CReVote: un système de vote électronique résistant à la coercition basé sur les courbes elliptiques

1. CReVote: un système de vote électronique résistant à la coercition basé sur les courbes elliptiques Présenté par: AMBASSA PACÔME LANDRY Membre du laboratoire de Mathématiques Expérimentales (LME) Université de Ngaoundéré 2ème ATELIER ANNUEL SUR LA CRYPTOGRAPHIE, ALGEBRE ET GEOMETRIE (CRAG 2) 4 décembre 2012 Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 4 décembre 2012 1 / 36

2. Plan Plan 1 Système de vote électronique Généralités Propriétés du e-vote Courbes elliptiques 2 Présentation de CReVote Outils cryptographiques utilisés Description détaillée de CReVote Illustration numérique avec SAGE Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 4 décembre 2012 2 / 36

3. Plan Plan 1 Système de vote électronique Généralités Propriétés du e-vote Courbes elliptiques 2 Présentation de CReVote Outils cryptographiques utilisés Description détaillée de CReVote Illustration numérique avec SAGE Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 4 décembre 2012 2 / 36

4. Système de vote électronique Plan 1 Système de vote électronique Généralités Propriétés du e-vote Courbes elliptiques 2 Présentation de CReVote Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 4 décembre 2012 3 / 36

5. Système de vote électronique Généralités Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 4 décembre 2012 4 / 36

6. Système de vote électronique Généralités Vote Électronique Déﬁnition [rapport UCL, 2007] Le vote électronique (e-vote) est un système électoral ou référendum électronique qui implique le recours à des moyens électroniques au moins lors de l’enregistrement du suffrage. On distingue deux types de vote électronique : 1 Le vote hors ligne utilisation des bureaux de vote et des isoloirs 2 Le vote en ligne (Vote par internet ou i-vote) possibilité de voter de chez soi avec son ordinateur personnel ; Avantages du i-vote « Plus pratique pour les électeurs « Réduction des coûts (bureaux et matériel) « Le décompte rapide des voix Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 4 décembre 2012 5 / 36

9. Système de vote électronique Généralités Déroulement Phase le vote électronique (par internet) se subdivise en 5 phases :

10. Première phase : conﬁguration ;

11. Deuxième phase : enregistrement ;

12. Troisième phase : vote

13. Quatrième phase : décompte ;

14. Cinquième phase : publication des résultats. Acteurs Les principaux intervenants d’un tel système sont :

15. Les votants ou électeurs ;

16. Les autorités électorales. Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 4 décembre 2012 6 / 36

17. Système de vote électronique Généralités Déroulement Phase le vote électronique (par internet) se subdivise en 5 phases :

18. Première phase : conﬁguration ;

19. Deuxième phase : enregistrement ;

20. Troisième phase : vote

21. Quatrième phase : décompte ;

22. Cinquième phase : publication des résultats. Acteurs Les principaux intervenants d’un tel système sont :

23. Les votants ou électeurs ;

24. Les autorités électorales. Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 4 décembre 2012 6 / 36

25. Système de vote électronique Propriétés du e-vote Propriétés du e-vote Un système de vote pour être utilisable doit vérifier un ensemble de propriétés [Meng, 2010] : De base · Éligibilité · Secret · Précision · vérifiabilité individuelle · Pas de double vote · complétude Étendu · Vérifiabilité universelle · Receipt-freeness · Résistance à la coercition Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 4 décembre 2012 7 / 36

28. Système de vote électronique Propriétés du e-vote Propriétés du vote et lien cryptographique TABLE 1: Tableau récapitulatif des propriétés d’un e-vote et lien cryptographique Propriétés d’un e-vote Services de sécurité Primitives cryptographiques Exemples de primi Secret des votes Confidentialité Chiffrement homomorphique Elgamal, Paillier,... Receipt-freenes Rechiffrement Eligibilité Authentification Tecnique symétrique Mot de passe technique asymétrique Signature Précision Intégrité Fonction de hachage SHA Non répudiation Signature Elgamal Mixnet déchiffrement Secret des votes Anonymat rechiffrement Signature aveugle RSA Confidentialité chaine de caractère Résistance à la coercition crédit anonyme Mot de vote Anonymat Signature Vérifiabilité individuelle Preuves Validité Vérifiabilité universelle Chaum Pedersen Les primitives cryptographiques se définissent sur les nombres ou sur les courbes elliptiques. Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 4 décembre 2012 8 / 36

