μέρος 2ο

1. Γραμμικός προγραμματισμός
1
ΕΕιισσααγγωωγγήή
((μμέέρροοςς 22οο))

2. ΠΠρρόόββλληημμαα ΓΓΠΠ σσεε κκααννοοννιικκήή μμοορρφφήή
2

3. ΠΠρρόόββλληημμαα ΓΓΠΠ σσεε κκααννοοννιικκήή μμοορρφφήή
Minimize cT x
Κάτω απο τους περιορισμούς Ax=b and x >= 0
3

4. SSllaacckk μμεεττααββλληηττέέςς
4

5. ΕΕλλεεύύθθεερρεεςς μμεεττααββλληηττέέςς
Αν δεν υπάρχει η θετικότητα κάποιας μεταβλητής
1. x_i = u_i - v_i, u_i ≥ 0 v_i ≥ 0
2. Απάλειψε την. Λύσε ως προς την x_i μια από τις
εξισώσεις και αντικατέστησε την στις υπόλοιπες
5

6. ΒΒαασσιικκήή λλύύσσηη
Έστω το σύστημα m εξισώσεων με n αγνώστους
Ax=b, και έστω B ένας αντιστρέψιμος m×m υπο-
πίνακας του A.
Αν θέσω όλες οι n−m συνιστώσες του x που δεν
σχετίζονται με τον B ίσες με 0, η προκύπτουσα λύση
ονομάζεται ββαασσιικκήή λλύύσσηη ως προς τον πίνακα B.
Οι συνιστώσες του x που σχετίζονται με τις στήλες του
B λέγονται ββαασσιικκέέςς μμεεττααββλληηττέέςς.
6

7. ΥΥππόόθθεεσσηη
Ο m×n πίνακας A έχει
•m<n,
•οι m γραμμές του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Το Ax=b έχει πάντα λύση
7

8. ΟΟρριισσμμοοίί
Εκφυλισμένες βασικές λύσεις: Βασικές λύσεις οι
οποίες έχουν μια τουλάχιστον βασική μεταβλητή
ίση με το μηδέν.
Εφικτές λύσεις: Κάθε διάνυσμα που ικανοποιεί τις
Ax=b, x >= 0
Βασικές εφικτές λύσεις:
Εκφυλισμένες βασικές εφικτές λύσεις:
8

9. ΘΘεεμμεελλεειιώώδδεεςς θθεεώώρρηημμαα ΓΓΠΠ
Δίνετε ένα μοντέλο ΓΠ στην κανονική του μορφή
τότε
•Αν υπάρχει μια εφικτή λύση, τότε υπάρχει μια
βασική εφικτή λύση
•Αν υπάρχει μια βέλτιστη εφικτή λύση, τότε
υπάρχει μια βέλτιστη βασική εφικτή λύση
9

10. ΣΣυυννέέππεειιεεςς
• Περιορίζει τον χώρο αναζήτησης βέλτιστης
λύσης απο τον χώρο των εφικτών λύσεων στον
υποχώρο των βασικών εφικτών λύσεων
• Προτείνει ένα ακόμα πιο αποδοτικό τρόπο
αναζήτησης βέτιστων λύσεων
– Την μέθοδο του Σίμπλεξ
10

11. Απόδειξη βέλτιστη εεφφιικκττήή -->> ββαασσιικκήή
ββέέλλττιισσττηη εεφφιικκττήή
x1a1 +x2a2 +···+xpap = bﰀ p<n
•Τα ai γραμμικά ανεξάρτητα ομοίως
2) Τα ai γραμμικά εξαρτημένα
cTx – εcTy βέλτιστη τιμή;
11
(x1-εy1)

12. ΑΑκκρρααίίοο σσηημμεείίοο κκυυρρττοούύ σσυυννόόλλοουυ
Κάθε σημείο x του κυρτού συνόλου C για το οποίο
δεν υπάρχουν δύο διαφορετικά μεταξύ τους
σημεία x1 και x2 του C τέτοια ώστε
x = αx1 + (1-α) x2 για κάποιο α, 0 < α <1
12

13. ΘΘεεώώρρηημμαα
Έστω A ένας m×n πίνακας τάξης m και b ένα
διάνυσμα με m-συνιστώσες. Έστω K ένα κυρτό
πολύτοπο αποτελούμενο απο όλα τα διανύσματα
x που ικανοποιούν τις
Ax = bﰀ, x >= 0 (1)
Ένα διάνυσμα x είναι ένα ακραίο σημείο του K
ανν το x αποτελεί βασική εφικτή λύση του (1).
13

14. ΑΑππόόδδεειιξξηη
x = ﰀ(x1ﰀ,x2ﰀﰀﰀﰀﰀ, ... , xmﰀ,0,ﰀ0ﰀﰀﰀﰀﰀ, ... ,0ﰀ) μια βασική
εφικτή
x1a1 +x2a2 +···+xmam = bﰀ
14