1. Ing. Pedro López Eiroá
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2. Origen del estudio de la Probabilidad
Girolamo Cardano 1501-1576
1565 - Libro de los Juegos de Azar
Pierre de Fermat 1601-1665
Blaise Pascal 1623-1662
1665 – Tratado sobre el triángulo aritmético
Christian Huygens 1629-1695
1657 – Sobre el razonamiento relativo a los
juegos de dados
Abraham de Moivre 1667 – 1754
1711 – Doctrina de las Probabilidades
Pierre Simon Laplace 1749 – 1827
1820 – Teoría Analítica de la Probabilidad 2
3. ¿Qué es la probabilidad?
Es la rama de las matemáticas que se ocupa de medir o
determinar cuantitativamente la posibilidad de que
ocurra un determinado suceso. Surge con el estudio
de los juegos de azar, pero se extiende a todos los
fenómenos aleatorios.
Cuando tenemos dos o más alternativas, la probabilidad
nos permite de la forma más “racional o científica”
posible comprender y evaluar las opciones,
determinando criterios y alternativas posibles para
tomar las mejores decisiones.
Mide la frecuencia con que se obtiene un resultado
bajo condiciones suficientemente estables.
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4. ¿Qué indica la probabilidad?
El cálculo matemático de probabilidades se basa en
situaciones teóricas en las cuales puede configurarse
un espacio muestral cuyos sucesos elementales tengan
todos la misma probabilidad.
La probabilidad de un resultado se representa con un
número entre 0 y 1 : la probabilidad 0 indica que el
resultado no ocurrirá nunca, y la probabilidad 1, que el
resultado ocurrirá siempre.
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5. Modelos de probabilidad
De Frecuencia Relativa , a posteriori o empírico
Utiliza la observación de datos, registrando su frecuencia de
ocurrencia y usando esta información para pronosticar la
posibilidad de una nueva ocurrencia.
Subjetivo o intuitivo
Se basa en la mejor conjetura con base a la evidencia
disponible. Se aplica para eventos nuevos.
Clásico , a priori o de Laplace
Sirve para determinar la probabilidad de un hecho antes de que
ocurra , mediante su cálculo teórico , con base a resultados
igualmente probables.
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6. Modelo de frecuencia relativa
Si un experimento bien definido se repite n veces (n grande); sea nA
< n el número de veces que el evento A ocurre en los n ensayos,
entonces la frecuencia relativa de veces que ocurre el evento A
“nA /n”, es la estimación de la probabilidad que ocurra el evento A :
P(A)= nA /n
OBSERVACIONES:
1. La frecuencia relativa de un evento, esta comprendido entre 0 y 1.
Por lo tanto 0 ≤ P(A) ≤ 1.
En efecto: Desde que 0 ≤ nA ≤ 1, 0/n ≤ nA /n ≤ 1, se tiene que 0 ≤
nA /n ≤ 1.
Luego, 0 ≤ P(A) ≤ 1.
2. nA /n = 0, si solo si, en las n repeticiones del experimento el evento A.6
7. Modelo Subjetivo
Dice que la probabilidad de ocurrencia de un evento es
el grado de creencia por parte de un individuo de que un
evento ocurra, basado en toda la evidencia a su
disposición.
Bajo esta premisa se puede decir que este enfoque es
adecuado cuando solo hay una oportunidad de ocurrencia
del evento y cuando no se cuenta con ninguna evidencia.
Puede ser muy acertado o muy desligado de la realidad ,
pues es un juicio personal.
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8. Modelo Clásico
La probabilidad de un evento es la razón entre el
número de casos (sucesos) favorables y el numero total
de casos (sucesos) posibles, siempre que nada obligue a
creer que algunos de estos sucesos debe tener
preferencia a los demás, lo que hace que sean
igualmente posibles.
La probabilidad de un evento A: P (A), es un NÚMERO,
que mide el grado de certeza en el que un evento A
ocurre, y se obtiene con la formula conocida como
REGLA DE LAPLACE:
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9. Espacio Muestral y Evento
Cada experimento aleatorio tiene varios resultados
posibles y podemos describir con precisión el
conjunto de estos resultados posibles. Llamaremos
Espacio Muestral asociado a un experimento
aleatorio, al conjunto de todos los resultados
posibles de dicho experimento aleatorio, y lo
denotamos con Ω.
A uno o más de los resultados posibles del espacio
muestral, se les denomina Evento o Suceso, y se
simboliza con las letras mayúsculas: A, B, C, …
Es un subconjunto del espacio muestral.
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10. Tipos de Eventos
Elemental :A cada elemento o resultado posible del
espacio muestral, se le conoce con el nombre de evento
elemental.
Imposible :Algunos eventos nunca pueden ocurrir en el
experimento aleatorio, y por eso se llama imposible. Se
simboliza con Ø.