29. Système de vote électronique Propriétés du e-vote Propriétés du vote et lien cryptographique TABLE 1: Tableau récapitulatif des propriétés d’un e-vote et lien cryptographique Propriétés d’un e-vote Services de sécurité Primitives cryptographiques Exemples de primi Secret des votes Confidentialité Chiffrement homomorphique Elgamal, Paillier,... Receipt-freenes Rechiffrement Eligibilité Authentification Tecnique symétrique Mot de passe technique asymétrique Signature Précision Intégrité Fonction de hachage SHA Non répudiation Signature Elgamal Mixnet déchiffrement Secret des votes Anonymat rechiffrement Signature aveugle RSA Confidentialité chaine de caractère Résistance à la coercition crédit anonyme Mot de vote Anonymat Signature Vérifiabilité individuelle Preuves Validité Vérifiabilité universelle Chaum Pedersen Les primitives cryptographiques se définissent sur les nombres ou sur les courbes elliptiques. Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 4 décembre 2012 8 / 36

30. Système de vote électronique Propriétés du e-vote Déﬁnition des concepts crédit anonyme (credential en anglais) Jeton cryptographique unique. permettant de prouver une propriété ou un droit lié à son possesseur, sans révéler l’identité de celui-ci. Protège les informations privées de son possesseur en fournissant le service d’anonymat. Résistance à la coercition ⇒ receipt-freeness Suppose que personne ne doit être forcé de faire un choix particulier ou à s’abstenir de voter. protection contre · Attaque par randomisation ; · Attaque par abstention forcé ; · Attaque par simulation ; Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 4 décembre 2012 9 / 36

33. Système de vote électronique Courbes elliptiques Courbe elliptique sur un corps quelconque Deﬁnition Soit k un corps, une courbe elliptique E déﬁnie sur le corps k est l’ensemble des solutions de l’équation de Weierstrass : E : y2 +a1xy +a3y = x3 +a2x2 +a4x +a6 (1) où ai ∈ k et ∆ = 0 avec ∆ le discriminant de E FIGURE 2: Courbe d’équation y2 = x3 −3x +4 sur R FIGURE 3: Courbe d’équation y2 +y = x3 −7x +6 sur R Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 4 décembre 2012 10 / 36

34. Système de vote électronique Courbes elliptiques Courbes elliptiques déﬁnies sur un corps ﬁni Représentation est constituée d’un ensemble de point discret FIGURE 4: Courbe d’équation y2 = x3 +2x +3 sur F997 FIGURE 5: Courbe d’équation y2 = x3 +10x +4 sur F13 Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 4 décembre 2012 11 / 36

35. Système de vote électronique Courbes elliptiques Problème du logarithme discret sur les courbes elliptiques (PLD) Definition (PLD sur les courbes elliptiques) Étant donnés une courbe elliptique E définie sur un corps fini (Fq), un point P ∈ E(Fq) d’ordre n et un point Q ∈< P >, chercher l’entier k ∈ [0,n −1] tel que Q = [k]P. L’entier k est le logarithme discret de Q en base P. Definition (Multiplication scalaire) Soient E(Fq) une courbe elliptique, P un point de E(Fq) et k ∈ Z∗. La multiplication scalaire, notée [k]P, est définie comme suit : E(Fp)×Z → E(Fp) (P,k) → [k]P = P +P +...+P k fois Fonction à calculer pour concevoir un cryptosystéme sur les courbes elliptiques Fonction est « à sens unique » Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 4 décembre 2012 12 / 36

