1. Capítulo 7
TORSIÓN (complemento)
Dr. Fernando Flores
7.1. INTRODUCCIÓN
En este capítulo se estudia la ecuación diferencial (en derivadas parciales), que gobierna el
alabeo de una sección cuando la pieza está sometida a torsión uniforme y sin restricción al alabeo.
Se presentan las dos posibles aproximaciones: Función de Alabeo y Función de Tensión. Se muestra
como a partir de esta última se plantea la analogía de la membrana. En general la integración
de las ecuaciones no es posible en forma exacta. Se incluyen y discuten resultados obtenidos con
técnicas numéricas para algunos ejemplos de geometrías sencillas y perfiles estructurales. Estos
resultados permiten apreciar la precisión de las formulas aproximadas usadas en la Resistencia de
Materiales.
Las próximas dos secciones han sido traducidas de Foundations of Solids Mechanics, Y.C. Fung,
Prentice Hall, Englewood Cliffs, 1969. Las notas a pie de página son notas propias para un mejor
comprensión del tema.
7.2. Función de alabeo
El problema de la torsión de un cuerpo prismático ilustra una aplicación de la teoría de la
elasticidad. Una pieza prismática con un eje x, está solicitado en su extremos por una distribución
de tensiones de corte cuyo fuerza resultante es nula, pero cuyo momento resultante es un torque
Mt. La superficie lateral de la pieza está libre de tensiones (ver. Figura 7.1).
Si la pieza es un cilindro circular, es muy fácil mostrar que todas las secciones normales al
eje x permanecen planas, y que la deformación consiste en rotaciones relativas φ de las secciones
transversales. El cambio de rotación por unidad de longitud dφ/dx es proporcional al momento
Mx, con una constante de proporcionalidad igual al producto del módulo de corte transversal G
del material de la pieza, y al momento polar de inercia J del área transversal de la pieza
GJ
dφ
dx
= Mx. (7.1)
La única componente de tensión no-nula es el corte en la sección transversal perpendicular a
x, cuya magnitud es
τ =
Mxr
J
(7.2)
1

2. Figura 7.1: Torsión de barras de sección cuadrada y elíptica, como las dibujara Saint Venant
donde r es el radio vector desde el eje baricéntrico x.
Si la sección transversal no es circular, la sección transversal originalmente plana no se mantiene
plana; se alabea, como se muestra en la Figura 7.1. El problema es calcular la distribución de
tensiones y la deformación de la pieza.
Este es un problema importante en ingeniería porque muchas piezas prismáticas son usualmente
usadas para trasmitir momentos torsores. La más famosa solución del problema es debida a Barre
de Saint Venant (1855), que usó la aproximación denominada “semi-inversa”, esto es un método
en el cual se adivina parte de la solución (es decir se hace una hipótesis) y se intenta determinar
el resto en forma racional de tal forma que se satisfagan todas las ecuaciones de equilibrio y de
contorno del problema. El problema de torsión no es simple. Saint Venant, guiado por la solución
del eje circular, hizo una hipótesis brillante y mostró que puede obtenerse una solución exacta de
un problema bien definido.
Consideremos entonces una pieza prismática con un eje x, con extremos en x = 0 y x = L.
Utilizaremos un sistema de ejes cartesianos x, y, z, donde el plano y − z es perpendicular al eje
de la pieza. Las componentes de desplazamiento en las direcciones x, y, z, se denominaran por u,
v, w respectivamente. Saint Venant supuso que cuando la pieza se retuerce, la sección transversal
se alabea pero las proyecciones sobre el plano y − z rotan como un cuerpo rígido; es decir
u (x, y, z) = θ ¯u (y, z)
v (x, y, z) = −θxz (7.3)
w (x, y, z) = θxy
donde ¯u (y, z) es alguna función de y y z, denominada la función de alabeo, y θ es el ángulo de
torsión por unidad de longitud de la pieza que se supone que es muy pequeño (θL 1). Se
espera que la función ¯u (y, z) pueda satisfacer las ecuaciones diferenciales de equilibrio (sin fuerzas
másicas)
∂σx
∂x
+
∂τyx
∂y
+
∂τzx
∂z
= 0
∂τxy
∂x
+
∂σy
∂y
+
∂τzy
∂z
= 0 (7.4)
∂τzx
∂x
+
∂τzy
∂y
+
∂σz
∂z
= 0
2

