FORMATO PARA CONTROL DE CALIDAD DE PRODUCTOS VARIOS EN INGENIERIA ALIMENTARIA
Cinemática y dinámica del cuerpo rÃ_gido 2.pptx
1. TEMA 2:
CINEMÁTICA Y DINÁMICA DEL CUERPO
RÍGIDO
TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO
INSTITUTO TECNOLOGICO DE NUEVO LEON
CATEDRÁTICO:
DAVID ESCOBEDO CASTAÑEDA
Cd. Guadalupe, Nuevo León; a 6 de noviembre de 2023
ASIGNATURA: DINAMICA
3. INTRODUCCIÓN
La cinemática del cuerpo rígido es una
traslación y rotación pura, donde los
movimientos son curvilíneos, y por tanto
hay componentes de aceleración
tangencial y normal, con velocidad
angular. La dinámica del cuerpo rígido es
la aplicación de un torque o giro
relacionado con su momento de inercia,
que no es otra cosa que la dinámica de
un sistema de partículas que están
fuertemente vinculadas, estableciendo la
condición de rigidez.
4. INTRODUCCIÓN
•Un objeto rígido no es
deformable; es decir, las
ubicaciones relativas de todas
las partículas de que está
compuesto permanecen
constantes. Todos los objetos
reales son deformables en
cierta medida; no obstante, el
modelo de objeto rígido es útil
en muchas situaciones en que
la deformación es despreciable.
5. OTRA DEFINICIÓN:
La cinemática del sólido rígido
es una aplicación de la
cinemática al movimiento de un
objeto tridimensional rígido en
el espacio. El movimiento más
general del sólido rígido puede
considerarse como la
superposición de dos tipos de
movimiento básicos: de
traslación y de rotación.
1
6. Posición, velocidad y aceleración angular
la longitud del arco s, se relaciona con el ángulo 0 mediante:
Rapidez angular promedio wprom es la relación del
desplazamiento angular de un objeto rígido al intervalo
de tiempo ∆t durante el que se presenta el
desplazamiento:
2
De manera, análoga con la rapidez lineal, la rapidez angular instantánea w se define
como el límite de la rapidez angular promedio conforme ∆t tiende a cero:
La aceleración angular promedio aprom de un objeto rígido en rotación se define como
la relación de cambio en la rapidez angular respecto al intervalo de tiempo ∆t durante
el que se presenta el cambio en la rapidez angular
7. De manera análoga con la aceleración lineal, la aceleración angular instantánea se
define como el límite de la aceleración angular promedio conforme ∆t tiende a
cero:
Cinemática rotacional: Objeto rígido bajo aceleración angular constante. Movimiento
rotacional en torno a un eje fijo. Movimiento traslacional.
2
Ejemplo:
Una rueda de vuelta con una aceleración angular constante de 3.50 rad/s2 . a) Si la
rapidez angular de la rueda es 2.00 rad/s en ti= 0. ¿A través de que desplazamiento
angular da vuelta la rueda en 2.00? b) ¿Cuántas revoluciones dio la vuelta durante este
intervalo de tiempo? c) ¿Cuál es la rapidez angular de la rueda en r= 2.00 s?
8. PROBLEMA .- LA HÉLICE DE UNA TURBINA ADQUIRIÓ UNA
VELOCIDAD ANGULAR CUYA MAGNITUD ES DE 6500 RAD/S EN 4
SEGUNDOS. ¿CUÁL FUE LA MAGNITUD DE SU ACELERACIÓN
ANGULAR?
El problema es muy fácil de resolver y analizar, primero porque
nos explica que la hélice de la turbina adquiere una velocidad
final de 6500 rad/s y nos proporciona el tiempo. La pregunta es la
magnitud de la aceleración angular, y si sabemos aplicar
correctamente la fórmula, daremos con el resultado. ¿Qué fórmula
usaremos?
Sustituyendo nuestros datos en la fórmula:
Por lo que la magnitud de la aceleración angular fue de 1625
rad/s²
9. UN MOTOR ELÉCTRICO INCREMENTÓ LA MAGNITUD DE SU VELOCIDAD
ANGULAR EN 50 RAD/S A 220 RAD/S EN 0.9 SEGUNDOS. CALCULAR, A)
LA MAGNITUD DE SU ACELERACIÓN MEDIA, B) ¿CUÁL FUE LA
MAGNITUD DE SU DESPLAZAMIENTO ANGULAR EN ESE TIEMPO?.
