Estatítisca aplicada

FORÇA AÉREA BRASILEIRAFORÇA AÉREA BRASILEIRAFORÇA AÉREA BRASILEIRAFORÇA AÉREA BRASILEIRA
ESCOLA DE ESPECIALISTAS DE AERONÁUTICAESCOLA DE ESPECIALISTAS DE AERONÁUTICAESCOLA DE ESPECIALISTAS DE AERONÁUTICAESCOLA DE ESPECIALISTAS DE AERONÁUTICA
FORÇA AÉREA BRASILEIRA
BERÇOS DOS ESPECIALISTAS
Guaratinguetá - SP
ESTATÍSTICA
(MÓDULO ÚNICO)
CAS
09
IMPRESSO NA SUBSEÇÃO GRÁFICA DA EEAR

1
COMANDO DA AERONÁUTICA
ESCOLA DE ESPECIALISTAS DE AERONÁUTICA
ENSINO INDIVIDUALIZADO
DISCIPLINA: NOÇÕES DE ESTATÍSTICA
M Ó D U L O Ú N I C O
NOÇÕES DE ESTATÍSTICA
EDIÇÃO 2005

2
DOCUMENTO DE PROPRIEDADE DA EEAR
Todos os Direitos Reservados
Nos termos da legislação sobre direitos autorais, é proibida a reprodução total
ou parcial deste documento, utilizando-se qualquer forma ou meio - eletrônico ou mecânico,
inclusive processos xerográficos de fotocópias e de gravação - sem a permissão, expressa e por
escrito, da Escola de Especialistas de Aeronáutica - Guaratinguetá, São Paulo.
Guaratinguetá - São Paulo

3
Í N D I C E
PÁGINA
INTRODUÇÃO ....................................................................................................... 05
ROTEIRO ................................................................................................................ 06
TEXTO I – REVENDO ELEMENTOS MATEMÁTICOS ESSENCIAIS À
ESTATÍSTICA .......................................................................................................... 07
EXERCÍCIOS DO TEXTO I .......................................................... 21
GABARITO DOS EXERCÍCIOS DO TEXTO I ............................ 23
TEXTO II – CÁLCULOS, GRANDEZAS E UNIDADES EXCLUSIVAS DA
ESTATÍSTICA .......................................................................................................... 25
EXERCÍCIOS DO TEXTO II ......................................................... 35
GABARITO DOS EXERCÍCIOS DO TEXTO II .......................... 37
TEXTO III – A ESTATÍSTICA NA ADMINISTRAÇÃO E O
PLANEJAMENTO ESTATÍSTICO ......................................................................... 38
EXERCÍCIOS DO TEXTO III ........................................................ 50
GABARITO DOS EXERCÍCIOS DO TEXTO III ......................... 52
TEXTO IV – REPRESENTAÇÃO DOS DADOS ESTATÍSTICOS: SÉRIES,
FREQÜÊNCIAS, CLASSES .................................................................................... 53
EXERCÍCIOS DO TEXTO IV ....................................................... 66
GABARITO DOS EXERCÍCIOS DO TEXTO IV ......................... 67
TEXTO V – DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA ................................................ 68
EXERCÍCIOS DO TEXTO V ......................................................... 72
GABARITO DOS EXERCÍCIOS DO TEXTO V .......................... 74

4
TEXTO VI – REPRESENTAÇÃO GRÁFICA ....................................................... 75
EXERCÍCIOS DO TEXTO VI ....................................................... 88
GABARITO DOS EXERCÍCIOS DO TEXTO VI ......................... 91
TEXTO VII – MEDIDAS ESTATÍSTICAS ........................................................... 92
EXERCÍCIOS DO TEXTO VII ...................................................... 111
GABARITO DOS EXERCÍCIOS DO TEXTO VII ....................... 115
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES ........................................... 121
GABARITO DOS EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES ............ 125
AUTO-AVALIAÇÃO ................................................................................................. 132
GABARITO DA AUTO-AVALIAÇÃO ........................................ 137
CONCLUSÃO ............................................................................................................. 138
BIBLIOGRAFIA ......................................................................................................... 139