3. las condiciones de borde sobre la superficie lateral de la pieza
τxyνy + τxzνz = 0
σyνy + τyzνz = 0 (7.5)
τyzνy + σzνz = 0
y las condiciones de contorno en los extremos x = 0 y x = L:
σx = 0
(7.6)
τxy, τxz equivalentes al torsor Mx
Las constantes νy, νz, son los cosenos directores de la normal saliente a la superficie lateral
(νx = 0).
A partir de (7.3) se obtienen las tensiones usando la ley de Hooke1
τxy = θG
∂¯u
∂y
− z , τxz = θG
∂¯u
∂z
+ y (7.7)
τxy = σx = σy = σz = 0
La sustitución de estos valores en la ecuación (7.4) muestran que las ecuaciones de equilibrio
se satisfacen si la ¯u (y, z) satisface la ecuación
∂2
¯u
∂y2
+
∂2
¯u
∂z2
= 0 (7.8)
en todos los puntos de la sección transversal del cilindro. Para satisfacer las condiciones de borde
(7.5), debe tenerse
∂¯u
∂y
− z cos (ν, y) +
∂¯u
∂z
+ y cos (ν, z) = 0 (7.9)
en C, donde C es el contorno de la sección transversal R (ver Figura 7.2). Pero
∂¯u
∂y
cos (ν, y) +
∂¯u
∂z
cos (ν, z) ≡
∂¯u
∂ν
(7.10)
en consecuencia, la condición de contorno (7.9) puede escribirse como
∂¯u
∂ν
= z cos (ν, y) − y cos (ν, z) (7.11)
en C.
Las condiciones de contorno (7.6) se satisfacen si:
ˆ ˆ
R
τxy dy dz = 0,
ˆ ˆ
R
τxz dy dz = 0 (7.12)
1
La deformación de corte γ se define en los cursos de elasticidad como
γxy =
∂u
∂y
+
∂v
∂x
=
∂
∂y
(θ ¯u (y, z)) +
∂
∂x
(−θxz) = θ
∂¯u
∂y
− z
γxz =
∂u
∂z
+
∂w
∂x
=
∂
∂z
(θ ¯u (y, z)) +
∂
∂x
(θxy) = θ
∂¯u
∂z
+ y
3

4. R
C
y
z
dy
dz
ds ν
(v,y)=vy
(v,z)=vz
Figura 7.2: notación
ˆ ˆ
R
(yτxz − zτxy) dy dz = Mx (7.13)
Puede demostrarse que las ecuaciones (7.12) ya se satisfacen idénticamente si ¯u satisface (7.8)
y (7.11) porque:
ˆ ˆ
R
τxy dy dz = θG
ˆ ˆ
R
∂¯u
∂y
− z dy dz
= θG
ˆ ˆ
R
∂
∂y
y
∂¯u
∂y
− z +
∂
∂z
y
∂¯u
∂z
+ y dy dz
dado que ¯u satisface (7.8). Aplicando el teorema de Gauss2
a la última integral, se convierte en
una integral de línea sobre el contorno C de la región R:
θG
ˆ
C
y
∂¯u
∂ν
− z cos (y, ν) + y cos (z, ν) ds
que se anula a partir de (7.11). Similármente se satisface la segunda de las ecuaciones (7.12).
Finalmente, la última condición (7.13) requiere que:
Mx = θG
ˆ ˆ
R
y2
+ z2
+
∂¯u
∂z
y − z
∂¯u
∂y
dy dz (7.14)
denominando con It a la integral
It =
ˆ ˆ
R
y2
+ z2
+
∂¯u
∂z
y − z
∂¯u
∂y
dy dz (7.15)
se tiene
Mx = θGIt (7.16)
Esto sólo muestra que el momento torsor es proporcional al ángulo específico de torsión, con
una constante de proporcionalidad GIt, la cual se denomina habitualmente rigidez torsional de la
2
El teorema de Gauss o de la divergencia (en un dominio plano) expresa que la integral de la divergencia de
una función vectorial f en un área cerrada A es igual a la integral del flujo de la función a través del contorno Γ
del área
´
A
div(f) dA =
´
Γ
f · ν ds (ν es la normal al contorno) o escrito en componentes
´
A
∂fy
∂y + ∂fz
∂z dy dz =
´
Γ
(fy νy + fzνz) ds
En la expresión utilizada fy = y ∂¯u
∂y − z y fz = y ∂¯u
∂z + y . Notar además que se ha utilizado (7.10)
4

5. pieza. El valor de It representa el momento polar de inercia de la sección sólo cuando la sección
transversal es circular. Sin embargo convencionalmente se suele mantener la notación GJ para la
rigidez torsional, incluso para secciones no circulares.
En consecuencia, vemos que el problema de torsión se reduce a la solución de las ecuaciones
(7.8) y (7.11). La solución conduce a una distribución de tensiones τxy, τxz. Si los extremos de la
pieza están libres de alabearse, y si las tensiones prescritas en los caras extremas son exactamente
las mismas dadas por la solución, entonces se ha obtenido la solución exacta y esa solución es
única. Si la distribución de tensiones actuante sobre las secciones extremas, aunque equivalentes
al momento torsor Mx , no coinciden exactamente con las dadas por la expresión (7.7), entonces se
tiene una solución aproximada del problema. De acuerdo al principio propuesto por el mismo Saint
Venant, el error en la aproximación es sólo significativo en la vecindad de las secciones extremas.
La ecuación (7.8) es una ecuación potencial; las soluciones de la misma se denominan funciones
armónicas. La misma ecuación aparece en hidrodinámica. La condición de contorno (7.11) es
similar al de un flujo potencial en hidrodinámica con velocidad normal prescripta sobre el contorno.
En el problema hidrodinámico, la condición para la existencia de una solución es que el flujo total
a través del contorno debe anularse. Traducido a nuestro problema, la condición para existencia
de una solución ¯u es que la integral de la derivada normal al contorno de la función ¯u calculada
sobre todo el contorno C, debe anularse. Esto se deduce de la identidad
ˆ
C
∂¯u
∂ν
ds =
ˆ ˆ
R
div (grad ¯u) dx dy =
ˆ ˆ
R
2
¯u dx dy (7.17)
donde
2
=
∂2
∂y2
+
∂2
∂z2
y del hecho de que 2
¯u = 0. Esta condición se satisface en nuestro caso por (7.11), como puede
mostrarse fácilmente. En consecuencia, nuestro problema se reduce a la solución de un problema
potencial (denominado problema de Neumann) sujeto a la condición de contorno (7.11).
7.3. Función de tensión
Una aproximación alternativa fue propuesta por Prandtl, que toma a las componentes de
tensión como las incógnitas principales. Si suponemos que las únicas componentes de tensión no
nulas son τxy, τxz, entonces las ecuaciones de equilibrio (7.4) se satisfacen si se cumple que
∂τxy
∂y
+
∂τxz
∂z
= 0 (7.18)
Prandtl observó que esta ecuación es idénticamente satisfecha si τxy y τxz se derivan de una
función de tensión ψ (y, z) de la forma
τxy =
∂ψ
∂z
τxz = −
∂ψ
∂y
(7.19)
Esta ecuación se corresponde con la función de corriente en hidrodinámica si τxy y τxz se
identifican con las componentes de velocidad. Aunque ψ puede ser arbitraria en lo concerniente al
equilibrio, el sistema de tensiones (7.19) debe satisfacer las condiciones de contorno (7.5) y (7.6), y
condiciones de compatibilidad. En ausencia de fuerzas másicas las condiciones de compatibilidad
requieren que3
:
2
τxy = 0 2
τxz = 0
3
Las condiciones de compatibilidad (ver cualquier texto de elasticidad) resultan de exigir igualdad de derivadas
5