38. Système de vote électronique Courbes elliptiques Quelques schémas de vote électronique Ils existent de nombreux schémas de vote dans la littérature mais deux nous ont intéressé : [Juel et al, 2005 ] En 2005, Juel et al déﬁnissent la notion de résistance à la coercition et proposent un système de vote électronique qui assure cette propriété. Problème : il n’est pas efﬁcient [weber ,2006] et n’assure pas la complétude [Ambassa,2012] Une nouvelle approche : [Porkodi et al, 2011 ] En 2011, Porkodi et al, propose un système de vote électronique basé sur les courbes elliptiques. Problème : il n’est pas résistant à la coercition [Ambassa,2012] Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 4 décembre 2012 13 / 36

41. Présentation de CReVote Plan 1 Système de vote électronique 2 Présentation de CReVote Outils cryptographiques utilisés Description détaillée de CReVote Illustration numérique avec SAGE Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 4 décembre 2012 14 / 36

42. Présentation de CReVote CReVote · Basé sur la théorie des courbes elliptiques ; · le crédit anonyme construit sur une signature agrégée ; participants

43. les électeurs Vi avec i ∈ [1,m] ;

44. les candidats c1,...,ck ;

45. les autorités : d’enregistrement Rj avec j ∈ [1,l] de décompte Tj avec j ∈ [1,n] Résisté à la coercition Pour le faire l’électeur crée un faux crédit Pour l’attaquant : faux ≈ vrai Les votes associés à un faux crédit sont éliminés lors du décompte Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 4 décembre 2012 15 / 36

54. Présentation de CReVote Outils cryptographiques utilisés Chiffrement ElGamal distribué Génération des clés distribuées choisir une courbe elliptique E(Fp) déﬁnie sur Fp et G un point de E d’ordre q Choisir un entier aléatoire s ∈ [1,q −1] et calculer h = sG. Exécuter le partage de secret à seuil (t,n) de Shamir. Générer un polynôme P(x) = a0 +a1x +...+at−1xt−1 , a0 = P(0) = s Partager sj = P(j) aux Tj grâce au partage de clé de Difﬁe Hellman. chiffrement Pour chiffrer un message m ∈ E(Fp) choisir un nombre aléatoire k ∈ [1,n −1] calculer c = (c1,c2) avec c1 = kG et c2 = kh +m Déchiffrement distribué Un sous-ensemble ∆ à t autorités retrouve m en utilisant l’interpolation de Lagrange : m = c2 −sc1 où sc1 = ∑ j∈∆ λj wj et λj = ∏ k∈∆,k=j ( k k −j ) Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 4 décembre 2012 16 / 36

55. Présentation de CReVote Outils cryptographiques utilisés Autres outils Mixnet à rechiffrement universellement vériﬁable Crée un canal anonyme pour la transmission des votes ; Correspondance entrée / sortie difﬁcile ; Preuve de rechiffrement après permutation Preuves à divulgation nulle de connaissance Égalité de logarithme discret : Protocole de Chaum-Pedersen Prouveur connait x et veut montrer que B = xG et G = xH Validité du contenu d’un message chiffré : Méthode de Byoungcheon Lee [Lee, 2000] version elliptique [Ambassa,2012] Soit M = m1,...,mn le prouveur chiffre mi en (c1,c2) et veut montrer que le plaintext (message en clair) est un élément de M sans dévoiler mi Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 4 décembre 2012 17 / 36

56. Présentation de CReVote Outils cryptographiques utilisés Autres outils Mixnet à rechiffrement universellement vériﬁable Crée un canal anonyme pour la transmission des votes ; Correspondance entrée / sortie difﬁcile ; Preuve de rechiffrement après permutation Preuves à divulgation nulle de connaissance Égalité de logarithme discret : Protocole de Chaum-Pedersen Prouveur connait x et veut montrer que B = xG et G = xH Validité du contenu d’un message chiffré : Méthode de Byoungcheon Lee [Lee, 2000] version elliptique [Ambassa,2012] Soit M = m1,...,mn le prouveur chiffre mi en (c1,c2) et veut montrer que le plaintext (message en clair) est un élément de M sans dévoiler mi Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 4 décembre 2012 17 / 36

