Cours electrostatique

1Cours Physique SEE 2009-2010 – Les applications à la physique
Cours - Physique
Yannick DESHAYES
Maître de conférences
Laboratoire IMS
yannick.deshayes@ims-bordeaux.fr
Tel : 0540002857/0665302965
Page perso IMS : http://extranet.ims-bordeaux.fr/IMS/pages/pageAccueilPerso.php?email=yannick.deshayes

Partie 2
Les applications à l’Electrostatique

Prenons un électron de charge q
A – Représentation Locale
I – Principes de l’Electrostatique
1 – Introduction à l’électrostatique
r
O
M
Mesure d’un champ
électrostatique en M
( )t,rEM
Champ électrostatique –
unité Vm-1
Symétrie sphérique
Une charge électrique crée un champ électrostatique

Exemple de phénomènes électrostatiques
Morceaux de papier attirés par le CD
chargé d’électricité statique
Couches nuageuses chargées d’électricité
statique donnant des éclairs.
B – Effets globaux

Les charges peuvent s’organisées en ligne, en surface, en volume. Cela dépend de la forme
du support
On prend une plaque métallique
Contenant N électrons par unité de
surface. On définit alors la densité
surfacique par :
dS
dN
=σ
On démontre que loin des bords et
proche de la plaque, le champ
électrostatique est constant et vaut :
( ) x
0
M u
2
xE
ε
σ
±=
M
xO
C – Relations de bases
+ : x > 0
- : x < 0
1
90 Fm
1036
1 −
π
=ε

Dans un tel dispositif, il règne un champ quasi constant donné par : ( ) x
0
M uxE
ε
σ
=
V(V)
x
O
Le potentiel V crée une quantité de
charge Q :
SQ σ=
S : surface de la plaque. Les charges
sont des « manques » d’électrons
donc Q>0.
Par équilibre des charges, l’autre
plaque se « remplie » d’électron en
créant une charge -Q
SQ σ=
SQ σ=−
( ) x
0
M uxE
ε
σ
=
On prend deux plaques métalliques
TD d’application

On démontre que la différence de potentiel est reliée au champ électrique
par :
( ) xM u
x
V
xE
∂
∂
−=
V(V)>0
x
O
Faisons l’expérience suivante pour
vérifier nos hypothèses :
Plaçons un électron entre les deux
plaques. L’expérience montre que
l’électron est attiré par la plaque
alimentée par V. Cela revient à dire
que la plaque est chargé
positivement.
SQ σ=
SQ σ=−
électron

Il existe donc une différence de potentiel (V-0=V) ente les deux plaques. Cela crée un
champ électrique opposé. C’est ce champ électrique qui est à l’origine du déplacement des
électrons
V(V)>0
x
O
La force de Lorentz est donnée par :
SQ σ=
SQ σ=−
électron
V(V)>0
( ) ( )xEqxF MM =
Où « q » représente la charge de
l’électron situé entre les deux
plaques.

On considère un proton ayant au point O une vitesse nulle soumis au système décrit par
la figure 1.
1. Donner le signe de V pour que le proton se déplace vers les x positifs
2. Déterminer et représenter le sens du champ électrique.
3. En déduire la vitesse de la particule au point M ainsi que son énergie cinétique.
Exercice 1
X27
13
Effet d’un champ électrostatique sur un proton
V
O M x
y

A – Le tube cathodique
Nous avons vu que nous pouvions déplacer un électron avec un champ électrique dans le
vide. A quoi cela peut-il bien servir.
Le tube cathodique
Permet de générer des
électron dans le vide
Zone d’accélération des
électrons
Visualisation de l’image
sur un écran
Chambre sous vide
secondaire
2 – Quelques applications à l’électrostatique

Le tube cathodique – Canon d’électrons
Le filament est chauffé (par le
passage du courant) à haute
température afin que le métal
émette des électrons
Énergie de liaison des électrons
avec la matière :

Électron libre
Électron lié à
l’atome
E(eV)
E2 = 0 eV : énergie du vide
E1 = -13,7 eV : énergie de liaison
électron-proton (atome
d’hydrogène stable)
Exemple avec l’hydrogène
T(K)

Électron libre
Électron lié à
La matière
E(eV)
Cas du Tungstène
T(K)
Niveau de Fermi