6. es decir
∂2
τxy
∂y2
+
∂2
τxy
∂z2
= 0
∂2
τxz
∂y2
+
∂2
τxz
∂z2
= 0
en consecuencia a partir de (7.19)
2
τxz =
∂2
τxz
∂2y
+
∂2
τxz
∂z2
= −
∂2
∂y2
∂ψ
∂y
−
∂2
∂z2
∂ψ
∂y
= −
∂
∂y
∂2
ψ
∂y2
+
∂2
ψ
∂z2
= −
∂
∂y
2
ψ = 0
(7.20)
2
τxy =
∂2
τxy
∂2y
+
∂2
τxy
∂z2
=
∂2
∂y2
∂ψ
∂z
+
∂2
∂z2
∂ψ
∂z
=
∂
∂z
∂2
ψ
∂y2
+
∂2
ψ
∂z2
=
∂
∂z
2
ψ = 0
con lo cual
2
ψ = cte. (7.21)
De las condiciones de borde (7.5) sólo la última no se satisface en forma idéntica. Si notamos
a partir de la Figura 7.2 que:
νy = cos (ν, y) =
dz
ds
νz = cos (ν, z) = −
dy
ds
(7.22)
podemos escribir la última de las (7.5) como
∂ψ
∂z
dz
ds
+
∂ψ
∂y
dy
ds
=
dψ
ds
= 0 en C (7.23)
En consecuencia ψ debe ser constante a lo largo de la curva de contorno C. Para una sección
simplemente conexa, sin perdida de generalidad puede establecerse
ψ = 0 en C (7.24)
Si la sección transversal ocupa una región R que es multiplemente conexa, deben imponerse
condiciones de compatibilidad adicionales (ψ = cte. sobre cada curva cerrada del contorno).
Resta examinar las condiciones de contorno en los extremos (7.6). La primera σx = 0, resulta
de las hipótesis iniciales. Las otras condiciones están definidas en (7.12) y (7.13). Ahora
ˆ ˆ
R
σxy dx dy =
ˆ ˆ
R
∂ψ
∂z
dx dy
Por el teorema de Gauss, esta es
´
C
ψνy ds y se anula de acuerdo con (7.24). En forma similar
se anula la resultante de fuerzas en la dirección z. Por lo tanto las ecuaciones (7.12) se anulan.
Finalmente la ecuación (7.13) requiere que:
Mx = −
ˆ ˆ
R
y
∂ψ
∂y
+ z
∂ψ
∂z
dy dz
que usando el teorema de Gauss puede transformarse en:
Mx = −
ˆ ˆ
R
∂
∂y
(yψ) +
∂
∂z
(zψ) − 2ψ dy dz
= −
ˆ
C
{yψ cos (ν, y) + zψ cos (ν, z)} ds +
ˆ ˆ
R
2ψ dy dz (7.25)
segundas cruzadas de componentes de deformaciones por ejemplo
∂2
γxy
∂y∂z =
∂2
γxy
∂z∂y , y a partir de su definición en
función de los desplazamientos establecer condiciones de la forma
εij,kl + εkl,ij − εik,jl − εjl,ik = 0
que usando la ley de Hooke pueden escribirse en función de tensiones
6

