1. Тема «Методика розв’язування задач з використанням методу симетрії ,
дзеркальних відображень,аналізу розмірностей та принципу подібностей»
Метод симетрії та дзеркальних відображень в механіці. Метод симетрії та
дзеркальних відображень в електростатиці. Метод симетрії під час розв’язування задач на
знаходження загального опору і ємності у розгалужених електричних колах. Метод
фіктивних струмів. Теоретичні підойми методу аналізу розмірностей. Використання
координатних компонент розмірності. Приклади розв’язання задач з фізики з
застосуванням методу аналізу розмірностей. Метод аналізу розмірностей та принцип
подібності. Використання методів розмірностей та подібності для розв’язку задач з
астрофізики.
Одиниці вимірювання будь-якої фізичної величини виражаються через одиниці
вимірювання основних величини певної системи. В СІ основними величинами є: довжина
(l), маса (m), час (t), кількість речовини (v), термодинамічна (абсолютна) температура ( ),
сила електричного струму (I) та інші. Розмірності величин прийнято позначати символом [ ]
або dim ( від англ. dimension, що означає розмірність ) з відповідним буквеним позначенням
(символом). Для одиниць вимірювання основних величин введені відповідні символи L, M, T
та інші. Відтак [l] = L або dim l = L, [m] = M або dim m = M, [t] = T або dim t = T.
Формула, яка виражає одиниці вимірювання похідної величини через основні одиниці
вимірювання, називають розмірністю цієї величини. Наприклад, розмірність швидкості
   L / T  L1  T 1 , пришвидшення a  L / T 2  L1  T 2 , сили F   m a  M 1  L1  T 2 .
Будь-яке рівняння у фізиці виражає співвідношення, яке об’єктивно існує у природі,
незалежно від волі того хто пише це рівняння і обидві частини цього рівняння мають
однакову розмірність. Якщо деяка величина х виражається через основні величини певної
системи одиниць формулою x  l  m t  , то одиниці цієї величини виражаються через основні
за цією ж формулою:
[х] або dim x  L M  T  .
тут ,  й  - показники розмірностей або показники степенів до яких піднесено як
символи фізичних величин так і їх розмірностей. Якщо шукана фізична величина х не
залежить від якої небудь основної (наприклад m) то кажуть, що величина х відносно m має
одиничну розмірність, тобто у правій частині рівняння dim х показник степеня  = 0, а М =
М0 = 1. Величини, у яких розмірності всіх основних фізичних одиниць входять у нульовій
степені, називаються безрозмірними.
Основою даного методу є пошук показників степенів у формулі розмірностей і на основі
цього запис функціональної залежності між ними. Практика показує, що формулу
розмірностей учні краще розуміють, коли вона записана не через символи одиниць
вимірювання, а через найменування одиниць фізичних величин. За цих умов формули
розмірностей, наприклад, для швидкості, пришвидшення і сили відповідно запишуться так:
   м1с 1 , a  м1  с 2 , F   кг1  м1  с 2 .
Отже, якщо для досліджуваного явища встановлено величини, з якими може бути
пов'язана шукана величина, але вигляд цього зв'язку невідомий, то складають рівняння
розмірностей. У лівій частині цього рівняння повинні стояти символи розмірностей фізичної
величини або найменування її одиниць, праворуч - добуток символів розмірностей фізичних
величин (або найменувань одиниць), показники степенів яких є невідомими.
Пошук зв'язків між фізичними величинами зводиться до визначення значень відповідних
показників степенів. Якщо, наприклад, необхідно визначити час t, протягом якого тіло, маса
якого m, під дією сили F із стану спокою проходить шлях S, то рівняння взаємозв'язку
фізичних величин можна записати у вигляді:
t = f( S, m, F ) = k Sα mβ Fγ, де k – безрозмірний числовий коефіцієнт.
Рівняння рівності розмірностей виглядатиме так:
T1 = Lα Mβ ( L1 M1 T-2 )γ.
Прирівняємо степені при однакових символах розмірностей або найменувань фізичних
величин. Зліва розмірність часу у степені 1, праворуч -2γ. Очевидно, що 1 = -2γ.

2. Прирівнюючи відповідні показники степенів при метрах та кілограмах, отримуємо:
α + γ = 0 і β + γ = 0.
Вимога рівності показників степенів у розмірностях лівої і правої частин приводить до
системи рівнянь, з розв'язку якої слідує:
α = β = 1/2; γ = -1/2.
Залежність часу від заданих фізичних величин матиме вигляд:
mS
t  k  S 1 / 2  m1 / 2  F 1 / 2  k .
F
Особливістю методу розмірностей є те, що за його допомогою встановлюється
залежність шуканої величини від параметрів, які визначають досліджуване явище з точністю
до постійного коефіцієнта. У рамках цього методу його числове значення визначити
неможливо. Для отримання точних кількісних співвідношень необхідно використати
експериментальні дані або інші методи розв'язку. У нашому випадку значення безрозмірного
числового коефіцієнта дорівнює 2 .
Метод розмірностей не є універсальним, але він практично незамінний у тих галузях
фізики, де строгий розв'язок задач пов'язаний із значними труднощами, а кількість
параметрів, що визначають фізичне явище, велика (гідро- і аеродинаміка).
У випадку, якщо виникають сумніви щодо доцільності врахування певної величини, її
можна включати до розгляду у задачі і за виглядом кінцевої формули судити про її
необхідність.
Розглянемо приклади застосування методу розмірностей на конкретних прикладах у
практичному блоці спецкурсу.
Питання для самоперевірки
1. В чому полягає метод симетрії?
2. В чому полягає метод дзеркальниїх відображень?
3. В чому полягає метод розмірностей?
4. В чому полягає принцип подібностей?
5. В чому полягає метод фіктивних струмів?
Література
1. Метод аналізу розмірностей і принцип подібності у розв’язуванні фізичних задач /
Галатюк Ю.М., Рибалко А.В., Левшенюк В.Я., Левшенюк Я.Ф., Тищук В.І. –Х.:Вид.група
«Основа», 2008.-144 с.