Seguro :Los eventos que siempre suceden en el
experimento aleatorio, son llamados eventos seguros.
Complementario : Cuando se considera un evento A, el
evento que contiene todos los eventos elementales del
espacio muestral que no estén en A se denominara Evento
Complementario. Se simbolizara con Ā. Siempre que
sumemos el evento A y su complemento Ā, tendremos el
espacio muestral Ω (A + Ā = Ω). 10
11. Técnicas de Conteo
Las técnicas de conteo son aquellas que son usadas
para enumerar eventos difíciles de cuantificar y que
nos proporcionan la información de todas las
maneras posibles en que ocurre un evento
determinado.
Permiten determinar el número de subconjuntos que
se pueden obtener de un conjunto.
Incluyen : las combinaciones, permutaciones y los
diagramas de árbol.
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12. Principio de conteo Multiplicativo
Si se desea realizar una actividad que consta de r pasos, en
donde:
a) El primer paso de la actividad a realizar puede ser llevado a
cabo de N1 maneras o formas,
b) el segundo paso de N2 maneras o formas
c) y el n-ésimo paso de Nn maneras o formas,
entonces esta actividad puede ser llevada a efecto de:
N1 x N2 x ..........x Nn maneras o formas
Cuando se trata de una sola actividad, la cual requiere
para ser llevada a efecto de una serie de pasos,
entonces haremos uso del principio multiplicativo
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13. Principio de conteo Aditivo
Si se desea llevar a efecto una actividad, la cuál tiene formas
alternativas para ser realizada, donde:
a) La primera de esas alternativas puede ser realizada de M
maneras o formas,
b) la segunda alternativa puede realizarse de N maneras o
formas .....
c) y la última de las alternativas puede ser realizada de W
maneras o formas,
entonces esa actividad puede ser llevada a cabo de:
M + N + .........+ W maneras o formas
Si la actividad a desarrollar o a ser efectuada tiene alternativas
para ser llevada a cabo, haremos uso del principio aditivo.
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14. Combinación
Fórmula :
COMBINACIÓN:
Es todo arreglo de n!
elementos en donde NO nCr =
nos interesa el lugar o r!(n − r )!
posición que ocupa cada
uno de los elementos En donde,
nCr = es el número de combinaciones
que constituyen dicho de n objetos tomados r a la vez.
arreglo, simplemente n! = factorial de n
nos interesa formar (n-r)! = factorial de la diferencia entre n y r
grupos y su contenido.
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15. Permutación
Fórmula :
PERMUTACIÓN:
n
Es todo arreglo de nPr
elementos en donde SI
n r
nos interesa el lugar o
posición que ocupa cada
En donde,
uno de los elementos que nPr = es el número de
constituyen dicho arreglo. permutaciones de n objetos
tomados r a la vez.
n! = factorial de n
(n-r)! = factorial de la diferencia entre
nyr
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16. Probabilidad de eventos
Dos eventos A y B definidos en el mismo espacio muestral son
excluyentes si NO PUEDEN OCURRIR JUNTOS. Es decir, la
ocurrencia de uno EXCLUYE de la ocurrencia del otro. En
símbolos si P (A ∩ B)= Ø
P(A + B)= P(A) + P(B)
Dos eventos A y B no son excluyentes si pueden ocurrir
juntos. Es decir la ocurrencia de uno no excluye la
ocurrencia del otro. En símbolos (A ∩ B) ≠ Ø
P(A + B)= P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
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17. Probabilidad de eventos
Dos eventos A y B son dependientes, si un evento influye
en el otro evento. Observamos que el hecho de que
suceda el evento A influye en la probabilidad del suceso B,
es decir la probabilidad del suceso B depende de que A se
haya realizado o no, esto se expresa como P (B/A).
P(AB) = P (A) * P (B/A)
Dos o más eventos son independientes cuando la
ocurrencia o no-ocurrencia de un evento no tiene
efecto sobre la probabilidad de ocurrencia del otro
evento (o eventos).
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18. Probabilidad de eventos
Sean A y B dos eventos asociados con un experimento
aleatorio. Consideremos que ya ocurrió el evento B y
que p (B) > 0.
Bajo estas condiciones se llama probabilidad
condicional de A dado B, y se escribe P (A/B), al
cociente que se obtiene dividiendo la probabilidad de
la intersección de A y B entre la probabilidad de B:
P(A ∩ B)
P (A / B) =
P(B)
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19. Bibliografía
1) Patiño Arellano , Omar Alejandro .Teoría elemental
de probabilidad (2009). [En línea]. Disponible en:
http://www.monografias.com/trabajos69/teoria-
elemental-probabilidad/teoria-elemental-
probabilidad.shtml [2010,4 de Enero].
2) Domínguez, Jorge. (2009). Estadística y
probabilidad. El Mundo de los datos y el azar.
México: Oxford University Press. Unidad 5:
Probabilidad, pp. 181 a 231.
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