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Apostila matemática básica I

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Conceitos de matemática básica I (CIEE)
Apostila EAD

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  • 1. Programa CIEE de Educação a Distância MATEMÁTICA BÁSICA I SUMÁRIOIntrodução ............................................................................................................ 02Aula 1 – Números naturais ................................................................................... 03Aula 2 – Números Primos, MMC e MDC .............................................................. 10Aula 3 – Números inteiros e racionais .................................................................. 15Aula 4 – Sistema de numeração decimal ............................................................. 25Aula 5 – Medidas de comprimento e área ............................................................ 29Aula 6 – Medidas de tempo, massa, capacidade e volume .................................. 37Referências .......................................................................................................... 44 1
  • 2. Programa CIEE de Educação a DistânciaINTRODUÇÃOSeja bem-vindo ao curso de Matemática Básica I. Nele, compartilharemos muitasinformações interessantes e fundamentais para utilização em qualquer situação,seja em casa, na rua, no mercado, na feira, na escola, no estágio etc.Este curso foi elaborado para que você se sinta mais preparado para resolversituações que exigem o uso da matemática, em qualquer situação!A ideia inicial é revisar alguns conceitos fundamentais para que você tenha um bomembasamento e consiga acompanhar com facilidade as aulas seguintes. 2
  • 3. Programa CIEE de Educação a DistânciaAULA 1 – NÚMEROS NATURAISMuitas vezes nem percebemos, mas os números estão presentes em muitassituações do dia a dia, na identificação da nossa casa, na placa do carro, notelefone, em horas, no dia do mês, nos documentos, entre outros...Esses números são conhecidos como números naturais e será o primeiro assuntoque abordaremos no curso.Observe o bilhete abaixo: Bom dia Matheus! Não se esqueça do nosso encontro referente ao trabalho da Professora Lúcia, hoje às 17 horas, em frente ao 3º portão da universidade. Até lá! Beijos Mariana Qualquer problema me ligue 234-5678Percebeu que em um simples bilhete tivemos que utilizar por três vezes os númerosnaturais?Ao fazer referência às horas, na identificação do portão e o número do telefone. E jáque estamos falando sobre números naturais devemos lembrar que a sequênciadesses números é infinita, acompanhe a sequência: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,11, 12, 13,...Com base nos números naturais podemos realizar uma série de atividadesutilizando as quatro operações básicas, para revê-las vamos acompanhar um poucoda história de Matheus, um jovem de 20 anos, está na faculdade e estagia em umaempresa na área de Arquitetura. Para realização do trabalho de hoje, teve de 3
  • 4. Programa CIEE de Educação a Distânciacomprar alguns materiais: esquadro, régua, compasso, papéis, lápis e canetashidrográficas e utilizou nesse processo as quatro operações básicas, observe que ovalor total da compra realizada pelo Matheus foi de R$ 27,00. Para chegar a essevalor foi utilizada a primeira operação fundamental na Matemática: a adição.Acompanhe o cálculo:Esquadro R$ 2,98Régua R$ 0,79Compasso R$ 7,99 +Papéis R$ 3,86Lápis R$ 1,55Canetas hidrográficas R$ 9,83TOTAL R$ 27,00Suponhamos que Matheus pensasse melhor e resolvesse não ficar com ocompasso. Por meio da subtração é possível chegar ao resultado. Veja:Total da compra R$ 27,00 -Compasso R$ 7,99TOTAL R$ 19,01Ainda utilizando o mesmo exemplo, imagine que Matheus estivesse somente com ocartão de crédito para pagar a conta e por isso resolveu dividir em 3 vezes,utilizando o conceito de divisão, então vamos ao cálculo:Total da compra R$ 27,00 3 quantidade de parcelasTOTAL R$ 9,00O exemplo apresentado é de uma divisão exata, mas uma divisão nem sempre éexata, é o que chamamos de divisão com resto. Acompanhe o exemplo: 118 5 18 23 resto 3 4
  • 5. Programa CIEE de Educação a DistânciaPara que a divisão seja realizada, é preciso que o dividendo seja maior ou igual aodivisor, além disso, fique atento, pois não existe divisão por zero.Imagine que Matheus quisesse acrescentar à sua compra mais dois compassos etrês lápis. Nesse caso teremos de usar a multiplicação. Acompanhe:Compasso R$ 7,99 x 2 = R$ 15,98 +Lápis R$ 1,55 x 3 = R$ 4,65Total das compras extras R$ 20,63Cálculo finalCompra inicial R$ 27,00 +Compra extra R$ 20,63Total R$ 47,63Continuando nosso estudo, observe que o guarda-roupa de Matheus possui 4portas, com 4 gavetas e 4 camisetas em cada uma delas. Utilizando o conceito depotenciação, como poderemos saber a quantidade total de camisetas que Matheuspossui. armário fechado 5
  • 6. Programa CIEE de Educação a Distância Disposição das camisetas em uma das gavetas.Armário abertoLembrando que potenciação é a multiplicação repetida de “a” por ele mesmo umnúmero “n” de vezes, ou seja: ou 2³ = 2x2x2 = 8 34 = 3x3x3x3x= 81Relembrando que o guarda-roupa de Matheus possui 4 módulos, com 4 gavetas e 4 roupa s,camisetas em cada uma delas, utilizando o conceito de potenciação ficaria assim: 43 = 4 x 4 x 4 = 64 módulos camisetas gavetasLogo, Matheus possui 64 camisetas. Simples, não?Acompanhe algumas dicas.• toda potência de base diferente de zero com expoente zero é igual a 1, veja: ncia ,-30 = 1-60 = 1-80 = 1 6