7. Si R es una región simplemente conexa, la integral de línea se anula debido a la condición (7.24).
En consecuencia
Mx =
ˆ ˆ
R
2ψ dy dz
Entonces, todas las ecuaciones diferenciales y las condiciones de contorno referidas a tensiones
se satisfacen si ψ obedece las ecuaciones (7.21), (7.24) y (7.25). Pero permanece indeterminada la
constante de la expresión (7.21). Esta constante tiene que ser determinada por las condiciones de
contorno de desplazamientos. De las ecuaciones (7.3) y (7.7) se tiene
∂u
∂y
=
τxy
G
+ θz
∂u
∂z
=
τxz
G
− θy (7.26)
derivando con respecto a z y a y respectivamente, y haciendo la diferencia, se obtiene
1
G
∂τxy
∂z
−
∂τxz
∂y
= −2θ
usando (7.19) da
∂2
ψ
∂y2
+
∂2
ψ
∂z2
= −2Gθ (7.27)
De esta forma, el problema de torsión de reduce a la solución de la ecuación de Laplace (7.27) con
condiciones de borde (7.24).4
Con cualquiera de las dos aproximaciones bosquejadas arriba, el problema de torsión se reduce
a un problema estándar de la teoría de potenciales en dos dimensiones. Tales problemas potenciales
también ocurren en los campos hidrodinámico, gravitacional, electricidad estática, flujo de calor
estacionario, etc. Mucho se ha trabajado sobre estos problemas potenciales y muchas soluciones
especiales han sido obtenidas y están disponibles. La herramienta más poderosa5
para la teoría
de potenciales en dos dimensiones viene de la teoría de funciones en variable compleja. (fin de la
traducción)
7.4. Analogía de la membrana
La analogía de la membrana elástica, también conocida como la analogía de la película de jabón,
fue inicialmente publicada por un pionero de la aerodinámica Ludwing Prandlt en 1903. Describe
la distribución de tensiones en barras largas sometidas a torsión. La sección transversal de la barra
es constante a lo largo de su longitud y no es necesariamente circular. La ecuación diferencial que
gobierna la distribución de tensiones en la barra en torsión es de la misma forma que la ecuación
que gobierna la forma de la membrana bajo una presión diferencial. En consecuencia, a los fines
de “descubrir” la distribución de tensiones sobre la barra, todo lo que hay que hacer es calar
una plancha de madera con la forma de la sección, cubrirla con una película de jabón y aplicar
una presión diferencial entre ambas caras. Luego la pendiente de la película en cualquier punto
de la sección es directamente proporcional a la tensión en la barra en el punto correspondiente
(traducido de wikipedia).
4
A la expresión 7.27 se puede llegar a partir de:
∂ψ
∂z = τxy = θG ∂¯u
∂y − z , − ∂ψ
∂y = τxz = θG ∂¯u
∂z + y
derivando la primera respecto de z la segunda respecto de y y restando miembro a miembro
∂2
ψ
∂z2
+
∂2
ψ
∂y2
=
∂
∂z
θG
∂¯u
∂y
− z −
∂
∂y
θG
∂¯u
∂z
+ y
∂2
ψ
∂z2
+
∂2
ψ
∂y2
= θG
∂2
u
∂z∂y
−
∂2
u
∂z∂y
−
∂z
∂z
+
∂y
∂y
= −2Gθ
5
desde el punto de vista analítico
7

8. 7.4.1. Ecuación de equilibrio de una membrana traccionada
Supongamos que una membrana, de espesor e y fija en su contorno, esté sometida a una
tracción uniforme en ambas direcciones cartesianas (ver Figura 7.3a), de tal forma que el tensor
de tensiones, correspondiente a un estado de tensión plana, tiene la forma (este estado tensional
es uniforme en toda la membrana):
T =
σ 0
0 σ
La fuerza másica, de existir, se considera normal al plano de la membrana. Luego en dicho
plano (x − y) se cumplen en forma trivial las ecuaciones de equilibrio.
σ
σ
σ
σ
σ
σ
p
du/dy
(a) (b)
Figura 7.3: Membrana traccionada sometida a una presión lateral
Si se aplica una presión lateral p (uniforme) sobre la membrana (la fuerza másica se puede
incluir como parte de esta presión lateral), esta se desplaza lateralmente u (y, z) (dejando de ser
plana) a los fines de restablecer el equilibrio. Se supone que σe es suficientemente alta y p es
relativamente baja, de tal forma que los desplazamientos son suficientemente pequeños con lo cual
la presión no modifica sustancialmente las tensiones en la membrana. Como la membrana no puede
desarrollar momentos flectores (ni esfuerzos de corte transversal en forma análoga a un cable), al
desplazarse transversalmente es a través de la componente vertical de sus esfuerzos en el plano
como puede equilibrar fuerzas normales. La ecuación de equilibrio transversal a la membrana,
debida a la presión lateral es (ver Figura 7.3b):
∂
∂y
σe
∂u
∂y
+
∂
∂z
σe
∂u
∂z
+ p = 0
Siendo σ constante, la expresión anterior resulta
∂2
u
∂y2
+
∂2
u
∂z2
= −
p
σe
Con lo que resulta una ecuación diferencial de equilibrio en función del desplazamiento trans-
versal u. Las condiciones de contorno para este problema son todas cinemáticas (desplazamientos).
Como se dijo antes la membrana está impedida de desplazarse en el contorno, lo cual implica que
la membrana tiene un desplazamiento uniforme (o nulo) en el contorno u =cte. (o 0).
7.4.2. Torsión de Saint Venant usando la función de tensión
En la Sección 7.3 se ha visto que si se definen las tensiones debidas a torsión mediante una
función de tensión ψ
τxz = −
∂ψ
∂y
τxy = +
∂ψ
∂z
8