5
I N T R O D U Ç Ã O
Lembre-se: Ninguém pode aprender por você.
Mãos à obra!
Boa Sorte!
Prezado Cursista,
É com satisfação que estamos
trabalhando com você.
Neste módulo vamos conversar
um pouco sobre ESTATÍSTICA, e sendo
assim, achamos necessário informá-lo a
respeito do que é realmente a Estatística e
a sua aplicabilidade.
Segundo Antônio A. Crespo, “A
Estatística é uma parte da Matemática
Aplicada que fornece métodos para coleta,
organização, descrição, análise e
interpretação de dados e para a utilização
dos mesmos nas tomadas de decisões.”
Ainda segundo o mesmo A. A.
Crespo, “em geral, as pessoas, quando se
referem ao termo estatística, o fazem no
sentido da organização e descrição dos
dados [...], desconhecendo que o aspecto
essencial da Estatística é o de
proporcionar métodos inferenciais, que
permitam conclusões que transcendam
os dados obtidos inicialmente.”
Dessa forma, a Estatística não é
simples compilação de dados, mas um
precioso método de observação e análise
dos fatos naturais e sociais. Assim, a
análise e a interpretação dos dados
Estatísticos tornam possível a uma empresa,
uma escola, ou mesmo um determinado setor
de trabalho da Aeronáutica, diagnosticar um
determinado problema, possibilitando, assim,
o planejamento de ações estratégicas e
formulação de soluções, nas mais diversas
áreas de atuação. Dentre elas, podemos citar
que fazem uso da Estatística:
A Economia: quando estuda, por
exemplo, a previsão orçamentária;
A Demografia: quando estuda, por
exemplo, a concorrência ao CFS por
COMAR;
A Psicologia: quando estuda, por
exemplo, a escolha das especialidades;
A Sociologia: quando estuda, por
exemplo, a regionalidade dos alunos do
CFS.
Pretendemos abordar, neste
módulo, noções básicas de Estatística, com o
objetivo de contribuir para o seu melhor
desempenho profissional, facilitando-lhe a
interpretação de dados nos trabalhos de
Administração e Planejamento, na leitura de
gráficos estatísticos e outras situações às
quais a Estatística se aplique.
Você vai estudar e aprender em seu
próprio ritmo.

6
ROTEIRO
I. ASSUNTO: Noções de Estatística.
II. OBJETIVOS: Após ter realizado as atividades propostas neste módulo, você estará apto
a:
Identificar os princípios básicos de estatística (Cp);
Aplicar a distribuição dos dados estatísticos, sua série e freqüência (Ap);
Construir gráficos estatísticos com a técnica necessária (Ap);
III. ATIVIDADES: Este módulo é composto de oito textos:
Texto I - Revendo Elementos Matemáticos Essenciais à Estatística.
Texto II - Cálculos, Grandezas e Unidades Usadas na Estatística.
Texto III - A Estatística na Administração e o Planejamento Estatístico.
Texto IV - Representação dos Dados Estatísticos: Séries, Freqüências, Classes.
Texto V - Distribuição de Freqüência.
Texto VI - Representação Gráfica.
Texto VII - Medidas Estatísticas.
Para dominar o conteúdo e alcançar os objetivos propostos, você deverá ler todos os
textos e realizar os exercícios com bastante atenção. Não passe adiante enquanto tiver dúvidas.
IV. AUTO-AVALIAÇÃO: Esta atividade, ao final do módulo, servirá para indicar se você
está realmente preparado para passar ao módulo seguinte; para isso, deverá acertar todas
as questões. Caso não acerte, volte ao estudo e tire suas dúvidas.
ATENÇÃO: a auto-avaliação só deverá ser realizada após a leitura dos textos e realização dos
exercícios, isto é, quando você se sentir em condições de se auto-avaliar.
Você já está pronto?
Vamos iniciar os estudos.

7
TEXTO I
REVENDO ELEMENTOS MATEMÁTICOS ESSENCIAIS À ESTATÍSTICA
Esperamos que, ao final do estudo deste texto, você seja capaz de:
Dominar os aspectos matemáticos teórico-práticos essenciais à Estatística (Ap).
Vamos recordar com você os elementos da Matemática essenciais ao estudo da
Estatística, com vistas ao trabalho que interessa ao nosso curso.
Vejamos, então:
1. RAZÃO
Chama-se razão entre dois números o quociente indicado da divisão do primeiro pelo
segundo (este diferente de zero).
Exemplo: A razão entre 4 e 5 é
5
4
ou 4 : 5, que se lê: "4 está para 5".
São dois os termos de uma razão:
econseqüent
eantecedent
←
←
5
4
O valor da razão é o quociente propriamente dito:
Exemplos:
a) 8,0=
5
4
c) 06,0
3
18,0
=
d) 2=
3
6
d) 5,0=
2
1
=
144
72