  • 7. Programa CIEE de Educação a Distância• toda potência com expoente 1 é igual à própria base, acompanhe:-171 = 17- 281 = 28-21= 2• para realizar a leitura de potências, acompanhe algumas regras:62: lê-se seis elevado ao quadrado;73: lê- se sete elevado ao cubo;24: lê-se: dois elevado à quarta potência;810: lê-se: oito elevado à décima potência;1520:lê-se quinze elevado à vigésima potência, assim, com todos os demaisexpoentes.Temos também o conceito de radiciação que é bem parecido com a potenciação. Aradiciação é a operação inversa da potenciação, ou seja, para acharmos a raizquadrada, cúbica, quinta potência de um número, a pergunta que se deve fazer é:qual número que multiplicado por ele mesmo um determinado número de vezesresulta no número que temos.Acompanhe este exemplo: Qual número que multiplicado por ele mesmo umadeterminada quantidade de vezes resultam nos números 8 e 256?A resposta é 2 e 4, pois 2 x 2 x 2 = 8 e 4 x 4 x 4 x 4= 256.Então, podemos dizer que 23 = 8 e 44 = 256.Outro conceito importante é a raiz quadrada. Para compreendê-lo melhor, vamosutilizar algo prático. Observe esse quadro, que interessante: é um quebra-cabeça!Se contarmos as peças na horizontal e as peças na vertical, descobrimos 13 decada lado, observe: 7
  • 8. Programa CIEE de Educação a Distância 13 peças 13 peçasPara descobrir a quantidade de peças do quebra-cabeça, basta realizar o seguintecálculo:√ ? = 13132 = ?132 = 169√ 169 = 13Logo, se contarmos o quebra-cabeça encontraremos 169 peças. O conceitoutilizado foi o da raiz quadrada. Quando descobrimos que o número 13 ao quadradoé igual a 169, encontramos a raiz quadrada de 169.Para saber a quantidade de peças que há em cubo mágico, devemos utilizar omesmo conceito utilizado para contar as peças do quebra-cabeça, porém com umdetalhe importante, ao invés de utilizarmos a raiz quadrada, utilizaremos a raizcúbica. Imagine que cada lado do cubo mágico possui 3 peças. 8
  • 9. Programa CIEE de Educação a DistânciaQuantas peças temos ao todo neste cubo mágico? 3 3 √ ? = 33 = 3 . 3 . 3 = 27 3 Logo = √27 = 3 3Por meio do cálculo identificamos que o cubo tem 27 peças. A operação usada paraencontrar a raiz quadrada ou cúbica é a radiciação, que estudamos há pouco. Veja:• √ 25 = 5 pois 5² = 5 X 5 = 25• √ 36 = 6 pois 62 = 6 x 6 = 36 3• √ 8 = 2 pois 23 = 2 x 2 x 2 = 8 3• √64 = 4 pois 43 = 4 x 4 x 4 = 64 9
  • 10. Programa CIEE de Educação a DistânciaAula 2 – Números Primos, MMC e MDCSeja bem-vindo à 2ª aula do curso! Iniciaremos o estudo pelos números primos, quenada mais são que números que possuem apenas dois divisores: o número 1 e elepróprio. Para encontrá-los de maneira organizada e precisa utilizaremos o Crivo deEratóstenes.1º) Escreva os números naturais de 1 a 50.2º) Elimine o número 1 e os múltiplos de 2, exceto ele mesmo.3º) Elimine os múltiplos de 3, exceto ele mesmo.4º) Elimine os múltiplos de 5 e 7, exceto eles mesmos.Os números que sobraram são os números primos. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47...Os números podem ser decompostos em fatores primos. Você sabe o que issosignifica?Isso quer dizer que um número pode ser decomposto com utilização de dois oumais fatores e existem várias formas de se fazer isso, observe: 180 = 2 x 90 ou 180 = 2 x 2 x 3 x 3 x 5O que você vê são dois modos de fatorações do número 180.Você ainda pode escrever a multiplicação de fatores iguais em forma de potência,veja: 180 = 2 x 2 x 3 x 3 x 5 180 = 22 x 32 x 5 10
  • 11. Programa CIEE de Educação a DistânciaÉ isso mesmo! Com base nessas informações podemos realizar cálculos por meiodo MMC – Mínimo Múltiplo Comum e do MDC – Máximo Divisor Comum.Exatamente, mas antes é importante saber sobre os múltiplos de um númeronatural. Se um número é divisível por outro número qualquer e diferente de zero,dizemos que ele é múltiplo desse número. Acompanhe o exemplo: 24 é um número divisível por 3, logo 24 é múltiplo de 3. Ele também é múltiplo de 1, 2, 4, 6, 8, 12 e o próprio 24.Importante saber que um número pode ter infinitos múltiplos e que o zero é múltiplode qualquer número natural.Agora que já sabemos como calcular o múltiplo de um número ficará bem mais fácilcompreender o MMC e o MDC.Acompanhe o exemplo: no final do ano passado, Dona Carolina colheu 15 goiabase 20 mangas das árvores que tem em seu quintal. Na época, ela gostaria deorganizá-las em sacos plásticos sem misturar os tipos de fruta, ocupando o mínimode sacos possível. Quantas frutas Dona Carolina deveria ter colocado em cadasaco?Para que as frutas ocupem a menor quantidade de sacos plásticos, precisamosencontrar a quantidade máxima de frutas que devem ser colocadas em cada umdeles. Existem duas maneiras de encontrarmos o resultado.Por meio do cálculo do MDC – Máximo Divisor Comum de 15 e 20.D (15) = {1, 3, 5, 15}D (20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20}MDC (15, 20) = 5 11
  • 12. Programa CIEE de Educação a DistânciaO máximo divisor comum de (15, 20) é o número 5, pois é o único fator comum queaparece no cálculo. Se existisse outro fator comum maior que o número 5, essefator seria o máximo divisor comum.D é a abreviatura de divisores. No exemplo apresentado, os divisores de 15 são 1, 3, 5 e 15.Por meio da decomposição em fatores primos.15, 20 215, 10 215, 5 3 5, 5 5 fator comum 1, 15 é o fator comum, pois foi o único número primo que decompôs simultaneamente os números 15 e 20.Muito bom! Por meio do MDC ou pela decomposição em fatores primos, chegamosà resposta do problema de Dona Carolina que deveria ter colocado 5 frutas emcada saco plástico.Agora, acompanhe o cálculo do MDC (420, 700) pela decomposição em fatoresprimos.420, 700 2 fator comum210, 350 2 fator comum105, 175 3 35, 175 5 fator comum 7, 35 5 7, 7 7 fator comum 1, 1Feita a decomposição, multiplique os fatores primos comuns: 2 . 2 . 5 . 7 = 140, logoo MDC (420, 700) é 140. 12