57. Présentation de CReVote Outils cryptographiques utilisés Construction du crédit anonyme ® Le crédit anonyme est généré par les Rj et transmis à l’électeur ; ® Ces autorités, ne doivent pas connaitre son contenu ; Réalisation nécessite utilisation des signatures agrégées (Aggregate Signatures). signatures agrégées [Boneh et al, 2003] ® Introduite par Boneh et al en 2003 ; ® Une signature agrégée est une signature électronique qui permet à plusieurs signataires de signer des messages différent et ensuite d’agréger ces différentes signatures en une seule ; ® soient n signatures de n messages provenant de n signataires. Il est possible d’agréger ces signatures en une seule ; Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 4 décembre 2012 18 / 36

58. Présentation de CReVote Outils cryptographiques utilisés Construction du crédit anonyme ® Le crédit anonyme est généré par les Rj et transmis à l’électeur ; ® Ces autorités, ne doivent pas connaitre son contenu ; Réalisation nécessite utilisation des signatures agrégées (Aggregate Signatures). signatures agrégées [Boneh et al, 2003] ® Introduite par Boneh et al en 2003 ; ® Une signature agrégée est une signature électronique qui permet à plusieurs signataires de signer des messages différent et ensuite d’agréger ces différentes signatures en une seule ; ® soient n signatures de n messages provenant de n signataires. Il est possible d’agréger ces signatures en une seule ; Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 4 décembre 2012 18 / 36

59. Présentation de CReVote Outils cryptographiques utilisés Schéma de signature agrégée basé sur les courbes elliptiques [Ambassa,2012] Soient G = E(Fp) le groupe de points de E déﬁnie sur un corps Fp, P un générateur de G, H : {0,1}∗ → G. q est l’ordre de G Génération des clés Chaque entité crée la clé publique et la clé privée correspondante a). choisir aléatoirement x ∈ Z∗ q et calculer v = xP ; b). la clé publique est v et la clé privée x ; Signature pour chaque signataire avec la clé publique v, la clé privée x et le message m ∈ {0,1}∗ a). calculer h = H(m) où h ∈ G ; b). calculer σ = xh c’est la signature ; Agregation pour un ensemble de signataire Si (i ∈ [1,n]) : a). le signataire i fournit une signature σi de mi ∈ {0,1}∗ ; b). calculer δ = ∑n i=1 σi la signature agrégé est δ ; Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 4 décembre 2012 19 / 36

60. Présentation de CReVote Description détaillée de CReVote Phase 1 et 2 Première phase : configuration ‚ choisir : une courbe elliptique E(Fp) d’équation y2 = x3 +ax +b et G un générateur de E(Fp) d’ordre q ; ƒ Coopération de Tj pour la génération des paramètres d’un système cryptographique ElGamal distribué à seuil (t,n) ; „ génération des clés privées et publiques des autorités d’enregistrement ; … représentation des candidats comme k points de E(Fp). Abstention=candidat ; illustration Deuxième phase : enregistrement ‚ Chaque électeur Vi potentiel se rend dans un bureau d’enregistrement et prouve son éligibilité ; ƒ Transmission à l’électeur du crédit anonyme δ = ∑n i=1 σi ; „ L’électeur Vi génère Si = chiffR(δi ) et l’envoie à Rj ; „ Les autorités Rj rechiffre Si . … Choix par Vi d’un identifiant et d’un mot de passe qu’il utilisera pour s’authentifier ; Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 4 décembre 2012 20 / 36

70. Présentation de CReVote Description détaillée de CReVote Troisième phase : vote ‚ Authentification de l’électeur à l’aide de l’identifiant et du mot de passe générés précédemment ; ƒ l’électeur Vi choisit aléatoirement (αi ,βi ) et construit son bulletin de vote vi = (C,A,B,P) où C = (ci1,ci2) = (αi G,αi h +Pr ) est le chiffrement du candidat choisit représenté par Pr A est le chiffrement du crédit anonyme δi B = ∆i = βi δ P est la preuve de validité du vote „ transmission de vi sur le tableau de vote publique via un canal anonyme (mixnet à rechiffrement universellement vérifiable) ; illustration Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 4 décembre 2012 21 / 36