8
2. PROPORÇÃO
Proporção é a igualdade de duas razões.
Exemplo:
6
4
3
2
= ou
extremos
meios
6:4::3:2
esconseqüent
santecedene
e
e
←
←
6
4
3
2
Observe: 2 : 3 : : 4 : 6
Lê-se: 2 está para 3 assim como 4 está para 6.
: : : :
Recordando:
A propriedade fundamental das Proporções diz que:
Exemplo:
extremos
meios
6:4::3:2
ou 6243
6
4
3
2
×=×⇔=
Generalizando: bcda
d
c
b
a
×=×⇔=
A propriedade fundamental pode ser aplicada para calcularmos o termo desconhecido de
uma proporção.
Exemplos:
“Em toda proporção, o produto dos extremos
é igual ao produto dos meios”.
Lembra?
É só “multiplicar
cruzado”!!!

9
a) Achar o valor de x na proporção:
x
20
7
5
=
Aplicando a propriedade fundamental temos:
5 . x = 7 . 20
x = 28
Resposta: x = 28
b) Achar o valor de x na proporção:
21
186
=
x
x . 18 = 6 . 21
x =
18
21.6
x = 7
Resposta: x = 7
3. GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS
Dizemos que duas grandezas são DIRETAMENTE PROPORCIONAIS, ou
simplesmente proporcionais, quando aumentando uma delas, a outra também aumenta, na
mesma proporção. Ou ainda, se, diminuindo uma delas, a outra também diminui, na mesma
proporção.
Assim, se dobrarmos uma delas, a outra também dobra. Se uma delas é reduzida à um
quinto do todo, a outra, também fica reduzida à um quinto do todo. E assim, em qualquer
proporção em que aumentarmos ou diminuirmos uma das grandezas, o mesmo acontecerá na
outra grandeza. Podemos exemplificar tais grandezas como:
Recordou o assunto?
Tudo entendido?
Ótimo!

10
i. 1000 alunos do CFS da EEAR geram uma despesa; 2000 alunos do mesmo CFS gerarão
uma despesa equivalente ao dobro da anterior; 500 alunos, uma despesa equivalente à
metade da inicial.
ii. Um 1º Sargento BSP deparou-se com a seguinte situação: na compra de 600 litros de
combustível para os aviões da FAB pagaria uma determinada quantia e, se comprasse
1800 litros, pagaria o triplo da quantia inicial. Assim, ele concluiu que na compra de 300
litros terá de pagar a metade do preço inicial.
4. GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS
Dizemos que duas grandezas são INVERSAMENTE PROPORCIONAIS quando,
aumentando uma delas, a outra diminui na mesma proporção. Ou ainda, se, diminuindo uma
delas, a outra aumenta na mesma proporção.
Assim, se dobrarmos uma delas, a outra fica reduzida à metade. Se uma delas é reduzida
à um quinto do todo, a outra fica multiplicada por cinco. E assim, em qualquer proporção em que
aumentarmos ou diminuirmos uma das grandezas, acontecerá o inverso na outra grandeza.
Podemos exemplificar tais grandezas como:
i. Um avião Bandeirante tem capacidade de voar de Barbacena a Guartinguetá, a uma dada
velocidade, em 40 minutos. Se o vôo fosse num Caça, a uma velocidade correspondente
ao dobro da obtida anteriormente, o mesmo percurso seria feito em apenas 20 minutos. E
se fosse num Helicóptero, voando a uma velocidade igual à metade da do Bandeirante, o
tempo gasto seria 80 minutos.
ii. Sob o comando de um Sub-Oficial SGS, uma tropa de 100 soldados é capaz de abrir uma
trincheira para treinamento, em um determinado tempo. Se esse SO pudesse contar com
300 soldados, o serviço previsto seria executado em um terço do tempo.
Exemplos:
a) Dois Sargentos participaram de um “bolão” e jogaram na loteria esportiva. Um
contribuiu com R$ 3,00 e o outro com R$ 6,00. Eles ganharam R$ 90.000,00 e o prêmio foi
dividido proporcionalmente à quantia que cada um investiu. Quanto cada um recebeu?

