Clases de sistema de ecuaciones

UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA E.P INGENIERIA CIVIL
PROF. MIRELI RAMIREZ C. MATEMÁTICA BÁSICA II 2013 - II
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RANGO DE UNA MATRIZ Am x n
Cálculo de r (Am x n)
CÁLCULO DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ
1.1 Método de la Adjunta.
1.2 Método de Gauss – Jordan.
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES (SEL)
Clasificación de un sistema de ecuaciones lineales
Teorema de Rouché-Fröbenius
Solución de un sistema de ecuaciones lineales
1° Eliminación de Gauss – Jordan
2° Eliminación de Gauss.
3° Cramer
4° Por inversión de la matriz de coeficientes.
Aplicaciones de S. E. L.

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RANGO DE UNA MATRIZ Am x n
El rango de una matriz cualquiera es el número de filas (o columnas) no nulas
Linealmente Independientes (L.I.: ninguna fila o columna depende de otra (s)
fila (s) o columna(s) respectivamente). El rango de A, se denota por: r(A).
OBSERVACIONES:
1.  r(A)Z .
2. Sea Amxn  00  r(A)  minm,n.
3. Sea Amxn  0r(A)  0.
4. Sea An  00  r(A)  n
5. Sea An  0, r(An )  n An es regular o no singular.
Propiedades equivalentes:
      0.

Sea An , An r(An ) n An
1
0
Por tanto No existe
1
An r(An )  n.Entonces A es singular-
EJEMPLOS:
a)
 
0 3
3 5 0 0 3 5
  
     
( )
( ) min , , ( )
r A
Sea A x r A r A Z
b)  Sea A4  00  r(A)  4, r(A)Z
c) 1
5 0 5  Sea A   r(A)   A es regular ie :  A
d) 1
6 0 4  Sea A   r(A)   A es singular ie : no  A
Cálculo de r (Am x n)
Se puede hallar mediante determinantes u operaciones elementales.
En nuestro caso lo hallaremos mediante O.E. por filas, los pasos son los
siguientes: Sea Am x n
1° Asignar la DP de la mayor submatriz cuadrada en caso de que A no sea
Cuadrada. Si lo fuese Tome su DP.
2° Aplicar O.E., de tal manera que anulemos los elementos que están debajo de
la D.P., es decir triangular inferiormente.
3° Los elementos de la DP deben ser no nulos, en caso tenga algún cero, éste
debe quedar al final de a D.P.
4° En Caso aparezcan filas nulas, éstas deben ubicarse al final.
5° Después de aplicar los pasos anteriores, se calcula el rango de la matriz que
será el n° de filas no nulas.
( se puede aplicar OE por columnas)

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Ejemplo: Halle el r(A) y determine si es invertible en caso de ser una matriz
cuadrada.
a)
4 5
35 30 15 20 5
7 6 3 4 1
6 104 21 9 17
14 12 6 8 2
x
A













SOLUCIÓN
La matriz no es cuadrada, por tanto no eviste su inversa.
Hallando r(A):
1°    0  r(A)  min 4,5 0  r(A)  4, r(A)Z
2°
Luego r(A) = 2.
OBSERVACIÓN:
1. Si una fila “i” es combinación lineal de 2 o más filas, la fila “i” se
transforma en una fila nula mediante OE.
2. Si una fila “i” es el múltiplo de otra fila, la fila “i” se transforma en
una fila nula mediante OE.
b)
5 5
4 5 6 32 77
1 2 3 14 32
0 0 1 3 6
0 1 0 2 5
1 0 0 1 4
x
A

















Hallando r(A):
14 12 6 8 2
6 104 21 9 17
7 6 3 4 1 : 2f3 - f1
35 30 15 20 5 :f4- (2f1+f3)
14 12 6 8 2 : f1/2
6 104 21 9 17
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
7 6 3 4 1
6 104 21 9 17 : 7f2- 6f1
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
7 6 3 4 1
0 692 129 39 113
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0

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1°  0  r(A)  5, r(A)Z
2°
Luego r(A) = 3.≠ orden de la matriz, entonces A no es invertible.
1 0 0 1 4
0 1 0 2 5
0 0 1 3 6
1 2 3 14 32 : f4 -f1
4 5 6 32 77 :f5 -4f1
1 0 0 1 4
0 1 0 2 5
0 0 1 3 6
0 2 3 13 28 : f4 - 2f2
0 5 6 28 61 : f5 = 2f4 + f2 Se anula f5
1 0 0 1 4
0 1 0 2 5
0 0 1 3 6
0 0 3 9 18 f4 = 3f3 Se anula f4
0 0 0 0 0
1 0 0 1 4
0 1 0 2 5
0 0 1 3 6
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0

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ACTIVIDAD: CALCULE EL RANGO DE CADA MATRIZ
RPTA: 2, 2 , 3, 2, 4, 2, 2.

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CÁLCULO DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ
CUADRADA
Para hallar la inversa de una matriz cuadrada, se puede usar varios métodos
entre ellos tenemos:
1° Método de la adjunta.
2° Método de Gauss – Jordan.
1.1 Método de la Adjunta.
Definiciones previas: Sea   An  aij una matriz cuadrada
Matriz de cofactores, Se denota y define:
  / cij : es el cofactor de aij de An
c ij n A  c
Matriz Adjunta de An, Se denota y define:
 T
adj(A)  Ac : Es la transpuesta de la matriz de cofactores.
Luego A-1, mediante la adjunta se calcula por:
 T
Ac
A
A
A
A
1
( )
1 1    adj
1.2 Método de Gauss – Jordan.
Definición previa:
Operaciones Elementales (0E): También llamada Transformaciones
Elementales, éstas se aplican a una matriz de
cualquier orden y son:
 Intercambiar dos filas ( o columnas): ( ) fi  f j o Ci C j
 Multiplicar por K  0 a una fila “i” ( o columna “i”): ( ) Kfi o KCi
 A una fila “i” ( o columna “i” ) sumar el múltiplo de otra fila “j” ( o
columna “j”): fi  Kf j (o Ci  KCj )
Las OE no cambia el orden ni rango de una matriz.
En el desarrollo del curso se aplicará OE por filas salvo que se indique lo
contrario.
Luego A-1, mediante Gauss – Jordan se calcula mediante el siguiente
proceso:
A I