9. puede mostrarse que la ecuación diferencial a resolver es
∂2
ψ
∂y2
+
∂2
ψ
∂z2
= −2θG
y la condición sobre el contorno es ψ = cte.
7.4.3. Uso de la analogía
De los dos subapartados anteriores se puede ver que la ecuación diferencial y la condición de
contorno son matemáticamente idénticas en ambos. Por lo cual la solución de una permite, usando
el factor de escala apropiado, conocer la solución de la otra. Por supuesto que matemáticamente no
hay ninguna ventaja, la dificultad de resolver una u otra es exactamente la misma. La ventaja está
en que el problema de la membrana es más sencillo de visualizar o de establecer experimentalmente.
Entonces a los fines de aplicar la analogía para una sección dada se realizan los siguientes pasos:
1) se analiza el comportamiento que tendría una membrana tensionada con la forma de la sección.
Esto puede hacerse cuantitativamente (experimentalmente o numéricamente con un programa) o
cualitativamente a partir de consideraciones estructurales; 2) Con este análisis se observan:
Las tangentes a las líneas de nivel (igual desplazamiento en z) de la membrana corresponden
a las direcciones que tienen las tensiones de corte en cada punto. En el contorno trivialmente
coinciden con la tangente el mismo.
El gradiente (pendiente en la dirección normal a la línea de nivel) es proporcional a la
tensión tangencial, a mayor pendiente mayor tensión de corte. Si las líneas de nivel están
muy separadas la tensión es baja si están muy apretadas la tensión es alta. Observar que la
dirección de la tensión de corte es ortogonal al gradiente es decir en la dirección de la línea
de nivel.
Si se tiene un análisis cuantitativo (numérico u experimental) las tensiones de corte resultan,
en direcciones cartesianas y en la dirección de mayor valor (n es la dirección normal a la
línea de nivel)
τy =
∂u
∂z
σe
p
(2Gθ) =
∂u
∂z
α
τz = −
∂u
∂y
σe
p
(2Gθ) = −
∂u
∂y
α
τ = −
∂u
∂n
σe
p
(2Gθ) = −
∂u
∂n
α
donde el coeficiente de escala α es el cociente entre los términos independientes de las ecua-
ciones diferenciales
α =
2Gθ
p
σe
=
σe
p
2Gθ
Además, de ser de interés, el momento torsor se puede calcular como dos veces el volumen
bajo la membrana deformada multiplicado por el factor de escala α
Mt = 2 × V ol × α
9

10. 7.5. Ejemplos usando la función de alabeo
La solución de la ecuación biarmónica (7.8) o (7.27) puede realizarse en forma cerrada (ana-
líticamente) sólo para secciones de geometría sencilla y en general limitadas a ser de un único
material (homogéneas). Una segunda posibilidad es obtener soluciones aproximadas utilizando
técnicas numéricas. Una de las más versátiles es el Método de Elementos Finitos, que permite
tratar geometrías arbitrarias, simple y multiplemente conexas e incluso compuestas por diferentes
materiales. Operativamente el método de elementos finitos requiere dividir la sección en un núme-
ro finito de partes (los elementos) que ocupan toda la sección y no se superponen. En problemas
bi-dimensionales como el que nos ocupa los elementos pueden ser triángulos o cuadriláteros. Esta
división se denomina discretización y lo que resulta se denomina malla de elementos finitos. La
precisión de los resultados depende de la malla, una malla más refinada conduce en general a una
mejor aproximación. A continuación veremos unos pocos ejemplos utilizando la primera de las
posibilidades de la ecuación biarmónica. Notar que utilizar la función de alabeo tiene la ventaja
de que permite no sólo calcular las tensiones de corte sino que permite visualizar como es el alabeo
de la sección. Para lo segundo, se requiere conocer el centro de corte o torsión, el que también
puede determinarse usando el Método de Elementos Finitos (en los ejemplos considerados se trata
de secciones con doble simetría por lo cual el centro de gravedad y el centro de corte coinciden).
7.5.1. Torsión de una sección cuadrada
En la figura 7.4 se muestran los resultados obtenidos para una sección cuadrada. Deben notarse
los siguientes aspectos.
Y
Z
0 0.5 1
0
0.5
1
0.11
0.06
0.01
-0.05
-0.10
-0.15
(b)
Y
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Z
0.2
0.4
0.6
0.8
(a)
(c)
0.0E+00
-1.5E+05
-3.0E+05
-4.5E+05
-6.0E+05
-7.5E+05
-9.0E+05
-1.1E+06
-1.2E+06
-1.4E+06
-1.5E+06
(d)
Figura 7.4: torsión de una sección cuadrada
Se ha graficado sólo un cuarto de la sección por razones de simetría.
10