  • 13. Programa CIEE de Educação a DistânciaEscrevendo a fatoração do número na forma de potência temos: 420 = 22 x 3 x 5 x 7 700 = 22 x 52 x 7Continuando nosso estudo, lanço outro desafio.Imagine que um eclipse só pode ser visto da região nordeste do Brasil a cada 9anos e outro a cada 7 anos. Se eles foram vistos este ano, daqui a quantos anos osveremos novamente ao mesmo tempo?Primeiro precisamos verificar em que intervalo de tempo os dois eclipses serãovistos simultaneamente e existem duas formas de chegarmos ao resultado.Um dos caminhos para resolver o problema é identificando os múltiplos comuns de9 e 7, selecionando o menor deles, com exceção do 0.M (9) = {0, 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81...}M (7) = {0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70...}MMC (9, 7) = 63M é a abreviatura de múltiplos. No exemplo apresentado, os múltiplos de 7 são 0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56,63...Outra estratégia é por meio da decomposição em fatores primos.9, 7 33, 7 31, 7 71, 1MMC (9, 7) = 3 . 3 . 7 = 63O resultado do MMC será obtido por meio da multiplicação de todos os fatores primos. 13
  • 14. Programa CIEE de Educação a DistânciaNesse caso, usando o MMC ou a decomposição de fatores primos, concluímos queo eclipse acontecerá daqui a 63 anos.CURIOSIDADEExistem alguns números que são primos entre si, pois o resultado do MDC é igual a1, por exemplo os números 35 e 24. Faça o cálculo e comprove! 14
  • 15. Programa CIEE de Educação a DistânciaAula 3 – Números inteiros e racionaisOs números Inteiros são frequentemente utilizados em nosso dia a dia, já que sãoconstituídos pelos números naturais {0, 1, 2...} e seus opostos {0, - 1, - 2...}. Querver um exemplo?Toda geladeira ou freezer são controlados por temperatura que pode ser positiva ounegativa. Determinadas câmaras frigoríficas chegam a registrar - 45º C,dependendo do tipo de alimento armazenado.Importante lembrar que quando a temperatura é positiva (acima de 0) nãoprecisamos colocar o sinal de +, já que é opcional.Também usamos esse conceito em relação aos extratos bancários, por exemplo,imagine que foi debitado R$ 235,00 de sua conta, esse débito é representado pelosinal de – (menos), aparecendo da seguinte forma em sua conta: - 235,00.Outro dado interessante é que não utilizamos nenhum sinal para representar onúmero 0 (zero) já que ele não é nem positivo nem negativo.Por meio dos números inteiros, podemos realizar várias operações, acompanhe:Adição de inteirosVeja o que fazer com os sinais na adição com números Inteiros. Sinal dos Operações entre os Sinal do números números Resultado + + + SOMA - - -Na adição, podemos encontrar duas situações:• parcelas com o mesmo sinal: para somar dois números inteiros de mesmo sinal,somamos os valores e atribuímos ao resultado o sinal comum a eles: 15
  • 16. Programa CIEE de Educação a Distância(+ 6) + (+ 4) = + 10(– 4) + (– 10) = – 14• parcelas com sinais diferentes: para somar dois números inteiros de sinaisdiferentes, devemos subtrair os valores e atribuir ao resultado o sinal do número demaior valor.(– 16) + (+ 8) = - 8Subtração de inteirosVeja o que fazer com os sinais na subtração com números Inteiros. Sinal dos Operações entre os Sinal do números números Resultado + - VALE O SINAL SUBTRAÇÃO - + DO MAIORA subtração dos números inteiros acontece da seguinte forma:• com sinais diferentes: subtraímos os números e conservamos o sinal do maior.Acompanhe os exemplos:- 10 + 12 = 2 Como o maior número é positivo o resultado também será.- 34 + 12 = - 22 Como o maior número é negativo o resultado também será.• com sinais iguais: somam-se os números e conserva-se o sinal.Ex.: - 23 - 9= - 32 + 7 + 4 = +11Multiplicação de inteirosEntenda os sinais na multiplicação de inteiros. Sinal dos Operação entre os Sinal do números números resultado + + + - - MULTIPLICAÇÃO + - - - + 16
  • 17. Programa CIEE de Educação a DistânciaVeja os exemplos:10 x 70 = 700 (sinais iguais → produto positivo)10 x - 70 = - 700 (sinais diferentes → produto negativo)Divisão de inteirosNa divisão são usadas as mesmas regras de sinais da multiplicação. Sinal dos Operação entre os Sinal do números números resultado + + + - - MULTIPLICAÇÃO + - - - +Veja alguns exemplos:- 50 ÷ - 2 = 25 (sinais iguais → produto positivo) 50 ÷ - 2 = - 25 (sinais diferentes → produto negativo)É possível utilizarmos o conceito de potenciação e radiciação com númerosinteiros?Sim! A única diferença é que encontramos números negativos nas operações.Estudamos há pouco que 53 = 5 x 5 x 5 = 125, mas qual é o resultado da potência -53 ?Primeiramente precisamos ter em mente duas regras:- quando a base é positiva a potência também é positiva.- quando a base é negativa temos duas possibilidades:1ª) Expoente par = potência positiva72 = 7 x 7 = 49(-4)² = (- 4).(-4) = 16(-2)6 = (-2).(-2).(-2).(-2).(-2).(-2) = 64 17
