Ecuaciones diferenciales y series de Fourier

I.T.P.N. 1
M.I. Juan A. Montero Rodríguez

INDICE
Unidad I Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden ...................................................................... 4

1.1 Definiciones (Ecuaciones diferencial, orden, grado, linealidad) ............................................. 4

1.2 Soluciones de las ecuaciones diferenciales............................................................................ 6

1.3 Problema del valor inicial ...................................................................................................... 8

1.4 Teorema de existencia y unicidad ....................................................................................... 10

1.5 Variables Separables y reducibles ....................................................................................... 11

1.6 Ecuaciones exactas y no exactas, factor integrante ............................................................. 23

1.7 Ecuaciones Lineales ............................................................................................................ 30

1.8 Ecuaciones de Bernoulli ..................................................................................................... 39

1.9 Sustituciones Diversas ........................................................................................................ 40

1.10 Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden .......................................... 42

Unidad 2 Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior.................................................... 44

2.1 Definición de ecuación diferencial de orden n..................................................................... 45

2.2 Problema del valor inicial .................................................................................................... 45

2.3 Teorema de existencia y unicidad ....................................................................................... 45

2.4 Ecuaciones Diferenciales Lineales Homogéneas .................................................................. 49

2.4.1. Principio de superposición .......................................................................................... 50

2.5 Dependencia e independencia lineal, wronskiano .............................................................. 52

2.6 Solución general de las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas. ............................. 59

2.6.1 Reducción de Orden de una Ecuación Diferencial Lineal de Orden dos a una de Primer
orden. (Construcción de una segunda solución a partir de otra ya conocida) ........................ 61

2.6.2 Ecuación diferencial homogénea con coeficientes constantes ..................................... 67

2.7 Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior ........................................................... 71

I.T.P.N. 2

2.8 Ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas............................................................... 74

2.8.1 Solución general de las ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas. .................. 76

2.8.2 Solución de las ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas (coeficientes
indeterminados, método de la superposición, método de operador anulador). .................... 77

2.8.3 Solución de las ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas por el método de
variación de parámetros. ...................................................................................................... 88

2.8.4 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales lineales de orden dos .............................. 97

Unidad 3 Transformadas de Laplace ........................................................................................... 102

3.1 Definición de la trasformada de Laplace ........................................................................... 102

3.2 Condiciones suficientes de existencia para la trasformada de Laplace............................... 104

3.3 Trasformada de Laplace de funciones básicas ................................................................... 106

3.4 Trasformada de Laplace de funciones definidas por tramos .............................................. 112

3.5 Función escalón unitaria ................................................................................................... 113

3.5.1 Trasformada de Laplace de la función escalón unitaria............................................... 115

3.6 Propiedades de la trasformada de Laplace (linealidad, teoremas de traslación) ................ 115

3.7 Transformada de funciones multiplicadas por tn, y divididas entre t .................................. 121

3.8 Trasformada de derivadas ................................................................................................ 123

3.9 Trasformada de integrales ................................................................................................ 124

3.10 Teorema de la convolución ............................................................................................. 124

3.11 Transformada de una Función Periódica ......................................................................... 126

3.12 Función Delta Dirac......................................................................................................... 129

3.13 Transformada de Laplace de la función Delta Dirac ......................................................... 130

3.14 Transformada Inversa ..................................................................................................... 132

3.15 Algunas Transformadas Inversas ..................................................................................... 132

3.16 Propiedades de la Transformada Inversa. ....................................................................... 134

I.T.P.N. 3

3.16.1 Determinación de la Transformada Inversa Mediante el Uso de Fracciones Parciales136

3.16.2 Determinación de la Transformada Inversa Usando los Teoremas de Heaviside ....... 140

Unidad IV. Ecuaciones diferenciales lineales y sistema de ecuaciones diferenciales lineales ....... 143

4.1 Solución de una ecuación diferencial lineal con condiciones iníciales por medio de la
transformada de Laplace ........................................................................................................ 143

4.2 Solución de un Sistema de Ecuaciones Diferenciales Lineales con condiciones Iníciales por
medio de la Transformada de Laplace. ................................................................................... 153

4.3 Problemas de Aplicaciones. .............................................................................................. 155

Unidad 5 Series de Fourier ........................................................................................................ 163

5.1 Funciones Ortogonales ..................................................................................................... 163

5.2 Conjuntos Ortogonales y Conjuntos Ortonormales. .......................................................... 163

5.3 Definición de Serie de Fourier. .......................................................................................... 166

5.3.1. Series de Fourier ....................................................................................................... 167

5.4 Convergencia de Serie de Fourier...................................................................................... 172

5.5 Series de Fourier Función Periodo Arbitrario..................................................................... 173

5.6 Serie de Fourier de Funciones Pares e Impares (Desarrollo Conseinoidal o Senoidal)....... 175

5.7 Serie de Fourier en medio intervalo .................................................................................. 181

5.8 Formas Complejas de la Serie de Fourier .......................................................................... 185

Unidad 6 Introducción a las ecuaciones diferenciales parciales................................................... 188

6.1 Definiciones (ecuación diferencial parcial, orden y linealidad)........................................... 188

6.2 Forma general de una ecuación diferencial lineal de segundo orden................................. 188

6.3 Clasificación de ecuaciones diferenciales parciales de 2 orden (elípticas, parabólicas e
hiperbólicas) .......................................................................................................................... 188

6.4 Método de solución de las ecuaciones diferenciales parciales (directos, equiparables con las
ordinarias y separación de variables) ...................................................................................... 189

6.5 Aplicaciones ..................................................................................................................... 195

I.T.P.N. 4

Unidad I Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

1.1 Definiciones (Ecuaciones diferencial, orden, grado, linealidad)

Ecuación diferencial

Si una ecuación contiene las derivadas o diferenciales de una o más variables
dependientes con respecto a una o más variables independientes, se dice que es
una ecuación diferencial. Se clasifican de acuerdo con las tres propiedades
siguientes.

Clasificación según el tipo

Si una ecuación contiene sólo derivadas ordinarias de una o más variables
dependientes con respecto a una sola variable independiente, entonces se dice
que es una ecuación diferencial ordinaria (EDO). Por ejemplo,

son ecuaciones diferenciales ordinarias. Una ecuación que contiene las derivadas
parciales de una o más variables dependientes de dos o más variables
independientes se llama ecuación diferencial parcial (EDP). Por ejemplo,

.

I.T.P.N. 5

Clasificación según el orden

El orden de la más alta derivada en una ecuación diferencial se llama orden de la
ecuación. Por ejemplo,

es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden. Puesto que la ecuación
diferencial =0 puede llevarse a la forma

dividiendo entre dx , es un ejemplo de ecuación diferencial ordinaria de primer
orden. La ecuación

es una ecuación diferencial de cuarto orden.

Aunque las ecuaciones diferenciales parciales son muy importantes, su estudio
exige una buena base en la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias. Una
ecuación diferencial ordinaria general de orden n se representa a menudo
mediante el símbolo

.

Clasificación según la linealidad o no linealidad

Se dice que una ecuación diferencial es lineal si tiene la forma

.