11. El alabeo sobre las líneas de simetría es nulo. La diagonal es además línea de simetría y por
lo tanto el alabeo es nulo sobre esta línea. En la figura 7.4.a se muestra la sección alabeada,
la Figura 7.4.b muestra este alabeo como líneas de nivel, observar que el alabeo es máximo
sobre los contornos aproximadamente en los puntos (1; 0,6) y (0,6; 1)
En la Figura 7.4.c se muestran las direcciones de las tensiones de corte magnificadas por su
valor. La tensiones de corte son normales a las líneas de simetría y tangentes a los contornos.
Los valores máximos se alcanzan a la mitad de los lados (1;0) (0,1). En la Figura 7.4.d se
ha graficado la componente τzx.
El lado del cuadrado es 2, el momento polar de inercia es J = 2,67. El valor equivalente que se
obtiene es It = 2,25
7.5.2. Torsión de una sección doble T
Un segundo ejemplo, donde una solución exacta es imposible, es un perfil doble T. Se con-
sideraron dos perfiles de la misma altura, un IPN200 (utilizado principalmente como viga) y un
HEA200(utilizado habitualmente como columna) En la Figuras 7.5 y 7.6 se muestran la sección
alabeada y un mapeo del mismo así como los valores de ambas componentes de tensiones de corte.
La mayores tensiones de corte se concentran en las alas, donde hay una variación cuasi lineal entre
la parte superior e inferior de la misma. Esto es particularmente cierto en el perfil de alas anchas
ya que el de alas estrechas no tiene espesor uniforme.
Y
0
0.2
0.4
Z
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
u
4.20
3.40
2.60
1.80
1.00
0.20
1.4E+05
1.0E+05
6.0E+04
2.0E+04
-2.0E+04
-6.0E+04
-1.0E+05
-1.4E+05
τxy
1.2E+05
1.0E+05
8.0E+04
6.0E+04
4.0E+04
2.0E+04
0.0E+00
τxz
Figura 7.5: torsión de una sección IPN200
Del modelo numérico puede obtenerse también la rigidez a torsión. En la versión simplificada
esta se escribe como GIt. La tabla de perfiles provee los valores IIPN
t = 14,6 y IHEA
t = 63,4 en
tanto que los valores equivalentes provistos por el modelo numérico son IIPN
t = 12,8 y IHEA
t = 60,2
7.5.3. Torsión de un tubo cuadrado
Este tercer ejemplo corresponde a un tubo cuadrado (Lado B = 200 mm y espesor t = 10mm
) donde habitualmente se utiliza la fórmula de Bredt. En la Figura 7.7 se muestran los resultados
obtenido por elementos finitos. En este caso se ha ampliado los resultados en las esquinas donde
11

12. Y
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Z
0
0.5
1
1.5
u
8.50
6.50
4.50
2.50
0.50
180000
140000
100000
60000
20000
-20000
-60000
-100000
-140000
-180000
τxy
180000
160000
140000
120000
100000
80000
60000
40000
20000
0
τxz
Figura 7.6: torsión de una sección HEA200
las tensiones no son uniformes en el espesor y la fórmula de Bredt no aproxima correctamente
las tensiones de corte . En la Figura 7.7.c, puede verse que el flujo de las fuerzas de corte es
bastante uniforme a poco que nos alejemos de la esquina, pero allí hay una mayor tensión en la
parte interna. En la Figura 7.7.d se ha graficado el módulo de la tensión de corte para acentuar
lo expresado antes.
La rigidez a torsión que resulta de la 2da fórmula de Bredt (suponiendo una sección con
esquinas a 90o
) es
(JG)Bredt
equiv = G
(2Sm)2
´ ds
t
= G × 6859 cm4
en tanto que del modelo numérico resulta
(JG)Num
equiv = G × 7067 cm4
Según la primera fórmula de Bredt, el valor de la tensión de corte (uniforme) vale:
τ =
q
t
=
Mt
2Smt
= θ
G(2Sm)2
´ ds
t
2Smt
= θ
G (2Sm)
perim
=
θG (B − t)
2
= θG × 9,5 [cm]
Un análisis detallado en este ejemplo muestra que en las partes rectas las tensiones de corte en la
pared externa son 20 % mayores que en la pared interna en tanto que la máxima tensión de corte
en la parte curva excede en un 30 % el valor de la tensión media de corte τmedia = 9,81θG
τexterna = 10,81θG
τinterna = 8,81θG
τm´axima = 12,85θG
7.6. Ejemplos usando la analogía de la membrana
7.6.1. Sección circular
Veamos el ejemplo más sencillo del cual tenemos una solución exacta: la sección circular.
Resolvamos el problema en forma numérica con los siguientes parámetros: diámetro D = 15cm,
p = 1Pa y σe = 100N/m. Supongamos que el módulo de elasticidad del material es G = 8×104
MPa
y que el giro por unidad de longitud es θ = 0,01rad/m. El factor de escala resulta
α =
σe
p
(2Gθ) = 160000 [Mpa]
12

13. Y
Z
(a) Y
Z
20 40 60 80 100 120 140
0
20
40
60
80
100
600.000
450.000
300.000
150.000
0.000
-150.000
-300.000
-450.000
-600.000
(b)
(c)
1.3E+08
1.2E+08
1.2E+08
1.1E+08
1.1E+08
1.1E+08
1.0E+08
9.8E+07
9.4E+07
9.0E+07
8.6E+07
8.2E+07
(d)
Figura 7.7: torsión de un tubo cuadrado
En este caso las tensiones de corte se calculan:
τ = −
∂u
∂s
α = −
∂u
∂s
× 160000 [Mpa]
la tensión de corte exacta vale para un radio cualquiera r
τ = Gθr
En la Figura 7.8 se observan en la parte izquierda (a) las líneas de nivel del desplazamiento
transversal sobre un cuarto de la sección y a la derecha (b) las tensiones de corte a lo largo de
cualquier linea radial. En está última la línea continua es el valor exacto en tanto que los círculos
indican el valor obtenido numéricamente
7.6.2. Sección anular cerrada
Un segundo caso del que se conoce la solución exacta es el de un tubo de sección circular.
Resolvamos el caso rm = 10cm y t = 1cm con las mismos valores de p, σe, G y θ del ejemplo
anterior.
Para resolver este problema debe notarse que el contorno de la sección está formado por
dos líneas: la descripta por el radio externo y la descripta por el radio interno. Las condiciones
de contorno del problema requieren que u sea constante en el contorno. Cuando hay un único
contorno basta con suponer que allí u vale 0. Cuando hay más de un contorno, en este ejemplo y
en general en secciones multicelulares, se supone que u = 0 sobre el contorno externo, en tanto
13