  • 18. Programa CIEE de Educação a Distância2ª) Expoente ímpar = potência negativa(-2)³ = (-2).(-2).(-2) = - 8(-5)5 = (-5).(-5).(-5).(-5).(-5) = - 3125(-3)³ = (-3).(-3).(-3) = - 27Obs.: todo número elevado a zero é igual a um.30 = 1(-1000) 0 = 1Já na radiciação podemos encontrar situações como ³√-8 , onde o radicando énegativo. Nesse caso, temos duas situações:1) Se o índice for ímpar, teremos uma raiz negativa: ³√-8 = - 2 pois (-2)3 = (-2) . (-2) . (-2) = (+4) . (-2) = -85√-243 = -3 pois (-3)5 = (-3) . (-3) . (-3) . (-3) . (-3) = -2432) Se o índice for par, não existirá raiz, acompanhe: √-4 = ?Nesse caso não existe raiz, pois não existe nenhum número que elevado aoquadrado seja igual a -4.Você deve estar se perguntando, se o 22 é igual a 4, será que (- 2)2 não resolveria oproblema?Vamos realizar o cálculo detalhadamente, veja: (- 2)2 = (- 2) . (- 2) = + 4. Notou? Oresultado obtido foi +4 e não -4 como o problema pede, justamente por isso, não 18
  • 19. Programa CIEE de Educação a Distânciaexiste raiz. Outro exemplo que não possui raiz é 4√-16 , pois não existe nenhum 16número multiplicado 4 vezes que resulta em -16.Agora, falaremos de um assunto muito interessante que está presente em nosso diaa dia: os números racionais!Dona Carolina preparará um bolo, por isso alguns ingredientes estão dispostossobre a mesa. A capacidade desta garrafa de leite é de 1 litro, porém neste momento há aproximadamente 330ml. Se dividirmos a garrafa em três partes iguais, somente uma estará completa. Nesse caso podemos dizer que a garrafa tem 1/3 de leite.Para fazer a calda do bolo Dona Carolina utilizará chocolate ao leite. Observe quesobre a mesa há 3 barras de chocolate divididas em 4 partes. rePara fazer o bolo ela precisará de 10 partes dessas barras. Como podemosrepresentá-la por meio dos números racionais? Nesse caso, o denominador deve laindicar a quantidade de partes de cada barra de chocolate e o numerador o número barratotal de partes que será utilizado, logo o resultado ficaria assim: 10 .4 19
  • 20. Programa CIEE de Educação a DistânciaLegal! Uma coisa importante que devemos nos atentar é em relação ànomenclatura. Observe que na fração o número de cima é chamado numerador e onúmero debaixo de denominador.Imagine uma pizza cortada em quatro pedaços. Imagine que Matheus tenha comido1 pedaço, logo ele comeu ¼ da pizza. Se mais ninguém comer, sobrará ¾ da pizza.Agora, imagine que a mesma pizza tenha sido cortada em 8 partes, se Matheuscomer dois pedaços, ele comerá 2/8. Se mais ninguém comer, sobrará 6/8 da pizza.Note que apesar de apresentar valores diferentes, Matheus comeu a mesmaquantidade de pizza. Isso é o que chamamos de frações equivalentes.Observe outros exemplos:Logo ½ equivale a 2/4 que equivale a 3/6.Para saber qual fração é equivalente a outra, basta multiplicar ou dividir onumerador e o denominador pelo mesmo número. Acompanhe: Multiplicação Mesmo Fração Resultado Status ou divisão número 2 4 4 é equivalente a 2 x 2 3 6 6 3 9 3 3 é equivalente a 9 : 3 3 1 1 3Também podemos simplificar as frações, ou seja, dividir o seu numerador e o seudenominador pelo mesmo número natural até que não tenha mais possibilidades dese dividir, chega-se a uma fração chamada irredutível. Veja o exemplo: 20
  • 21. Programa CIEE de Educação a Distância 12 6 3 : 2 = : 2 = Fração irredutível 16 8 4As frações também podem ser comparadas. Para testar seus conhecimentos,identifique a fração que julga menor.a) b)A alternativa “a” ¼ é menor que a alternativa “b” ¾, pois quando os denominadoressão iguais, a menor fração é a que tiver menor numerador.Teste mais um pouco os seus conhecimentos, identificando a fração que julgamaior.a) b)Resposta: a alternativa “a” ¼ é maior do que a alternativa “b” 1/8, pois quando osnumeradores são iguais, a maior fração é a que tiver menor denominador.Você acabou de comparar frações com denominadores ou numeradores iguais,veja: Denominadores iguais. Numeradores iguais. 1e3 O maior numerador indicará a 1e1 O menor denominador indicará 4 4 fração maior. 4 8 a fração maior.Você sabe como funciona o sistema de comparação de frações quando osnumeradores e denominadores são diferentes, por exemplo, 2/3 e 5/7?Nesse caso precisamos primeiramente encontrar o denominador comum entre eles,para isso utilizaremos o MMC. 21
  • 22. Programa CIEE de Educação a Distância3, 7 31, 7 71, 1MMC (3, 7) = 3 . 7 = 21O resultado do MMC corresponderá aos denominadores comuns das fraçõesapresentadas. Agora, acompanhe passo a passo o procedimento:1º) Divida o resultado do MMC pelo denominador das frações que se desejacomparar: 2 5 21 / 3 = 7 21 / 7 = 32º) Multiplique o resultado da divisão pelo numerador e denominador: 2 14 5 15 X 7 = X 3 = 3 21 7 213º) Compare os resultados apresentados: 2 equivale a 14 5 equivale a 15 3 21 7 21Logo, a fração 5 é maior que 2. 7 3Adição e subtração de frações:Frações com denominadores iguais: conserve o denominador e some ou subtraiaos numeradores. 1 + 2 =3 5 - 3 = 2 4 4 4 2 2 2Frações com denominadores diferentes: primeiramente devemos encontrar asfrações equivalentes e os denominadores iguais, por meio do MMC. Após o cálculo,seguimos utilizando o mesmo procedimento para denominadores iguais. 22
  • 23. Programa CIEE de Educação a Distância2+5=3 23, 2 31, 2 21, 1MMC (3, 2) = 3 . 2 = 6 2 5 6/3 =2 6/ 2=3 2 4 5 15 X 2 = X 3 = 3 6 2 6 4 + 15 = 19 6 6 6Multiplicação de fraçõesPara multiplicar números fracionários, você deve multiplicar numerador pornumerador, e denominador por denominador, acompanhe: 6 x 5 = 30 3 2 6Divisão de fraçõesNa divisão de números fracionários, você deve multiplicar a primeira fração peloinverso da segunda, veja: 8 : 4 = 8 x 3 = 24 = 2 3 3 3 4 12Potência de fraçõesPotenciação de fração é quando se eleva a um determinado expoente o numeradore o denominador de um número fracionário. ² ² 5 = 5² = 25 3 = 3² = 9 3 3² 9 4 4² 16 23
