇu
s z
sastavljenu od tetraedara, tako da popunjavaju tetraedar s trokutima ˇijim ˇvorovima
c c
onda pridruˇuju torzijske opruge. Iako Degand i Farhat istiˇu da je njihovu 3-D analogiju
z c