Debe hacerse notar que las ecuaciones diferenciales lineales se caracterizan por
dos propiedades:

a) la variable dependiente y junto con todas sus derivadas son de primer
grado, esto es, la potencia de cada término en y es 1.

I.T.P.N. 6

b) cada coeficiente depende sólo de la variable independiente x .

Una ecuación que no es lineal se dice no lineal. Las ecuaciones

(EDO lineal de primer orden)

(EDO lineal de segundo orden)

(EDO lineal de tercer orden)

son ejemplos de ecuaciones lineales.

1.2 Soluciones de las ecuaciones diferenciales

Se dice que una función f cualquiera, definida en algún intervalo I, es solución
de una ecuación diferencial en el intervalo, si sustituida en dicha ecuación la
reduce a una identidad.

En otras palabras, una solución de una ecuación diferencial es una función
y ! f ( x ) que tiene por lo menos n derivadas y satisface la ecuación. Es decir,

para todo x del intervalo I.

Ejemplo

La función es una solución de la ecuación no lineal

dy 1
xy 2 ! 0
dx

En . Puesto que

vemos que

I.T.P.N. 7

para todo número real.

Ejemplo

La función y ! xe x es una solución de la ecuación no lineal y '' 2 y ' y ! 0 en
. Para comprender esto se evalúan

y y '' ! xe x 2e x

Obsérvese que y '' 2 y ' y ! ( xe x 2 e x ) 2( xe x e x ) xe x ! 0

para todo número real.

Nótese que en los ejemplos anteriores la función constante y = 0, ,
satisface asimismo la ecuación diferencial dada. A una solución de una ecuación
diferencial que es idéntica a cero en un intervalo I, se le denomina a menudo
solución trivial.

Tipos de soluciones

Solución n-paramétrica. Si la solución contiene n parámetros se le llama solución
n-paramétrica o familia n-paramétrica de soluciones. De hecho al resolver una
ecuación de n-ésimo orden se espera obtener una solución con n parámetros.

Solución particular. Es una solución que se obtiene a partir de una solución
n-paramétrica dándole valores a los parámetros.

Solución singular. Es una solución que no se puede obtener a partir de una
solución n-paramétrica.

Solución general. Si la única solución de una ecuación diferencial es una familia
n-paramétrica de soluciones, es decir no existe solución singular para tal ecuación,
entonces se dice que tal solución es la solución general de la ecuación diferencial.

Solución explícita. Si la incógnita y viene despejada en función de la variable
independiente x.

I.T.P.N. 8

Solución implícita. Si la solución no es explícita se dice que es una solución
implícita.

Ejemplo

Sol. explícita

Sol. explícita

Sol. Sol. n-paramétrica (n=1)

Sol. Sol. particular

Sol. y = 0 Sol. singular

Sol. Sol. implícita

1.3 Problema del valor inicial

A menudo nos interesa resolver una ecuación diferencial de primer orden

sujeta a la condición adicional , donde es número en un intervalo I y
es un número real arbitrario. El problema

se le llama problema de valor inicial. A la condición adicional se le conoce como
condición inicial.

Ejemplo
Para

I.T.P.N. 9

sabemos que es una familia uniparamétrica de soluciones. Por lo tanto si
x = 0, y = 3,

y entonces la solución particular es .

Si se tuviera entonces

y la solución sería
.

Ejemplo

Para

se debe saber que es solución de esta ecuación diferencial ordinaria.
Entonces
, c=0

y es una solución particular.

Si se tiene como condición inicial , entonces

I.T.P.N. 10

2
¨ 02 ¸
1 ! © c ¹ ,c ! 1
ª 4 º

siendo la solución particular .

1.4 Teorema de existencia y unicidad

Teorema 1.1

Sea R una región rectangular en el plano xy definida por a ” x ” b, c ” y ” d que
contiene al punto en su interior. Si son continuas en R,

entonces existe un intervalo I con centro en y una única función y (x) definida
en I que satisface el problema del valor inicial.

Figura 1.1

El teorema anterior es uno de los teoremas de existencia y unicidad más
populares para ecuaciones diferenciales de primer orden porque los criterios de
continuidad de son relativamente fáciles de verificar. En general,

no siempre es posible encontrar un intervalo específico I en el cual se define una
solución sin, de hecho, resolver la ecuación diferencial.

I.T.P.N. 11

Ejemplo. Sean

Figura 1.2

Dos soluciones del mismo PVI (Problema de valor inicial) son cada una de las
funciones y ya que satisfacen la ecuación diferencial
y la condición inicial . En la figura 1.2 se ilustran las

gráficas de ambas funciones que pasan por el mismo punto (0, 0).

Haciendo referencia al Teorema de Existencia y Unicidad se tiene que

son continuas en el semiplano superior definido por y 0. Por consiguiente el
teorema permite concluir que para cualquier punto (x0, y0), y0 0 en el semiplano
superior hay algún intervalo en torno a x0 en el que la ecuación diferencial que se
proporciona tiene una solución única.

1.5 Variables Separables y reducibles

Se empieza el estudio de los métodos para resolver ecuaciones de primer orden
con la ecuación diferencial más simple de todas.

Si g (x) es una función continua dada, entonces la ecuación de primer oden

se puede resolver por integración. La solucion sería:

I.T.P.N. 12

Nota. Al resolver una ecuación diferencial, a menudo se tendrá que utilizar, por
ejemplo, integración por partes, fracciones parciales, o posiblemente sustitución.

Ejemplos Soluciones

Definición. Se dice que una ecuación diferencial de la forma es
separable o que tiene variables separables.

Observe que una ecuación separable puede escribirse como de
inmediato se observa que cuando h(y) = 1 la ecuación anterior se reduce a

.

Método de solución

La ecuación indica el procedimiento para resolver
ecuaciones diferenciales separables. Integrando ambos miembros de
se obtiene una familia uniparamétrica de soluciones, la cual
queda expresa implícitamente.

Nota. En una ecuación separable no hay necesidad de usar dos constantes de
integración ya que

donde c es completamente arbitraria.

I.T.P.N. 13

Ejemplo. Resuelva las ecuaciones diferenciales ordinarias por separación de
variables.

.

Diviviendo entre (1 + x)y es posible escribir

.

Llamando c a resulta entonces
.

.

Se tiene

I.T.P.N. 14

.

.

Se tiene

.

.

Se tiene

I.T.P.N. 15

.

, .

Separando

y usando fracciones parciales

y entonces

I.T.P.N. 16

1 1
ln y 2 ln y 2 ! x c
4 4

.

El 2 y el -2 se eliminaron como soluciones al inicio al dividir entre y 2 4 . Se tiene
que -2 es solución y contiene al punto (0, -2).

dy 1
f) !
dx x y 1 .

Realizando cambio de variable

I.T.P.N. 17

.

Problemas Propuestos

Variables separables

I.T.P.N. 18

Resuelva la EDO por separación de variables.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

Ecuaciones Homogéneas

Si una ecuación en la forma diferencial

tiene la propiedad que

M (tx, ty ) ! t n M ( x, y ) y N (tx, ty ) ! t n N ( x, y )

se dice que tiene coeficientes homogéneos o que es una ecuación homogénea. El
punto importante en la discusión posterior es que una ecuación diferencial
homogénea siempre puede reducirse a una ecuación separable por medio de una
sustitución algebráica adecuada. El grado de los coeficientes homogéneos n tiene
que ser igual.