11
Comentário: Nesse caso, quem investiu maior quantia deverá receber maior valor, assim
como, quem investiu menos receberá menos.
Esse problema se refere a GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS.
Resolução:
1ª MANEIRA:
Chamemos de x a quantia que receberá o que contribuiu com três reais, e de y a quantia que
receberá o que contribuiu com seis reais. Assim, temos que 000.90=+ yx .
Da mesma forma, 3 está para x, assim como 6 está para y. Com isso, temos:
yx
63
=
Já que temos duas informações (equações), podemos montar um sistema:





=
=+
yx
yx
63
90000
.
Das diversas maneiras usadas para resolver um sistema, podemos resolver esse, em particular,
usando a seguinte resolução:





=⇒=⇒=
=+
xyxy
yx
yx
263
63
90000
Podemos substituir y por 2x na primeira equação. Assim, temos:
000.90yx =+
000.90x2x =+
000.90x3 =
000.30x =
Como 30000.2yx2y =⇒=
000.60y =
2ª MANEIRA:
Como um deles investiu R$ 3,00 e o outro R$ 6,00, podemos pensar em dividir o prêmio em 9
partes (cada parte corresponde a R$ 1,00 investido), isto é, 10000990000 =÷ . Assim, um dos
sargentos terá direito a 3 partes e o outro a 6. Podemos, então, multiplicar: 30000310000 =× e
60000610000 =× e já teremos a quantia que cada um deve receber.
Resposta: Aquele que investiu R$ 3,00 ganhará R$ 30.000,00, e o que investiu R$ 6,00
ganhará R$ 60.000,00.

12
b) Um prêmio de R$ 90.000,00, referente à gratificação de Natal, será dividido entre dois
trabalhadores de uma Multinacional, de tal forma que o que faltou menos ao serviço durante
o ano ganhará mais do que aquele que faltou maior número de dias. Se os concorrentes ao
prêmio tiveram número de faltas iguais a 3 e 6 dias, quanto cada um receberá?
Comentário: Nesse caso, quem faltou mais receberá menor valor, assim como, quem
faltou menos receberá um valor maior.
Esse problema se refere a GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS.
Resolução:
Chamemos de x a quantia que receberá o que faltou 3 dias, e y a quantia que receberá o
que faltou 6 dias. Assim, temos que 000.90yx =+ .
Da mesma forma, x está para
3
1
, assim como y está para
6
1
(por termos grandezas inversamente
proporcionais, invertemos os números que dão a devida proporção). Com isso, temos:
6
1
y
3
1
x
=
Já que temos duas informações (equações), podemos montar um sistema:






=
=+
6
1
y
3
1
x
000.90yx
.
Das diversas maneiras usadas para resolver um sistema, podemos resolver esse em particular
usando a seguinte resolução:






=⇒=⇒=⇒=
=+
equação.primeiranay2porxsubstituirpodemosey2xy6x3
3
y
6
x
6
1
y
3
1
x
000.90yx
Assim temos:
000.90yx =+
000.90yy2 =+
000.90y3 =
000.30y =
Como 30000.2xy2x =⇒=
000.60x =
Resposta: Aquele que faltou 3 dias ganhará R$ 60.000,00, e o que faltou 6 dias ganhará
R$ 30.000,00.

13
5. REGRA DE TRÊS SIMPLES
Regra de Três é uma regra prática que permite resolver problemas que envolvem valores
de duas ou mais grandezas, diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais.
A Regra de Três Simples é aquela que relaciona dois valores de uma grandeza com dois
valores de outra grandeza.
OBSERVAÇÃO: Sempre, antes de efetuar os cálculos de uma regra de três, verifique se
as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais. Há pessoas que sempre
“multiplicam cruzado” em regra de três simples, o que nem sempre é correto. Se as grandezas
forem DIRETAMENTE PROPORCIONAIS, “multiplicaremos cruzado”; se forem
INVERSAMENTE PROPORCIONAIS, primeiramente vamos inverter os valores de uma das
grandezas para depois, “multiplicarmos cruzado”.
Exemplos:
a) Comprei 3 canetas por R$ 3,60. Quanto pagarei por 8 canetas iguais?
1ª MANEIRA:
CANETA PREÇO
3 3,60
8 x
Comentário: Estamos diante de uma situação onde as grandezas são diretamente
proporcionais, isto é, se aumentamos o número de canetas, aumentamos também o valor a ser
pago.
Resolução:
“Multiplicando cruzado”, temos: 60,3.83 =x
Resolvendo a equação:
3
60,3.8
=x
60,9=x

