1. CONSERVAÇÃO DA ENERGIA MECÂNICA DE UMA ESFERA AO LONGO DE UM PLANO INCLINADO
Paulo Jorge Carvalho
1. Introdução
Pretendemos com este trabalho verificar a conservação da energia mecânica estudando o
movimento de uma esfera rígida que rola por uma calha inclinada.
A ideia deste trabalho surgiu com a realização da actividade experimental “Salto para a piscina”,
aquando do estudo do lançamento horizontal de projécteis no décimo primeiro ano de escolaridade.
Durante as nossas pesquisas, constatámos que, além do estudo do lançamento de projécteis, também se
realizava a determinação da energia cinética de uma esfera à saída de uma calha através do enunciado do
princípio da conservação da energia. Inevitavelmente, na determinação da velocidade de saída da esfera
recorrendo à energia cinética determinada através do enunciado do princípio da conservação da energia,
os alunos irão determinar sempre um valor superior ao medido experimentalmente, explicando essa
diferença como consequência da existência da força de atrito. Para provarmos que tal não é verdade, e que
existe conservação da energia mecânica desde que a esfera apenas tenha movimento de rolamento, iremos
variar a inclinação de uma calha de 4º em 4º, desde uma inclinação inicial de 4º até 56º. Para cada ângulo
estabelecido mediremos a energia mecânica no início e no fim da calha. De referir que a calha terá que ser
lisa e indeformável, pois, como já vimos em alguns casos, são utilizadas calhas de cortinados no referido
estudo. Esta situação resulta numa alteração do raio de rotação da esfera, pelo que não se deve realizar
este estudo com esse tipo de calhas.
Da observação e estudo dos resultados concluímos que a conservação da energia mecânica se
verifica até um ângulo limite.
2. Fundamentação Teórica
A fundamentação teórica que a seguir se explana tem por base o estudo apresentado por Almeida,
Maria José B. Marques de, em Preparação de Professores de Física – Uma contribuição científico-
pedagógica e didáctica, Almedina (2004) – Coimbra, capitulo 5. Considerações Sobre Energia.
Consideremos uma esfera infinitamente rígida e que rola por um plano inclinado. A figura 1 descreve
a referida situação.

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Hi
Hf
Figura 1. Situação em que uma esfera infinitamente rígida rola por um plano inclinado
Atendendo a que o sistema em estudo é a esfera, a fronteira do sistema é a sua superfície.
As forças exteriores aplicadas sobre a esfera são: o peso do corpo , cuja componente na direcção do
movimento realiza um trabalho positivo, dado por ; a força normal
aplicada pelo plano sobre a esfera, que não realiza trabalho por ser perpendicular ao deslocamento e a
força de atrito .
Caso não houvesse atrito, a esfera escorregaria pelo plano inclinado. Como no movimento de
deslizamento o sentido da força de atrito é o de contrariar o movimento da esfera, o seu sentido apontaria
na direcção contrária ao do movimento, ou seja, para cima. Como o momento desta força (
), é não nulo, visto que a linha de acção desta força não passa pelo centro de rotação da esfera, fará com
que a esfera role no sentido dos ponteiros do relógio, deslocando-se simultaneamente o seu centro de
massa no sentido descendente.
Se o movimento for de rolamento puro, isto é, sem deslizamento, a força de atrito realiza trabalho
nulo pois quando o ponto de aplicação de se move, esta força passa a estar aplicada noutro ponto.
Como não há deslocamento do ponto de aplicação da força de atrito sem que ela deixe de estar aplicada
nesse ponto. Como resultado, a força de atrito não realizará trabalho.
Recorrendo ao enunciado do princípio da conservação da energia podemos escrever a seguinte
equação matemática:
(1.2)
visto que não há trocas de calor nem de radiação entre o sistema e o seu exterior, então ,
e como se pode considerar a variação da energia cinética interna e da energia potencial interna
praticamente nula, só haverá alteração da velocidade do centro de massa, , e alteração da velocidade
angular , pelo que a equação (1.2) pode escrever-se da seguinte forma:
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(1.3)
como só o peso do corpo é que realiza trabalho e este é dado por (1.1), teremos:
(1.4)
então
(1.5)
2.1. Determinação da Energia Mecânica da esfera
A energia mecânica em cada instante é a soma da energia cinética do corpo com a sua energia
potencial associada ao eventual campo de forças conservativas.