Se dice que f(x, y) es una función homogénea de grado n, si para algún número
real n, f (tx, ty ) ! t n f ( x, y ) .

I.T.P.N. 19

Ejemplo

! tx 3t xy 5ty
.

La función homogénea es de grado uno.

Ejemplo

.

La función es homogénea de grado .

Ejemplo

ya que
.

La función no es homogénea.

Ejemplo

.

I.T.P.N. 20

La función es homogénea de grado cero.

Sumar una constante a una función destruye la homogeneidad a menos que la
función sea homogénea de grado cero. Además, en muchos casos podemos
reconocer si una función es homogénea examinando el grado de cada término.

Ejemplo

La función es homogénea de grado 4.

Ejemplo. Resolver la ecuación homogénea con condición inicial

.

En este caso se sustituye

I.T.P.N. 21

.

Si

.

Ejemplo

.

Se prueba en este caso
x ! uy @ dx ! udy ydu

I.T.P.N. 22

1
ln y ln 3u 4 1 ! c
6

.


Ecuaciones homogéneas

Resuelva la ecuación homogénea.

1)

2)

3)

4)

I.T.P.N. 23

1.6 Ecuaciones exactas y no exactas, factor integrante

Observemos que la ecuación simple

es separable y homogénea; también debe notarse que además es equivalente a la
diferencial del producto de x y y. Esto es

Integrando se obtiene de inmediato la solución implícita xy = c.

Recuérdese que si z = f(x,y) es una función con derivadas parciales de primer
orden continuas en una región R del plano xy, entonces su diferencial total es

. (1)

Ahora bien, si f(x,y) = c, de (1) se deduce que

. (2)

En otras palabras, dada una familia de curvas f(x,y) = c, es posible generar una
ecuación diferencial de primer orden calculando la diferencial total.

Ejemplo

Si , entonces de (2) resulta que

o bien .

Es más importante para los fines de este curso invertir el problema, esto es, dada
una ecuación como

(3)

¿Puede identificarse la ecuación como equivalente a

I.T.P.N. 24

Nótese que la ecuación (3) no es ni separable ni homogénea.

Ecuaciones Exactas

Definición

Una expresión diferencial

es una diferencial exacta en una región R del plano xy si corresponde a la
diferencial total de alguna función f(x,y). Una ecuación

se dice que es exacta si la expresión del primer miembro es una diferencial
exacta.

Ejemplo

La ecuación es exacta puesto que se ve que

.

El siguiente teorema es un criterio para determinar si una diferencial es exacta.

Teorema 1.2

Sean M(x,y) y N(x,y) continuas y con derivadas parciales de de primer orden
continuas en una región R del plano xy. Entonces una condición necesaria y
suficiente para que

M ( x, y )dx N ( x , y )dy

sea una diferencial exacta es que

(4)

I.T.P.N. 25

Demostración de la condición necesaria: Para simplificar, supóngase que M(x,y) y
N(x,y) tienen derivadas parciales de primer orden continuas para todos (x,y).
Ahora bien, si la expresión M(x,y)dx +N(x,y)dy es exacta, existe alguna función f
para la cual

para todo (x,y) en R. Por lo tanto,

,

y

La igualdad de las derivadas parciales mixtas es consecuencia de la continuidad
de las derivadas parciales de primer orden de M(x,y) y N(x,y).

La demostración de la suficiencia de la condición en el Teorema 1.2 consiste en
probar que existe una función f para la cual
cada vez que la condición (4) se
cumple. La construcción de la función f se refleja de hecho un procedimiento
básico para resolver ecuaciones exactas.

Método de Solución

Dada la ecuación

(5)

primero demuestre que

Suponga luego que

así es posible encontrar f integrando M(x,y) con respecto a x mientras se mantiene
y constante. Se escribe

I.T.P.N. 26

(6)

en donde la función arbitraria g(y) es la ³constante´ de integración. Derive ahora
(6) con respecto a y y suponga que

.

De esto resulta

x
xy ´
g '( y ) ! N ( x, y ) M ( x, y )dx . (7)

Finalmente, integre (7) con respecto a y y sustituye el resultado en (6). La solución
de la ecuación es .

Ejemplo

Resolver

Solución. Con M(x,y)= 2xy y N=(x,y) = tenemos

Así que la ecuación es exacta y entonces, por el Teorema 1.2 existe una función
f(x,y) para la que

y

De la primera de estas ecuaciones se obtiene

Derivando parcialmente la última expresión con respecto a y e igualando el
resultado a N(x,y) resulta

I.T.P.N. 27

.

Se deduce que

g´(y) = -1 y g(y) = -y .

No es necesario incluir la constante de integración en el renglón precedente ya
que la solución es f(x,y) = c. Algunas curvas de la familia se dan en la
Figura 1.3.

Figura 1.3

Ejemplo

Resolver

Solución. La ecuación no es ni separable ni homogénea pero si es exacta, puesto
que

Por lo tanto, existe una función f(x,y) para la que

Y

I.T.P.N. 28

Para variar, supondremos que

O sea,

Recuerde que la razón por la cual x puede salir fuera del símbolo que en la
integración con respecto a y se trata a x como una constante ordinaria. Se tiene
que

de modo que

y

Por consiguiente, una familia uniparamétrica de soluciones está dada por

Ejemplo

Resolver sujeta a y(0) = 2.

Solución. La ecuación es exacta puesto que

Ahora bien,

I.T.P.N. 29

La última ecuación implica que

Así que

o bien

La condición inicial y=2 cuando x=0 exige que o bien que c=3.
Una solución es


Ecuaciones exactas y no exactas

Resuelva la ecuación exacta

1)

2)

3) ,

4) ,

I.T.P.N. 30

1.7 Ecuaciones Lineales

Se define la forma general de una ecuación diferencial lineal de orden n como

La linealidad significa que todos los coeficientes son solamente funciones de x y
que y y todas sus derivadas están a la primera potencia. Ahora bien, cuando n=1,
se obtiene la ecuación lineal de primer orden

Dividiendo entre resulta la forma más útil

(1)

Se busca la solución de (1) en un intervalo I en el cual P(x) y f(x) son continuas.
En la discusión que sigue se supone tácitamente que (1) tiene solución.

Un factor integrante

Supóngase que la ecuación (1) se escribe en la forma diferencial

. (2)

Las ecuaciones lineales tienen la conveniente propiedad de que siempre es
posible encontrar una función µ(x) tal que el múltiplo de (2)

(3)

es una ecuación diferencial exacta. Por el Teorema 1.2 se sabe que el miembro
primero de la ecuación (3) será una diferencial exacta si

x x
Q ( x ) ! Q ( x ) ?P ( x ) y f ( x )A (4)
xx xx

o bien .

I.T.P.N. 31

Esta es una ecuación separable a partir de la cual puede determinarse µ(x). Se
tiene

(5)

de modo que . (6)

A la función µ(x) definida en (6) se la llama factor integrante de la ecuación lineal.
Nótese que no es necesario usar una constante de integración en (5) ya que (3)
no es afectada si se multiplica por una constante. Además, µ(x) 0 para todo x de I
y es continua y diferenciable.