71. Présentation de CReVote Description détaillée de CReVote Troisième phase : vote ‚ Authentification de l’électeur à l’aide de l’identifiant et du mot de passe générés précédemment ; ƒ l’électeur Vi choisit aléatoirement (αi ,βi ) et construit son bulletin de vote vi = (C,A,B,P) où C = (ci1,ci2) = (αi G,αi h +Pr ) est le chiffrement du candidat choisit représenté par Pr A est le chiffrement du crédit anonyme δi B = ∆i = βi δ P est la preuve de validité du vote „ transmission de vi sur le tableau de vote publique via un canal anonyme (mixnet à rechiffrement universellement vérifiable) ; illustration Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 4 décembre 2012 21 / 36

72. Présentation de CReVote Description détaillée de CReVote Quatrième phase : décompte ‚ Vériﬁcation des preuves de validité par Tj et élimination des entrées où elle est incorrect ; ƒ Rechercher les valeurs dupliquées de ∆i et élimination des votes non valides „ Combiner les chiffrés des choix des candidats Pr contenus dans le tableau des votes valides ; ct = (c1,c2) = ( m ∑ i=1 ci1, m ∑ i=1 ci1) = [( m ∑ i=1 αi )G,( m ∑ i=1 (αi )h +( k ∑ r=1 dr Pr )] … Coopération de Tj pour déchiffrer ct . Reconstruction de la clé privée s pour calculer s(c1) P(0)c1 =    t ∑ i=1 si ∏ 1≤i≤t i=j j j −i   c1 = P(0)c1 =    t ∑ i=1 si c1 ∏ 1≤i≤t i=j j j −i    calculer c2 −s(c1) Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 4 décembre 2012 22 / 36

76. Présentation de CReVote Description détaillée de CReVote Quatrième phase : décompte (suite) † compter les voix. Calculer la somme ∑r dr Pr Comparer le résultat à celui du calcul de c2 −s(c1). lorsque les deux valeurs coincident en déduire dr , (r ∈ [1,k] Cinquième phase : publication des résultats . 1 Vérifier que le chiffrement ct est correct. 2 Vérifier que le déchiffrement distribué de ct est correct Après vérifications, le résultat final est publié. illustration Décompte Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 4 décembre 2012 23 / 36

77. Présentation de CReVote Description détaillée de CReVote Analyse du Schéma Analyse Le schéma assure les propriétés suivantes : · Éligibilité · Secret des votes · Précision · Équité · Complétude · Pas de double vote · vériﬁabilité universelle · Receipt freeness · Résistance à la coercition Limites · Vériﬁabilité individuelle Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 4 décembre 2012 24 / 36

78. Présentation de CReVote Description détaillée de CReVote Comparaison de Quelques schémas de vote TABLE 2: Comparaisons des schémas de JCJ, Porkodi et CReVote Propriétés JCJ Porkodi CReVote Complétude non oui oui Vériﬁabilité universelle non oui oui Vériﬁabilité individuelle oui oui non Résistance à la coercition oui non oui Go to conclusion Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 4 décembre 2012 25 / 36

79. Présentation de CReVote Illustration numérique avec SAGE Première phase : configuration Supposons que nous avons pour l’élection 8 autorités (3 d’enregistrements et 5 de décomptes), 10 électeurs et 4 candidats. Le but est d’illustrer les différentes phases de notre schéma de vote. Phase de configuration x Nous choisissons Une courbe elliptique E(Fp) d’équation y2 = x3 +2x +1 (mod 1009) avec p = 1009 et un point de base G de coordonnées (560,715) d’ordre 1060, y Nous générons les clés pour un système cryptographique ElGamal distribué. Nous choisissons la clé privée s = 248 et calculons une clé publique h = sG = (248,897) Nous exécutons la fonction secret-share partage (partage à seuil(3,5) génération du polynôme secret P(x) = 215x2 +139x +248 (mod 257) calcul des paires (i,si ) = (i,P(i)) soit (1,s1) = (1,88), (2,s2) = (2,101), (3,s3) = (3,30), (4,s4) = (4,132), (5,s5) = (5,150) et partage à Tj grâce au partage de clé de Diffie- Hellman. Seuls 3 autorités sur les 5 seront nécessaires pour « reconstruire la clé privée. z Nous générons les clés des autorités d’enregistrement la clé privée SkR = n = 329 et la clé publique correspondante est PkR = nG = (580,512) Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 4 décembre 2012 26 / 36