14
2ª MANEIRA:
Comentário: Podemos calcular o preço de uma caneta efetuando a divisão 20,1=3÷60,3 .
E, como queremos o valor de 8 canetas, podemos fazer 60,920,18 =× .
Resposta: O valor de 8 canetas é R$ 9,60.
b) Oito operários gastam 30 dias para executar um serviço. Seis operários, nas mesmas
condições, quantos dias gastarão?
1ª MANEIRA:
OPERÁRIOS DIAS
8 30
6 x
Comentário: Estamos diante de uma situação onde as grandezas são inversamente
proporcionais, isto é, se aumentamos o número de operários, diminuiremos o número de dias a se
trabalhar.
Resolução:
Como temos grandezas inversamente proporcionais, faremos a inversão dos valores de uma das
grandezas. Desta forma:
x
30
8
6
= . “Multiplicando cruzado”, temos:
30.86 =x
Resolvendo a equação:
6
30.8
=x
40=x
Resposta: Serão necessários 40 operários.
6. PORCENTAGEM
A porcentagem é bastante empregada na Estatística e para prosseguirmos, vamos definir
alguns termos muito utilizados.
Por cento ou taxa percentual: é a razão entre 2 números, sendo que o conseqüente é 100, ou
seja, a fração cujo denominador é 100. É o mesmo que centésimo.

15
Exemplo:
100
12
%12 =
Principal: é a quantia ou quantidade à qual se aplica a taxa percentual.
Exemplo: Quando queremos calcular 12% de R$ 80,00, dizemos que R$ 80,00 é o
principal.
Porcentagem: é a quantia ou quantidade que resulta da aplicação da taxa ao principal.
Exemplo: Quando calculamos 12% de R$ 80,00 e obtemos R$ 9,60, dizemos que
R$ 9,60 é a porcentagem.
Exemplos: Vamos resolver alguns problemas envolvendo porcentagens.
a) Calcular 8% de 400.
1ª MANEIRA:
Usando regra de três, teremos:
VALOR TAXA
400 100 %
x 8 %
8
100400
=
x
⇒ 8.400100 =x ⇒ 32=x
OBSERVAÇÃO: Veja que Regras de Três Simples que fazem uso de porcentagem são sempre
Diretamente Proporcionais (quando aumenta a quantidade, a porcentagem é maior; quando
diminui a quantidade, a porcentagem é menor).
2ª MANEIRA:
Usando fração, teremos:
%8 de 400 ⇒ 400.
100
8
⇒ 32
100
400.8
=
Resposta: 8% de 400 valem 32.

16
b) Em um colégio de 2200 alunos, o número de reprovados foi de 18%. Determinar
quantos alunos foram reprovados.
1ª MANEIRA:
ALUNOS TAXA
2200 100 %
x 18 %
18
1002200
=
x
⇒ 18.2200100 =x ⇒ 396=x
2ª MANEIRA:
%18 de 2200 ⇒ 2200.
100
18
⇒ 396
100
2200.18
=
Resposta: Foram reprovados 396 alunos.
c) Vendi um objeto por R$ 276,00 e ganhei 15% sobre o preço de custo. Quanto me
custou o objeto?
1ª MANEIRA:
Usando regra de três:
Se o valor de custo corresponde a 100%, e o valor de venda é igual ao de custo acrescido do
lucro, temos que R$ 276,00 corresponde a 100% + 15%, isto é, 115%. Assim:
VALOR TAXA
276 115 %
x 100 %
100
115276
=
x
⇒ 100.276115 =x ⇒ 240=x
2ª MANEIRA:
Algebricamente, teremos:
Chamando de x a quantia que representa o custo do objeto, teremos que o lucro corresponde a
15% de x 





== xxxde 15,0
100
15
%15 ; desta forma, o valor de venda do objeto (R$ 276,00)
corresponde a soma destes dois valores. Assim:

17
27615,0 =+ xx
27615,1 =x
15,1
276
=x
240=x
Resposta: O objeto custou R$ 240,00.
d) Numa sala de 30 alunos, faltaram 6. De quantos por cento foi a freqüência naquele
dia?
1ª MANEIRA:
Como o que o problema pede é a porcentagem de alunos presentes, temos que com 6 faltosos em
30 alunos, 24 estão presentes.
ALUNOS TAXA
30 100 %
24 x
x
100
24
30
= ⇒ 24.10030 =x ⇒
30
24.100
=x ⇒ %80=x
2ª MANEIRA:
30
24
⇒ 80,0 ⇒ %80
Resposta: A freqüência de alunos naquele dia foi de 80%.
e) Sabendo-se que 30% de certa quantia vale R$ 270,00, qual o valor dessa quantia?
1ª MANEIRA:
VALOR TAXA
270 30 %
x 100 %