Es interesante observar que la ecuación (3) sigue siendo una ecuación diferencial
exacta incluso cuando f(x) = 0. De hecho, f(x) no desempeña ningún papel en la
determinación de µ(x) puesto que por (4) vemos que µ(x) f(x) = 0. Así,

y

son, ambas, diferenciales exactas. Ahora se escribe (3) en la forma

y se advierte que la ecuación puede escribirse como

Integrando la última ecuación resulta

e´ y ! ´ e´
P ( x ) dx P ( x )dx
f ( x )dx c

o bien

y!e ´ e´ f ( x)dx ce ´
P ( x ) dx P ( x ) dx P ( x )dx
´ . (7)

En otras palabras, si (1) tiene solución, esta debe ser de la forma (7).
Recíprocamente, se puede verificar que (7) constituye una familia uniparametrica

I.T.P.N. 32

de soluciones de la ecuación (1). Sin embargo, no se debe tratar de memorizar la
formula (7). El procedimiento que debe seguirse cada vez, por eso es conveniente
resumir los resultados.

Método de solución

Para resolver una ecuación diferencial lineal de primer orden, primero escríbala en
la forma (1); o sea, haga el coeficiente de y´ igual a la unidad. Multiplique después
toda la ecuación por el factor integrante . El primer miembro de

es la derivada del producto del factor integrante por la variable dependiente:

Escriba la ecuación en la forma

y por último, integre ambos miembros.

Ejemplo

Resolver

Solución. Escriba la ecuación como

(8)

y determine el factor integrante

Aquí se usa la identidad básica . Ahora multiplique la ecuación (8) por
este término

I.T.P.N. 33

(9)

y obtenga (10)

Por integración por partes queda

o bien .

Ejemplo

Resolver .

Solución. La ecuación ya está en la forma (1). Por consiguiente, el factor
integrante es

.

En consecuencia

y por lo tanto .

Solución general

Si se supone que P(x) y f(x) son continuas en un intervalo I y que es un punto
cualquiera del intervalo, entonces el teorema 1.1 asegura la existencia de una sola
solución del problema de valor inicial

I.T.P.N. 34

(11)

Por lo contrario, se vio anteriormente que (1) tiene una familia de soluciones y que
toda solución de la ecuación en el intervalo I es de la forma (7).

Por lo tanto, obtener la solución de (11) es simplemente encontrar un valor
apropiado de c en (7). Como consecuencia, se justifica llamar a (7) la solución
general de la ecuación diferencial.

Ejemplo

Encuentre la solución general de

Solución. Se escribe

La función P(x) = es continua en -’½x½’. Ahora bien, el factor
integrante de la ecuación es

de modo que

Por lo tanto, la solución general es

Ejemplo

I.T.P.N. 35

Resolver sujeta a y(0) = -3.

Solución. Las funciones P(x) = 2x y f(x) = x son continuas en -’½x½’. El factor
integrante es

de modo que

Por consiguiente, la solución general de la ecuación diferencial es

1 2
y! ce x
2 .

La condición y(0) = -3 da por ello la solución del problema de valor
inicial en el intervalo es

Ejemplo

Resolver sujeta a y(1) = 0.

Solución. Escriba la ecuación dada como

y observe que es continua en cualquier intervalo que no contiene al
origen. En vista de la condición inicial, se resuelve el problema en el intervalo
0½x½’.

I.T.P.N. 36

El factor integrante es

y por consiguiente da lugar a

La solución general de la ecuación es

(12)

Pero y(1) = 0 implica c = -1. Por lo tanto se obtiene

. (13)

La gráfica de (12), considera como una familia uniparamétrica de curvas, se
presenta en la figura 1.4. La solución (13) del problema de valor inicial está
indicada por la porción en color de la gráfica.

Figura 1.4

Ejemplo

Resolver . sujeta a y(-2) = 0.

Solución. La ecuación diferencial dada no es separable, ni homogénea, ni exacta,
ni lineal en la variable y. Sin embargo, si se toma la reciproca, entonces

dx dx
! x y2 o bien x ! y2 .
dy dy

I.T.P.N. 37

Esta última ecuación es lineal en x, así que el factor integrante correspondiente es
. En consecuencia, se tiene que para ,

.

Cuando x = -2, y = 0, se encuentra que c = 0 y por consiguiente

Ejemplo

Hallar una solución continua que satisfaga

® 0 e x e1
1,
en donde f ( x) ! ¯
° x 1
0,

y la condición inicial y(0) = 0.

Solución. f es discontinua en x = 1. Por consiguiente, resolvemos el problema en
dos partes. Para 0”x”1 se tiene que

.

Como y(0) =0, debemos tener y por lo tanto

, 0”x”1.

I.T.P.N. 38

Para x1 tenemos

Lo cual lleva a .

Por consiguiente, podemos escribir

.

Ahora bien, para que y sea una función continua necesitamos que
lim x p1 y ( x ) ! y (1) . Este último requisito es equivalente a
o bien
. La función

es continua pero no diferenciable en x = 1.

Observación: La fórmula (7), que representa la solución general de (1), consta en
realidad de la suma de dos soluciones. Se define

(14)

en donde

y


Ecuaciones lineales

Halle la solución general

1) ,

I.T.P.N. 39

2) ,

3) ,

4) ,

5) , ,

1.8 Ecuaciones de Bernoulli

A la ecuación diferencial
(1)

en donde n es un número real cualquiera, se le llama ecuación Bernoulli en honor
del matemático suizo Jacob Bernoulli (1654-1705). Para n0 y n1, la sustitución
lleva a la ecuación lineal

(2)

Ejemplo

Resolver

Solución. En (1) se identifica , y n = 2. Así la sustitución

da

El factor integrante de esta ecuación lineal en, por ejemplo, es

Consecuentemente, .

I.T.P.N. 40

Integrando esta última forma resulta

o bien

Como , se obtiene y también


Ecuación de Bernoulli

1)

2)

1.9 Sustituciones Diversas

Una ecuación puede tener un aspecto diferente a cualquiera de las que ya se han
estudiado pero, por medio de un cambio de variables inteligente, un problema
aparentemente difícil puede tal vez resolverse con facilidad. Aunque no pueden
darse reglas fijas sobre que sustituciones usar, si es que hay alguna sustitución
posible.

Ejemplo

La ecuación diferencial

No es separable, ni homogénea, ni exacta, ni lineal, ni de Bernoulli. Sin embargo,
el mirarla con atención durante un tiempo podría inducir a intentar la sustitución

o bien .

Como

I.T.P.N. 41

después de simplificar, la ecuación se transforma en

.

Se observa que la última ecuación es separable; luego de

se obtiene

en donde se reemplazó por

Ejemplo

Resolver .

Solución. La presencia del término induce a intentar puesto que

.

Ahora bien

tiene la forma lineal

de modo que multiplicando por el factor integrante resulta

I.T.P.N. 42

o bien .

Ejemplo

Resolver .

Solución. Sea . Por lo tanto, la ecuación diferencial se transforma en

Integrando por partes resulta

Sustituciones diversas
Resuelva usando una sustitución apropiada.