  • 24. Programa CIEE de Educação a DistânciaRadiciação de fraçãoÉ quando aplicamos a raiz quadrada ao numerador e ao denominador de umnúmero fracionário. 81 = 81 = 9 64 64 8 24
  • 25. Programa CIEE de Educação a DistânciaAula 4 – Sistema de numeração decimalObserve os produtos abaixo: 2 litros de amaciante para roupas 1 sabão em barra R$ 3,90 R$ 0,80 1 litro de água sanitária 2 caixas de sabão em pó SABÃO R$ 2,50 R$ 10,95 EM PÓNote os preços desses produtos. Todos os números apresentados possuem vírgula Todo ve recebem o nome de decimais.No sistema de numeração decimal os agrupamentos são feitos de 10 em 10unidades. Nesse caso, quando dividimos um número inteiro: uando • por 10, temos o décimo desse número: 1/10 = 0,1 • por 100, temos o centésimo desse número: 1/100 = 0,01 • por 1000, temos o milésimo desse número: 1/1000 = 0,001, e assim, 000, : sucessivamente.Observe no quadro a representação de frações decimais através de números decimaisdecimais. Fração 1 1 1 1 5 5 5 5 117 117 117 117Decimal 10 100 1000 10000 10 100 1000 10000 10 100 1000 10000NúmerosDecimais 0,1 0,01 0,001 0,0001 0,5 0,05 0,005 0,0005 11,7 1,17 0,117 0,0117 25
  • 26. Programa CIEE de Educação a DistânciaNote que a quantidade de zeros da fração decimal corresponde as casas após avírgula (contadas da direita para a esquerda) que número decimal deverá conter.Verifique que a vírgula separa a parte inteira da parte decimal.Agora, acompanhe algumas transformações de decimais em frações decimais. Noteque a quantidade de “zeros”, indica a quantidade de números após a vírgula. Veja:0,1 = 1 100,2 = 2 100,01 = 1 1000,35 = 35 1000,001 = 1 10000,425 = 425 1000Agora, veja a operação inversa, transformar frações decimais em númerosdecimais. Para isso, escrevemos o numerador. A vírgula deve ser colocada dadireita para a esquerda tantas casas quanto forem os zeros do denominador.a) 35 = 3,5 uma casa após a vírgula 10 um zerob) 47 = 0,47 duas casas após a vírgula 100 dois zerosc) 42 = 0,042 três casas após a vírgula 1000 três zeros 26
  • 27. Programa CIEE de Educação a DistânciaAdição e subtração de decimaisPara realizar a adição ou subtração de decimais, temos duas possibilidades,acompanhe os exemplos. Cálculo I Cálculo II Coloque dezena embaixo de dezena, Transforme os números em frações unidade embaixo de unidade, vírgula decimais, adicione ou subtraia os embaixo de vírgula, e assim por valores e depois o retorne para diante. As casas vazias podem ser decimal. completadas com zeros. 0,45 + 2,32 = 45 + 232 =0,45 + 2,32 = 0,45 100 100 +2,32 2,77 277 = 2,77 duas casas após a vírgula 100 dois zeros2,3 + 12,47 = 02,30 + 12,47A multiplicação de decimais pode ser realizada de duas formas. Cálculo I Cálculo II Multiplique os fatores como se não Transforme em frações decimais, houvesse vírgula, verifique quantas multiplique e depois volte para casas decimais há nos fatores e as decimais. coloque no produto. 4,2 . 2,5 = 42 . 25 = 1050 = 10,50 4,2 1 casa decimal 10 10 100 x2,5 1 casa decimal 210 _84 + 10,50 2 casas decimais 27
  • 28. Programa CIEE de Educação a DistânciaDivisão de decimaisAgora, acompanhe o procedimento para divisão de decimais, para issorealizaremos a seguinte divisão: 22,5 / 0,15. Procedimento para o cálculo: 1º) igualar as casas decimais 22,50 / 0,15 2º) eliminar a vírgula 2250 / 15 3º) dividir normalmente 2250 15 75 150 00Quando houver resto podemos dar continuidade na divisão até a casa decimal quenos interessar. Acompanhe o cálculo de 458/7. Procedimento para o cálculo: 1º) calcule a parte inteira: 458 7 38 65 3 2º) Agora calcule a primeira casa decimal, para isso coloque a vírgula no quociente e um zero no décimo do dividendo, sem alterá-lo; 458,0 7 38 65,4 30 2 3º) Acrescente a quantidade de zeros necessária para o cálculo desejado: 28
  • 29. Programa CIEE de Educação a Distância Aula 5 – Medidas de comprimento e área Nessa aula estudaremos medidas de comprimento e área, mas antes, você sabia que a necessidade de medir surgiu ainda na antiguidade, nas mais antigas civilizações, e por um longo período cada região desenvolveu seu próprio sistema de medida. Porém, com tantas maneiras diferentes de medir, o comércio entre as cidades ficava prejudicado, pois havia imprecisão nas medidas, uma vez que uns mediam com os pés, outros com as mãos e outros com o cúbito (medida de distância entre o cotovelo e a ponta do dedo médio). Justamente por isso foi criado um sistema único de medida para cada grandeza. Assim, em 1791, representantes de vários países se reuniram para discutir a adoção de um sistema único de medidas, foi então que surgiu o sistema métrico decimal, portanto ficou determinado que o metro seria a unidade padrão para medir comprimentos. Matheus chegou da escola com duas atividades: descobrir a distância da sua casa até o trabalho de seu pai e o comprimento da frente do terreno da sua casa. Ele descobriu que há 12 km no percurso realizado pelo seu pai e que a frente da sua casa tem 5 metros. Observe que somente nesse exercício algumas medidas foram apresentadas, o quilômetro (km) e o metro (m). Agora vamos estudar os múltiplos e submúltiplos do metro. Observe o esquema: Unidade Múltiplos Submúltiplos Padrão Unidade quilômetro hectômetro decâmetro metro decímetro centímetro milímetro Símbolo km hm dam m dm cm mm Relação 1.000 m 100 m 10 m 1m 0,1m 0,01 m 0,001 mcom o metro 29
