Transformadas de laplace

INGENIERIA EN SISTEMASAlumno: Nuñez, JuanDocentes:Prof. Marina BloeckLic. Nori Cheein de Auat MATEMATICA SUPERIOR – RESUMEN UNIDAD Nº3 AÑO 2011 -269252146062 Transformada de Laplace Para comenzar con la exposición primero vamos a demostrar de donde viene la transformada de Laplace, para ello vamos a tener en cuenta la siguiente fórmula matemática, que es la trasformada de Laplace: Fs=0∞fte-stdt(1) La función F de la variable independiente s se la llama transformada de Laplace de la función original f de la variable independiente t. Para demostrar (1) tenemos que tener en cuenta SERIES DE POTENCIAS pues la transformada de Laplace es un caso especial de SERIES DE POTENCIAS, esta serie tiene la forma: n=0∞anxn(2) El resultado de la sumatoria de (2), si converge, converge a una función de x: n=0∞anxn=A(x) an es una función de la variable independiente n, entonces podemos expresar esto de la siguiente manera funcional: f: -> (3) Donde nosotros tomamos un elemento del conjunto de los naturales y atravez de una función llegamos a: f: ->ffn=a(n) Ahora vamos a expresar (2) de manera funcionaln=0∞a(n)xn=A(x) Esta sucesión es una sucesión discreta ¿Por qué es discreta?, pues simple porque el dominio de lo que estamos siguiendo hasta ahora va desde los naturales a los reales (3), esto significa que entre los valores 1 y 2 no hay ningún valor. Análogamente trabajaremos la SERIE DE POTENCIAS pero en un dominio continuo y en este caso entre los valores 1 y 2 tenemos muchos valores, redefinimos la manera funcional de (2) cambiando la variable n (discreta) por una variable t (continua) y t está definida en un intervalo: 0<t<∞ Como ahora la serie de potencias está definida en dominio continuo en lugar de trabajar una sumatoria vamos a trabajar con integrales llamando an como f(t) 0∞ftxtdt=F(x) (4) (4) es lo que conocemos como integrales impropias. En esta integral hay ciertas cosas que tenemos que cambiar, y mirando (1) nos damos una idea de los cambios que tenemos que realizar, claramente tenemos que trabajar xt En la integral impropia (4) “x” es una constante entonces: x=elnx e y lnx son funciones inversas entonces al operar regresamos a la x. Pero como dijimos nosotros queremos sustituir xt entonces: xt=elnxt Aparte de esta transformación hay otras cosas que tenemos que tener en cuenta, si x es un valor que es mayor que 1 cuando evaluemos la integral vamos a notar que xt va a crecer demasiado rápido con respecto a ft porque tiene un comportamiento exponencial. La única chance que tenemos para que (4) converja es que el valor de x sea menor a 1 y mayor que 0: 0<x<1 Con este intervalo definido para x tenemos que el lnx : ln0=-∞ ; ln1=0 Entonces: lnx<0 Como la variable x del logaritmo natural es continua vamos a definir una nueva variable que sea igual al lnx: -S=lnx con S>0 Para hacer ver que el resultado es negativo escribimos –S. Ya tenemos listo todo, ahora replanteamos (4) con las nuevas correspondencias: 0∞ftxtdt=0∞ftelnxtdt=0∞fte-Stdt=0∞fte-Stdt 0∞fte-Stdt=F(s) Y llegamos al resultado que esperábamos. Observemos algo MUY IMPORTANTE de las transformadas de Laplace, nosotros dentro de la integral tenemos ft (una función de la variable independiente t) y nos devuelve Fs(una función de la variable independiente s). Nosotros sabemos que: Con todo esto visto estamos en