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  • 1. UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL “FRANCISCO DE MIRANDA “ DEPARTAMENTO DE FÍSICA Y MATEMÁTICA ÁREA DE TECNOLOGÍAInterpolación y AproximaciónIntroducción: Una de las funciones más útiles y bondadosas son los polinomios ya que estas sonfáciles de derivar y de integrar (indefinidas) además los resultados son también polinomios.La expresión P(x) = a0 + a1x + a2x2 + . . . + an-1xn-1 + anxn con an  0, representa un polinomio enteroen x de grado n(entero no negativo) y a0, a1, . . . ,an son constantes reales o complejas.Una razón de su importancia es que aproximan uniformemente funciones continuas. Dadacualquier función definida y continua en un intervalo cerrado, existe un polinomio que se encuentratan “cerca” de la función como se desea. Este resultado se expresa en el siguiente teorema.TEOREMA: Aproximación de WeierstrassSi f es definida y continua en [a, b] y dado  >0, existe entonces un polinomio P, definido en [a, b]tal que: f(x) – P(x)< , para todo x en el intervalo [a, b]. f(x) + , P(x) f (x) f(x) - , a bInterpolación Polinómica. Fórmula de Lagrange. Diferencias Divididas. Fórmula de Interpolaciónde Newton.Introducción: El proceso de ajustar una serie de datos de una tabla de valores o de una funcióndada a una curva es lo que se denomina interpolación. Este proceso también sirve para estimarvalores intermedios entre datos precisos.Definición: Una función de interpolación es aquella que pasa a través de puntos dados como datosde una tabla de valores o puntos de una curva.La interpolación polinomial consiste en ajustar un polinomio a los puntos dados de una tabla.
  • 2. Las dos formas más comunes de interpolación polinomial son: la interpolación de Lagrange y lainterpolación de Newton. Como la determinación de un polinomio que pasa por un conjunto depuntos es única, la diferencia radica en el método o proceso para encontrar dichos polinomios y laforma como estos se expresan.Sea f una función y xo, x1, ..., xn, n+1 puntos diferentes en los cuales se puede evaluar f; sedeterminará un polinomio de grado  n tal que: P(xo) = f(xo), P(x1) = f(x1), . . ., P(xn) = f(xn) (*). Talpolinomio existe según el Teorema de Weierstrass para una función continua, además estepolinomio es único y si se cumple (*) la seminorma:  n  f  P    f ( x k )  P( x k )   0  k 0 Luego P es el polinomio de aproximación óptimo de acuerdo a esta seminorma..Interpolación de polinomios de Lagrange.Interpolación Lineal: El método más sencillo de interpolación es conectar dos puntos con unalínea recta, esta técnica se llama interpolación lineal.La forma de Lagrange para una línea recta que pasa por los puntos (x0, y0) y (x1, y1) es: x  x1  x  x 0  P(x) = y0  y; x 0  x1  x1  x 0  1es fácil verificar que esta expresión representa la ecuación de una línea recta y que los puntos dadospertenecen a ella.La fórmula de Lagrange de la ecuación de la parábola que pasa por los puntos (x0, y0), (x1, y1) x  x1 x  x  x  x 0 x  x  x  x 0 x  x1 y (x2, y2) es: P(x) = y0  y1  y . x 0  x1 x 0  x 2  x1  x 0 x1  x 2  x 2  x0 x 0  x1  2Esta se denomina interpolación cuadrática.La fórmula general del polinomio de Interpolación de Lagrange de grado a lo sumo n, que pasa através de los puntos (x0, y0), (x1, y1),. . . , (nn, yn) tal que P(x0) = y0, . . . , P(xn) = yn tiene la forma:P(x) = L0y0 + L1y1 + . . . + Lnyn. n (x  x j ) x  x0 x  x1    x  x k 1 x  x k 1    x  x n   x  ; jk k  xj Siendo Lk = j 0 x k  x0 x k  x1    x k  x k 1 x k  x k 1    x k  x n Error asociado al polinomio de interpolación de LagrangeTeorema: Si x0, x1,   , xn; son puntos en el intervalo cerrado [a, b] y f tiene n+1 derivadascontinuas en dicho intervalo. Entonces, para cada x en [a, b] y un c(x) en (a, b) existe n 1 f(x) = P(x) + f ( x) x  x0 x  x1    x  x n  n  1
  • 3. donde P es el polinomio de interpolación de Lagrange de f y n 1Rn(x) = f (c( x)) x  x0 x  x1     x  x n  ; con c(x) un punto en el intervalo [a, b], es la n  1fórmula del residuo o error; esta fórmula es un resultado teórico muy importante ya que lospolinomios de Lagrange se usan extensamente para deducir métodos de diferenciación eintegración.Observaciones:1. La fórmula del error del polinomio de Taylor toma en cuenta solamente un punto (“a” o “x0”): n 1Rn(x) = f (c( x)) x  x 0  , c(x) un punto entre x0 y x, mientras que la del polinomio de n  1!Lagrange utiliza la información de todos los (n +1) puntos: xo, x1, ..., xn.2. Una desventaja de la fórmula del residuo asociado al polinomio de Lagrange es que necesita, aligual que el de Taylor, conocer la derivada de orden n+1 de la función o una cota de ella dentro delintervalo [a, b].Ejercicio resuelto 2.3: Determine el polinomio cuadrático que pasa por los siguientes puntos: (-2,4), (0, 2) y (2, 8). ( x  0)( x  2) x( x  2) ( x  (2))( x  2) ( x  2)( x  2)Solución: L0 =  ; L1 =  (2  0)(2  2) 8 (0  (2))(0  2) 4 ( x  (2))( x  0) x( x  2) L2 =  (2  (2))(2  0) 8 x( x  2) ( x  2( x  2) x( x  2)Luego: P(x) = L0y0 + L1y1 + L2y2 = 4 2 8  x2  x  2 8 4 8Ejercicio resuelto: (a) Use una interpolación del polinomio de primer y segundo orden para evaluar ln|2| con los siguientes puntos x0 = 1, x1 = 4 y x2 = 6. (b) Estime el error en cada caso. Compare con el valor verdadero. Solución: (a) ln(4) = 1.3863; ln(6) = 1.7918 De acuerdo a la fórmula se tiene: 24 2 1 P1(2) = 0 1.3863  0.4621 ; ln(2)-P1(2)= 0.6932-0.4621 = 0.2311 1 4 4 1 (2  4)(2  6) (2  1)(2  6) (2  1)(2  4) P2(2) = 0 1.3863  1.7918  0.56584 (1  4)(1  6) (4  1)(4  6) (6  1)(6  4) ln(2) – P2(2)  = 0.69315 – 0.56584 = 0.12731, con P2 se obtiene una mejor aproximación.
  • 4. (b) Para f(x) =ln(x),f(x) = -x-2,f(3)(x)=2x-3; f " ( z) ( x  1)( x  4) E1(2)= 2 2  12  4 como 1 E1(x) = 1<x<6 entonces 2 2z 1/6<1/x<1 por lo tanto 1/z2 < 1, luego E1(2) <2/2 = 1. f 3  ( z )  E2(2) =  2  12  42  6 < 2/3, ya que 1/z3<1. 6

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