Électron libre
Électron lié à la
matière
E(eV)
Cas du Tungstène
T(K)
Niveau de Fermi
kTWEEE F2 ==−= Température en
Kelvin
Constante de Boltzmann
8,62.10-5 eV/K
Energie en eV
)C(10.6,1
)J(E
q
)J(E
)eV(E 19−
==
W : Travail de sortie du Tungstène est de
190 meV → TL = 2200 K

Le tube cathodique – Ecran

Le tube cathodique – Ecran (luminophore)
e-
Oxyde d’Yttrium dopé Europium
Photons

e-
V = 30 kV
Sulfure de Zinc : sulfure de cadmium dopé Argent
Sulfate de Gadolinium dopé Terbium
Photons

e-
Oxyde d’Yttrium dopé Europium
Photons

Le Condensateur plan
B – Le condensateur plan
V
Q
-Q
TD :
1/ Déterminer la valeur de la capacité en
effectuant la démonstration,
2/ Le diélectrique est de l’aire. Calculer la
valeur de la capacité
3/ Le diélectrique est du BaTiO3. Même
question que 2.
4/ Conclure

Le Condensateur – Technique d’élaboration
Poudre Préparation
de la pâte
Bande
céramique
Impréssion
des électrodes
EmpilementPressagePavés
Cuisson
et
Frittage
Fixation des contacts
et application d'une couche
conductrice

Le Condensateur plan – Structure interne

Le Condensateur plan – Les condensateurs inter digités (1)
Electrode
Diélectrique
Terminaison

On considère un condensateur inter digité ayant pour épaisseur 1 mm et comme
surface 2 mm par 3 mm. Le matériau est du BaTiO3
1. Déterminer l’épaisseur moyenne entre les différents conducteur (on considère
que l’épaisseur du conducteur est de 10 µm
2. Déterminer alors la capacité du condensateur.
Exercice 2
X27
13
Calcul de la capacité d’un condensateur céramique

A – Concepts fondamentaux
1 – Principe de base de l’électrocinétique
La différence de potentiel – Tension (en Volt)
E
BA
Milieu où règne un champ
électrostatique uniforme
E
BA
VA
VB
UAB
En A et B, il existe un potentiel VA et VB et donc
une différence de potentiel entre A et B (UAB)
VgradE −=
∫ ∫∫ −=−=−==
B
A
BA
B
A
B
A
AB VVdVdx.gradVdx.EU
II – Electrocinétique

Flux et déplacement d’électrons – Courant (en Ampère)
On considère un
tube cylindrique
Electrons libres
Petit élément de volume dτ
n la densité d’électrons (porteurs libres) par unité de volume (en générale par cm3)
Le nombre de porteurs dn dans un petit élément de volume dτ
τ
=⇒τ=
d
dn
nnddn
Exemple du cuivre :
M = 63,5 g.mol.l-1
µ = 9.103 kg.m-3
3
3
m.......n
m.mol.......n
−
−
=
=

On considère un
tube cylindrique
Electrons libres
Petit élément de volume dτ
ρ la densité de charge locale (chaque électron porte une charge de 1,6.10-19 C)
319
m.C10.6,1.nq.n −−
−==ρ
Exemple du cuivre :
M = 63,5 g.mol.l-1
µ = 9.103 kg.m-3
3
m.C....... −
=ρ

On considère un
tube cylindrique
Le déplacement des
électrons se fait à
l’aide d’une champ
électrique créé par
un générateur
E
VA
VB

Densité de courant (en Ampère/cm²)
Le volume dτ infiniment
petit / dimension du
conducteur et grand / atomes
VA
VB
( ) τ= dt,Mndn
( ) τ−= edt,Mndq
( ) ( ) ( )t,Mvt,Mt,Mj ρ=
( )t,Mv

Intensité du courant électrique (en Ampère)
On considère une surface
orientée
( ) ( ) ( )t,Mvt,Mt,Mj ρ=
( )t,Mj
n
dl = v.dt
( ) ( )t,Mvnet,Mj −=
( ) dtdS.t,Mjdq = ( )dS.t,MjdI =