18
100
30270
=
x
⇒ 100.27030 =x ⇒
30
100.270
=x ⇒ 900=x
2ª MANEIRA:
Algebricamente, teremos:
Chamando de x a quantia, sabemos que 30% de x é 270, assim:
%30 de x = 270 ⇒ 270
100
30
=x ⇒
30
270.100
=x ⇒ 900=x
Resposta: O valor da quantia é R$ 900,00
f) Na compra de um objeto de R$ 700,00, houve um abatimento de R$ 42,00. De
quantos por cento foi o abatimento?
1ª MANEIRA:
VALOR TAXA
700 100 %
42 x
x
100
42
700
= ⇒ 42.100700 =x ⇒ %6=x
2ª MANEIRA:
700
42
⇒ 06,0 ⇒ 6%
Resposta: O abatimento foi de 6%.
7. MÉDIAS
1.1. Média Aritmética Simples (Ma):
Média aritmética de dois ou mais valores é o resultado da divisão da soma dos valores
dados pelo número de valores.
Exemplo: Os tempos de reação de um Piloto da FAB a certos estímulos foram medidos
por um Psicólogo e tabelados a seguir:

19
Tempo de reação, em segundos 0,53 0,46 0,49 0,52 0,53 0,44 0,55 0,56
Qual o tempo médio de reação do Piloto aos estímulos?
Podemos resolver este problema calculando a Média Aritmética Simples dos tempos:
8
46,055,044,053,052,049,046,053,0 +++++++
=Ma
8
08,4
=Ma
51,0=Ma segundos
Resposta: O tempo médio de reação é de 0,51 segundos.
1.2. Média Aritmética Ponderada (Mp):
Considere a seguinte situação: Todas as quartas-feiras, o time de futebol de salão dos
Professores e Instrutores da EEAR se reúne para uma partida amistosa. Considerado o último
jogo, temos as idades dos jogadores em questão:
IDADES (anos)
QUANTIDADE
DE JOGADORES
30 3
33 2
22 1
25 4
Podemos calcular a média de idade dos jogadores desse time fazendo os seguintes
cálculos:
( )jogadores
M
10
254221332303 ×+×+×+×
=
10
100226690 +++
=M
10
278
=M

20
27,8=M Assim, a média das idades dos jogadores é 27,8 anos.
A esse tipo de média chamamos de ponderada.
Média aritmética ponderada, de duas ou mais quantidades, é o valor que se obtém
somando os produtos de cada valor pelo seu respectivo peso (ou número de vezes que esse se
repete) e, a seguir, dividindo o resultado obtido pela soma dos pesos (ou repetições).
Vamos resolver alguns
exercícios como
revisão do assunto.

21
EXERCÍCIOS DO TEXTO I
a) Verifique se os números apresentados em cada item (na ordem dada) formam proporções.
Use sim ou não.
a) 5, 6, 10, 12
b) 1, 3, 2, 6
c) 4, 10, 2, 5
d) 3, 7, 4, 9
b) Determine o valor de x, usando a propriedade fundamental das proporções.
a)
6
3
=
2
x
b)
8
=
4
5 x
c)
6
14
=
7
x
d)
21
7
=
1
x
c) Calcule a Média Aritmética (Ma) dos seguintes números:
a) 3, 5, 7, 9
b) 60, 80, 100 e 90 (com aproximação até décimos)
d) Resolva:
a) Um atleta, ao treinar salto em altura, atinge as seguintes marcas:
2,53 m; 2,47 m; 2,48 m; 2,52 m; 2,50 m.
Qual a altura média atingida?
b) Um time de basquete, ao longo de 6 partidas, faz o seguinte número de pontos:
1ª partida: 70 2ª partida: 82
3ª partida: 76 4ª partida: 108
5ª partida 93 6ª partida 87
Qual a média de pontos desse time por partida?