a) Obteniendo la aceleración media
• Para la aceleración media, usamos la siguiente fórmula:
• Sustituyendo nuestros datos en la fórmula:
• Qué sería nuestra aceleración media, 188.9 rad/s²
b) Obteniendo el desplazamiento angular en ese tiempo
La fórmula que usaremos para el desplazamiento angular en el determinado
tiempo será la siguiente:
Es decir que el desplazamiento es de 121.5 radianes
10. b) Obteniendo el desplazamiento angular en ese tiempo
La fórmula que usaremos para el desplazamiento angular en el
determinado tiempo será la siguiente:
Sustituyendo nuestros datos en la formula:
Es decir que el desplazamiento es de 121.5 radianes
11. Problema 3.- Al realizar un Movimiento Circular Uniformemente
Acelerado un objeto describe un radio de 0.8, y efectúa una
vuelta completa en 0.2 segundos para este instante, calcular: a)
velocidad angular, b) Velocidad tangencial, c) aceleración
tangencial, d) aceleración centrípeta, e) aceleración resultante
Solución: Vamos a utilizar las fórmulas expuestas en cada
definición, así que prestar mucha atención. Porque será de gran
relevancia.
Nuestros datos son:
r=0.8 m
T= 0.2 s
12. a) Calculando la Velocidad Angular
Para calcular la velocidad angular, podemos usar la siguiente
formula que relaciona solamente al periodo.
b) Calculando la velocidad tangencial
Para poder obtener la velocidad tangencial, aplicamos la formula
y sustituimos los datos.
c) Calculando la aceleración tangencial
Para obtener la aceleración tangencial, necesitamos saber la
aceleración angular, para ello aplicamos la formula:
13. d) Calculando la aceleración centrípeta
Para obtener la aceleración centrípeta, aplicamos la siguiente
formula y sustituimos datos:
e) Calculando la velocidad resultante
Aplicamos la siguiente formula:
14. Problema 4.- Una pieza sujeta a una cuerda, describe un
movimiento circular con radio de 0.35 m y tarda 0.40 segundos
en dar una vuelta completa, ¿Qué aceleración centrípeta
representa?
Solución: El problema es más sencillo que el ejemplo anterior, ya
que solamente nos piden la aceleración centrípeta, para obtener
dicha aceleración necesitamos conocer la velocidad tangencial, y
posteriormente la aceleración centrípeta.
Ahora si podemos calcular la aceleración centrípeta
15. Problema 5.- Una piedra de 0.06kg de masa se hace girar
mediante una cuerda 1.5 metros de longitud. Si esta presenta en
su superficie una velocidad tangencial de 9m/s. ¿Cuál es su
fuerza centrípeta?
Solución: En este ejemplo a diferencia de los anteriores,
poseemos una masa de la pierda, y es lógico porque queremos
encontrar una fuerza, y sabemos que, por la segunda ley de
Newton, para obtener la fuerza es necesario una masa.
Aplicamos la formula:
16. Cantidades angulares y
traslacionales.-
Velocidad tangencial
La magnitud de la velocidad
tangencial de un punto P es por
definición la rapidez tangencial
v=ds/dt, donde s es la distancia
que recorre este punto medio a
lo largo de la trayectoria
circular.
17. Aceleración tangencial
La aceleración tangencial del objeto rígido en rotación
se puede relacionar con la aceleración tangencial del
punto P al tomar la derivada en el tiempo de v.
18. ACELERACIÓN CENTRÍPETA
Ya que w=rw para un punto P en un objeto en
rotación, la aceleración centrípeta en dicho
punto se puede expresar en términos de rapidez
angular como:
19. Un disco gira en una flecha horizontal montada en
chumaceras, a una velocidad angular w1 de 84 rad/s
como en la figura a). Todo el conjunto de disco y
flecha está colocado sobre una tornamesa que gira
con respecto a un eje vertical a w2= 43 rad/s, en
sentido antihorario vista desde arriba. Describiremos
la rotación del disco vista por un observador dentro
del salón.
20. Solución:
El disco está sujeto a dos velocidades angulares simultáneamente:
podemos describir su movimiento resultante por la suma vectorial de
estos vectores. La velocidad angular w1 asociada con la rotación de la
flecha tiene una magnitud de 84 rad/s y tiene lugar en torno a un eje
que no está fijo pero que, visto por un observador situado dentro del
salón, gira en un plano horizontal a 43 rad/S. La velocidad angular w2
asociada con la tornamesa esta fija verticalmente y tiene una magnitud
de 43 rad/S.
La velocidad angular resultante w del disco es la suma vectorial de w1 y
w2
La magnitud de w es:
21. Ejemplo:
Partiendo desde el reposo en el tiempo de t= 0, una piedra abrasiva
tiene una aceleración angular constante a de 3.2 rad/s2. En t=0 la línea
de referencia AB de la figura es horizontal. Encontremos a)
desplazamiento angular de la línea AB ( uy por tanto de la pieza
abrasiva). B) la velocidad angular de la piedra 2.7 s después.