OE

1 I A

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Es decir ubicar a la derecha de A la matriz identidad, después aplicar OE
buscando transformar la matriz A en la identidad (I) y lo que esta su derecha
es A-1.
Los pasos de este método son:
1° A la derecha de A ubique la matriz identidad del mismo orden de A.
2° En la primera columna de A tome el elemento a11 (no nulo), con éste anule
los elementos que están debajo de él aplicando OE en las filas que están
debajo de a11, después
3° En la segunda columna de A (transformada) tome el elemento a22 (no nulo),
con él anule los elementos que están encima y debajo de él aplicando OE
en las filas que están encima y debajo de a22,
4° Aplicar sucesivamente el paso anterior hasta llegar a la última columna de
A, después
5° Observe si la matriz A se transformó en la identidad. Si los elementos aii
tomados en los pasos anteriores no son la unidad, utilice la segunda OE
para transformar los aii en la unidad.
6° una vez obtenida la matriz I, la matriz que está a su derecha es la inversa
de A.
7° Si al finalizar el paso 4 algún elemento de la diagonal principal de A
(transformada) es nulo o si en el proceso de aplicar OE se obtiene una fila
(o columna) nula en la matriz transformada de A, entonces no existe A-1.
Ejemplo: Halle A-1, mediante la adjunta y Gauss – Jordan, siendo:
a)










 


2 1 2
1 3 5
1 1 0
A
SOLUCIÓN
Mediante la adjunta:
1° Hallando A :
1 3 0
( 1)(3)( 2) (1)(5)( 2) 0(1)(1) 0(3)( 2) 1(1)( 2) 1( 1)(5) 3
   
            
A A
A
A  3
2° Hallando Matriz de cofactores:












 

 








 







 




 



  



5 5 4
2 2 1
11 8 7
1 3
1 1
1 5
1 0
3 5
1 0
2 1
1 1
2 2
1 0
1 2
1 0
2 1
1 3
2 2
1 5
1 2
3 5
Ac












 
 
5 5 4
2 2 1
11 8 7
Ac
3° Hallando la Matriz adjunta de A:

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










 















 
 
7 1 4
8 2 5
11 2 5
5 5 4
2 2 1
11 8 7
( ) ( )
T
T
adj A Ac










 



7 1 4
8 2 5
11 2 5
adj(A)
4° Luego A-1 es:











 


  
7 1 4
8 2 5
11 2 5
3
1
( )
1 1 adj A
A
A










 


 
7 / 3 1/ 3 4 / 3
8 / 3 2 / 3 5 / 3
11/ 3 2 / 3 5 / 3
1 A
Mediante Gauss – Jordan:
b)











 
1 3 1
2 1 3
0 1 1
A
SOLUCIÓN
1° Hallando A :
1 12 0
0( 1)( 1) (1)(3)(1) 1(3)(2) 1( 1)(1) 1(2)( 1) 0(3)(3) 12
   
          
A A
A
A 12
-1 1 0 1 0 0
1 3 5 0 1 0 : f2 + f1
-2 1 -2 0 0 1 : f3 - 2f1
-1 1 0 1 0 0
0 4 5 1 1 0 : f2 x f3
0 -1 -2 -2 0 1
-1 1 0 1 0 0 : f1 + f2
0 -1 -2 -2 0 1
0 4 5 1 1 0 : f3 + 4f2
-1 0 -2 -1 0 1 : 3f1 - 2f3
0 -1 -2 -2 0 1 3f2 - 2 f3
0 0 -3 -7 1 4
-3 0 0 11 -2 -5 : (-1/3) f1
0 -3 0 8 -2 -5 : (-1/3) f2
0 0 -3 -7 1 4 : (-1/3) f3
1 0 0 -11/3 2/3 5/3
0 1 0 -8/3 2/3 5/3
0 0 1 7/3 -1/3 -4/3
I 1 A










 


  
7 / 3 1/ 3 4 / 3
8 / 3 2 / 3 5 / 3
11/ 3 2 / 3 5 / 3
1 A

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2° Hallando Matriz de cofactores:














 








 












 







4 2 2
4 1 1
8 5 7
2 1
0 1
2 3
0 1
1 3
1 1
1 3
0 1
1 1
0 1
3 1
1 1
1 3
2 1
1 1
2 3
3 1
1 3
Ac













 
4 2 2
4 1 1
8 5 7
Ac
3° Hallando la Matriz adjunta de A:




























 
7 1 2
5 1 2
8 4 4
4 2 2
4 1 1
8 5 7
( ) ( )
T
T
adj A Ac














7 1 2
5 1 2
8 4 4
adj(A)
4° Luego A-1 es:














  
7 1 2
5 1 2
8 4 4
12
1
( )
1 1 adj A
A
A













 
7 /12 1/12 1/ 6
5 /12 1/12 1/ 6
2 / 3 1/ 3 1/ 3
1 A
c)
















2 3 1 0
1 5 2 9
1 1 0 9
1 2 1 0
A
0 1 1 1 0 0 : f1 x f3
2 -1 3 0 1 0
1 3 -1 0 0 1
1 3 -1 0 0 1
2 -1 3 0 1 0 : f2 - 2f1
0 1 1 1 0 0
1 3 -1 0 0 1
0 -7 5 0 1 -2 : f2 x f3
0 1 1 1 0 0
1 3 -1 0 0 1 : f1 - 3f2
0 1 1 1 0 0
0 -7 5 0 1 -2 : f3 + 7f2
1 0 -4 -3 0 1 : 3f1 + f3
0 1 1 1 0 0 : -12f2 + f3
0 0 12 7 1 -2
3 0 0 -2 1 1 : (1/3)f1
0 -12 0 -5 1 -2 : (-1/12)f2
0 0 12 7 1 -2 : (1/12)f3
1 0 0 -2/3 1/3 1/3
0 1 0 5/12 -1/12 1/6
0 0 1 7/12 1/12 -1/6
I 1 A













 
7 /12 1/12 1/ 6
5 /12 1/12 1/ 6
2 / 3 1/ 3 1/ 3
1 A

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1 2 -1 0 1 0 0 0
-1 1 0 9 0 1 0 0 : f2 + f1
1 5 -2 9 0 0 1 0 : f3 - f1
2 3 1 0 0 0 0 1 : f4 -2 f1
1 2 -1 0 1 0 0 0 : 3f1 - 2f2
0 3 -1 9 1 1 0 0
0 3 -1 9 -1 0 1 0 : f3 - f2
0 -1 3 0 -2 0 0 1 : 3f4 + f2
3 0 -1 -18 1 -2 0 0
0 3 -1 9 1 1 0 0
0 0 0 0 -2 -1 1 0
0 0 8 9 -5 1 0 3
SOLUCIÓN
1° Hallando A :
Como se obtiene una fila nula
en la matriz transformada de
A, no existe la inversa de A.
0
2 3 1
1 2 1
1 2 1
9 2
2 3 1
2 4 2
1 2 1
9
2 3 1 0
2 4 2 0
1 1 0 9
1 2 1 0
:
2 3 1 0
1 5 2 9
1 1 0 9
1 2 1 0
0,
3 2











