Interpolacion lagrange

1. UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL
“FRANCISCO DE MIRANDA “
DEPARTAMENTO DE FÍSICA Y MATEMÁTICA
ÁREA DE TECNOLOGÍA
Interpolación y Aproximación
Introducción: Una de las funciones más útiles y bondadosas son los polinomios ya que estas son
fáciles de derivar y de integrar (indefinidas) además los resultados son también polinomios.
La expresión P(x) = a0 + a1x + a2x2 + . . . + an-1xn-1 + anxn con an  0, representa un polinomio entero
en x de grado n(entero no negativo) y a0, a1, . . . ,an son constantes reales o complejas.
Una razón de su importancia es que aproximan uniformemente funciones continuas. Dada
cualquier función definida y continua en un intervalo cerrado, existe un polinomio que se encuentra
tan “cerca” de la función como se desea. Este resultado se expresa en el siguiente teorema.
TEOREMA: Aproximación de Weierstrass
Si f es definida y continua en [a, b] y dado  >0, existe entonces un polinomio P, definido en [a, b]
tal que: f(x) – P(x)< , para todo x en el intervalo [a, b].
f(x) + ,
P(x)
f (x)
f(x) - ,
a b
Interpolación Polinómica. Fórmula de Lagrange. Diferencias Divididas. Fórmula de Interpolación
de Newton.
Introducción: El proceso de ajustar una serie de datos de una tabla de valores o de una función
dada a una curva es lo que se denomina interpolación. Este proceso también sirve para estimar
valores intermedios entre datos precisos.
Definición: Una función de interpolación es aquella que pasa a través de puntos dados como datos
de una tabla de valores o puntos de una curva.
La interpolación polinomial consiste en ajustar un polinomio a los puntos dados de una tabla.

2. Las dos formas más comunes de interpolación polinomial son: la interpolación de Lagrange y la
interpolación de Newton. Como la determinación de un polinomio que pasa por un conjunto de
puntos es única, la diferencia radica en el método o proceso para encontrar dichos polinomios y la
forma como estos se expresan.
Sea f una función y xo, x1, ..., xn, n+1 puntos diferentes en los cuales se puede evaluar f; se
determinará un polinomio de grado  n tal que: P(xo) = f(xo), P(x1) = f(x1), . . ., P(xn) = f(xn) (*). Tal
polinomio existe según el Teorema de Weierstrass para una función continua, además este
polinomio es único y si se cumple (*) la seminorma:
 n 
f  P    f ( x k )  P( x k )   0
 k 0 
Luego P es el polinomio de aproximación óptimo de acuerdo a esta seminorma..
Interpolación de polinomios de Lagrange.
Interpolación Lineal: El método más sencillo de interpolación es conectar dos puntos con una
línea recta, esta técnica se llama interpolación lineal.
La forma de Lagrange para una línea recta que pasa por los puntos (x0, y0) y (x1, y1) es:
x  x1  x  x 0 
P(x) = y0  y;
x 0  x1  x1  x 0  1
es fácil verificar que esta expresión representa la ecuación de una línea recta y que los puntos dados
pertenecen a ella.
La fórmula de Lagrange de la ecuación de la parábola que pasa por los puntos (x0, y0), (x1, y1)
x  x1 x  x  x  x 0 x  x  x  x 0 x  x1 
y (x2, y2) es: P(x) = y0  y1  y .
x 0  x1 x 0  x 2  x1  x 0 x1  x 2  x 2  x0 x 0  x1  2
Esta se denomina interpolación cuadrática.
La fórmula general del polinomio de Interpolación de Lagrange de grado a lo sumo n, que pasa a
través de los puntos (x0, y0), (x1, y1),. . . , (nn, yn) tal que P(x0) = y0, . . . , P(xn) = yn tiene la forma:
P(x) = L0y0 + L1y1 + . . . + Lnyn.
n (x  x j ) x  x0 x  x1    x  x k 1 x  x k 1    x  x n 
 x  ; jk
k  xj 
Siendo Lk =
j 0 x k  x0 x k  x1    x k  x k 1 x k  x k 1    x k  x n 
Error asociado al polinomio de interpolación de Lagrange
Teorema: Si x0, x1,   , xn; son puntos en el intervalo cerrado [a, b] y f tiene n+1 derivadas
continuas en dicho intervalo. Entonces, para cada x en [a, b] y un c(x) en (a, b) existe
n 1
f(x) = P(x) +
f ( x)
x  x0 x  x1    x  x n 
n  1

3. donde P es el polinomio de interpolación de Lagrange de f y
n 1
Rn(x) =
f (c( x))
x  x0 x  x1     x  x n  ; con c(x) un punto en el intervalo [a, b], es la
n  1
fórmula del residuo o error; esta fórmula es un resultado teórico muy importante ya que los
polinomios de Lagrange se usan extensamente para deducir métodos de diferenciación e
integración.
Observaciones:
1. La fórmula del error del polinomio de Taylor toma en cuenta solamente un punto (“a” o “x0”):
n 1
Rn(x) =
f (c( x))
x  x 0  , c(x) un punto entre x0 y x, mientras que la del polinomio de
n  1!
Lagrange utiliza la información de todos los (n +1) puntos: xo, x1, ..., xn.
2. Una desventaja de la fórmula del residuo asociado al polinomio de Lagrange es que necesita, al
igual que el de Taylor, conocer la derivada de orden n+1 de la función o una cota de ella dentro del
intervalo [a, b].
Ejercicio resuelto 2.3: Determine el polinomio cuadrático que pasa por los siguientes puntos: (-2,
4), (0, 2) y (2, 8).
( x  0)( x  2) x( x  2) ( x  (2))( x  2) ( x  2)( x  2)
Solución: L0 =  ; L1 = 
(2  0)(2  2) 8 (0  (2))(0  2) 4
( x  (2))( x  0) x( x  2)
L2 = 
(2  (2))(2  0) 8
x( x  2) ( x  2( x  2) x( x  2)
Luego: P(x) = L0y0 + L1y1 + L2y2 = 4 2 8  x2  x  2
8 4 8
Ejercicio resuelto:
(a) Use una interpolación del polinomio de primer y segundo orden para evaluar ln|2| con los
siguientes puntos x0 = 1, x1 = 4 y x2 = 6. (b) Estime el error en cada caso. Compare con el
valor verdadero.
Solución: (a) ln(4) = 1.3863; ln(6) = 1.7918 De acuerdo a la fórmula se tiene:
24 2 1
P1(2) = 0 1.3863  0.4621 ; ln(2)-P1(2)= 0.6932-0.4621 = 0.2311
1 4 4 1
(2  4)(2  6) (2  1)(2  6) (2  1)(2  4)
P2(2) = 0 1.3863  1.7918  0.56584
(1  4)(1  6) (4  1)(4  6) (6  1)(6  4)
ln(2) – P2(2)  = 0.69315 – 0.56584 = 0.12731, con P2 se obtiene una mejor aproximación.

4. (b) Para f(x) =ln(x),f(x) = -x-2,f(3)(x)=2x-3;
f " ( z)
( x  1)( x  4) E1(2)= 2 2  12  4 como
1
E1(x) = 1<x<6 entonces
2 2z
1/6<1/x<1 por lo tanto 1/z2 < 1, luego E1(2) <2/2 = 1.
f 3  ( z )
 E2(2) =  2  12  42  6 < 2/3, ya que 1/z3<1.
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