  • 30. Programa CIEE de Educação a DistânciaNote que o metro tem seus múltiplos e submúltiplos. O quilômetro (km), submúltiploshectômetro(hm) e decâmetro (dam) são múltiplos do metro e usados para medirgrandes distâncias e correspondem a 1.000, 100 e 10 metros respectivamente. Já 1 000,os submúltiplos compreendem o decímetro (dm), o centímetro (cm) e o milímetro(mm) e são usados para medir pequenos comprimentos. Eles possuem 0,1; 0,01 e0,001 metro respectivamente.Você sabia que... • para medidas milimétricas, em que se exige precisão, utiliza-se: mícron ( ) = utiliza 10-6 m e angstrom (Å) = 10-10 m; • para distâncias astronômicas utiliza-se o “ano-luz” (distância percorrida por um cias utiliza raio de luz em um ano e equivale a, aproximadamente, nove trilhões e io quinhentos bilhões de quilômetros: Ano-luz = 9,5 · 1012 km; • pé, polegada, milha e jarda são unidades não pertencentes ao sistema métrico decimal e são utilizadas em países de língua inglesa. inglesaObserve no quadro as igualdades. igualdade 1 pé 30,48 cm 1 polegada 2,54 cm 1 jarda equivale a 91,44 cm 1 milha terrestre 1.609 m 1 milha marítima 1.852 mObserve o esquema utilizado para transformar unidades de medida decomprimento. Note que cada unidade corresponde a 10 vezes a unidade ada unidadeimediatamente inferior e da unidade imediatamente superior, ou seja, para fazer astransformações, basta multiplicar ou dividir sucessivamente por 10. Vamos praticarum pouco! 30
  • 31. Programa CIEE de Educação a DistânciaPara transformar 14,284 hm (hectômetro) em metros (m) devemos multiplicar,acompanhe. X 10 X 10 14,284 1428,4 km hm dam m dm cm mmLogo, 14,284 hectômetros correspondem a 1428,4 metros.Para transformar 1,262 dam em cm devemos multiplicar. X 10 X 10 X 10 1,262 1262 km hm dam m dm cm mmLogo, 1,262 decâmetros correspondem a 1262 centímetros.Já para transformar 166,5m em dam devemos dividir: km hm dam m dm cm mm 16,65 166,5 : 10Logo, 166,5 metros correspondem a 16,65 decâmetros.E para finalizar, para transformar 866 m e km devemos dividir: 886 : 10 : 10 : 10 = 0,886 km hm dam m dm cm mm 0,886 886 : 10 : 10 : 10 31
  • 32. Programa CIEE de Educação a DistânciaLogo, 886 metros correspondem a 0,886 quilômetro.Agora, observe que na casa do Sr. Maurício (pai deMatheus) foi colocada uma cerca de madeira. Qual cálculodevemos realizar para saber quantos metros de cerca eleprecisou para fazer esse trabalho?Para realizar esse cálculo foi preciso somar as medidas dos lados do terreno,portanto foi realizado o cálculo do “Perímetro”.Imagine que o terreno da casa possui as seguintes medidas: 5m Como havia falado, devemos somar as medidas de cada lado para encontrarmos o perímetro do10 m 10 m terreno: 5 m + 5 m + 10 m + 10 m = 30 m. Logo, Maurício precisou de 30 metros de cerca para colocar em volta do terreno. 5mAgora imagine que o terreno possui as seguintes medidas: 8,5 m 8,5 m 8,5 m 13,5 m 11,5 mNesse caso também somamos os lados do terreno: 8,5 m + 8,5 m + 8,5 m +11,5 m+ 13,5 m = 50 m., portanto o perímetro do terreno é de 50 metros. 32
  • 33. Programa CIEE de Educação a DistânciaImportante saber que quando realizamos a soma das medidas de todos os lados,estamos calculando o perímetro de um polígono, ou seja, uma superfície planalimitada por linhas retas ou lados.Nesta figura temos lados com medidas em centímetro (cm) e decâmetro (dm).Nesse caso, como devemos calcular o perímetro? 2 cm 0,2 dm 3 cmEm primeiro lugar, você deve transformar as medidas para a mesma unidade,utilizando a tabela de conversão estudada há pouco, portanto 0,2 dm = (0,2 . 10) cm= 2 cm. Agora, somamos as medidas dos lados: 2 cm + 2 cm + 3 cm = 7 cm. Logo operímetro desse polígono é de 7 cm.Outro assunto interessante que estudaremos nessa aula é unidade de medida desuperfície ou unidade de área, o metro quadrado. Para estudá-la imagine que Sr.Maurício queira pintar a parede da sala de sua casa, para determinar a quantidadede tinta, ele precisará medir as superfícies para encontrar a área da parede. 12 m 12 6m X6 72Logo, o Sr. Maurício terá de comprar tinta para pintar uma parede de 72m2 de área. 33
  • 34. Programa CIEE de Educação a Distância Note que vimos um novo sistema de medida, o metro quadrado (m2). Agora, acompanhe a explicação: se dividirmos a parede do Sr. Maurício em quadrados que medem 1 metro de cada lado, veremos que ao todo temos 72 quadrados, observe: 12 m 1m 6m De acordo com o Sistema Internacional de Unidades o metro quadrado é a unidade padrão de medida para superfícies. O quadrado com todos os lados medindo 1 metro corresponde a 1 metro quadrado. O metro quadrado também tem seus múltiplos e submúltiplos. Observe no quadro o símbolo e a relação de cada múltiplo e submúltiplo com o metro quadrado. Unidade Múltiplos Submúltiplos padrão quilômetro hectômetro decâmetro metro decímetro centímetro milímetro Unidade quadrado quadrado quadrado quadrado quadrado quadrado quadrado Símbolo km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2Relação com o metro 1.000.000 m2 10.000 m2 100 m2 1 m2 0,01 m2 0,0001 m2 0,00001 m2 quadrado 34