 




A
x
f f
A

pues f1 f2
2
4
, factorizar "2" en la f
, aplicar cofactor en C
1 0  A   A

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Actividad : Halle A-1, mediante la adjunta y Gauss – Jordan, siendo:
a) ( ) ( )
b) ( )
Actividad 02: Halle A-1, mediante Gauss – Jordan, siendo:
c) ( )
d)
( ) ( )

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SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES (SEL)
Sea el sistema de “m” ecuaciones lineales con “n” incognitas (variables)
Este sistema se puede expresar matricialmente:
Donde:
A: matriz de coeficientes.
X: matriz de variables.
B: matriz de términos independientes.
La solución de un sistema de ecuaciones son los valores de las incógnitas
que satisfacen en simultáneo a cada una de las ecuaciones del sistema.
Discutir un sistema de ecuaciones significa determinar si tiene soluciones y cuáles son.
          mnmnmmmnnnnbxaxaxaxabxaxaxaxabxaxaxaxaα     3322112232322212111313212111

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CLASIFICACIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
Teorema de Rouché-Fröbenius, se aplica para determinar si un S. E. L. tiene
solución o no.
Donde:
A  A B * : Matriz Ampliada, se obtiene al añadir a la derecha de la matriz de
coeficientes la matriz de los términos independientes.
r(A): rango de A.
OBSERVACIONES:
1. Si r(A) ≠ r(A*), r(A) < r(A*).
2. Si B = 0 (S. L. Homogéneo), este sistema siempre será compatible. Si es
determinado su solución es (0, 0, 0,…,0), llamada solución trivial.
3. En todo Sistema Compatible, si existen más variables que ecuaciones, el
sistema tiene infinitas soluciones.
Sea Ax=B
Según sus Términos
Independientes: B
HOMOGÉNEO : B = 0
Términos independientes
son nulos.
NO HOMOGÉNEO : B ≠ 0
Términos independientes
no son todos nulos.
Según su Solución
COMPATIBLE:
con solución
DETERMINADO:
Una solución
INDETERMINADO:
Infinitas Soluciones
INCOMPATIBLE:
Sin solución
Sea Ax=B
COMPATIBLE:
r(A) = r(A*) = k
DETERMINADO
(Una solución) :
k = n° variables
INDETERMINADO:
k < n° variables
Infinitas Soluciones que
dependerán de (n - k)
parámetros o variables
libres, siendo "n" el n° de
variables.
INCOMPATIBLE:
r(A) ≠ r(A*)

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SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
Para resolver un S. E. L. se puede aplicar varios métodos, entre ellos tenemos:
2° Eliminación de Gauss.
3° Cramer
4° Por inversión de la matriz de coeficientes.
Los dos primeros métodos se aplican para un sistema cualquiera además
permite clasificar el sistema usando el teorema anterior (mediante rangos),
mientras que los dos últimos sólo para sistemas no homogéneos que tengan el
mismo número de variables y ecuaciones.
El proceso es el siguiente: Se basa en diagonalizar la matriz de coeficientes
Sea Ax=B
 Escribir la matriz ampliada del sistema: A  A B *
 Tomar la Diagonal Principal (DP) de la mayor submatriz cuadrada de A*
 Triangularizar superior e inferiormente la submatriz, aplicando OE a A*.
 Finalizado el paso anterior se obtiene un sistema equivalente(es decir un
sistema con la misma solución del sistema dado inicialmente) cuya
solución se obtiene de manera directa.
2° Eliminación de Gauss
El proceso es el siguiente: Se basa en Triangularizar inferiormente la
matriz de coeficientes del sistema de "m" ecuaciones con "n" incógnitas
obteniendo un sistema equivalente cuya 1ª ecuación tenga n incógnitas, la
segunda n-1, la tercera n-2, y así sucesivamente hasta llegar a la última
ecuación, que tendrá una sola incógnita. Hecho esto, se resuelve desde la
última ecuación y después se usa la sustitución hacia atrás para las demás
variables hasta llegar a la primera.
Los pasos de este proceso es similar al método de Gauss – Jordan con la
diferencia que solo se triangula inferiormente.
OBSERVACIONES:
 El Método de Gauss – Jordan es más práctico ya que permite
obtener las variables directamente. El método de Gauss realiza
menos operaciones que Gauss – Jordan, sin embargo para obtener
sus variables es más laborioso.
 En ambos métodos, en el paso de triangular inferiormente, se puede
hallar el r(A) y r(A*) y por ende determinar el tipo de sistema usando
el teorema de Rouché-Fröbenius.

Página 15 de 39
 Al hallar el rango en matrices que provengan de S.E.L es preciso tener en
cuenta que si se intercambian columnas en la matriz de coeficientes ha de
hacerse de igual forma el cambio correspondiente de incógnitas, teniendo
especial cuidado con la columna de los términos independientes que
conviene no moverla. En general, es aconsejable realizar todas las
operaciones por filas.
3° Método de Cramer ( por determinante)
Se aplica si el sistema tiene igual número de ecuaciones que de incógnitas y
el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero. Es decir, un
sistema de Cramer es, por definición, compatible determinado y, por tanto,
tiene siempre solución única.
Las variables del sistema AX = B, se obtiene mediante:
 , A  0
A
A
x i
i
Siendo:
A: matriz de coeficientes
Ai: Matriz obtenida de la matriz A, al intercambiar la columna “i” por los
términos independientes del sistema.
TEOREMA: Sea el sistema de “ n” ecuaciones con “n” variables AX  B y
sea A y Ai las matrices de Cramer.
para algún i, El sistema es Incompatible.
El sistema es Compatible Indeterminado.
El sistema Compatible Determinado.
   