1)

2)

1.10 Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

Circuitos en serie. Para un circuito en serie que contiene sólo un resistor y un
inductor, la segunda ley de kirchhoff establece que la suma de la caída de voltaje
en el inductor y la caída de voltaje en el resistor (iR) es la misma que el
voltaje de alimentación (E(t)) en el circuito. Véase la figura 1.5.

I.T.P.N. 43

Figura 1.5 Circuito LR en serie

Así, se obtiene la ecuación diferencial lineal para la corriente i(t).
(1)

Donde L y R son constantes que se conocen como la inductancia y la resistencia,
respectivamente. La corriente i(t) se conoce también como la respuesta del
sistema.

La caída de voltaje en un capacitor con capacitancia C está dada por q(t)/C, donde
q es la carga en el capacitor. Por consiguiente, para el circuito en serie que se
ilustra en la figura 1.6 la ley de kirchhoff da

Figura 1.6 Circuito RC en serie

(2)

Pero la corriente i y la carga q se relacionan mediante , así que (2) se
convierte en la ecuación diferencial lineal

. (3)

Ejemplo

Circuito en serie

Una batería de 12 volts se conecta a un circuito en serie en el que la inductancia
es Henry y la resistencia es 10 ohm. Determine la corriente i si la corriente
inicial es cero.

Solución. De (1) se observa que es necesario resolver

I.T.P.N. 44

sujeta a i(0) = 0. Primero, se multiplica por 2 la ecuación diferencial y se ve que le
factor de integración es Se obtiene entonces

Al integrar cada lado de la ultima ecuación y resolviendo para i, se obtiene
Ahora, i(0) = 0 implica que o .

Por tanto, la respuesta es , la cual se puede obtener de

(4)

Cuando es una constante, la ecuación se transforma en

(5)

Observe que cuando , el segundo termino de la ecuación (5) tiende a cero.
Este término por lo común se llama término transitorio; los demás términos se
conocen como la parte de estado estable de la solución. En este caso
también se llama corriente de estado estable; para valores grandes del tiempo, al
parecer la corriente del circuito se rige simplemente por la ley de Ohm (E = iR).

Unidad 2 Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior

I.T.P.N. 45

2.1 Definición de ecuación diferencial de orden n
Del mismo modo en que se ha definido la ecuación diferencial lineal de primer
orden como podemos definir una ecuación diferencial de orden n como

donde la derivada mayor que aparece es de orden n-ésimo.

2.2 Problema del valor inicial
Un problema de valor inicial para una ecuación diferencial de orden n es

Resolver:

Sujeta a: (1)

En donde son constantes arbitrarias. Se busca una solución en
algún intervalo I que contenga al punto

En el caso de una ecuación lineal de segundo orden, una solución de

es una función definida en I cuya gráfica pasa por y tal que la pendiente
de la curva en el punto es el número .

2.3 Teorema de existencia y unicidad
Teorema 2.1

I.T.P.N. 46

Sean continuas en un intervalo I y sea
para todo en este intervalo. Si es cualquier punto de este
intervalo, entonces existe una solución del problema de valor inicial (1) en el
intervalo y esa solución es única.

Ejemplo

Verificar que es una solución del problema de valor inicial

La ecuación diferencial es lineal, los coeficientes, así como son
funciones continuas en cualquier intervalo que contiene x=0. Por el teorema de
existencia y unicidad (2.1) se deduce que la función dada es la única solución.

Ejemplo

El problema de valor inicial

tiene una solución trivial y=0. Puesto que la ecuación de tercer orden es lineal con
coeficientes constantes, se infiere que todas las condiciones del teorema (2.1) se
cumplen. Por lo tanto, es la única solución en cualquier intervalo que
contenga a .

Ejemplo

La función es una solución del problema de valor inicial

I.T.P.N. 47

.

Por el teorema 2.1 se desprende que la solución es única en cualquier intervalo
que le contenga a .

En el teorema de existencia y unicidad (2.1), se requiere que siendo
sea continua y que , para todo de I. Ambos requisitos son
importantes. Específicamente, si para cualquier del intervalo, entonces
la solución de un problema lineal de valor inicial puede no ser única y hasta puede
no existir.

Ejemplo

Verificar que la función es una solución del problema de valor
inicial

,

en el intervalo para cualquier valor del parámetro

Solución. Como se tiene que

.

Además

y

Si bien la ecuación diferencial del ejemplo precedente es lineal y los coeficientes y
son continuos para todo la dificultad obvia es que es cero
en .

Problema de valores en la frontera

I.T.P.N. 48

Otro tipo de problema consiste en resolver una ecuación diferencial de orden dos
o de orden mayor que dos en la cual la variable dependiente y (o sus derivadas)
se especifica en dos puntos diferentes. Un problema como

Resolver:

Sujeta a:

se llama un problema de valores de frontera de dos puntos o, simplemente, un
problema de valores en la frontera.

Ejemplo

En el caso del problema de valor de frontera

Se busca una función definida en un intervalo que contenga que
satisfaga la ecuación diferencial y cuya gráfica pase por los dos puntos (1,0) y
(2,3).

Los ejemplos siguientes muestran que aun cuando las condiciones del Teorema
(2.1) se cumplen, un problema de valor de frontera puede tener (a) varias
soluciones, (b) una solución única o (c) ninguna solución.

Ejemplo

es una familia biparamétrica de soluciones de la ecuación diferencial

.

Supóngase que ahora se quiere determinar aquella solución de la ecuación que
además satisface las condiciones de frontera

I.T.P.N. 49

.

Observemos que la primera condición

implica de modo que Pero cuando se tiene

.

Como , esta última condición se satisface para cualquier valor de , así
que, la solución del problema

es la familia uniparamétrica

.

Hay un número infinito de funciones que satisfacen la ecuación diferencial y cuyas
gráficas pasan por los dos puntos (0,0) y .

Si las condiciones de frontera fueran , entonces
necesariamente y serian ambas iguales a 0. En consecuencia, sería
una solución de este nuevo problema de valor de frontera. De hecho, esta es la
única solución.

2.4 Ecuaciones Diferenciales Lineales Homogéneas
A una ecuación diferencial lineal de orden n de la forma

(2)

I.T.P.N. 50

se la llama homogénea, en tanto que a

(3)

en donde no es idénticamente nula, recibe el nombre de no homogénea.

En este contexto, la palabra ³homogénea´ no se refiere a que los coeficientes son
funciones homogéneas.

Ejemplo

(a) La ecuación

es una ecuación diferencial lineal de segundo orden, homogénea.

(b) La ecuación

es una ecuación diferencial ordinaria lineal de tercer orden, no homogénea.

Nota: Cuando se den definiciones y se demuestren teoremas acerca de las
ecuaciones lineales (2) y (3), con el objeto de evitar repeticiones innecesarias, las
siguientes hipótesis importantes serán implícitas. En algún intervalo I

(I) los coeficientes son continuos;

(II) el miembro derecho es continuo;

(III) para todo del intervalo.

2.4.1. Principio de superposición
El teorema siguiente se cono como principio de superposición.

I.T.P.N. 51

Teorema 2.2

Sean soluciones de la ecuación diferencial lineal homogénea de orden
n (2) en un intervalo I. entonces la combinación lineal

(4)

en donde los son constantes arbitrarias, también es una solución en
el intervalo.