  • 35. Programa CIEE de Educação a DistânciaObserve que cada unidade corresponde a 100 vezes a unidade imediatamente 1 100inferior da unidade imediatamente superior, ou seja, para fazer as transformações,basta multiplicar ou dividir sucessivamente por 100. Vamos praticar um pouco!Acompanhe as transformações de algumas medidas.6 km2 em m2 X 1.000.000 2 2 2 2 km x100 hm x100 dam x100 m 6 km2 = ( 6 x 1.000.000) m2 = 6.000.000 m2 ou 6 km = ( 6 x 100 x 100 x 100) m2 = 6.000.000 m2 2Acompanhe outro cálculo.20 mm2 em m2 : 1.000.000 m2 : 100 dm2 : 100 cm2 : 100 mm220 mm2 = (20 : 0,00001) m2 = 20 x 1 m2 = 20 m2 = 0,00002 m2 1.000.000 1.000.000 ou 20 mm = (20 : 100 : 100 : 100) m2 = 0,00002 m2 2O cálculo de áreas rurais é um pouco diferente, para esses casos utilizamos ohectare, representado pelo símbolo ha ou 1hm2 (hectômetro), que equivale a dezmil metros quadrados (10.000 m2). Imagine que figura representa um terrenomedindo 1hm de cada lado, logo o terreno possui 1 hectare. 35
  • 36. Programa CIEE de Educação a Distância 1hm 1hm2 = 1hm 1hm 1 ha 1hmExiste outro sistema de medida para áreas rurais?Existe sim, o are, representado pelo símbolo a ou 1dam2 (decâmetro), queequivale a cem metros quadrados (100 m2). Imagine que a figura representa umterreno medindo 1dam de cada lado, logo teremos um terreno com 1 are. 1dam 1 dam2 = 1dam 1 are 1dam 1damExistem ainda outras unidades populares de medidas agrárias, tais como: Alqueire paulista 24.200m2 Que equivale Alqueire mineiro ou goiano 48.400m2 à área de... Alqueire do norte ou baiano 27.225m2 36
  • 37. Programa CIEE de Educação a DistânciaAula 6 – Medidas de tempo, massa, capacidade e volumeBem-vindo à nossa ultima aula, um momento ideal para refletirmos sobre aimportância do tempo em nossas vidas. Você alguma vez na vida já se deparoucom frases do tipo: faz tempo que você está me esperando? Quanto demora aviagem até lá? Já faz tempo que o jogo começou? Qual a duração do curso?Pois bem, essas perguntas são respondidas com base em uma unidade padrão demedida de tempo, e a unidade escolhida como padrão pelo Sistema Internacional(SI) é o segundo.Por falar em tempo, observe que Matheus está tomando banho para ir à escola. Eleiniciou o banho às 6h30min e agora já são 6h45min.Note que quando falamos de tempo, utilizamos suas unidades de medida: osegundo(s), o minuto(min) e a hora(h). O segundo é a unidade padrão, porém,dependendo da situação, outras unidades podem ser usadas, como por exemplo,para fazer a indicação de 60 minutos, usamos 1 hora, ou ainda para indicar 60segundos, usamos 1 minuto.Mas como podemos transformar horas em minutos?Você deve multiplicar a quantidade de horas por 60. Para transformar 5 horas emminutos, multiplique 5 por 60 e o resultado será 300. Logo, 5 horas correspondem a300 minutos.Para transformar segundos em minutos devemos dividir a quantidade de segundopor 60. Para transformar 155 segundos em minutos, divida 155 por 60 e o cálculoserá: 155 60 segundos 35 2 minutos 37
  • 38. Programa CIEE de Educação a DistânciaLogo, 155 segundos correspondem a 2 minutos e 35 segundos.Atenção!Nunca escreva 3,20min. para representar 3h20min. Lembre-se, o sistema demedida de tempo não é decimal.Agora, conheça outras medidas de tempo.Mês comercial = 30 dias Bimestre = 2 mesesAno comercial = 360 dias Trimestre = 3 mesesAno normal = 365 dias Quadrimestre = 4 mesesAno bissexto = 366 dias Quinquênio= 5 anosSemana = 7 dias Década = 10 anosQuinzena = 15 dias Século = 100 anos Milênio = 1.000 anosAgora que já conhece toda a família do Sr. Maurício, incluindo Dona Carolina eMatheus, partiremos para o próximo assunto. Observe as imagens:Sr. Maurício – 75 Kg.Dona Carolina – 63 Kg.Matheus – 52 Kg.Nesse caso, estamos nos referindo às unidades de medida de massa: oquilograma (kg), o grama(g) e o miligrama (mg).Agora, conheça os múltiplos e submúltiplos das unidades de medida de massa comajuda do esquema. Observe que a unidade padrão é o grama. As unidades daesquerda são utilizadas para medir grandes massas e as unidades da esquerda sãopara medir pequenas massas. 38
  • 39. Programa CIEE de Educação a Distânciaquilograma hectograma decagrama grama decigrama centigrama miligrama kg Hg dag g dg cg mgAs unidades de massa podem ser transformadas de quilos para gramas, porexemplo. Observe o esquema e acompanhe os exemplos. X 10 X 10 X 10 X 10 X 10 X 10kg hg dag g dg cg mg : 10 : 10 : 10 : 10 : 10 : 10Observe a transformação de 2 quilogramas em gramas. kg hg dag g 2 kg X 10 X 10 X 10 = 2.000 gAgora acompanhe a transformação de 120.000 miligramas em hectogramas. hg dag g dg cg mg 1,2 hg = : 10 : 10 : 10 : 10 : 10 120.000 mgNote que quando transformamos uma unidade de massa da esquerda para direita,devemos multiplicar por 10 e quando transformamos da direita para a esquerdadividimos por 10.ATENÇÃO: • cada unidade de massa é dez vezes maior que a unidade imediatamente inferior; • o grama pertence ao gênero masculino, portanto devemos dizer duzentos gramas de algo e não duzentas gramas, nesse último caso estamos relacionando grama à vegetação; • também são usadas outras unidades de medida de massa: - tonelada = t que equivale a 1.000kg; - arroba =@ que equivale a aproximadamente 15kg. 39
  • 40. Programa CIEE de Educação a Distância Agora , observe os produtos e as capacidades de cada um deles. bserve Xampu Desinfetante 500 ml 1l As unidades de medidas de capacidade mais utilizadas em nosso dia a dia são o litro (l) e o mililitro (ml). Em nosso dia a dia, as unidades de medida de capacidade são muito utilizadas, se utilizadas estamos fazendo uma receita, precisamos de alguns ml de leite. Ao escolhermos a receita o capacidade que terá a caixa d’água que vamos colocar em casa, ao comprar uma bebida seja em lata ou garrafa, entre tantas outras situações que você com certeza outra deve estar se lembrando agora. A unidade padrão de medida de capacidade é o litro. Na tabela são apresentados seus múltiplos e submúltiplos, além do símbolo e sua relação com o litro. , . Múltiplos Unidade Submúltiplos PadrãoUnidade quilolitro hectolitro decalitro litro decilitro centilitro mililitroSímbolo kl hl dal l dl cl mlRelação com o 1.000 l 100 l 10 l 1l 0,1 l 0,01 l 0,001 l litro Para transformar unidades de medida de capacidade, usa-se o mesmo critério capacidade se utilizado para transformar unidades de medidas de comprimento e de massa. Acompanhe alguns exemplos. . 40
