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Identidades trigonométricas (I)
Demostrar si son ciertas las siguientes identidades trigonométricas:
1) sen 2α%1 ' 2&cos2α
2) cos2α&sen 2α ' 2cos2α&1
3) (tg α%cotg α)2 ' sec2α%cosec2α
4) secα&cosα ' tgα · senα
cosec2α&1
5) ' cotg α · cosec α
cos α
sec2α&1
6) ' sec2 α
2
sen α
7) senα(cosec α&senα) ' cos2 α
cos2α
8) %sen α ' cosec α
sen α
1 cos α
9) & ' tg α
sen α · cos α sen α
tg α cosec α
10 ) % ' cosec2 α · sec α
sen α tg α
SOLUCIONES
1)
sen 2α%1 ' (1&cos2α)%1 ' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . de la identidad fundamental de la trigonometría.
' 2&cos2α
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2)
cos2α&sen 2α ' cos2α&(1&cos2α) ' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . como en el ejercicio anterior
' cos2α&1%cos2α ' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . quitando el paréntesis
' 2cos2α&1
3)
(tg α%cotg α)2 ' tg 2α%2tg α · cotg α%cotg 2α ' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cuadrado de un binomio
' tg 2α%2%cotg 2α ' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . puesto que la tangente y la cotangente son
inversas y su producto (por tanto) es 1
2 2 2 2
' tg α%1%1%cotg α ' (tg α%1)%(1%cotg α) ' . . . . . . . . . . . . . hemos separado el 2 en la suma 1+1 y
hemos agrupado de manera conveniente (para que
se parezca a las fórmulas) el resultado hasta el momento
' sec2α%cosec2α
4)
1 1&cos2α
&cosα ' ' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . restando
cos α cosα
1&cos2α sen 2α
' ' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . por la igualdad fundamenta de la trigonometría
cosα cosα
sen 2α sen α
' sen α ' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . separando un seno del numerador
cosα cosα
' sen α · tg α
5)
1
&1
cosec2α&1 sen 2α
' ' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . por la definición de cosecante.
cos α cos α
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2
1&sen α
sen 2α
' ' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . efectuando la diferencia del numerador
cos α
cos2α
' ' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pasando al denominador el seno cuadrado y usando la igualdad
sen 2α · cos α
fundamental de la trigonometría en el numerador
cosα
' ' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . simplificando
sen 2α
cosα 1
' · ' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . separando en dos fracciones trigonométricas
sen α sen α
' cotg a · cosec α
6)
1
&1
2
sec α&1 cos2α
' ' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . por la definición de secante
sen 2α sen 2α
1 1&cos2 α
&1
cos2α cos2α
' ' ' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . efectuando la diferencia del numerador
sen 2α sen 2α
1&cos2 α
cos2α sen 2 α
' ' ' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pasando el denominador de arriba hacia abajo
sen 2α cos2α · sen 2α
sen 2 α 1
' ' ' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . simplificando
cos2α · sen 2α cos2α
' sec2 α
7)
1
senα(cosec α&senα) ' senα &senα ' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Por la definición de cosecante
sen α
1&sen 2α
' senα ' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . efectuando el paréntesis
sen α
' 1&sen 2α ' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . simplificando
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' cos2 α
8)
cos2α cos2α%sen 2α
%sen α ' ' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . efectuando la suma
sen α sen α
cos2α 1
%sen α ' ' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . por la igualdad fundamental de la trigonometría
sen α sen α
' cosec α
9)
1 cos α 1 cos2 α
& ' & ' . . . . . . . . . . . . . . . . . reduciendo a denominador común
sen α · cos α sen α sen α · cos α sen α · cos α
1&cos2 α
' ' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . efectuando la diferencia
sen α · cos α
sen 2 α
' ' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . por la igualdad fundamental de la trigonometría
sen α · cos α
sen α
' ' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . simplificando
cos α
' tg α
10 )
tg α cosec α tg 2α sen α · cosec α
% ' % ' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . reduciendo a denominador común
sen α tg α sen α · tg α sen α · tg α
tg 2α 1
' % ' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . porque cosecante y seno son funciones inversas
sen α · tg α sen α · tg α
tg 2α%1
' ' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . efectuando la suma
sen α · tg α
sec2α
' ' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . por el valor de la tangente cuadrado más uno
sen α · tg α
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1
cos2α
' ' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . por las definiciones de secante y tangente
sen α
sen α ·
cos α
cos α
cos2α
' ' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pasando al numerado el coseno que estaba dividiendo
sen α · sen α
1
cos α
' ' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . simplificando y multiplicando en el denominador
sen 2 α
1
' ' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pasando el coseno al denominador (porque dividía)
2
sen α · cos α
1 1
' · ' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . separando en dos fracciones
sen α cos α
2
' sec α · cosec2 α
Fecha de publicación 25 octubre de 2003
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