COLARIOS

(a) Si es una solución de una ecuación diferencial lineal homogénea,
entonces un múltiplo constante de ella, también es una solución.

(b) Una ecuación diferencial lineal homogénea siempre tiene la solución trivial

El principio de superposición definido y el caso particular dado en (a) son
propiedades que las ecuaciones diferenciales no lineales generalmente no tienen.

Ejemplo

Las funciones

son soluciones de la ecuación homogénea de tercer orden

en el intervalo . Por el principio de superposición, la combinación lineal

también es una solución de la ecuación en el intervalo.

I.T.P.N. 52

Ejemplo

Las funciones satisfacen la ecuación homogénea

en . Por el teorema, la otra solución es

Ejemplo

La función es una solución de la ecuación lineal homogénea

en . Por lo tanto, también es una solución. Se ve que para
diversos valores de son, todas, soluciones de la
ecuación en el intervalo.

2.5 Dependencia e independencia lineal, wronskiano
Definición

Se dice que es un conjunto de funciones es linealmente
independiente en un intervalo I si no es linealmente dependiente en el intervalo.

En otras palabras, un conjunto de funciones es linealmente independiente en un
intervalo si las únicas constantes para las cuales

para toda x en un intervalo, son .

Es fácil entender estas definiciones en el caso de dos funciones . Si
las funciones son linealmente dependientes en un intervalo, entonces existen
constantes , no siendo ambas nulas, tales que para todo x del intervalo

I.T.P.N. 53

.

Por lo tanto, si se supone que , se infiere que

.

Esto es, si dos funciones son linealmente dependientes, entonces una es
simplemente un múltiplo constante de otra. Recíprocamente si para alguna
constante se tiene que entonces.

para todo x de un intervalo. Por lo tanto, las funciones son linealmente
dependientes puesto que al menos una de las constantes (a saber, ) no es
nula se concluye que dos funciones son linealmente independientes cuando
ninguna es ningún múltiplo constante de la otra en un intervalo.

Ejemplo

Las funciones y son linealmente dependientes
en el intervalo puesto que

se satisface para todo x real si elegimos .

(Recuérdese la identidad trigonométrica ).

Ejemplo

Las funciones f1 ! x y f 2 ! x son linealmente dependientes en el intervalo
Un examen cuidadoso de la figura 2.1 debería convencer al lector de
que ninguna de las dos funciones es un múltiplo constante de la otra. Para tener
para todo x real, debemos elegir

I.T.P.N. 54

Figura 2.1

El intervalo en el cual las funciones están definidas es importante en las
consideraciones sobre dependencia e independencia lineal. Las funciones
en el ejemplo anterior son linealmente dependientes en el
intervalo ya que

c1 x c2 x ! c1 x c2 x ! 0

se satisface para cualquier valor no nulo de tal que

I.T.P.N. 55

Ejemplo

Las funciones , son
linealmente dependientes en el intervalo ya que

cuando

.

Se hace notar que y que .

Un conjunto de funciones es linealmente dependientes en un
intervalo si al menos una función puede expresarse como combinación lineal no
trivial de las restantes funciones.

Ejemplo

Las funciones son
linealmente dependientes en el intervalo ya que

para todo x en el intervalo.

El wronskiano

El siguiente teorema proporciona una condición suficiente para la independencia
lineal de n funciones en un intervalo. Cada función se supone diferenciable por lo
menos veces.

Teorema 2.3

Supóngase que tiene al menos derivadas. Si el
determinante

I.T.P.N. 56

no es cero por lo menos en un punto de intervalo I, entonces las funciones
son linealmente independientes en el intervalo.

El determinante que aparece en el teorema 2.3 se designa por

y se llama wronskiano de las funciones.

Colorario

Si tienen por lo menos derivadas y son linealmente
dependientes en , entonces

para todo del intervalo.

Ejemplo

Las funciones son linealmente dependientes
en . (¿Por que?) Por el colorario precedente, se observa que

=2

Ejemplo

Para

I.T.P.N. 57

e m1 x e m2 x
W (e m1x , e m2 x ) ! ! (m2 m1 )e( m1 m2 ) x { 0
m1e m1x m2e m2 x

para todo valor real de . Por lo tanto son linealmente independientes en
cualquier intervalo del eje .

Ejemplo

Si son números reales, entonces son
linealmente independientes en cualquier intervalo del eje puesto que

.

Nótese que haciendo se ve que , son también
linealmente independientes en cualquier intervalo del eje .

Ejemplo

Las funciones son linealmente
independientes en cualquier intervalo del eje x puesto que

no es cero para ningún valor real de

I.T.P.N. 58

Ejemplo

son linealmente independientes en ; sin
embargo, no es posible calcular el wronskiano ya que no es derivable en .

Soluciones linealmente independientes

Interesa determinar cuándo soluciones , de la ecuación diferencial
homogénea (2) son linealmente independientes. Una condición necesaria y
suficiente para la independencia lineal es, de forma sorpresiva, que el wronskiano
de un conjunto de de tales soluciones no se anule en un intervalo I.

Teorema 2.4

Sean soluciones de la ecuación lineal homogénea de orden (2) en
un intervalo I. Entonces el conjunto de soluciones es linealmente independiente en
I si y sólo si el wronskiano

Para todo del intervalo.

Definición

Se llama conjunto fundamental de soluciones en un intervalo I a cualquier
conjunto de soluciones linealmente independientes de la ecuación
diferencial lineal homogénea de orden (2) en el intervalo I.

Teorema 2.5

Sea un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación diferencial
lineal homogénea de orden en un intervalo I. Si y es cualquier solución de la
ecuación en I entonces es posible encontrar constantes , tales que

I.T.P.N. 59

.

Teorema 2.6

Existe un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación (2) diferencial lineal
homogénea de orden n en un intervalo I.

2.6 Solución general de las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas.
Definición

Sea un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación diferencial
lineal homogénea de orden (2) en un intervalo I. Se define como solución
general de la ecuación en el intervalo a

en donde los siendo son constantes arbitrarias.

Recuérdese que la solución general, también se la llama solución completa de la
ecuación diferencial.

Ejemplo

La ecuación de segundo orden tiene dos soluciones

para todo valor de , entonces forman un conjunto fundamental de
soluciones en . La solución general de la ecuación diferencial en el
intervalo es

.

I.T.P.N. 60

Ejemplo

El lector debe verificar que también satisface la ecuación
diferencial del ejemplo anterior. Eligiendo en la solución general
se obtienen

.

Ejemplo

Las funciones satisfacen la ecuación de tercer
orden

puesto que

para todo valor real de , entonces forman un conjunto fundamental de
soluciones en .

Se concluye que

y ! c1e x c2 e 2 x c3e3 x

es la solución general de la ecuación diferencial en el intervalo.

I.T.P.N. 61

2.6.1 Reducción de Orden de una Ecuación Diferencial Lineal de Orden dos a
una de Primer orden. (Construcción de una segunda solución a partir de otra
ya conocida).