    
 
) 0 0
) 0 0 ,
) 0
i
i
iii A A
ii A A i
i A
4° Por inversión de la Matriz de Coeficientes
Es aplicable si el sistema tiene igual número de ecuaciones que de
incógnitas n=m y el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de
cero. Es decir, resuelve sistemas compatibles determinados (no-homogéneos).
Se basa en el siguiente criterio: sea el S.L.E de “n” ecuaciones con “n”
variables AX  B .Si A es invertible, entonces es válido multiplicar a la
izquierda de ambas expresiones de la expresión matricial por A-1; obteniendo
los valores de las variables:

Página 16 de 39
X A B
A AX A B
AX B
1
1 1

 



Note que B  0 , de lo contrario se tendría la solución trivial o sea nula, la
cual no es de interés.
Ejemplo: Exprese matricialmente y discutir los sistemas de ecuaciones dados
usando los métodos anteriores según sea el caso:
a)



    
  
  
4 1
2 3 11
0
x y z
x y z
x y z
SOLUCIÓN
La expresión matricial es:
 
X B
z
y
x
A
































 

1
11
0
1 1 4
2 3 1
1 1 1

Como el sistema tiene 3 ecuaciones y 3 incógnitas, podría ser aplicable
los 4 métodos.
Método de Gauss – jordan:
Luego La solución del sistema es: S = (x, y, z) = (3, -2, -1).
Observe que en el paso (*) la mayor submatriz cuadrada de A* (en este
caso A) es triangular inferior, por tanto se puede:
Clasificar el sistema mediante rangos:
1 1 1 0
2 -3 1 11 : f2 - 2f1
-1 1 -4 -1 : f3 + f1
1 1 1 0 : 5f1 + f2
0 -5 -1 11
0 2 -3 -1 5f3 +2f2
5 0 4 11 : 17f1 +4f3
0 -5 -1 11 : 17f2 -f3
0 0 -17 17
85 0 0 255 : (1/85)f1
0 -85 0 170 : (-1/85)f2
0 0 -17 17 : (-1/17)f3
1 0 0 3 En la f1: x = 3
0 1 0 -2 En la f2: y = -2
0 0 1 -1 En la f3: z = -1
(*)










  
 
1
11
0
1 1 4
2 3 1
1 1 1
* A

Página 17 de 39
 
Determinado
n de vriables
El sist. es Comp.
r(A)  r(A*)  3  
Ie: El sistema tiene solución única.
Método de Gauss
De:
0 3
5 1 11 2
17 17 1
1
2
3
    
     
    
f x y z x
f y z y
f z z
:
:
:
Por Método de Cramer
El sistema es:










 
  
1 1 4
2 3 1
1 1 1
A












1
11
0
B
Como A 17  0El Sistema e s compatible Determinado.Luego
3
17
51
1 1 4
11 3 1
0 1 1
 
 

 
x
A A
A
x x
2
17
34
1 1 4
2 11 1
1 0 1
 


  
 
y
A A
A
y
y
1
17
17
1 1 1
2 3 11
1 1 0
 


 

 
y
A A
A
z z
1 1 1 0
2 -3 1 11 : f2 - 2f1
-1 1 -4 -1 : f3 + f1
1 1 1 0
0 -5 -1 11
0 2 -3 -1 5f3 +2f2
1 1 1 0 : 17f1 +4f3
0 -5 -1 11 : 17f2 -f3
0 0 -17 17
A*=



    
  
  
4 1
2 3 11
0
x y z
x y z
x y z

Página 18 de 39
Por Inversión de la Matriz de Coeficientes
El sistema es:
Su expresión matricial es:
 
X B
z
y
x
A
































 

1
11
0
1 1 4
2 3 1
1 1 1

1 1
1
1 . 17 0
1
11
0
1 1 4
2 3 1
1 1 1
 

    










 









 
  










 A B A A A
z
y
x
(
)
(
)
(
)= (
). Luego la solución es: x = 3, y=-2,
z = -1.



    
  
  
4 1
2 3 11
0
x y z
x y z
x y z

Página 19 de 39
b)
{
-
- -
- -
- -
SOLUCIÓN
 
X B
x
x
x
x
A








































 


3
1
8
2
5 0 3 1
0 4 1 1
3 0 2 2
1 2 1 1
4
3
2
1

Método de Gauss – jordan:
El sistema es compatible indeterminado, es decir tiene infinitas
soluciones con Una Variable Libre (n° de variables – rango: 4 – 3= 1).
1 -2 1 1 2
3 0 2 -2 -8 : f2 - 3f1
0 4 -1 -1 1
5 0 3 -1 -3 : f4 - 5f1
1 -2 1 1 2
0 6 -1 -5 -14
0 4 -1 -1 1
0 10 -2 -6 -13
1 1 -2 1 2 : f1 + f2
0 -1 6 -5 -14
0 -1 4 -1 1 : f3 - f2
0 -2 10 -6 -13 : f4 - 2f2
1 0 4 -4 -12 : f1 +2f3
0 -1 6 -5 -14 : f2 + 3f3
0 0 -2 4 15
0 0 -2 4 15 : f4 - f3
1 0 0 4 18 r(A) = 3 r(A) = r(A*) = 3 < n° variables=4
0 -1 0 7 31 r(A*) = 3
0 0 -2 4 15 Sistema compatible
0 0 0 0 0
S. C. Indeterminado
A*=
C2 x C3
A
A*=
x1 x2 x3 x4 TI
x1 x3 x2 x4 TI
 





 








 



3
1
8
2
5 0 3 1
0 4 1 1
3 0 2 2
1 2 1 1
* A

Página 20 de 39
Hallando la solución General del sistema:
De:
 (variable libre)
      
      
    
4
3 2 4 2 4
2 3 4 3 4
1 1 4 1 4
2 4 15 15 2 2
7 31 31 7
4 18 18 4
x
f x x x x
f x x x x
f x x x x
: /
:
:
Por tanto la solución general del sistema es:
   
Donde  ( se escoge de forma arbitraria)
     
4
1 2 3 4 18 4 4 15 2 2 4 31 7 4 4
x
x , x , x , x x , / x , x , x
 Se puede obtener soluciones particulares, dando valores
arbitrarios a x4 . Una solución particular sería: ( 18, -15/2, -31, 0),
si x4 = 0.

Página 21 de 39
Método de Gauss
El sistema es compatible indeterminado, es decir tiene infinitas
soluciones con Una Variable Libre (n° de variables – rango: 4 – 3= 1).
Hallando la solución General del sistema:
De:
      
        
      
4
1 1 3 2 4 1 4
2 3 2 4 3 4
3 2 4 2 4
2 2 18 4
6 5 14 31 7
2 4 15 15 2 2
x
f x x x x x x
f x x x x x
f x x x x
:
:
: /
Por tanto la solución general del sistema es:
   
Donde  ( se escoge de forma arbitraria)
     
4
1 2 3 4 18 4 4 15 2 2 4 31 7 4 4
x
x , x , x , x x , / x , x , x
1 -2 1 1 2
3 0 2 -2 -8 : f2 - 3f1
0 4 -1 -1 1
5 0 3 -1 -3 : f4 - 5f1
1 -2 1 1 2
0 6 -1 -5 -14
0 4 -1 -1 1
0 10 -2 -6 -13
1 1 -2 1 2
0 -1 6 -5 -14
0 -1 4 -1 1 : f3 - f2
0 -2 10 -6 -13 : f4 - 2f2
1 1 -2 1 2
0 -1 6 -5 -14
0 0 -2 4 15
0 0 -2 4 15 : f4 - f3
1 1 -2 1 2 r(A) = 3 r(A) = r(A*) = 3 < n° variables=4
0 -1 6 -5 -14 r(A*) = 3
0 0 -2 4 15 Sistema compatible
0 0 0 0 0
S. C. Indeterminado
A*=
A
A*=
C2 x C3
x1 x2 x3 x4 TI
x1 x3 x2 x4 TI