14. r [mm]
r[mm]
0 20 40 60
0
20
40
60
80
r[mm]
τ[MPa]
0 20 40 60 80
0
10
20
30
40
50
60
Exacta
Numerica
(a) (b)
Figura 7.8: Sección circular maciza
que en los otros contornos debe asegurarse un valor constante en cada uno de ellos, cuyo valor
debe determinarse como parte de la solución.
Por otro lado la presión normal p debe aplicarse sobre todo la superficie delimitada por el
contorno externo. Es decir que la presión no solo se aplica sobre la membrana sino también sobre
las zonas delimitadas por los contornos interiores.
Para el ejemplo sencillo que nos ocupa entonces:
Sobre el contorno externo (re = 105mm) se impone la condición u = 0
Sobre el contorno interno (ri = 95mm) se impone la condición u = cte. cuyo valor saldrá del
análisis
la presión lateral se aplica sobre la membrana y sobre la superficie circular interna de radio
ri
Debido a la simetría del problema, el resultado es idéntico a lo largo de cualquier radio, lo cual
permite resolver el problema como unidimensional
En la Figura 7.9a se muestra el desplazamiento de la membrana entre un valor máximo en el
borde interno hasta el valor nulo impuesto en el borde externo. En la Figura 7.9b se comparan las
soluciones exacta (lineal) y numérica.
7.6.3. Sección rectangular h/b=4
Consideremos ahora una sección rectangular de dimensiones b = 5cm y h = 20cm, con las
mismos valores de p, σe, G y θ del ejemplo anterior. Utilizando las condiciones de doble simetría,
numéricamente alcanza con analizar un cuarto de la sección
En la parte superior derecha de la Figura 7.10 se ven las líneas de nivel de los desplazamientos
de la membrana. En la parte inferior de la Figura 7.10 se ha graficado las tensiones de corte a lo
14

15. r[cm]
u[mm]
9.5 10 10.5
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
r[cm]
τ[Mpa]
9.5 10 10.5
76
78
80
82
84
Exacta
Numerica
(a) (b)
Figura 7.9: Sección anular cerrada
largo de las líneas de simetría horizontal y en la parte superior derecha de la figura a lo largo del
eje vertical. Puede observarse que:
en la menor dirección de la sección la tensión de corte τxz crecen en forma prácticamente
lineal entre el centro y el borde (como indicaría la teoría de Coulomb)
en la dirección mayor las tensiones de corte τyz es prácticamente nula en toda la parte central
y luego crece en forma parabólica
la tensión de corte máxima τxz a la mitad del lado más largo es aproximadamente un 50 %
mayor que la máxima tensión τyz a lo largo del lado más corto
la tensión de corte se anula en el centro y también en las esquinas
El momento torsor se puede calcular como dos veces el volumen bajo la membrana deformada
multiplicado por el factor α
Mt = 2 × V ol ×
σe
p
2Gθ = V ol × 32 × 1010
en este caso debe tenerse en cuenta que debido a la simetría se ha trabajado con un cuarto de la
sección, por lo cual hay que incluir un factor 4 si el cálculo del volumen se realiza sobre el cuarto
de sección utilizado. Evaluando numéricamente el volumen resulta
M = 16823Nm
con lo cual la rigidez equivalente es
GJρ =
M
θ
= 1, 6823MNm2
It = 2103cm4
este último valor se puede comparar con el momento de inercia polar de la sección J = bh
12
(b2
+ h2
) =
3542cm3
y con la aproximación a secciones delgadas abiertas It = 1
3
hb3
= 833cm4
. La primera re-
sulta por supuesto más alta y la segunda más baja (la sección no califica como de pared delgada).
15