82. Présentation de CReVote Illustration numérique avec SAGE Phase de conﬁguration (suite) { Enregistrement des candidats cr et représentation de ces différents candidats comme des points de E(Fp). Nos 4 candidats sont représentés par : Tableau des candidats Numéros Nom encodage 0 Abstention P0 = (0 : 1 : 0) 1 Candidat 1 P1 = (0,1) 2 Candidat 2 P2 = (0,1008) 3 Candidat 3 P3 = (1,2) Retour. Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 4 décembre 2012 27 / 36

83. Présentation de CReVote Illustration numérique avec SAGE Deuxième phase : enregistrement x Enregistrement des électeurs par Rj j ∈ [1,3] dans un bureau d’enregistrement. y Transmission du crédit anonyme δ Pour 10 électeurs nous obtenons les valeurs suivantes : Tableau des électeurs Identiﬁant votant crédit(δ) 1 V1 (242 , 825 ) 2 V2 (86 , 184 ) 3 V3 (611 , 508 ) 4 V4 (588 , 936 ) 5 V5 (842 , 505 ) 6 V6 (137 , 161 ) 7 V7 (623 , 109 ) 8 V8 (558 , 276 ) 9 V9 (423 , 833 ) 10 V10 (930 , 397 ) Retour. Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 4 décembre 2012 28 / 36

84. Présentation de CReVote Illustration numérique avec SAGE Troisième phase : vote construction de vi représenté par : chiffT (Pr ) = (ci1,ci2) = (αi G,αi h +Pr ) , chiffR(δi ), ∆i , Les votes de 10 électeurs sont donnés dans le tableau suivant TABLE 3: Valeurs numériques des votes chiffrés de 10 électeurs chiffrement candidat chiffrement crédit ci1 = αi G ci2 = αi h +Pr βi G βi h +δi ∆i 1 (642 ,837 ) (348 ,789) (753 : 291) (282 , 465 ) (464 , 483 ) 2 (459, 470 ) (306, 205) (571, 796 ) (382, 103 ) (123, 261 ) 3 (821, 671) (233, 620 ) (662, 813 ) (53, 896) (54, 996) 4 (819, 233) (268, 26) (284, 428) (172, 820) (410, 206) 5 (230, 491) (538, 31) (212,334) (280, 504) (288, 375) 6 (538, 31) (836, 743) (402, 937) (87, 449) (495, 39) 7 (956, 107) (657, 321) (9, 851) (111, 267) (310, 636) 8 (501, 589) (37, 329 ) (315, 210) (357, 924) (146, 386) 9 (324, 367) (255, 838) (140, 560) (212, 334) (513, 87) 10 (899, 113) (121, 0 ) (439 : 158) (280, 504) (247, 194) 11 (254, 436) (921, 622) (823, 784) (773, 781) (54 , 996 ) 12 (303, 265) (884, 177) (325, 400) (369, 867) (54, 996) 13 (731, 72) (456, 664) (572, 1001) (402, 72) (410, 206) 14 (325, 400) (821, 338) (990, 418) (128, 280) (123, 261) 15 (640, 308) (970, 913) (417, 507) (885, 72) (288, 375) Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 4 décembre 2012 29 / 36