Página 22 de 39
Por Método de Cramer
El sistema es:
{













 


 
5 0 3 1
0 4 1 1
3 0 2 2
1 2 1 1
A
El sistema tiene el mismo número de ecuaciones y variables, pero del
desarrollo anterior por el método de Gauss – Jordan(o Gauss) se tiene
que r(A) = 3 ≠ 4(orden de A), entonces no existe la inversa de A. Por tanto
no se puede aplicar el método de Cramer ni por la inversión de la matriz
de coeficiente.
Ejemplo: Discutir los sistemas de ecuaciones dados usando Gauss – Jordan.
a) {
SOLUCIÓN
 
X B
x
x
x
A










 





















0
1
2
2 1 3
2 1 1
0 1 1
3
2
1

0 1 1 2 : f1 x f2
2 -1 1 -1
2 1 3 0
2 -1 1 -1
0 1 1 2
2 1 3 0 : f3 - f1
2 -1 1 -1 : f1 + f2
0 1 1 2
0 2 2 1 : f3 - 2f2
2 0 2 1
0 1 1 2 r(A) = 2 r(A) ≠ r(A*)
0 0 0 -3 r(A*) = 3
Sistema incompatible
A*=
A*=
A

Página 23 de 39
El sistema no tiene solución, pues los rangos de r(A) y r(A*) son
diferentes, o de la f3 se tiene:
0x1 + 0x2 + 0x3 = -3 , ie: 0 = -3 (absurdo)
b)



  
  
  
2 5 5 55 000
4 20 000
3 2 25 000
x y z
x y z
x y z
SOLUCIÓN
El sistema tiene infinita soluciones con una variable libre. Su solución
general es:
De:
      
    
z
f y z y z
f x z x z
5 000 5 000
5 40 000 40 000 5
2
1
:
:
1. Aplicaciones de S. E. L.
1. (Administracion de Recursos) Un departamento de pesca y caza del estado
proporciona tres tipos de comidas aun lago que alberga a tres especies de
peces.
Cada pez de la especie A consume cada semana un promedio de:
1 u del alimento I, 1u del alimento II, 2 u del alimento III.
Cada pez de la especie B consume cada semana un promedio de:
3 u del alimento I, 4 u del alimento II, 5 u del alimento III.
Cada pez de la especie C consume cada semana un promedio de:
2 u del alimento I, 1u del alimento II, 5 u del alimento III.
Cada semana se proporcionan al lago 25 000 u del alimento I, 20 000 del
alimento II y 55 000 del alimento III. Si se supone que los peces se comen
todo el alimento, ¿Cuántos peces de cada especie pueden coexistir en el
lago?
1 3 2 25 000
1 4 1 20 000 : f2 - f1
2 5 5 55 000 : f3 -2f1
1 3 2 25 000 : f1 -3f2
0 1 -1 -5000
0 -1 1 5 000 : f3 + f2
1 0 5 40 000 r(A) = 2 r(A) = r(A*) = 2 ≠ 3
0 1 -1 -5000 r(A*) = 2
0 0 0 0 Sistema compatible
A S. C. Indeterminado
A*=
n° variables: 3
A*=

Página 24 de 39
SOLUCIÓN
Sea el n° total de peces, que pueden coexistir en el lago, de la:
Especie A: x
Especie B: y
Especie C: z
Datos: Consumo promedio semanal de alimentos según especie
A B C
Total de
alimentos
I 1 3 2 25 000
II 1 4 1 20 000
III 2 5 5 55 000
El sistema es:



  
  
  
2 5 5 55 000
4 20 000
3 2 25 000
x y z
x y z
x y z
La solución de sistema es infinita:
z(variable libre)
      
    
y z y z
x z x z
5 000 5 000
5 40 000 40 000 5
Pero la solución al problema se restringe los valores de las variables a
números enteros positivos, pues las variables representan el número de
peces que habitan en el lago y éstos no pueden ser negativos ni fraccionarios.
Entonces:
0
5 000 0 5 000 5 000 8 000
40 000 5 0 8 000

         
    

z
y z z z z Z
x z z


,
Z esta entre 5 000 y 8 000 (n° entero), entonces existe 3 001 (8 000 – 5 000
+1) valores. Como x e y dependen de z entonces existen 3 001 soluciones
para el problema. Una solución es: ( x, y, z) = (5 000, 2 000, 7 000), si z = 7
000.
2. (Modelo de Leontief Aplicado a un Sistema Económico: Consumo -
Productividad) Suponga que una economía simple tiene tres industrias que
son dependientes entre sí, pero que no dependen de industrias externas (se
cumple el modelo cerrado de Leontief).
Las industrias son: agricultura, construcción y vestuario. La fracción de cada
producto que consume cada industria está dado por:

Página 25 de 39
Producción
Agricultura Construcción Vestuario
Consumo
Agricultura
Construcción
Vestuario
La componente dij denota la fracción de bienes producidos por la gente que
trabaja en la industria j y que es consumida por la gente que trabaja en la
industria i.
Por ejemplo:
16
4
d31  , significa que la industria del vestuario consume
16
4
del total de la
producción agrícola.
16
3
d13  , significa que la industria agrícola consume
16
3
del total de la
producción de la industria de vestuario.
Supongamos que los ingresos de la industria de la agricultura, construcción y
vestuario son P1, P2,P3 respectivamente. Asuma que se cumple la condición
de equilibrio (los gastos debidos al consumo es igual a los ingresos a las
ventas), determine los ingresos de cada sector de la economía.
SOLUCIÓN
Una economía simple tiene tres industrias que son dependientes entre sí,
pero que no dependen de industrias externas, cuya fracción de cada producto
que consume cada industria está dado por:
7 3 3
16 6 16
5 1 5
16 6 16
4 2 8
16 6 16
Consumo
Pr
Agricultura Construcción Vestuario
Agricultura
Construcción
Vestuario
oducción
Supongamos que el ingreso total de cada industria es:
Agricultura : 1 P
Construcción : 2 P
y
Vestuario : 3 P

Página 26 de 39



9 3
16 16
5 5
1
5
16
1
6 6
2
4
1
3
1
1
2
0
0
 1 f 16
 48
2 5 f
 3 f 12
 1 2 f f
0