B – Régime permanent
Définitions
• La tension appliquée au conducteur est indépendante du temps,
• Le champ électrostatique moyen en tout points du conducteur est
indépendant du temps
• Les effets moyens sont indépendants du temps
( )t,Mρ ( )t,Mv indépendants du temps

Description du problème
( )t,Mj1n
Ln
2n
S1
SL
0dS.jdS.jdS.jdS.j
21 S
2
S
L
S
1
S
=++−= ∫∫∫∫∫∫∫∫
S2
Le système est à flux conservatif car pas
d’accumulation de charge en tous points
du conducteur
21
S
2
S
1 iidS.jdS.j
21
=⇔= ∫∫∫∫

Loi des nœuds
S
i3
i1
i2 0dS.j
S
=∫∫n
321
S
3
S
2
S
1
iii
0dS.jdS.jdS.j
321
+=
=++− ∫∫∫∫∫∫

Loi d’ohm locale – modèle de la conduction métallique
On considère un métal homogène et isotrope à température constante et uniforme.
e-
Champ nul
( ) 0t,Mv ≠ ( ) 0t,Mv =
Champ non nul
En moyenne, il n’y a pas de
déplacement d’électrons
e-
( ) 0t,Mv ≠ ( ) vt,Mv =
En moyenne, il y a déplacement
d’électrons dans le sens opposé au
champ électrique

Relions la vitesse moyenne des électrons <v> au champ E.
Entre deux chocs, on peut appliquer la loi de Newton sur l’électron :
( ) ( )
( ) ( ) 0
e
vtt,ME
m
q
t,Mv
t,MEq
dt
t,Mvd
m
+=
=
La vitesse juste avant le choc est donnée par :
( ) ( ) 0cc vtt,ME
m
q
t,Mv +=
En moyenne
( ) ctt,ME
m
q
v =
v0 est nulle car pour E = 0, la vitesse moyenne est nulle

L’expression usuelle de la vitesse d’ensemble (moyenne) des électrons est donnée par :
( )τ= .t,ME
m
q
v
τ : durée moyenne entre deux chocs ≈ 10-14 s
q : charge de l’électron = 1,6.10-19 C
m: masse de l’électron = 9.10-31 kg
( ) ( )t,ME
m
ne
.t,ME
m
q
vj
2
τ
=τρ=ρ=
Aptitude du matériau à conduire une densité de courant sous l’action d’un
champ électrique = conductivité électrique
( )t,MEj σ=

L’expression de la conductivité électrique :
m
ne2
τ
=σ
n et τ sont des paramètres dépendant du
matériau
Unité : le Siemens.m-1 (S.m-1)
τ
=
σ
=ρ 2m
ne
m1
Résistivité Unité : ohm.m (Ω.m)

On considère un conducteur et une ligne de courant élémentaire
∫∫
σ
=−⇒
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
σ==
−= B
A
BA
BA
B
A
dl.
dS
dI
VV
EdSdS.jdI
VVdl.E
I est invariant entre A et B
1n
dS
B
A
∫∫∫
∫
σ
=−
=
σ
=−
condV
BA
B
A
BA
dS
dl
.IVV
rdI
dS
dl
dIVV
Résistance totale R (en Ohm)

2 – Exercice d’application
On considère un conducteur cylindrique de longueur l
1n
dS
A
B
1. Donner l’expression de la résistance du
dispositif
2. On prend comme matériau du cuivre, calculer
sa résistant linéaire pour un câble de 2,5 mm²
3. La densité de courant limite du cuivre est de
1000 A.cm-², déterminer le courant limite
admissible dans ce conducteur.

3 – Energie et puissance
1n
On calcule le travail de la force électrostatique
entre A et B sur une ligne
dS
A
B
A – Définition de l’énergie électrostatique
u
dl
dV
VgradE
EqF
−=−=
=
∫=
B
A
dl.FW
( )BA
B
A
VVqqdVW −=−= ∫
( )BA VVqW −=
Energie en Joules (J)

3 – Energie et puissance
1n
dS
A
B
On calcule la puissance sur un temps t
correspondant la quantité de charge qui à traversée
la surface SA d’entrée
B – Définition de la puissance électrostatique
( )BA VVqW −=
q = I.t t.Iq =
( ) ( ) 2
BABA RIIVVVV
t
q
t
W
P =−=−==
L’effet principal est l’effet Joules (P en Watt)

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