2.1.1. Determinação da energia mecânica da esfera inicial.
No inicio do movimento, a esfera será sempre abandonada sem velocidade, pelo que a sua
energia mecânica inicial será dada por:
Emecânica = Ecinética + Epotencial
(1.6)
como
Ecinética = 0 J
pelo que
Emecânica = Epotencial = (1.7)
Para o cálculo da HinicialCM faremos o seguinte de acordo como o esquematizado na figura 1:
(1.8)
onde é a inclinação do plano.
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2.1.2. Determinação da energia mecânica final.
Para o cálculo da energia mecânica no ponto escolhido para o fim do plano inclinado, é a
própria energia cinética do corpo neste ponto, pelo que,
(1.9)
Emecânica = Ecinética =
sabendo que e que , podemos reduzir a equação anterior à seguinte:
(1.10)
Emecânica =
3. Trabalho Laboratorial
3.1. Material
Calha metálica, célula fotoeléctrica, CBL2, máquina de calcular gráfica com o programa EasyData
2.00, esfera rígida, aparelho que possibilite a medição da inclinação da calha, fita métrica, craveira,
balança digital.
Nesta actividade experimental utilizámos uma esfera rígida de massa 0,01632 kg e de
diâmetro 0,0155 m. O comprimento da calha (x) é m. O ângulo foi
medido com o auxílio de um transferidor acoplado ao plano que contém a calha e de um fio-de-prumo.
3.2. Esquema do trabalho laboratorial
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Figura 2.
3.3. Procedimento do trabalho laboratorial
x
B
1- Faça a montagem esquematizada na figura 2.
2- Meça o diâmetro e a massa da esfera.
3- Coloque uma célula fotoeléctrica na posição B. Ligue a célula fotoeléctrica à máquina de calcular
gráfica no modo de funcionamento adequado, para medir o intervalo de tempo de passagem da
esfera.
Procedimento para a ligação (TI – 84 Plus Silver Edition)
3.1. Carregue no botão APPS
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3.2. Desloque para baixo através do cursor existente na máquina até encontrar a aplicação
EasyData 2.00 seleccionando-a.
3.3. Após a selecção da aplicação anterior, seleccione o setup para que possa escolher o sensor
pretendido. Neste caso, seleccione a posição três do visor como se mostra nos esquemas
seguintes.
a. b.
3.4. Em seguida, escolha o comprimento do objecto a medir e carregue OK como se mostra na
figura.
3.5. Após os passos anteriores carregue no iniciar e após o sinal sonoro que o aparelho emite
comece o trabalho experimental.
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4- Defina uma distância entre a posição A e B como indicado na figura.
5- Retire a célula fotoeléctrica do suporte universal e para a respectiva posição B, fixe-a à calha
recorrendo, por exemplo a fita-cola.
6- Abandone a esfera da posição A e registe o valor do intervalo de tempo de passagem da esfera na
posição B. Repita este procedimento pelo menos quatro vezes.
7- Repita o procedimento 5 e 6 para cada inclinação.
4- Resultados
Após a conclusão da actividade experimental e depois de seleccionar a opção sair, irá
aparecer no visor da máquina a seguinte informação:
A informação contida da experiência encontra-se nas listas L1 (número de ensaios realizados), L6
(intervalos de tempo para cada ensaio) e L7 (velocidade em m/s).
Para visualizar as listas carregue no menu STAT e irá aparecer o seguinte ecrã:
Seleccione a opção 1 para poder visualizar as respectivas listas e os respectivos valores.
Percorra as listas com o cursor da calculadora e encontrará na lista L1, número de ensaios
realizados; L7, velocidade (m/s) de cada ensaio e na lista L6, o respectivo tempo.
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Após a consulta das listas, através da aplicação TI Connect, transfira as listas para o seu
computador para poder trabalhar com maior facilidade. No nosso trabalho utilizamos o programa
Microsoft Office Excell.
Resultados obtidos
4,0 8,0 12,0 16,0 20,0 24,0 28,0 32,0 36,0 40,0 44,0 48,0 52,0 56,0
0,0262 0,0176 0,0144 0,0125 0,0112 0,0102 0,0096 0,0088 0,0085 0,0079 0,0071 0,0069 0,0067 0,0064
0,5925 0,8828 1,0783 1,2427 1,3873 1,5188 1,6211 1,7634 1,8267 1,9653 2,1703 2,2328 2,3168 2,4367
Tabela 1. – Velocidade do centro de massa da esfera à passagem no ponto B e o respectivo
melhor intervalo de tempo para cada inclinação.