9 8 3 0
3 8 3 0
3 4 6 0


 
 
1
2 4
1
3 3
3 8 3 0
0 16 12 0
0 12 9 0
f
f

 
 
2 1
3
3 8 3 0
9 8 3 0 3
3 4 6 0
f f
f f
 
 

1 3
2 3
3 8 3 0 2
0 4 3 0
0 4 3 0
f f
f f
 

1
1 3 3 0 3 0
0 4 3 0
0 0 0 0
f


1 0 1 0
0 4 3 0
0 0 0 0
Además, teniendo en cuenta que se cumple la condición de equilibrio (los
gastos debidos al consumo son igual a los ingresos debidos a las ventas), se
tiene el siguiente sistema lineal:

   

   


   
1 2 3 1
1 2 3 2
1 2 3 3
7 3 3
16 6 16
5 1 5
16 6 16
4 2 8
16 6 16
P P P P
P P P P
P P P P
Resolviendo dicho sistema, mediante
Gauss – Jordan:
de donde se obtiene:
1. rang(A)=rang(A/B)=2<nº variables(3). Por
tanto el sistema es compatible
indeterminado, ie: tiene infinitas
soluciones:
2. Las soluciones se obtiene de la última
matriz equivalente a la ampliada (A/B).
Cada fila representa las siguientes
ecuaciones:
   
   

1 3 1 3
2 3 2 3
0
3
4 3 0
4
0 0 ( )
P P P P
P P P P
Verdad
Haciendo:
  
 
 
 

3
1
2
3
4 ,
4
3
4
0 0 ( )
P t t
P t
P t
P t
Verdad
La solución del sistema se puede
representar como:
         1 2 3 P,P ,P 4t,3t,4t t 4,3,4 ,t
,
tiene infinitas soluciones.
Sin embargo para la solución del
problema dado, “t” debe ser un número
real no negativo, tales que los ingresos
de la industria de la agricultura,
construcción y vestuario están en la
proporción 4:3:4, respectivamente.
Consumo ind. Agrícola = Producción total de la Ind.
Agrícola (P1)
Consumo ind. Construcción = Producción total de la Ind.
De Construcción (P2)
Consumo ind. Vestuario = Producción total de la Ind.
De Vestuario (P3)
equivalentemente, se tiene el sistema
lineal homogéneo:

   

   


   
1 2 3
1 2 3
1 2 3
9 3 3
0
16 6 16
5 5 5
0
16 6 16
4 2 1
0
16 6 2
P P P
P P P
P P P
Expresándolo en forma matricial:
 
 
    
            
        
    
 
1
2
3
9 3 3
16 6 16 0
5 5 5
0
16 6 16
0
4 2 1
16 6 2
P
P
P
X B
A

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3. Análisis de flujo de tráfico.
Supongamos que tenemos una red de calles en una sola dirección en una ciudad. Se quiere analizar el flujo de tráfico en cada una de las calles. La dirección del tráfico en cada una de las calles está dado en la siguiente figura.
En varios sitios se han colocado contadores, y el número promedio de carros que pasan por cada uno de ellos en el periodo de 1 hora, aparece también en la figura. Las variables x1, x2, …,x7 representan el número de carros por hora que pasan de la intersección A a la intersección B, de la intersección B a la intersección C, etc.
Asumiendo que no hay paradas en el tráfico, el número de carros que llega a una intersección debe ser igual al número de carros que sale de la intersección. Con base a este supuesto Determine los valores posibles de cada xi.
Si la calle que va de D a E estuviera en reparación, ¿cuál sería el mínimo tráfico que se podría permitir? ¿Cómo podría obtenerse este mínimo?
SOLUCIÓN
La dirección del tráfico en cada una de las calles está dada en la siguiente figura.
Primero determinemos los valores posibles de cada xi ; teniendo en cuenta que no hay paradas en el tráfico, el número de carros que llega a una intersección debe ser igual al número de carros que sale de la intersección. En base a este supuesto, se obtiene el siguiente sistema lineal:

Página 28 de 39
 
  
 
 

1 3
1 2 4
2 5
3 6
4 6
800 (Flujo de tráfico en la intersección A)
200 (Flujo de tráfico en la intersección B)
500 (Flujo de tráfico en la intersección C)
750 (Flujo de tráfico en la intersección F)
x x
x x x
x x
x x
x x  
  
7
5 7
600 (Flujo de tráfico en la intersección E)
50 (Flujo de tráfico en la intersección D)
x
x x
Resolviendo dicho sistema, mediante Gauss – Jordan, se tiene las siguientes
soluciones:
 
 
  
   
 


1 6
2 7
3 6
4 6 7
5 7
6 6
7 7
50
450
750
600
50
x x
x x
x x
x x x
x x
x x
x x
EL sistema tiene infinitas soluciones.
Como las xi son números de carros por hora de una intersección a otra, no
pueden ser valores negativos; un valor negativo de xi se interpreta como el
números de carros que van en contravía. Con esta restricción se tiene:
 
 
    
   





  
1 6
2 7
3 6
4 6 7
5 7
6
6
6
7
7
7
50
450
750 0
600
50 0
750
50
x x
x x
x x
x x x
x x
x x
x
x
x
x
Dependiendo el valor que tomen x6 y x7, se
obtienen los valores para las otras variables.
Ahora supongamos que la calle que va de D a E estuviera en reparación,
por lo se requiere que el tráfico en este espacio sea el mínimo, entonces
 7 x 50 Por tanto    5 2 x 0 x 500 . Recíprocamente si    5 7 x 0 x 50 ,
entonces, si cerramos la carretera entre C y D se tendrá el mínimo tráfico
posible entre D y E. Los flujos 1 3 4 6 x ,x ,x y x no están determinados en forma
única. Si toda la distancia de D a F estuviera en reparación, requeriríamos
que 6 x fuera mínimo, es decir sea cero. En este caso:
   1 3 4 x 50, x 750 y x 650

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4. Una granja avícola incluye en la dieta de sus aves vitaminas B, C y D para
evitar enfermedades así como un desarrollo más rápido. En cierto mes
compraron 20 cajas de vitamina B, 40 cajas de vitamina C y 50 cajas de
vitamina D pagando S/ 70 000; al siguiente mes compraron 30 cajas de
vitamina B, 20 cajas de vitamina C y 50 cajas de vitamina D pagando S/ 66
250; un mes después compraron 40 cajas de vitamina B, 10 cajas de
vitamina C y 70 cajas de vitamina D pagando en total S/ 82 500. ¿Cuál es el
precio de cada caja de vitamina, si el precio por caja no ha variado en todo
ese tiempo?
SOLUCIÓN:
Sea el costo de la caja de vitamina B, C, D: b, c, d; respectivamente.
n° cajas
b c d
Inversión
por mes
Compras
1° mes 20 40 50 70 000
2° mes 30 20 50 66 250
3° mes 40 10 70 82 500
El sistema es:



