Lista cálculo1(p2) 2011

Lista
de
CÁLCULO 1
(P2)
“ LISTA DO MÁGICO”

Esta lista contém
57 Exercícios resolvidos

provenientes de P2, P3, listas e livros

Índice:

g Derivada ..........................................................páginas (3 à 14)

g Limite ..............................................................páginas (15 à 20)

g Máximos e Mínimos ........................................páginas (21 à 29)

g Reta Tangente e Normal ..................................páginas ( 30 à 37)

g Otimização .......................................................páginas (38 à 53 )

g Taxa de Variação .............................................páginas (54 à 63)

Página 2

1a)

Lista do Mágico
www.apoiobase.org.br Página 3 Tel: 4352-8766

1b)

Lista do Mágico

1c)

Lista do Mágico

1d)

Lista do Mágico

1e)

Lista do Mágico

1f)

Lista do Mágico

1g)

Lista do Mágico

1h) (P2) Derivar implicitamente a função

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1i) (P2) Derivar e simplificar

Lista do Mágico

1j) Derive e simplifique

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1L) Derive e simplifique:

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1m) (P2-2011) Derive e simplifique:

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2a)

Lista do Mágico

2b)

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2c)

Lista do Mágico

2d)

Lista do Mágico

2e)

Lista do Mágico

2f)

Lista do Mágico

3a)

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3b)

b)

portanto tem concavidade para baix o : ] -oo; 0

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3c)

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3d)

Lista do Mágico

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3e)

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3f) Dado o gráfico da primeira derivada, encontre os valores de x onde a função f(x) é máximo, mínimo,
crescente, decrescente. Também escreva a concavidade e a inflexão (se existir).

Traçando os “varais” da primeira e segunda derivadas, obtemos o seguinte desenho:
Respostas:

Crescente: ]-3; + 4[
Decrescente: ]- 4; -3[
Mínimo local: (-3,f(-3))
Máximo local: Não existe
Concavidade p/ cima:
]-4;-2[ U ]0; +4[

Concavidade p/ baixo:
]-2; 0[

Inflexões:
(-2,f(-2)) e (0,f(0))

Lista do Mágico

3g) Dado o gráfico da primeira derivada, encontre os valores de x onde a função f(x) é
máximo, mínimo, crescente, decrescente. Também escreva a concavidade e a inflexão (se
existir).

Respostas:

Crescente: ]-3; -1[ U
]1; + 4[
Decrescente: ]- 4; -3[ U [-1; 1[
Mínimo local: (-3, f(-3)) e (1, f(1))
Máximo local: (-1,f(-1))
Concavidade p/ cima:
]-4;-2[ U ]0; +4[

Concavidade p/ baixo:
]-2; 0[

Inflexões: (-2,f(-2)) e (0,f(0))

Lista do Mágico

4a)

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4b)

Lista do Mágico

4c)

Lista do Mágico

4d)

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4e)

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4f)

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4g) Determine a equação da reta tangente ao gráfico que passa pelo ponto
A(19,0).

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4h)

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5a) Determine as dimensões do retângulo de maior área que pode ser inscrito abaixo da parábola
de equação y = 3 - x 2 .

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5b)

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5c)

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5d)

Lista do Mágico

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5e)

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5f)

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5g)

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5h)

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5i)

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5j) Um retângulo de lados paralelos aos eixos coordenados está inscrito na elipse .

Determinar a área máxima posível de um retângulo nestas condições.

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5L) Determinar o perímetro máximo possível de um triângulo retângulo de hipotenusa 5cm.

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5m) Determinar o volume máximo de uma pirâmide regular reta de base quadrada que pode ser
obtida através de recorte e dobradura a partir de umafolha quadrada de cartolina de 50cm de lado, conforme
a figura.

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5n) Determinar o perímetro máximo possível de um triângulo retângulo de hipotenusa 5cm.

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5o) A reta y = k, (0< k < 24) intercepta a parábola nos pontos A e B. Determinar
a área máxima possível do triângulo OAB, onde O é a origem.

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6a) Um tanque tem a forma de um cilindro circular reto de 5m de raio da base e 10m de altura. Em
t=0 a água começa a fluir no tanque à razão de 25m 3 /h.
a) Com que velocidade o nível da água sobe?
b) Quanto tempo levará para encher o tanque?

a) b)

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6b) (P2) Um incêndio em campo aberto se alastra em forma de círculo. O raio do círculo cresce
a uma taxa constante de 2,5 m/min. Com que rapidez está crescendo a área incendiada no instante em que
ela é igual a .

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6c)

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6d) Injeta-se ar em um balão esférico a uma taxa de 36cm /s. Determinar a variação do raio quando
3

o diâmetro for 60cm.

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6e) Uma bola de neve esférica está derretendo uniformemente de modo que sua superfície
diminui a uma taxa de 10cm 2 /min. Determinar a razão segundo a qual o raio está diminuindo quando o
mesmo medir 16cm.

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6f) Um reservatório tema forma de um cone reto invertido com raio da base 4m e altura 12m. Injeta-se
água no tanque a razão de 0,2 m3/min. Determinar a razão segundo a qual o nível da água está se elevando quando
a altura da água for de 8m.

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(P3-2007) (2,5 ) Um tanque tem o formato de um cone reto invertido com altura 12m e raio 4m e está
6g)
cheio de água. Sabe-se que o nível da água desce a uma velocidade constante de , em relação

à borda, em virtude de um vazamento. Dado . Pede-se:

a) o volume de água perdido em termos de x (ver figura)
b) a taxa com a qual o volume de água eliminado cresce ou decresce no instante em que x = 3m.

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6h) (P3-2011) Em um triângulo retângulo ABC o cateto AB aumenta uniformemente à razão de
0,2 cm/min e o cateto AC é constante e igual a 7cm. Se o cateto AB estiver medindo 24cm, determinar
naquele instante:
a) variação da hipotenusa b) variação da área c) variação do ângulo interno formado pelo
cateto AC e a hiotenusa

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6i)(P2-2011) Sabendo que o perímetro de uma circunferência varia a umataxa constante de 6cm/s.
Determine:
a) a variação do raio da circunferência b) a variação da área da circunferência no instante em
que o perímetro é igual a cm.

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6j)(P3-2011) Determine a variação do lado AB do triângulo abaixo no instante em que o lado BC
mede 10cm, dendo constantes , AC=10cm e a variação do lado BC = 36 cm/s.

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