16. X
Y
0 2 4 6 8 10
0
0.5
1
1.5
2
2.5
X[cm]
τ[MPa]
0 2 4 6 8 10
0
10
20
30
40
τ [MPa]
Y[cm]
0 10 20 30 400
0.5
1
1.5
2
2.5
Figura 7.10: Sección rectangular
La relación entre el valor de It y el momento polar de inercia es
ρ =
It
J
= 0,594
7.6.4. Sección anular abierta
Consideremos la misma geometría de la sección anular cerrada vista antes, pero ahora abierta,
es decir cortada a lo largo de un meridiano. La expresión que se utiliza para determinar las
tensiones de corte en el caso de secciones abiertas de pequeño espesor es la siguiente:
Mx = GJρθ Jρ =
ˆ
s
e3
3
ds = πDe3
τ = 2Gθy
donde en la última expresión y es la distancia del punto donde se evalúa la tensión de corte al
punto medio del espesor.
En la Figura 7.11 se muestran los resultados obtenidos. Por un lado se incluyen los desplaza-
mientos de la membrana en toda la sección. En este caso todo el contorno de la sección (exterior,
interior y el corte) tiene desplazamiento nulo para la membrana. La membrana entonces alcanza
su máximo desplazamiento aproximadamente en la línea media de la pared. Estos desplazamientos
son prácticamente uniforme en todo el desarrollo de la sección salvo naturalmente en la zona del
corte.
A los efectos de visualizar los detalles se muestran ampliadas las líneas de nivel asociadas a
la zona donde la sección está abierta (derecha) y el punto opuesto de la sección (izquierda). La
asimetría que puede notarse se debe a la aproximación numérica y a la forma en que el graficador
interpreta los resultados pero no es una cuestión física.
Finalmente en el cuadro superior del gráfico se muestran las tensiones de corte en el espesor de
la pared utilizando la expresión aproximada y la obtenida numéricamente en base a la analogía.
Puede notarse que los resultados son prácticamente coincidentes.
7.6.5. Sección multicelular
En la Figura 7.12 se ve una sección cuadrada con dos paredes internas. Las paredes externas
son de espesor uniforme, en tanto que la interna vertical tiene el doble que las externas y la interna
16

17. r [cm]
τ[MPa]
9.6 9.8 10 10.2 10.4
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
Aproximada
Numerica
Figura 7.11: Sección anular abierta
horizontal el mismo espesor que las externas. En la solución numérica de la membrana todo el
contorno está impedido de desplazarse, en tanto que cada uno de los contornos internos tendrá un
valor único de desplazamiento que resulta del análisis.
Los desplazamientos de cada uno de los contornos internos resultan (en mm):
u1 = 4,96 × 10−3
u2 = 5,33 × 10−3
u3 = 5,17 × 10−3
los cuales son relativamente similares con una diferencia máxima menor al 8 %. (entre las celdas 1
y 2). Debe notarse que las tensiones de corte son proporcionales al gradiente del desplazamiento,
por lo que si dos celdas adyacentes se elevan valores similares el gradiente promedio en la pared
común será muy bajo. En la figura se han incluido las curvas de nivel de los desplazamientos.
Claramente en las paredes internas están muy espaciadas en tanto que en las paredes externas
están muy apretadas y en forma prácticamente uniformes salvo en las esquinas donde aparecen
singularidades.
Para esta sección en particular podría decirse que las paredes internas tienen una contribución
despreciable a la torsión y que podrían analizare la pieza coma un tubo cuadrado sin paredes
internas usando las expresiones de Bredt.
7.7. Sobre la segunda fórmula de Bredt
La segunda fórmula de Bredt se puede obtener en base al principio de conservación de la
energía que postula que el trabajo desarrollado por las fuerzas externas (TE) debe ser igual a la
17

18. 1
2
3
Figura 7.12: Sección multicelular
energía de deformación (ED) almacenada en el sólido (este tema se aborda en forma un poco más
amplia en el curso de Análisis Estructural y en forma detallada en el curso de Mecánica de las
Estructuras II ). Consideremos una viga recta de longitud L de sección constante restringida de
girar en un extremo y sometida a un momento torsor M en el otro. Utilizando la hipótesis de
linealidad, el trabajo realizado por el momento desde que se empieza a aplicar hasta su valor final
vale
TE =
1
2
Mφ =
1
2
MLθ
en tanto que la energía de deformación almacenada se escribe en función de la tensión de corte τ
y la distorsión asociada γ
ED =
1
2
ˆ
V
τγ dV
reemplazando la relación constitutiva γ = τ
G
en ésta última y descomponiendo la integral de
volumen en la integral a lo largo de la viga x, la integral en la línea media de la sección s y en la
dirección del espesor e :
ED =
1
2
ˆ
V
τ2
G
dV =
1
2
ˆ
L
˛
s
ˆ
e
τ2
G
de ds dx
siendo la viga de material homogéneo el módulo de corte G se pueden sacar fuera de todas la
integrales, usando la hipótesis de que las tensiones τ son constantes en el espesor, la integral en
18

19. dicha dirección es directa, quedando:
ED =
1
2G
ˆ
L
˛
s
eτ2
ds dx
reemplazando ahora las tensiones en función del flujo de corte τ = q
e
y siendo q constante se lo
puede sacar fuera de la integral e integrar en x:
ED =
1
2G
ˆ
L
˛
s
e
q
e
2
ds dx =
q2
2G
ˆ
L
˛
s
1
e
ds dx =
1
2
q2
L
G
˛
s
1
e
ds
En base al postulado mencionado, igualando TE y ED se tiene
1
2
MLθ =
1
2
q2
L
G
˛
s
1
e
ds
reemplazando la primera fórmula de Bredt (q = M/2Sm)
MLθ =
M2
L
4GS2
m
˛
s
1
e
ds
se puede despejar el ángulo específico de torsión
θ =
M
4GS2
m
˛
s
1
e
ds
y definir la rigidez equivalente a torsión:
GIt = G
4S2
m
¸
s
1
e
ds
It =
4S2
m
¸
s
1
e
ds
19