Suponiendo que la potencia que mueve a la rueda abrasiva es
desconectada cuando la rueda está girando a una velocidad angular
de 8.6 rad/s. Una pequeña fuerza de fricción en la flecha causa una
desaceleración angular constante, y la rueda llega finalmente al reposo
en un tiempo de 192s. Encontraremos c) la aceleración angular, d) el
ángulo total girado durante la desaceleración. Si el radio de la piedra
es de 0.24m, calcularemos, e) la velocidad lineal o tangencial de un
punto en la periferia. f) la aceleración tangencial de un punto en la
periferia. g) la aceleración radial de un punto en la periferia.
Repetiremos los incisos e), f) y g) para un punto a la mitad de la
distancia entre el centro y la periferia, es decir, en r= 0.12m.
22. Una pequeña fuerza de fricción en la flecha causa una
desaceleración angular constante, y la rueda llega finalmente al
reposo en un tiempo de 192s. Encontraremos c) la aceleración
angular, d) el ángulo total girado durante la desaceleración. Si el
radio de la piedra es de 0.24m, calcularemos, e) la velocidad
lineal o tangencial de un punto en la periferia. f) la aceleración
tangencial de un punto en la periferia. g) la aceleración radial de
un punto en la periferia. Repetiremos los incisos e), f) y g) para
un punto a la mitad de la distancia entre el centro y la periferia,
es decir, en r= 0.12m.
26. VELOCIDAD Y
RAPIDEZ
•Velocidad y rapidez son
términos utilizados como
sinónimos para hacer referencia
a la relación entre la distancia
recorrida y el tiempo empleado
para cubrirla.
•Sin embargo, no en todos los
casos velocidad y rapidez se
refieren a lo mismo. En ámbitos
más especializados, como la
física, tienen ligeras diferencias.
27. RAPIDEZ
La rapidez se refiere a la
distancia que recorre un objeto
en un tiempo determinado. Ya
que esta se calcula tomando la
distancia recorrida y dividiéndola
por el tiempo, la rapidez es una
magnitud escalar.
28. VELOCIDAD
En cambio, la velocidad
se refiere al intervalo de
tiempo que le toma a un
objeto desplazarse hacia
una dirección
determinada. Al
involucrar la dirección o
sentido del movimiento,
la velocidad es una
magnitud vectorial.
29. ROTACIÓN DE EJE FIJO
Con cuerpos rígidos, tenemos que
examinar momentos y al menos la
posibilidad de rotación junto con las
fuerzas y aceleraciones que examinamos
con partículas. Algunos cuerpos rígidos se
traducirán, pero no girarán (sistemas de
traslación), algunos girarán, pero no se
traducirán (rotación de eje fijo) y otros
girarán y se traducirán (movimiento plano
general). Aquí examinaremos la rotación
del cuerpo rígido alrededor de un eje fijo.
Como su nombre sugeriría, la rotación de
eje fijo es el análisis de cualquier cuerpo
rígido que gire alrededor de algún eje
que no se mueva. Muchos dispositivos
rotan alrededor de su centro, aunque los
objetos no necesitan rotar alrededor de
su punto central para que este análisis
funciones.
30. ROTACIÓN DE EJE FIJO
De nuevo comenzaremos con la Segunda Ley de Newton. Dado que
se trata de un sistema de cuerpo rígido, incluimos tanto la versión
traslacional como la rotacional.
• ∑F⃗ =m∗a⃗
• ∑M⃗ =I∗α⃗
Al establecer diagramas de cuerpo libres, determinar las ecuaciones
de movimiento usando la Segunda Ley de Newton, y resolviendo las
incógnitas, podemos encontrar fuerzas basadas en las aceleraciones
o viceversa.
31. ROTACIÓN BALANCEADA
Si el centro de masa del cuerpo está en el eje
de rotación, lo que se conoce como rotación
equilibrada, entonces la aceleración en ese
punto será igual a cero. La máquina de cabeceo
anterior es un ejemplo de una rotación
equilibrada, y la mayoría de los sistemas de eje
fijo se construirán intencionalmente para
equilibrarse. Siendo cero la aceleración del
centro de masa, la suma de las fuerzas tanto en
la x y dirección como debe ser igual a cero.
• ∑Fx=0(12.2.3)
• ∑Fy=0(12.2.4)
32. ROTACIÓN BALANCEADA
Además de las ecuaciones de fuerza, también podremos
usar las ecuaciones de momento para resolver incógnitas.