85. Présentation de CReVote Illustration numérique avec SAGE Rechiffrement Rechiffrement du vote lors de la transmission des votes pour assurer le receipt freeness. TABLE 4: Valeurs numérique des votes rechiffrés de 10 électeurs rechiffrement candidat rechiffrement crédit ci1 = γi G ci2 = γi h +Pr λi G λi h +δi ∆i 1 (961, 815) (86 , 825 ) (390, 294 ) (657, 688) (464, 483) 2 (306, 804 ) (460, 582) (819, 233) (969, 129) (123, 261 ) 3 (191, 10 ) (117, 901) (396,977) (837,666 ) (54, 996 ) 4 (427, 955 ) (96, 1003 ) (474, 478) (990, 418) (410, 206) 5 (235 , 941) (990, 591) (253, 136) (66, 1001) (288, 375) 6 (22, 858) (334, 358) (606, 554) (87, 560) (495, 39) 7 (375, 390) (878 , 427) (906, 433) (841, 86 ) (310, 636) 8 (46 , 108 ) (625, 354) (533, 647 ) (502, 356) (146, 386) 9 (864 , 73) (248, 112) (807 , 460) (313, 178) (513 , 87) 10 (509 , 327) (281, 61) (167, 482) (801, 95) (247, 194) 11 (476, 524) (263, 210) (664, 789) (22, 858) (54, 996) 12 (335, 833) (242 , 184) (737 ,907) (509, 682) (54, 996) 13 (626, 452) (126, 956) (217, 343) (50, 882 ) (410, 206) 14 (436, 756) (233, 389) (932,795 ) (466, 899 ) (123, 261) 15 (123, 748 ) (862, 228) (1 , 1007) (399 , 429 ) (288, 375) Retour. Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 4 décembre 2012 30 / 36

86. Présentation de CReVote Illustration numérique avec SAGE Quatrième phase : décompte x Rechercher les valeurs dupliquées de ∆i et élimination des votes non valides TABLE 5: Élimination des double votes rechiffrement candidat rechiffrement crédit ci1 = γi G ci2 = γi h +Pr λi G λi h +δi ∆i (961, 815) (86 , 825 ) (390, 294 ) (657, 688) (464, 483) (306, 804 ) (460, 582) (819, 233) (969, 129) (123, 261 ) /////////////////////////(191//////////////////////,10////////) /////////////////////////(117///////,//////////////////////////////901) /////////////////////////(396///////,//////////////////////////////977) /////////////////////////(837///////,//////////////////////////////666) //////////////////(54/////////////////////////////////,996) (427, 955 ) (96, 1003 ) (474, 478) (990, 418) (410, 206) /////////////////////////////(235,/////////////////////////////941) /////////////////////////////(990,/////////////////////////////591) /////////////////////////////(253,/////////////////////////////136) //////////////////////(66,////////////////////////////////////1001) /////////////////////////////(288,/////////////////////////////375) (22 , 858) (334 , 358) (606, 554) (87, 560) (495, 39) (375, 390 ) (878, 427 ) (906, 433) (841, 86) (310, 636) (46, 108 ) (625, 354) (533, 647) (502, 356) (146, 386) (864, 73) (248, 112) (807, 460) (313, 178) (513, 87) (509, 327 (281, 61) (167, 482 ) (801, 95) (247, 194) (476, 524) (263, 210) (664, 789) (22, 858) (54, 996) /////////////////////////////(335,/////////////////////////////833) /////////////////////////////(242,/////////////////////////////184) /////////////////////////////(737,/////////////////////////////907) /////////////////////////////(509,/////////////////////////////682) //////////////////////(54,/////////////////////////996////////) /////////////////////////(626///////,//////////////////////////////452) /////////////////////////////(126,/////////////////////////////956) /////////////////////////////(217,/////////////////////////////343) //////////////////////(50,/////////////////////////////882) /////////////////////////////(410,/////////////////////////////206) /////////////////////////(436///////,//////////////////////////////756) /////////////////////////////(233,/////////////////////////////389) /////////////////////////////(932,/////////////////////////////795) /////////////////////////////(466,/////////////////////////////899) /////////////////////////////(123,/////////////////////////261////////) (123, 748) (862, 228 ) (1, 1007) (399, 429 ) (288, 375) Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 4 décembre 2012 31 / 36