Reducción de órdenes

Uno de los hechos más interesantes y también más importantes en el estudio de
las ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden es que es posible formar
una segunda solución a partir de una solución ya conocida. Supóngase que
es una solución distinta de cero de la ecuación

. (5)

El proceso que se utilizará para encontrar una segunda solución consiste en
reducir el orden de la ecuación (5), transformándola en una ecuación de primer
orden. Por ejemplo, se verifica fácilmente que satisface la ecuación
diferencial . Si intentamos determinar una solución de la forma
entonces

y¶¶=

y por tanto .

Puesto que esta última ecuación requiere que .

Si se hace se ve que la última ecuación es una ecuación lineal de primer
orden . Usando el factor integrante puede escribirse

o sea .

De esta manera

I.T.P.N. 62

y entonces

.

Eligiendo y se obtiene la segunda solución . Puesto que
para todo , las ecuaciones son linealmente independientes en
y en consecuencia la expresión para y es efectivamente la solución
general de la ecuación dada.

Ejemplo

Dado que es una solución de = , emplear una reducción de
orden para encontrar una segunda solución en el intervalo

Solución. Se define

de modo que

+

=

siempre que sea una solución de

o bien .

Si , obtenemos la ecuación lineal de primer orden

la cual tiene el factor integrante . Ahora bien de,

resulta que .

I.T.P.N. 63

Consecuentemente,

.

Eligiendo resulta la segunda solución .

Caso General

Supóngase que se divide entre para llevar la ecuación (5) a la forma

(6)

en donde son continuas en algún intervalo . Supóngase además que
es una solución conocida de (6) en y que para toda del
intervalo. Si definimos

se tiene

.

cero

Esto implica que debe tener

I.T.P.N. 64

o bien

(7)

en donde . Obsérvese que la ecuación (7) es lineal y también separable.
Aplicando esta última técnica resulta

e integrando de nuevo

.

Por lo tanto

.

Eligiendo se encuentra que una segunda solución se la ecuación
(6) es

I.T.P.N. 65

. (8)

Un buen ejercicio para repasar las técnicas de derivación es partir de la fórmula
(8) y verificar que efectivamente satisface la ecuación (6).

Ahora bien son linealmente independientes puesto que

no es cero en cualquier intervalo en el cual no es cero.

Ejemplo

La función es una solución de . Hallar la solución
general en el intervalo .

Solución. Puesto que la ecuación tiene la forma alternativa

de (8) resulta

.

La solución general en está dada por , es decir

I.T.P.N. 66

.

Ejemplo

Es posible verificar que es una solución de

en Obtener una segunda solución.

Solución. Primero se lleva la ecuación a la forma

.

Por la formula (8)

.

Puesto que la ecuación diferencial es homogénea, es posible descartar el signo
negativo y tomar a como la segunda solución.

Obsérvese que en el ejemplo anterior, son soluciones linealmente
independientes de la ecuación diferencial dada en el intervalo más grande
.


Segunda solución a partir de una conocida

I.T.P.N. 67

Encuentre una segunda solución a partir de y1 .

Soluciones

1)

2)

3)

2.6.2 Ecuación diferencial homogénea con coeficientes constantes

Se ha visto que la solución lineal de primer orden en donde a es una
constante, tiene la solución exponencial en . Por
consiguiente, es natural tratar de determinar si existen soluciones exponenciales,
en de ecuaciones de orden superior como

(1)

en donde los son constantes. Lo sorprendente es que todas las
soluciones son funciones exponenciales de (1) o se construyen a partir de la
función exponencial.

2.6.2.1 Ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes
de orden dos

Se empezara considerando el caso a partir de la ecuación de segundo orden

. (2)

Ecuación auxiliar

Si se ensaya una solución de la forma entonces
de modo que la ecuación (2) se transforme en

I.T.P.N. 68

o bien .

Como nunca se anula para valores reales de , es evidente que la única
manera de que esta función exponencial pueda satisfacer la ecuación diferencial
es eligiendo de modo que sea una raíz de la ecuación cuadrática

. (3)

Esta última ecuación se llama ecuación auxiliar o ecuación característica de la
ecuación diferencial (2). Se consideran tres casos, según la ecuación auxiliar
tenga raíces reales, distintas, raíces reales iguales o raíces complejas conjugadas.

2.6.2.2 Ecuación característica (raíces reales y distintas, raíces reales e
iguales, raíces complejas conjugadas).

Caso I. Suponiendo que la ecuación auxiliar (3) tiene dos raíces reales distintas
, se hallan dos soluciones

y

ya hemos visto que estas funciones son linealmente independientes en
y por lo tanto, forman un conjunto fundamental. Se deduce que la
solución general en este intervalo es

y ! c1e m1 x c2 e m2 x (4)

Caso II. Cuando m1 ! m2 necesariamente se obtiene sólo una solución exponencial
Sin embargo se deduce a una segunda solución

. (5)

Pero por la forma cuadrática se tiene que ya que la única manera de

obtener es que . En vista de que (5) se
transforma en

I.T.P.N. 69

e 2 m1 x
y2 ! e m1 x ´ 2 m1 x
dx ! y2 ! e m1 x ´ dx
e

.

La solución general de

es entonces

y ! c1e m1 x c2 xe m1 x . (6)

Caso lll. Si son complejas, entonces puede escribirse

m1 ! E iF y m2 ! E iF

en donde son reales e Formalmente no hay diferencia entre
este caso y el caso I y por tanto

y ! c1eE iF c2 eE iF . (7)

Sin embargo, en la práctica es preferible trabajar con funciones reales en vez de
exponenciales complejas. Ahora bien es posible escribir (7) en una forma más
práctica usando la formula de Euler

en donde es cualquier número real. A partir de este resultado puede escribirse

Y

en donde se ha usado y En
consecuencia, (7) se transforma en

.

I.T.P.N. 70

Como forman un conjunto fundamental de soluciones de
la ecuación diferencial dada en, se puede usar el principio de
superposición para escribir la solución general

(8)

Ejemplo

Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales

Solución

.

.

I.T.P.N. 71

.

Ejemplo

Resolver

sujeta a

.

Solución. Las raíces de las ecuación auxiliar son y
de modo que

La solución implica

por lo cual podemos escribir

.

2.7 Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior

En general, para resolver una ecuación diferencial lineal de orden n

I.T.P.N. 72

an y ( n ) an 1 y ( n 1) ... a2 yd a1 yd a0 y ! 0
d

en donde los ai siendo i=0,1,«., n son constantes reales, se debe resolver una
ecuación polinomial de grado n

an m n an 1m n 1 ... a2 m 2 a1 m a0 ! 0
.

Si todas las raíces son reales y distintas, entonces la solución general es

y ! c1e m1 x c2e m 2 x ... cne mnx
.

Cuando m1 es una raíz de multiplicidad k de una ecuación auxiliar de grado n,
entonces puede demostrarse que las soluciones linealmente independientes son:

e m1 x , xe m1 x , x 2 e m1 x ,..., x k 1e m1 x

y que la solución general debe contener la combinación lineal

c1em1 x c2 xem1 x c3 x2 em1 x ... ck x k 1 em1 x
.