4,0 8,0 12,0 16,0 20,0 24,0 28,0 32,0 36,0 40,0 44,0 48,0 52,0 56,0
0,0045 0,0089 0,0133 0,0177 0,0220 0,0262 0,0300 0,0347 0,0383 0,0432 0,0444 0,0475 0,0503 0,0529
0,0040 0,0089 0,0133 0,0176 0,0220 0,0263 0,0300 0,0355 0,0380 0,0439 0,0537 0,0568 0,0611 0,0676
Tabela 2. – Energia mecânica inicial e final para cada inclinação.
Para interpretar os resultados finais, tracemos um gráfico de energia mecânica final em
função da mecânica inicial. Para tal, depois dos dados tratados, inserimos na calculadora desde a
lista 1 até à lista 6 os seguintes dados:
L1 – número de ensaios
L2 – ângulo
L3 – tempo médio
L4 – velocidade do centro de massa
L5 – Energia mecânica inicial
L6 – Energia mecânica final
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Figuras exemplificativas das listas.
Em seguida, através da operação 2ND – STAT PLOT, definimos para o eixo dos x, a lista L5
e para o eixo dos Y a lista L6. Escolhemos um gráfico de pontos e mandámos traçar o respectivo
gráfico.
Gráfico 1- Energia mecânica final em função da energia mecânica inicial.
5- Análise dos resultados obtidos
Da análise do gráfico 1, verificamos que a partir de um determinado ângulo (34º) não existe
conservação da energia mecânica.
Representando um novo gráfico, e traçando sobre os mesmos pontos uma recta em que a
condição é Emf =Emi, verifica-se claramente que os últimos quatro pontos não se ajustam à respectiva
recta, porquanto resultam de erros sistemáticos cometidos por nós aquando da realização da actividade
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experimental, pois como é óbvio, de acordo com a actividade experimental realizada, a energia
mecânica final nunca poderia ser superior à energia mecânica inicial.
Gráfico 2 - Energia mecânica final em função da energia mecânica inicial e uma recta que
representa a função ideal Emf =Emi.
Considerando apenas os primeiros nove valores, e representando sobre estes uma recta Emf =
a Emi + b, obtemos o seguinte gráfico:
Gráfico 3 - Energia mecânica final em função da energia mecânica inicial e uma recta que
representa a função Emf = aEmi + b.
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A respectiva função é Emf = 1,019 Emi - 3,836 x 10-4 com R = 0,999, pelo que se verifica
que o declive é de aproximadamente 1 e o ponto de intersecção na origem é aproximadamente 0.
Como tal podemos concluir que a energia mecânica se conserva para estas inclinações.
6- Conclusões
Como resultado desta actividade experimental verifica-se que, se não existe conservação da
energia mecânica, isso não se deve à força de atrito, pois a mesma não realiza trabalho enquanto a
esfera rolar. Verificamos também que, para inclinações pequenas inferiores a 8º e para inclinações
superiores a 36º, a nossa actividade experimental não é adequada. No primeiro caso, provavelmente, a
componente do peso na direcção do movimento (pequena nestes casos) foi afectada pela resistência ao
rolamento. No segundo caso (maiores inclinações), o resultado obtido foi exactamente o oposto do
previsto, porquanto a esfera além de rolar também começava a deslizar, pelo que os resultados obtidos
para a energia mecânica final deveriam ser inferiores aos da energia mecânica inicial. Uma explicação
para os resultados por nós obtidos neste caso será a passagem pela esfera na célula fotoeléctrica com
um diâmetro inferior ao real em consequência da elevada inclinação da calha, pelo que obtivemos
tempos inferiores aos reais e, consequentemente, energias mecânicas finais superiores. Relativamente
aos dados por nós validados, o objectivo de alcançar uma recta que se ajustasse aos pontos com um
declive próximo de 1 e que passasse próxima da origem foi alcançado.
7- Bibliografia
1- Silva, Wilton Pereira da, Revista Brasileira de Ensino de Física, Vol. 25, no. 4, Dezembro, 2003.
2- Almeida, Maria José B. Marques de, Preparação de Professores de Física – Uma contribuição
científico-pedagógica e didáctica, Livraria Almedina – Coimbra (2004).
3- Almeida, Maria José B. Marques de, Fundamentos de Física, Livraria Almedina – Coimbra
(1993).
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