  
  
  




  
  
  
4 1 7 8 250
3 2 5 6 625
2 4 5 7 000
40 10 70 82 500
30 20 50 66 250
20 40 50 70 000
b c d
b c d
b c d
b c d
b c d
b c d

Página 30 de 39
Luego el número de cajas de las vitamina B, C y D son, respectivamente; 625,
500 y 750.
5. Un comerciante compró máquinas de cortar césped, sierras y tijeras de podar.
Las primeras le costaban a S/ 5 000, las segundas a S/ 1 000 y las terceras a
S/ 50. Compró 100 unidades gastando un total de S/ 100 000. ¿Cuántas
unidades de cada uno compró, si adquirió los tres productos?
SOLUCIÓN:
Sea el n° de herramientas a comprar: C, S, T
(1/125)*C4
2 4 5 7 000
3 2 5 6 625
4 1 7 8 250
2 4 5 56 : - f1 + f2
3 2 5 53
4 1 7 66 : f3 -2 f1
1 -2 0 -3
3 2 5 53 : f2 - 3 f1
0 -7 -3 -46
1 -2 0 -3
0 8 5 62 : f2 + f3
0 -7 -3 -46
1 -2 0 -3 : f1 +2f2
0 1 2 16
0 -7 -3 -46 : f3 + 7f2
1 0 4 29 r(A) = 3 r(A) = r(A*) = 2 = 3
0 1 2 16 r(A*) = 3
0 0 11 66 : f3* (1/11) Sistema compatible
1 0 4 29 : f1 - 4f3
0 1 2 16 : f2 - 2f3 S. C. Determinado
0 0 1 6
1 0 0 5
0 1 0 4
0 0 1 6
(125)*C4
1 0 0 625 b = 625
0 1 0 500 c = 500
0 0 1 750 d = 750
A*= Al final multiplicar a C4 * (125)
A*=
125= mcd (7 000, 6 625, 8250)
Costos
Cortar césped C 5 000
Sierras S 1 000
Tijeras T 50
TOTAL 100 S/ 100 000

Página 31 de 39
  
  
  

  
  
  
500 100 5 10 000
100
5000 1000 50 100 000
100
C S
C S T
C S T
C S T
 


 




    
   

T
S T S T
C T C T
80
99
80 99 8000 100
80
19
400 95 0
Solución al problema:




 



  
 
  





T k k Z
S T
C T T
C S T
,
, ,
80
80
99
100
80
19
80
80
son n enteros positivos
K = 1 K=2
T= 80k 80 160 x
80
80
19 
C  T T  19 x
S T
80
99
100  01 x
Total = 100
100
Excede las
100 u
La única solución al problema es: T = 80, C = 19 y S = 1.
1 1 1 1 00
500 100 5 10 000 : f2 -500f1
El sistema es compatible 1 1 1 1 00 : 400f1 + f2
0 -400 -495 -40000 (-1/5)*f2
400 0 -95 0
0 80 99 8000
indeterminado
A*=

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ACTIVIDA: DISCUSIÓN DE S. E. L
Discutir los siguiente sistemas de ecuaciones:

Página 33 de 39
ACTIVIDAD DE APLICACIONES DE S. E. L
1. El siguiente diagrama reproduce una red de calles de una sola vía con el flujo de tráfico en las direcciones indicadas. El número de carros está dado como promedio de carros por hora. Asumiendo que el flujo que llega a una intersección es igual al flujo que sale de ella, construya un modelo matemático del flujo de tráfico. Si la calle que va de C a A estuviera en reparación, ¿cuál sería el mínimo tráfico que se podría permitir?. ¿Cómo podría obtenerse este mínimo?
2. El siguiente diagrama reproduce una red de calles de una sola vía con el flujo de tráfico en las direcciones indicadas. Asumiendo que el flujo que llega a una intersección es igual al flujo que sale de ella.
a) construya un modelo matemático del flujo de tráfico.
b) Si al resolver el sistema obtenido en (a), se obtiene la siguiente solución; donde las columnas 1 hasta la columna 5 representan los coeficientes de x, y, z, w y t, respectivamente, y la última columna es de términos independientes:
1 0 0 1 0 100
0 1 0 1 0 80
0 0 1 -1 0 70
0 0 0 0 1 120
 Determine el tipo de sistema.

Página 34 de 39
 Determine la solución al problema dado.
 Suponer que la calle de A a D estuviera en reparación, ¿cuál sería el mínimo tráfico que se podría tener en las avenidas del circuito?
 Suponiendo 20 carros pasan por la avenida Bolívar, ¿cuál sería el tráfico que se podría tener en las avenidas del circuito?
3. Considerar el siguiente diagrama de una malla de calles de un sentido con vehículos que entran y salen de las intersecciones. La intersección k se denota [k]. Las flechas a lo largo de las calles indican la dirección del flujo de tráfico. Sea xi = número de vehículos/h que circulan por la calle i. Suponiendo que el tráfico que entra a una intersección es igual al que sale.
a) Establezca un sistema de ecuaciones que describa el diagrama del flujo de tráfico
b) Si al resolver el sistema obtenido en (a), se obtiene la siguiente solución; donde las columnas 1 hasta la columna 5 representan los coeficientes de x1 a x5, respectivamente, y la última columna es de términos independientes
1 0 -1 0 1 200
0 1 -1 0 1 200
0 0 0 1 -1 -100
0 0 0 0 0 0
 Determine el tipo de sistema.
 Determine la solución al problema dado.
 Suponer que la calle de [1] a [3] necesita cerrarse; es decir, x3=0. ¿Puede cerrarse también la calle de [4] a [1]? Si no se puede cerrar, ¿cuál es la mínima cantidad de vehículos que puede admitir esta calle ([4] a [1])?