Por último, debe recordarse que cuando los coeficientes son reales, las raíces
complejas de una ecuación auxiliar siempre aparecerán en pares conjugados. Por
ejemplo, una ecuación polinomial cúbica puede tener a lo más 2 raíces complejas.

Ejemplo

Resolver y d 3 y d 4 y ! 0 .
dd d

Solución. Un examen cuidadoso de m3 3m 2 4 ! 0 permite encontrar la raíz
m1 ! 1 . Ahora bien, si se divide m3 3m 2 4 entre (m-1) se encuentra que
m3 3m2 4 ! (m 1)(m2 4m 4)
! (m 1)(m 2) 2

siendo por lo tanto las otras raíces m2 ! m3 ! 2 en consecuencia, la solución
general es

y ! c1e x c2 e 2 x c3 xe 2 x
.

I.T.P.N. 73

Ejemplo

Resolver 3 yd 19 yd 36 yd10 y ! 0 .
dd d

Solución. Se verifica que m1 ! 1/ 3 es una raíz de

3m 3 19m 2 36m 10 ! 0

y dividiendo entre ( m 1/ 3) se encuentra que
¨ 1¸
3m 3 19m 2 36m 10 ! © m ¹ (3m 2 18m 30)
ª 3º
! (3m 1)( m 6 m 10)
2

siendo m2 ! 3 i y que m3 ! 3 i , y la solución general

y ! c1e x / 3 e3 x ?c2 cos x c3 senx A
.

Ejemplo

d4y d2y
Resolver 2 2 y !0
dx 4 dx .

Solución. La solución auxiliar es m 4 2m 2 1 ! ( m 2 1) 2 ! 0 tiene raíces
m1 ! m3 ! i
m2 ! m4 ! i .

De esta manera por el caso II la solución es

y ! c1eix c2 e ix c3 xeix c4 xe ix
.

Mediante la fórmula de Euler. La parte c1eix c2 e ix puede reescribirse como
c1 cos x c2 senx después de designar nuevamente las constantes, análogamente,
x( c3 eix c4 e ix ) puede expresarse como x(c3 cos x c4 senx) . Por lo tanto, la solución
general es
y ! c1cox c2 senx c3 x cos x c4 xsenx
.

I.T.P.N. 74

Cuando m1 ! E iF es la raíz compleja de orden de multiplicidad k de una
ecuación auxiliar con coeficientes reales, su conjugada, m2 ! E iF es también
raíz de orden de multiplicidad k. En este caso, la solución general de la ecuación
diferencial correspondiente debe contener una combinación lineal de soluciones
linealmente independientes:

eE x cos F x, xeE x cos F x, x 2 eE x cos F x,..., x k 1eE x cos F x
eE x senF x, xeE x senF x, x2 eE x senF x,..., xk 1 eE x senF x .

En el ejemplo anterior identificamos
k=2
E !0
F !1 .


Resolver las siguientes ecuaciones lineales homogéneas.

Soluciones
1)

2)

3)

4)

5)

2.8 Ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas

Se definirá ahora la solución general de una ecuación lineal no homogénea.
Cualquier función que no contiene parámetros arbitrarios y que satisface a la
ecuación diferencial lineal no homogénea, se llama solución particular de la
ecuación (a veces también recibe el nombre de integral particular).

I.T.P.N. 75

Ejemplo

(a) Una solución particular de

es y p ! 3

ya que .

(b) y p ! x 3 x es una solución particular de

puesto que y ' p ! 3 x 2 1 , y '' p ! 6 x

.

Teorema 2.7

Sean soluciones de la ecuación diferencial lineal homogénea de orden
en un intervalo I y sea cualquier solución de la ecuación no homogénea en el
mismo intervalo. Entonces

es también una solución de la ecuación no homogénea en el intervalo para
constantes cualesquiera .

Ahora es posible demostrar, para ecuaciones diferenciales no homogéneas, el
siguiente teorema análogo.

Teorema 2.8

Sea una solución dada de la ecuación diferencial lineal no homogénea de orden
en un intervalo I y sea , un conjunto fundamental de soluciones de la
ecuación homogénea asociada en el intervalo. Entonces para cualquier solución

I.T.P.N. 76

y ( x) de la ecuación en I es posible encontrar constantes de modo
que

.

2.8.1 Solución general de las ecuaciones diferenciales lineales no
homogéneas.

Definición

Sea una solución dada de la ecuación diferencial lineal no homogénea de orden
en un intervalo I y sea

y ! c1 y1 ( x ) c2 y2 ( x ) ... cn y n (x )

la solución general de la ecuación homogénea asociada en el intervalo. La
solución general de la no homogénea en el intervalo se define como

.

A la combinación lineal

la cual es la solución general de la ecuación diferencial lineal homogénea
asociada, se le llama función complementaria de la ecuación. En otras palabras, la
solución general de la ecuación diferencial lineal no homogénea es

y=función complementaria+cualquier solución particular.

Ejemplo

Se puede demostrar que la función es una solución particular de la
ecuación no homogénea

I.T.P.N. 77

.

Para formular la solución general de la ecuación anterior, se tiene también que
resolver la ecuación homogénea asociada

.

Pero la solución general de esta última ecuación en el intervalo es

y por lo tanto, la solución general de la ecuación en el intervalo es

.

2.8.2 Solución de las ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas
(coeficientes indeterminados, método de la superposición, método de
operador anulador).

Operadores diferenciales

El símbolo D n se usa frecuentemente en cálculo para designar la derivada
enésima de una función
dny
Dn y !
dx n .

Por lo tanto, una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes

an y ( n ) an 1 y ( n 1) ... a2 yd a1 yd a0 y ! g ( x)
d

puede escribirse como

an D n y an 1 D ( n 1) y ... a2 D 2 y a1 Dy a0 y ! g ( x )
( an D n an 1 D n 1 ... a2 D 2 a1D a 0 ) y ! g ( x )
.

I.T.P.N. 78

La expresión
an D n an 1 D n 1 ... a2 D 2 a1 D a0

se llama operador diferencial lineal de orden n. Puesto que el anterior es un
polinomio en el símbolo D, a menudo se abrevia como P(D).
Puede demostrarse que cuando los ai , i ! 0,1,...., n son constantes,

I) P(D) pueden ser posiblemente, factorizado en operadores diferenciales de orden
menor, esto se consigue tratando a P(D) como si fuera un polinomio ordinario.

II) Los factores de P(D) pueden conmutarse.

Ejemplos

a) Los operadores D 2 D y D 2 1 se factoriza como

D ( D 1) Y ( D 1)( D 1)

respectivamente.

b) El operador D 2 +1 no es factorizable usando sólo números reales.

c) El operador D 2 +5D+6 puede escribirse como ( D 2)( D 3) o bien ( D 3)( D 2)

Ejemplo

Si y ! f ( x ) tiene derivada segunda, entonces

( D 2 5 D 6) y ! ( D 2)( D 3) y
! ( D 3)( D 2) y .
Para demostrar esto, sea
w ! ( D 3) y ! y d 3 y

( D 2) w ! Dw 2 w
d
! ? y d 3 y A 2 ? y d 3 y A

dx
! yd 3 yd 2 yd 6 y
d
! yd 5 y d 6 y
d .

Ecuaciones diferenciales y series de Fourier

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