condiciones de de presentar la definición formal de la transformada de Laplace. Sea f de la variable independiente t, para toda t≥0. Multiplicando dicha función por e-St e integrando con respecto a t desde cero hasta el infinito; entonces, si la integral resultante existe, es una función de s, por ejemplo F(s): Fs=0∞fte-stdt La función F de la variable independiente s, se llama transformada de Laplace de la función f de la variable independiente t y se denota por: Fs=£f=0∞fte-stdt La transformada de Laplace es un método para resolver ecuaciones diferenciales. El proceso de resolución consta de traspasos principales:Paso 1: El problema “duro” dado se transforma en una ecuación “sencilla” que la llamaremos ecuación subsidiariaPaso 2: La ecuación subsidiaria se resuelve a través de manipulaciones algebraicas.Paso 3: La solución de la ecuación subsidiaria se transforma en sentido inverso, a fin de obtener la solución del problema dadoEl método se utiliza ampliamente en las matemáticas de la Ingeniería, en donde se tienen numerosas aplicaciones. Resulta particularmente útil en problemas en los que la fuerza impulsora (mecánica o eléctrica, veremos más adelante ejemplos orientados a la mecánica) tienen discontinuidades Algunas propiedades La transformada de Laplace, como trabaja con integrales hereda algunas propiedades de ella: Suma de transformadas de Laplace (s1) Fs+Gs=£f+g=£f+£g=0∞fte-stdt+0∞gte-stdt Trasformada de Laplace de una constante por una función (s2) cFs=£cf(t)=c£f(t)=c0∞fte-stdt Linealidad de la transformada de Laplace De (s1) y (s2) desprende el teorema de linealidad de transformadas de Laplace, lo vemos: £aft+bg(t)=0∞e-staft+bg(t)dt=0∞e-staftdt+0∞e-stbgtdt=a0∞e-stftdt+b0∞e-stgtdt Entonces: £aft+bg(t)=a0∞e-stftdt+b0∞e-stgtdt Existencia de la transformada de Laplace Ahora veremos que no es necesario que la función sea continua. Este hecho tiene importancia practica, ya que son precisamente las entradas (fuerzas impulsoras) discontinuas para las que las que la transformación de Laplace se vuele particularmente útil. Basta con requerir que la función de la variable independiente t sea seccionalmente continua sobre todo un intervalo finito para t≥0 , entonces las únicas discontinuidades que puede tener una función seccionalmente continua son los saltos finitos; estas se conocen como discontinuidades ordinarias: t LA DEMOSTRACION DE ESTE TEOREMA LA VEREMOS MAS ADELANTE, YA QUE NECESITAMOS SABER EL PRIMER TEOREMA DE TRASLACION Y ALGUNAS PROPIEDADES MAS. Primer teorema de traslación Primero vamos a calcular la transformada de Laplace de 1: £f(1)=0∞1e-Stdt=limb->∞0b1e-Stdt=limb->∞-1Se-St0b= limb->∞1S(-e-Sb+1) Entonces: £1=1S (5) Para que esto converja condicionamos a “S” con: S>0 Podemos generalizar (5) utilizando (s2): £cf(1)=c0∞1e-Stdt=limb->∞c0b1e-Stdt=limb->∞c-1Se-St0b= limb->∞c1S(-e-Sb+1) Entonces: £cf(1)=cS (6) Para que esto converja condicionamos a “S” con: S>0 Prestar especial atención aquí porque voy a calcular la transformada de Laplace de: f(t)eat £f(t)eat=0∞fteate-Stdt=0∞fte-s-atdt=0∞fte-s-atdt Hacemos un cambio de variable y replanteando: w=s-a 0∞fte-wtdt(7) Si miramos con buen ojo a (7), veremos que es la transformada de Laplace: 0∞fte-wtdt≡0∞fte-stdt Solo que: 0∞fte-wtdt=F(w) y 0∞fte-stdt=F(s) Pero como w=s-a: 0∞fte-(s-a)tdt=F(s-a) Y por ultimo concluimos que: £f(t)eat=F(s-a) Es lo que se conoce como teorema de translación, y nos dice que cuando se tiene una función de la variable independiente t y multiplicado esta por eat provocamos un corrimiento de la función en (s-a). Para entender esto imaginamos una función de la variable independiente t igual al tiempo (el dominio de esa función es el tiempo), la multiplicamos por eat y esto va a provocar un corrimiento en la línea del tiempo hacia “a” (entonces tenemos un corrimiento provocado poreat ). Ahora vamos a calcular la transformada de Laplace de eat solo que la función de la variable independiente igual a 1: £f(1)eat Sabemos que: £f(1)=1S Aplicando el teorema de traslación (porque a la función la multiplicamos por eat y como sabemos esto provoca el corrimiento de la función hacia a): £f(1)eat=1s-a El cual sería el resultado de la transformada de Laplace de eat Teorema de la existencia para las transformadas de Laplace Sea la función f de la variable independiente t seccionalmente continua sobre todo el intervalo del semieje t>0 y que satisface: f(t)≤Meat Para toda t≥0 y para algunas constantes a y M; entonces la transformada de Laplace de f(t) existe para toda s>a. Como la función f de la variable independiente t seccionalmente continua; e-Stf(t) es integrable sobre cualquier intervalo finito del eje t. Suponiendo que s>a se obtiene: Teoremas y propiedades que necesitaremos para demostrar el teorema de existencia.£f(1)1S£f(1)eat1s-a£cf(1)cS £(ft)=0∞f(t)e-Stdt≤0∞f(t)e-Stdt≤0∞Meate-Stdt Vemos que a la integral 0∞Meate-Stdt la podemos expresar como: £Mf(1)eat=0∞Meate-Stdt Aplicando las transformadas y teoremas que hemos visto anteriormente (transformada de una constante multiplicado por f(1) y el primer teorema de traslación) tenemos que: £Mf(1)eat=0∞Meate-Stdt=M0∞eate-Stdt==M0∞e-(S-a)tdt=MS-a Entonces: £(ft)=0∞f(t)e-Stdt≤0∞f(t)e-Stdt≤0∞Meate-Stdt=MS-a Que era lo que queríamos demostrar. En donde se necesito la condición de que S>a Transformada de Laplace del seno y coseno Vamos a ver una manera diferente de calcular la transformada de Laplace del cos(at) y el sen(at).No vamos a utilizar la definición de la transformada de Laplace para calcular eso, para ello vamos a recurrir a la formula de euler: cosat=eiat+e-iat2=12(eiat+e-iat) £cos⁡(at)=12£eiat+e-iat=12£eiat)+£(e-iat Por el teorema de traslación sabemos cuál es la transformada de eat, entonces: £cos⁡(at)=121s-ia+1s+ia Calculando el común denominador (multiplicación del complejo por su conjugado): £cos⁡(at)=12s+ia+(s-ia)s-ia(s+ia)=122ss2+a2=2s2(s2+a2)=s(s2+a2) Finalmente: £cos⁡(at)=s(s2+a2) De manera análoga por formulas de Euler procedemos a calcular el sen(at): £sin⁡(at)=12i1s-ia-1s+ia Calculando: £sin(at)=12is+ia-(s-ia)s-ia(s+ia)=12i2ias2+a2=2ia2i(s2+a2)=a(s2+a2) Finalmente: £sin(at)=a(s2+a2) Transformada de Laplace de tn Todavía no hemos trabajado transformadas de Laplace de polinomios, por ello vamos a empezar calculando tn haciéndolo por definición: £tn=0∞tne-Stdt CALCULO AUXILIAR0∞ tn e-StdtudvCALCULO AUXILIARu=tn;du=ntn-1dv=e-Stdtv=-1se-StPara resolver esta integral vamos a utilizar el método de integración por partes, realizamos cálculos auxiliares: Y recordando el método de integración por partes: Regla mnemotécnica: "Un Día Vi Una Vaca sin rabo (menos integral) Vestida De Uniforme". £tn=b->∞lim-tne-StS0b-0∞-1se-St ntn-1dt = b->∞lim-tne-StS0b(i1)+nS0∞e-St tn-1dt (i2) Vamos a analizar (i1): Para el extreme inferior = 0 -0ne-S0S=-0S=0 Para el extreme superior = ∞ t->∞lim-tne-StS=∞ne-S∞S=∞0S t->∞lim-tnSeSt=-∞nSeS∞=-∞∞P(t)Q(t)Indeterminación de tipo: ∞∞Pero como ∞0 es indeterminado vamos a trabajar un poco más: Los posibles casos son: ResultadoCondición∞Si el grado de P(t) es mayor que el grado de Q(t)0Si el grado de Q(t) es mayor que el grado de P(t)abSi el grado de P(t) es igual que el grado de Q(t), siendo a y b los coeficientes de los términos de mayor grado de P(t) y Q(t) En nuestro caso el grado de Q(t) es mayor que el grado de P(t), porque sabemos que la exponencial (Q(t)) crece más rápido que tn (P(t)), entonces: t->∞lim-tnSeSt=0 Con esto queda claro que (i1) se hace cero cuando lo evaluamos en infinito y en cero, ahora solo nos queda trabajar con (i2): nS0∞e-St tn-1dt Esto no es más que la transformada de Laplace de tn-1; nS£tn-1 Replanteando tenemos que: £tn=nS£tn-1 nS£tn-1=n(n-1)s2£tn-2 n(n-1)s2£tn-2=n(n-1)(n-2)s3£tn-3=⋯=n!sn£t0 Pero como t0=1 : n!sn£1 Y sabemos que: £1=1S £tn=n!sn£1=n!sn+1 A partir de las transformadas demostradas formamos la siguiente tabla: f(t)F(s)£11S£ccS£cos⁡(at)s(s2+a2)£sin(at)a(s2+a2)£tnn!sn+1 Obtención de la transformada de Laplace a partir de una grafica de función 11f(t)t La función que vemos en la grafica está definida por trozos, en el intervalo para t de 0 a 1 tenemos una función (todavía no sabemos cuál) y cuando va de 1 al infinito dicha función vale 0 Para calcular cual es la función en el intervalo para t de 0 a 1 suponemos que: ft=y;x=t Para encontrar la ecuación de la recta hacemos: x+y=1 Para: x=0 y=1 Para: y=0 x=1->x+y=1 verifica Entonces: ft=1-t Ahora trabajamos con la definición de la transformada de Laplace y como en nuestra grafica tenemos una función dividida en trozos tenemos que: 01fte-St+1∞fte-St=01(1-t)e-St+1∞0 e-St CALCULO AUXILIARu=1-t;du=-dtdv=e-Stdtv=-1se-StSolo nos resta trabajar con: 01(1-t)e-St ; integramos por partes £1-t=(1-t)e-StS01-01-1se-St-dt==(1-t)e-StS01- 1s01e-Stdt=1S- 1s01e-Stdt=1S+1S2e-St01=1S+1S2e-S-1=1S+e-SS2-1S2 Entonces: F1-t=1S+e-SS2-1S2 Segundo teorema de traslación En síntesis, recordando el primer teorema de traslación nos decía que el corrimiento de la función era sobre la variable s. Lo que nos dice este segundo teorema es que al multiplicar la función por eat vamos a generar un corrimiento, pero ese corrimiento es especial porque la función de la variable independiente t solo está definida para valores de t positivos (t>0), entonces el corrimiento tiene que ser solo para valores positivos. Para demostrar este corrimiento necesitamos hablar de una función que se llama ESCALON UNITARIA: Ut-a=0 para t<a1 para t ≥a La función escalón unitaria (Ut-a) está definida por tramos, y esto nos indica que para cualquier valor t<a de t la función esta con el valor 0, cuando esta t ≥a dicha función toma el valor 1. 