87. Présentation de CReVote Illustration numérique avec SAGE Quatrième phase : décompte (suite) y Il résulte un tableau de votes uniques et valides représenter par TABLE 6: Tableau de vote unique et valide rechiffrement candidat rechiffrement crédit ci1 = γi G ci2 = γi h +Pr λi G λi h +δi ∆i (961, 815) (86, 825 ) (390, 294 ) (657, 688 ) (464, 483) (306, 804 ) (460, 582) (819, 233) (969, 129) (123, 261 ) (427, 955) (96, 1003 ) (474, 478) (990, 418) (410, 206) (22 , 858) (334, 358) (606, 554) (87, 560) (495, 39) (375, 390) (878, 427) (906, 433) (841, 86) (310, 636) (46, 108) (625, 354) (533, 647) (502, 356) (146, 386) (864, 73) (248, 112 ) (807, 460 ) (313, 178) (513, 87) (509 , 327) (281, 61) (167, 482 ) (801, 95) (247, 194) (476 , 524 ) (263, 210 ) (664, 789) (22, 858) (54, 996) (123, 748) (862, 228 ) (1, 1007) (399, 429 ) (288 , 375) Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 4 décembre 2012 32 / 36

88. Présentation de CReVote Illustration numérique avec SAGE Quatrième phase : décompte (suite) z Combiner les chiffrés des choix des candidats Pr C = (c1,c2) = ( 10 ∑ i=1 ci1, 10 ∑ i=1 ci1) = [( 10 ∑ i=1 γi )G,( 10 ∑ i=1 (γi )h +( 3 ∑ r=0 dr Pr )] On obtient c1 = ∑10 i=1 ci1 = (713,788) et c2 = ∑10 i=1 ci2 = (80,317) { Déchiffrer les votes. Reconstruction de la clé : supposons que nous avons les parts des 3 premières autorités (1,88), (2,101), (3,30). Nous calculons P(0)c1 = s1c1 2·3 (2−1)(3−1) +s2c1 1·3 (1−2)(3−2) +s3c1 1·2 (1−3)(2−3) = 88c1 6 2 +101c1 3 −1 +30c1 = 264c1 −46c1 +30c1 = 248c1 = (171,2 Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 4 décembre 2012 33 / 36

89. Présentation de CReVote Illustration numérique avec SAGE Nous obtenons s(c1) = (171,275), le déchiffrement s’obtient en calculant c2 −s(c1) = (441,457). | compter les voix. calculer ∑3 i=0 dr Pr en comparant le résultat à celui du calcul de c2 −s(c1). Pour notre exemple après calcul nous obtenons ∑3 i=0 dr Pr = 3P0 +2P1 +4P2 +P3 = (441,457) Cinquième phase : publication des résultats Après le décompte des voix et la vériﬁcation, les résultats sont publiés Tableau des résultats Numéros Nom nombre de voix 0 Abstention 3 1 Candidat 1 2 2 Candidat 2 4 3 Candidat 3 1 Le vainqueur est le candidat 2. Retour. Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 4 décembre 2012 34 / 36

90. Présentation de CReVote Illustration numérique avec SAGE Problème Problème pour k ≥ 2 La détermination de dr lors du calcule de la somme ∑k r=0 dr Pr dans E(Fp) est une instance du problème de sac à dos ou problème de la somme de sous-ensemble qui est NP-complet.

91. Implémenter un prototype du système de vote ;

92. Faire une preuve de sécurité formelle ;

93. Gérer les attaques induite par Internet ;

94. Adapter le système pour l’utiliser sur équipement légers ; Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 4 décembre 2012 35 / 36

95. Présentation de CReVote Illustration numérique avec SAGE Problème Problème pour k ≥ 2 La détermination de dr lors du calcule de la somme ∑k r=0 dr Pr dans E(Fp) est une instance du problème de sac à dos ou problème de la somme de sous-ensemble qui est NP-complet.

96. Implémenter un prototype du système de vote ;

97. Faire une preuve de sécurité formelle ;

98. Gérer les attaques induite par Internet ;

99. Adapter le système pour l’utiliser sur équipement légers ; Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 4 décembre 2012 35 / 36

100. Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 4 décembre 2012 36 / 36

CReVote: un système de vote électronique résistant à la coercition basé sur les courbes elliptiques

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