Las propiedades matemáticas de la convolución se corresponden directamente con cómo funcionan los circuitos lineales. La convolución tiene cuatro propiedades principales: elemento neutro (la señal impulso), distributividad, conmutatividad y asociatividad. Estas propiedades garantizan que los resultados de la convolución sean consistentes y predecibles.

1. Propiedades de la Convolución
Mora Campos Yolanda

2. Las propiedades matemáticas de esta operación
se corresponden directamente con la forma en
que funcionan los circuitos lineales.

3. Propiedades
Elemento neutro
Distributividad
Conmutatividad
Asociatividad

4. Elemento Neutro
El elemento neutro de la convolución es:
La señal impulso, ya que al convolucionar
cualquier señal con el impulso se obtiene en la
salida la misma señal.
En los sistemas cuya respuesta impulsional sea la
salida es igual a la entrada.

5. Ejemplo
• Para este demostración, dejaremos que δ(t) sea
el impulso unitario localizado en el origen.
• Usando la definición de convolución empezamos
con la integral de convolución

6. De la definición del impulso unitario, conocemos
que:
δ(τ)=0
Siempre que τ≠0.
Usamos este hecho para reducir la ecuación
anterior y obtener lo siguiente:

7. La integral de
δ(τ) solo tendrá un valor
cuando τ=0
Por lo tanto esa integral será igual a uno. Donde
podemos simplificar la ecuación de nuestro
teorema:

8. Ley Distributiva
La demostración de este teorema puede ser
tomada directamente de la definición de
convolución y usando la linealidad de la
integral.
Ejemplo:

9. Ley Conmutativa
• Es conmutativa pues el resultado de la
operación es el mismo, cualquiera que sea el
orden de los elementos con los que se opera.

10. Ejemplo

11. Se define como la
asociación (juntar) de
varios números, de
forma que su suma de,
el mismo resultado que
sin asociarse.
Ley Asociativa

12. Ejemplo
 La señal en la salida del
sistema global es:
1. La salida en el primer sistema es
2. Esta señal es aplicada al segundo sistema, cuya
salida valdrá:

13. Por otra parte, la respuesta impulsional global se puede
calcular aplicando un impulso a la entrada global.
La salida del primer sistema cuando la entrada sea un impulso
será su respuesta impulsional.
Esta señal se aplica al segundo sistema, cuya salida se calcula
por medio de la convolución:
Por tanto,
Esta propiedad se cumple para cualesquiera

14. Desde un punto de vista teórico, en la asociación en
cascada de circuitos LIT es indiferente el orden en que
se conecten; sin embargo, en la práctica el orden sí
importa porque los circuitos no suelen ser lineales y
porque tienen distintas limitaciones físicas
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