22
e) Calcule a média ponderada de um aluno, em Geografia, sabendo que foram atribuídos
pesos diferentes em cada Avaliação:
1º Bimestre: nota 6 (peso 1) 2º Bimestre: nota 7 (peso 2)
3º Bimestre: nota 8 (peso 3) 4º Bimestre : nota 10 (peso 4)
f) Calcular:
a) 25% de R$ 300,00
b) 30% de R$ 144,00
g) Um automóvel, com a velocidade constante de 80 km/h, percorre uma certa distância em
4 horas. Em quantas horas fará o mesmo percurso se diminuir a velocidade para 60 km/h?
h) Numa compra de R$ 36,50, obtive um desconto de 12%. Qual foi o valor do desconto?
i) Paguei 35% de multa sobre uma conta cujo valor era de R$ 144,00. Quanto paguei de
multa?
j) Uma cidade possui 82.000 habitantes, dos quais 42% são eleitores. Quantos eleitores tem
essa cidade?
k) Um vendedor recebeu 6% de comissão sobre uma venda no valor de R$ 12.500,00.
Quanto recebeu de comissão?
l) Numa turma de 50 alunos, 40% são moças. Qual o número de moças dessa turma?

23
GABARITO DOS EXERCÍCIOS DO TEXTO I
1) a) sim b) sim c) sim d) não
2)
a) x.6 = 2.3
6x = 6
x = 1
b) 4.x = 5.8
4x = 40
x = 10
c) x.14 = 7.6
14x = 42
x = 3
d) 7.x = 1.21
7x = 21
x = 3
3)
a) 6=
4
9+7+5+3
=Ma
b) 5,82=
4
90+100+80+60
=Ma
4)
a) mMa 50,2=
5
250+52,2+48,2+47,2+53,2
=
b) 86=
6
87+93+108+76+82+70
=Ma
5) 4,8=
10
40+24+14+6
=
4+3+2+1
4×10+3×8+2×7+1×6
=Mp
6)
a)
100
25
x R$ 300,00 = R$ 75,00
b)
100
30
x R$ 144,00 = R$ 43,20

24
7)
Velocidade (km/h) Tempo (h)
80 4
60 x
Como as grandezas são INVERSAMENTE PROPORCIONAIS, temos:
x
4
=
80
60
4.80=60x
60
4.80
=x
60
320
=x
min205= hx
8)
100
12
x 36,50 = R$ 4,38
9)
100
35
x 144,00 = R$ 50,40
10)
100
42
x 82000 = 34.440
11)
100
6
x 12.500,00 = R$ 750,00
12)
100
40
x 50 = 20
320 60
20 5 h
Transformando 20 horas
em minutos, temos:
20 x 60 = 1200 minutos,
então:
1200 60
20 min

25
TEXTO II
CÁLCULOS, GRANDEZAS E UNIDADES USADAS NA ESTATÍSTICA
Esperamos que, ao final do estudo deste texto, você seja capaz de
Identificar os Cálculos, as Grandezas e Unidades usadas na Estatística (Cp);
Empregar corretamente os Cálculos, as Grandezas e as Unidades Estatísticas (Ap).
1. ARREDONDAMENTO DOS NÚMEROS
O arredondamento na representação de números, muitas vezes, faz-se necessário, pois
surgem números representados com várias ordens decimais, o que nem sempre nos interessa.
Nesse caso, lançamos mão do Arredondamento dos Números.
1.1. Regras para o Arredondamento dos Números
(De acordo com a resolução 886/66 da Fundação IBGE)
1ª REGRA - Quando o primeiro algarismo a ser abandonado for 0, 1, 2, 3 ou 4, fica
inalterado o último algarismo a permanecer.
Exemplo: 48,23 passa a 48,2.
2ª REGRA - Quando o primeiro algarismo a ser abandonado for 6, 7, 8 ou 9, aumenta-se
de uma unidade o último algarismo a permanecer.
Exemplos: a) 23,07 passa a 23,1. b) 34,99 passa a 35,0.
3ª REGRA - Quando o primeiro algarismo a ser abandonado for 5, haverá duas soluções:
a) se o 5 for o último algarismo ou se após o 5 só se seguirem zeros, o último algarismo
a ser conservado só será aumentado de uma unidade se for ímpar.

26
Exemplos:
a) 24,75 passa a 24,8;
b) 24,365 passa a 24,36;
c) 24,447500000 passa a 24,448;
d) 24,6500000 passa a 24,6;
e) 123,99502 passa a 124,0.
b) se após o 5 existe algum algarismo diferente de 0 (zero), seguimos a 2ª REGRA, ou
seja, aumentamos uma unidade ao último algarismo a permanecer.
Exemplos:
a) 24,7500007 passa a 24,8;
b) 24,36500004 passa a 24,37;
c) 12,50242 passa a 13,0.
OBSERVAÇÃO:
Deve-se evitar os arredondamentos sucessivos; e fica recomendada a volta aos dados
originais, caso se proceda a novo arredondamento.
Exemplo: É correto arredondar o nº 17,44454 para 17,4 ou para 17 e não para 17,445
para 17,45 para 17,5 para 18, sucessivamente.