1af(t)t Una explicación un poco mas practica seria decir que la función para valores de t<a esta apagada (con valor 0, color azul en la grafica), cuando los valores t ≥a la función se enciende (toma el valor 1, color rojo en la grafica). Con la función escalón unitario podemos escribir como se comportan funciones definidas por pedazos, por ejemplo: ft=0; para t<0 gt; para 0≤t<aht; para a≤t<b0 ; para t≥b Esto nos indica que nosotros necesitamos que g(t) funcione en el valor 0 de la variable independiente t (es decir que g(t) tome el valor 1) para esto hacemos que el escalón unitario se levante a 1 en 0 de la siguiente manera: ft=Utg(t) Ahora cuando a≤tft=Utg(t)+ Ut-aht-g(t) Y cuando t≥b necesitamos que h(t) se desactive: ft=Utg(t)+ Ut-aht-g(t)-Ut-bh(t) Entonces ya tenemos definida f(t) como una función de escalones unitarios, veamos todo esto gráficamente: af(t)0g(t)h(t) b 1t Ahora vamos el segundo teorema de traslación: A continuación vemos la grafica de ft=t3 con t≥0 t Veamos lo que pasa si nosotros escribimos ft-a: at Lo que sucede es cuando le restamos una constante al dominio, corremos la función hacia a (en lugar de estar el origen en “0” está en “a”), y como consecuencia de esto empezamos a ver una parte de la función que antes no veíamos por la condición de t≥0 (en el grafico es la parta roja). Para calcular la transformada de Laplace de la función corrida en “a” tendremos que quitarle esa porción de curva que apareció, lo que hacemos entonces: ft-aU(t-a) atMultiplicamos la función corrida en a por el escalón unitario de menos “a”, y esto produce: Que es lo que nosotros queríamos y tenemos un corrimiento puro de ft-a, ahora si calculamos la transformada de Laplace de ft-aU(t-a): £ft-aU(t-a)=0∞ft-aU(t-a)e-Stdt En el intervalo de 0<t<∞ U(t-a) vale “0” entonces: 0aft-aU(t-a)e-Stdt=0 Ahora trabajamos con CALCULO AUXILIARu=t-a;du=dt;t=u+aLimites de integraciónu=a-a=;u=∞-a=∞a∞ft-ae-Stdt 0∞fue-S(u+a)du=0∞fue-Sue-Sadu=e-Sa0∞fue-Sudu Podemos observar aquí que: 0∞fue-Sudu=0∞fte-Stdt Entonces: e-Sa0∞fue-Sudu=e-Sa£(f(u)) O bien e-Sa0∞fte-Stdt=e-Sa£(f(t)) Por lo tanto: £ft-aU(t-a)=e-SaF(s) Se puede ver muy bien que el segundo teorema de traslación es muy parecido al primer teorema de traslación, pero lo que está pasando es que al multiplicar por una exponencial a la transformada de Laplace provoca una traslación en nuestro dominio t, y dicha traslación es pura porque solo nos queda la parte positiva de f de la variable independiente t, lo que es distinto al primer teorema que nos provocaba un corrimiento de s hacia ”a” Transformada de una derivada La derivación de una función f de la variable independiente t corresponde simplemente a la multiplicación de la transformada F por s. Esto permite reemplazar las operaciones del cálculo por simples operaciones algebraica sobre transformadas £f(t)=0∞f(t)e-Stdt £f'(t)=0∞f'(t)e-Stdt Vamos a trabajar con: £f'(t) y como es una integral impropia tenemos que cambiar los límites de integración £f'(t)=0∞f'(t)e-Stdt=limb->∞0bf'(t)e-Stdt Tenemos f'(t)dt y eso se siente como que es el diferencial de la función. Y como hay un diferencial vamos a hacer una integral por partes CALCULO AUXILIARu=e-St;du=-se-Stdtv=ft;dv=f'tdt Entonces: £f'(t)=0∞f(t)e-Stdt=limb->∞0bf(t)e-Stdt=limb->∞e-Stft|0b-0bft-Se-Stdt=limb->∞e-Stft|0b+S0bfte-Stdt Miramos: limb->∞e-Stft|0b=limb->∞e-Sbfb-e-S0f0 En el caso de: limb->∞e-Sbfb, el signo menos del exponencial hace que este se convierta en denominador y esto ya lo hemos visto anteriormente. Sea Qt=e-Sb y Pt=fb y P(t)Q(t), como en el denominador se encuentra el exponencial (todo esto para que la función converja y exista la transformada de Laplace), y este crece mucho mas rápido que el denominador cuando b tiene al infinito el resultado de ese cociente va a ser “0”. Nos queda: £f'(t)=-e-S0f0+S0∞fte-Stdt Y como e0=1: £f'(t)=-f0+S0∞fte-Stdt Y esto es equivalente a decir: £f'(t)=S£f(t)-f0 Que es lo que queríamos mostrar, y en base a esto ya podemos ir subiendo el orden de derivación: £f''(t)=S£f'(t)-f'0 Y £f'(t)=S£f(t)-f0 y entonces: £f''t=SS£ft-f0-f'0=S2£ft-Sf0-f'0 Y así podemos generalizar para derivadas de orden “n”: £f(n)t=Sn£ft-Sn-1f0-Sn-2f0-⋯-f(n-1)0 Transformada de Laplace: Aplicaciones Un sistema dinámico puede definirse conceptualmente como un ente que recibe unas acciones externas o variables de entrada, y cuya respuesta a estas acciones externas son las denominadas variables de salida. Las acciones externas al sistema se dividen en dos grupos, variables de control, que se pueden manipular, y perturbaciones sobre las que no es posible ningún tipo de control. La Figura 3 ilustra de un modo conceptual el funcionamiento de un sistema de control. El campo de aplicación de los sistemas de control es muy amplio y una herramienta que se utiliza en el diseño de control clásico es precisamente la TRANSFORMADA DE LAPLACE. ¿Por qué Transformada de Laplace? En el estudio de los procesos es necesario considerar modelos dinámicos, es decir, modelos de comportamiento variable respecto al tiempo, esto trae como consecuencia el uso de ecuaciones diferenciales respecto al tiempo para representar matemáticamente el comportamiento de un proceso. El problema es que las ecuaciones diferenciales que representan el comportamiento dinámico de los procesos naturales son muy complejas y es ahí donde entra en juego la transformada de Laplace que permite resolver ecuaciones diferenciales lineales mediante la transformación en ecuaciones algebraicas con lo cual se facilita su estudio Ejemplo: Suspensión de automóviles Para poder diseñar un sistema de control automático, se requiere: Conocer el proceso que se desea controlar, es decir, conocer la ecuación diferencial que describe su comportamiento, utilizando las leyes físicas, químicas y/o eléctricas. A esta ecuación diferencial se le llama modelo del proceso. Una vez que se tiene el modelo, se puede diseñar el controlador. f(t)z(t)kbmFuerza de entradaDesplazamiento, salida del sistema Después: Función de transferencia Una función de transferencia es un modelo matemático que a través de un cociente relaciona la respuesta de un sistema (modelada) a una señal de entrada o excitación (también modelada). Entonces resumiendo este enunciado tenemos que la función de transferencia: Representa el comportamiento dinámico del proceso Nos indica cómo cambia la salida de un proceso ante un cambio en la entrada Proceso Entrada del proceso(función forzante oestímulo)Salida del proceso(respuesta alestímulo) Para el ejemplo de la suspensión del automóvil tenemos que: Entrada(Bache)Salida(Desplazamiento del coche) Convolucion Si f y g de la variable independiente t son las transformadas inversas de F(s) y G(s), respectivamente, y satisfacen las hipótesis del teorema de existencia, entonces la transformada inversa h(t) del producto H(s) F(s)G(s) es la convolucion de f(t) y g(t) denotando f*g(t) y se define por: ht=f*gt=0tf∂gt-∂.d∂ Las propiedades de la convolucion de transformadas son: f*g=g*f (ley conmutativa) f*g1+g2=f*g1+f g2(ley distributiva) f*g*v=f*(g*v)(ley asociativa)

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