Este documento describe vectores en el espacio tridimensional. Explica que un vector en R3 es una triada ordenada de números reales <x,y,z> y que su magnitud se calcula como la raíz cuadrada de x2 + y2 + z2. También describe la dirección de un vector mediante sus ángulos directores y las operaciones de suma y producto por escalar de vectores, así como las propiedades de estas operaciones. Finalmente, introduce las bases vectoriales i, j, k en R3.

1. VECTORES EN EL
ESPACIO
Geometría Analítica del espacio
Curso: CÁLCULO VECTORIAL
Rafael D. Méndez A.

2. Vector en R 3
Un vector en el espacio tridimensional es una triada
ordenada de números reales <x,y,z>. Los números x, y, z
se llaman componentes del vector.
Un vector puede ser un segmento rectilíneo dirigido de
un punto a otro. Así:

3. Magnitud de un vector
Corresponde a la longitud de la representación de un
vector.
Para un vector
Su magnitud se designa por y es igual a:
La fórmula anterior corresponde a la distancia entre el
punto final e inicial del vector.

4. Dirección de un vector
La dirección de un vector está dada por tres ángulos,
llamados ángulos directores del vector.
z Ángulos directores
y
Cosenos
directores
x

5. Para los cosenos directores de cualquier vector, se cumple
que:
Un vector unitario, en la misma dirección de A es:

6. Suma y resta de vectores
Entonces:
Si es un escalar, entonces:

7. Propiedades de la suma y producto
por un escalar de vectores
Si A, B y C son vectores cualesquiera en R3 y c,d escalares
cualesquiera, entonces:
(Ley conmutativa)
(Ley asociativa)
(Existencia del idéntico aditivo)
(Existencia del negativo)
(Ley asociativa)

8. (Ley distributiva)
(Ley distributiva)
(Existencia del idéntico multiplicativo escalar)

9. Bases en R 3
z
Como se puede observar en la figura:
Donde:
y
Los vectores unitarios i, j, k son llamados
x bases en R3 ya que cualquier vector puede
expresarse en base a ellos.