Página 35 de 39
4. Un comerciante compró máquinas de cortar césped, sierras y tijeras de podar. Las primeras le costaban a S/ 5 000, las segundas a S/ 1 000 y las terceras a S/ 50. Compró 200 unidades gastando un total de S/ 200 000. ¿Cuántas unidades de cada uno compró, si adquirió los tres productos?
5. Una juguetería produce tres tipos de aviones: el modelo A a un costo de S/ 100, el modelo B a un costo de S/ 200 y el modelo C a un costo de S/ 300. Cierto día vendieron un total de 47 aviones por un monto total de S/ 11 100, con estos datos ¿es posible determinar cuántos aviones de cada modelo se vendió?
6. Para el control de cierta enfermedad de una planta, se usan tres productos químicos en las siguientes proporciones: 10 unidades del químico A, 12 unidades del químico B, y 8 unidades del químico C. Las marcas X, Y y Z son atomizadores comerciales que se venden en el mercado. Un galón de la marca X contiene los químicos A, B y C, en la cantidad de 1, 2 y 1 unidades respectivamente. Un galón de la marca Y contiene los químicos en la cantidad de 2, 1 y 3 unidades respectivamente; y un galón de la marca Z los contiene en la cantidad 3, 2 y 1 unidades respectivamente. ¿Qué cantidad de cada marca debe emplearse para fumigar la planta con las cantidades exactas de los químicos requeridas para el control de la enfermedad?
7. Suponga que una economía simple tiene cuatro industrias: agricultura, construcción, vestuario y transporte, y que se satisfacen las condiciones del modelo cerrado de Leontief. Los insumos y los productos están dados por la siguiente matriz.
Producción
Agricultura Construcción Vestuario Transporte
Consumo Agricultura
Construcción
Vestuario
Transporte

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Suponga que los ingresos a las industrias de agricultura, construcción,
vestuario y transporte son P1, P2,P3 y P4 respectivamente. Asuma que se
cumple la condición de equilibrio (los gastos debidos al consumo es igual a
los ingresos a las ventas), determine los ingresos de cada sector de la
economía.
8. Tres compuestos se combinan para formar tres tipos de fertilizantes. Una
unidad del fertilizante del tipo I requiere 10 kg del compuesto A, 30 kg del
compuesto B y 60 kg del compuesto C. Una unidad del tipo II requiere 20 kg
del A, 30 kg del B, y 50 kg del C. Una unidad del tipo III requiere 50 kg del A y
50 kg del C. Si hay disponibles 1600 kg del A, 1200 kg del B y 3200 del C.
¿Cuántas unidades de los tres tipos de fertilizantes se pueden producir si se
usa todo el material químico disponible?
9. Un dietista está preparando una dieta que consta de los alimentos A, B y C.
Cada onza del alimento A contiene 2 unidades de proteína, 3 unidades de
grasa y 4 unidades de carbohidratos. Cada onza del alimento B contiene 3
unidades de proteína, 2 unidades de grasa y 1 unidad de carbohidratos.
Cada onza del alimento C contiene 3 unidades de proteína, 3 unidades de
grasa y 2 unidades de carbohidratos. Si la dieta debe proporcionar
exactamente 25 unidades de proteína, 24 unidades de grasa y 21
unidades de carbohidratos, ¿cuántas onzas de cada comida se necesitan?
10. Una compañía minera extrae mineral de dos minas, el cual contiene para
la mina I el 1% de níquel y 2% de cobre, para la mina II el 2% de níquel y 5%
de cobre. ¿Qué cantidad de mineral se deberá extraer de cada mina para
obtener 4 toneladas de níquel y 9 toneladas de cobre?

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Solucionario:
1. Análisis de flujo de tráfico:
El flujo de tráfico en la intersección:
300 400 100
750 250 500
100 400 300
200 300 100
2 3 2 3
3 4 3 4
1 2 1 2
4 1 1 4
     
     
     
      
D x x x x
C x x x x
B x x x x
A x x x x
:
:
:
:
Resolviendo el sistema por Gauss – Jordan , se tiene:
0
500
400
100
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 1
1 0 0 1








A
A*
El sistema es consistente indeterminado.
La solución del problema es:   0;  ,  1,4  xi xi Z i
de , y
.Dependiendo del valor que tome , se obtiene los valores
.
,
1 2 3
4 4
4 4
3 4 3 4 4
2 4 2 4 4
1 4 1 4 4
500
0
500 500 0 500
400 400 0 400
100 100 0 100
x x x
x x
x x Z
x x x x x
x x x x x
x x x x x
 
 




 





 
        
        
        




 Supongamos que la calle que va de C a A está en reparación,
entonces el tráfico debe ser el mínimo en dicha calle, ie x4 = 500.
 Luego, para obtener el menor tráfico en C –A, x3  0 , ie: Debe
cerrarse la carretera entre D – C. Con esto se obtendría de manera

Página 38 de 39
única y mínima los flujos en A –B – C ( x1  500 100  400,
x2  500  400 100 .
2. Vb
3. L
4. L
5. L
6. Ñ}
Supongamos que los ingresos de la industria es:
Agricultura : 1 P
Construcción : 2 P
Vestuario : 3 P y
Transporte : 4 P y
Además, teniendo en cuenta que se cumple la condición de equilibrio (los
gastos debidos al consumo son igual a los ingresos debidos a las ventas), se
tiene el siguiente sistema lineal:
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 4 1 1
0
3 9 3 3
1 2 1 1
0
3 3 6 6
1 1 3 1
0
4 9 4 4
1 1 1 3
0
12 9 4 4
P P P P
P P P P
P P P P
P P P P



    


    


    

    

Resolviendo dicho sistema, mediante Gauss – Jordan, usando matlab:
>> C=[-2/3 4/9 1/3 1/3 0;1/3 -2/3 1/6 1/6 0;1/4 1/9 -3/4 1/4 0;1/12 1/9 1/4 -3/4 0]
C =
-0.6667 0.4444 0.3333 0.3333 0
0.3333 -0.6667 0.1667 0.1667 0
0.2500 0.1111 -0.7500 0.2500 0
0.0833 0.1111 0.2500 -0.7500 0
>> rref(C)
ans =
1.0000 0 0 -2.4000 0
0 1.0000 0 -1.8000 0
0 0 1.0000 -1.4000 0

Página 39 de 39
0 0 0 0 0
de donde se obtiene:
1. rang(A)=rang(A/B)=3<nº variables(4). Por tanto el sistema es compatible
indeterminado, ie: tiene infinitas soluciones:
2. Las soluciones se obtiene de la ultima matriz equivalente a la ampliada
(A/B)=C, Cada fila representa las siguientes ecuaciones:
1 4 1 4
2 4 2 4
3 4 3 4
12
2.4 0
5
9
1.8 0
5
7
1.4 0
5
0 0 ( )
P P P P
P P P P
P P P P
Verdad
   
   
   

Haciendo:
4
1
2
3
5 ,
12
9
7
P t t
P t
P t
P t
  
 
 
 
La solución del sistema se puede representar como:
    P1,P2,P3  12t,9t,7t  t 12,9,7,t  , tiene infinitas soluciones.
Sin embargo para la solución del problema dado, “t” debe ser un
número real no negativo, tales que los ingresos de la industria de la
agricultura, construcción y vestuario están en la proporción 12:9:7,
respectivamente.
7.

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