En simple movimiento plano, esta será una ecuación de
un solo momento que tomamos alrededor del eje de
rotación o centro de masa (recuerde que son el mismo
punto en rotación equilibrada).
• ∑M0=I0∗α(12.2.5)
33. ROTACIÓN DESEQUILIBRADA
Cuando el centro de masa no se encuentra en el
eje de rotación, el centro de masa se acelerará y
por lo tanto se ejercerán fuerzas para provocar
esa aceleración. En sistemas perfectamente
anclados estas serán fuerzas ejercidas por los
cojinetes, aunque estas fuerzas a menudo se
pueden sentir como vibraciones en sistemas
reales.
.
34. EL TAMBOR DE UNA LAVADORA INDUSTRIAL ES UN CILINDRO DE 40 CM DE
DIÁMETRO, Y LA VELOCIDAD MÁXIMA DE CENTRIFUGADO ES DE 1200 RPM.
CALCULA LA FUERZA A LA QUE ESTÁ SOMETIDA UNA CARGA DE 15 KG DE
ROPA, DISTRIBUIDOS EN LA PERIFERIA
35. Las ecuaciones cinemáticas discutidas en el capítulo anterior pueden ser
utilizadas para determinar la aceleración de un punto en un cuerpo
giratorio, siendo ese punto el centro de masa en este caso. Después de
determinar esas aceleraciones, se pueden poner en vigor ecuaciones,
muy probablemente usando las θ direcciones r y.
• ∑Fr=mar(12.2.6)
• ∑Fθ=maθ(12.2.7
Tenga en cuenta que a medida que el cuerpo gira, la dirección de la
aceleración y la dirección de las fuerzas cambian. También tenga en
cuenta que cuanto más lejos esté el centro de masa del eje de rotación,
mayor será la masa. Cuanto mayor sea la velocidad angular, mayores
serán estas fuerzas.
Para complementar las ecuaciones de fuerza, podemos usar una
ecuación de momento sobre el eje de rotación o el centro de masa, ya
que estos ya no son el mismo punto. Cualquiera que sea el que se elija,
solo asegúrese de ser consistente en tomar los momentos y el momento
masivo de inercia sobre el mismo punto.
• ∑MO=IO∗αor∑MG=IG∗α(12.2.8)
36. 20. Un disco de 40 cm de radio gira 33rpm. Calcula:
21.- Calcula la velocidad lineal del borde de una rueda de 75cm de
diámetro si gira a 1000rpm.
22. Dos niños montados en dos caballitos que giran solidarios con la
plataforma de un tiovivo con Ꙭ =4rpm. Si la distancia de los caballos al
eje de giro es de 2 y 3m, calcula:
a) La velocidad angular en rad/S.
b) El número de vueltas que dan los niños en cinco minutos
c) El espacio recorrido por cada uno de ellos en ese tiempo
d) ¿Qué niño se mueve con mayor aceleración total?
37. 23.- Una rueda de 100 cm de radio gira en torno a un eje
perpendicular a la misma que pasa por su centro a razón de 900
vueltas por minuto. Determina la velocidad angular en rad/s, el
periodo y la velocidad lineal de un punto de su periferia. ¿Cuánto
tiempo tardara en girar un angulo de 0,5 rad?
38. 24. Un cuerpo gira en una circunferencia de 3m de radio con
velocidad angular constante dando 8 vueltas cada minuto. Halla la
velocidad en el SI, el periodo, la frecuencia, la velocidad lineal y la
aceleración normal.
39. 26.- Un disco de 25 cm de radio, inicialmente en reposo, gira con
movimiento uniformemente acelerado alcanzado una velocidad
de 100 rpm en 10 s. Calcula:
a) La aceleración angular del disco
b) La velocidad lineal de un punto de la periferia del disc a los 5
s.
c) El módulo de la aceleración normal en ese momento
40. 27. Un volante de 50 cm de radio parte del reposo y
alcanza una velocidad angular de 300 rpm en 5 s. Calcula
la aceleración tangencial y la velocidad lineal de un
punto de su periferia a los 2 s de iniciado el movimiento.
41. 28.- Un volante de 40 cm de radio parte del reposo y acelera
durante 30 s hasta alcanzar una velocidad angular 300 rpm.
Después de girar 4 min con dicha velocidad angular, se aplica un
freno durante 50 s hasta que el volante se para. Calcula la
aceleración angular en el último tramo del recorrido, la
aceleración normal 10 s después de aplicar el freno y el ángulo
total girado.
42.
43. 29. La velocidad angular de un motor que gira a 900 rpm
desciende uniformemente hasta 10π rad/S después de dar 50
vueltas . Calcula la aceleración angular de frenado y el tiempo
necesario para realizar las 50 revoluciones.