  • 41. Programa CIEE de Educação a DistânciaVeja a transformação de 3,5 litros em mililitros. l dl cl ml 3,5 l X 10 X 10 X 10 3.500 mlAgora, veja a transformação de 200 mililitros em litro. l dl cl ml 0,2 l : 10 : 10 : 10 200 mlMuito bem! Até o momento estudamos as medidas de tempo, massa e capacidade.Agora, estudaremos as medidas de volume, mas antes observe as figuras abaixo: paralelepípedo cuboEssas figuras correspondem a um paralelepípedo retângulo e a um cubo. O cálculodo volume desses elementos é diferenciado e é isso que vamos conhecer a partirde agora.Para que se possa determinar a quantidade de cimento que um caminhão comportaou a quantidade de areia que se pode colocar dentro de um balde, precisamoscalcular seus respectivos volumes, ou seja medir a quantidade de espaço que ocimento ocupa no caminhão e a quantidade de espaço que a areia ocupa no balde.Portanto, volume é a quantidade de espaço ocupado por um corpo.Para calcular o volume de um paralelepípedo, elegemos como unidade de volume 1= e, depois, contamos quantos formam um paralelepípedo. 41
  • 42. Programa CIEE de Educação a Distância 2 2 3Contado os cubos, notamos que esse paralelepípedo é formado por 12 . Logo,seu volume é 12.Para realizar o cálculo do volume de um paralelepípedo você deve considerar asunidades de medida volume (v), comprimento (a), largura (b) e altura (c) e o cálculoé realizado por meio da seguinte equação: V = a . b . cObserve o exemplo do paralelepípedo que estudamos há pouco e acompanhe ocálculo do volume. 2 altura (c) 3 = quantidade de cubos no comprimento = volume 2 = quantidade de cubos na largura 2 2 = quantidade de cubos na altura 3 largura (b) V=a.b.c=? comprimento (a)Como havíamos falado, o volume desse paralelepípedo é 12. Para calcular ovolume do cubo utilize a equação: V = l . l . l = l 3, sendo que V indica volume e lrepresenta cada lado. Observe no esquema. lado (l) = volume lado (l) lado (l) 42
  • 43. Programa CIEE de Educação a Distância Outro assunto importante relacionado ao volume é o metro cúbico (m3), que nada mais é do que a unidade padrão de medida de volume. Ela corresponde ao cubo e aresta de medida igual a 1m. Conheça os múltiplos e os submúltiplos do metro cúbico m3. Múltiplos Unidade Padrão Submúltiplos hectômetro decâmetro metro decímetro centímetro milímetro Unidade quilômetro cúbico cúbico cúbico cúbico cúbico cúbico cúbico Símbolo km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3Relação com 3 3 3 3 3 3 3 1.000.000.000m 1.000.000m 1.000m 1m 0,001m 0,000001m 0,000000001mmetro cúbico Atenção! Capacidade é um volume e pode ser medido com a unidade metro cúbico. Como em todas as unidades de medida vistas até aqui, vamos transformar 3 metros cúbicos em centímetro cúbico. 3 3 3 m dm cm 3 x 1000 x 1000 3.000.000 Logo 3m3 corresponde a 3.000.000 cm3. Já para transformar 4.000 milímetros cúbicos (mm3) em metro cúbico (m3). 3 3 3 3 m dm cm mm 0,000004 : 1000 : 1000 : 1000 4.000 Logo 4.000 mm3 corresponde a 0,000004 m3. Esperamos que a partir de agora, você não veja mais a matemática como um monstro que só veio para atrapalhar. Assim como qualquer outra disciplina, basta força de vontade e muita prática! Não perca mais tempo, exercite agora mesmo o que aprendeu até aqui. Até breve! 43
  • 44. Programa CIEE de Educação a DistânciaReferênciasBARROSO, Juliane Matsubara. Projeto Araribá: Matemática: ensino fundamental, -Volumes 6 e 7 2. ed. – São Pulo : Moderna, 2007BRASIL ESCOLA. Unidades de Medidas. http://www.brasilescola.com/química/unidades-medida.htm Data de acesso: 24/11/08KLICK EDUCAÇÃO. Conceito de número Natural. Disponível em:http://www.klickeducacao.com.br/2006/materia/20/display/0,5912,POR-20-88-9515346,00.html Data de acesso: 17/11/08MORI, Iracema, Dulce Satiki Onaga – Ideias e Desafios 6ª série. 11.ed. – SãoPaulo: Saraiva, 2002NG HORTA. Conjuntos Numéricos. http://www.nghorta.com/2007/02/02/conjuntosnumericos/ Data de acesso: 17/11/08SERCOMTEL. Expressões Algébricas. http://pessoal.sercomtel.com.br/matemática/fundam/expralg/expralg.htm Data de acesso: 02/12/08SÓ MATEMÁTICA. Medidas de Comprimento. http://www.somatematica.com.br/fundam/comprimento/comprimento2.php Data de acesso: 5/12/08_______________ Medidas de Superfície. http://www.somatematica.com.br/fundam/medsup.php Data de acesso: 5/12/08_______________ Mínimo Múltiplo Comum. http://www.somatematica.com.br/fundam/mmc.php Data de acesso: 18/11/08_______________ Números Primos. http://www.somatematica.com.br/fundam/primos.php Data de acesso: 24/11/08_______________ Radiciação. http://www.somatematica.com.br/fundam/radiciacao.php Data de acesso: 26/11/08WIKIPÉDIA. Tabela de Conversão de Unidades. http://pt.wikipedia.org/wiki/Tabela_de_convers%C3%A3o_de_unidades Data de acesso: 18/11/08WWW.JULIOBASTTISTI.COM.BR. Matemática para Concursos– 10ª Partehttp://www.juliobattisti.com.br/tutoriais/jorgeasantos/matematicaconcursos010.aspData de acesso: 5/12/08 44

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