27
2. GRANDEZAS COMPARATIVAS
É comum, na prática, ao fazermos comparações entre duas grandezas, usarmos
indistintamente os termos índice, coeficiente e taxa. Estes apresentam, no entanto, as seguintes
diferenças:
2.1. ÍNDICE
É a comparação entre duas grandezas independentes. Exemplos:
( )lIntelectuaQuocienteQIodenominaçãsemnúmero
acronológicidade
mentalidade
QI ==
2
hab/km
área
população
aDemográficDensidade =
2.2. COEFICIENTE
É a comparação entre duas grandezas em que uma está contida na outra. Exemplos:
população
óbitos
emortalidaddeeCoeficient =
alunosdetotal
aprovados
escolarentoaproveitamdeeCoeficient =
2.3. TAXA
É o mesmo que coeficiente, multiplicado por 10n (10, 100, 1000, ...), onde n pertence ao
conjunto dos números naturais (N).
n
10xecoeficient=Taxa

28
2.4. PERMANÊNCIAS MÉDIAS
2.4.1. Permanência média dos estoques
É utilizada para estudar e analisar as alterações dos estoques.
Cálculo:
mêsoduranteestoquedesaídas)(ouentradasdeTotal
mêsdodiasdiferentesnoscalculadomédioEstoque
Exemplo: Um almoxarifado manteve, em média, durante o mês, 50 mantas, sendo que o
total de entradas de estoque foi de 500 mantas. Logo, a permanência média será:
10
1
500
50
= . Isto significa que cada manta permaneceu, em média,
10
1
do mês no estoque,
ou seja, 3 dias, considerando-se o mês com 30 dias
2.4.2. Permanência média dos funcionários
Utilizada para medir a permanência média dos funcionários.
Cálculo:
anoodurantedemissões)(ouadmissõesdeTotal
anooduranteosfuncionáridemensalMédia
Exemplo: Uma empresa apresenta, em média, durante o ano, 20 funcionários em
determinado setor, sendo que nesse mesmo ano, foram admitidos 40 funcionários para lugares
deixados pelos que saíram. A permanência média desse setor será:
2
1
40
20
= . Isto é, isto é, cada funcionário permanece, em média,
2
1
do ano ou 6 meses.

29
3. NÚMEROS ÍNDICES
A análise comparativa de diversos fenômenos congêneres, representados pelas Séries
Estatísticas, torna-se mais simples se cada uma destas séries for representada por um número,
facilitando, dentre outros acontecimentos, a observação da variação de preço, do custo de vida,
do salário, do volume de exportação.
Para isso, entretanto, é preciso observar a existência de termos de uma espécie nas várias
séries consideradas, sem o que não se pode chegar a uma conclusão concisa das oscilações
existentes.
Assim, na Tabela Delta, pode-se, mediante simples observação, verificar a variação de
preço de cada mercadoria nas duas épocas citadas.
TABELA DELTA
PREÇOS EM REIAS
Carro Popular
2004 2005
FIAT 15.000 18.000
Volkswagen 20.000 21.500
Chevrolet 16.000 20.000
TOTAL 51.000 59.500
No caso da oscilação de preço do conjunto de Carros Populares, é necessário representar
os valores de cada uma das épocas por um único número, do qual denominar-se-á NÚMERO
ÍNDICE, que expressará o conjunto dos números relativos.
4. RELATIVOS E ÍNDICES
Para tornar mais simples as comparações citadas, toma-se um dos conjuntos apresentados
na Tabela Delta e, através de uma regra de três simples, transforma-se uma das Séries em base
100 e os outros valores são proporcionais a esta base. Observe o Exemplo a seguir.

30
Tomando-se, na Tabela Delta, o ano 2004, como sendo o ano base, que será sempre 100,
e estabelecendo-se a Regra de Três, temos:
FIAT
x
100
18000
15000
120=x
VOLKSWAGEM
x
100
21500
20000
107=x
CHEVROLET
x
100
20000
16000
125=x
TOTAL
x
100
59500
51000
...66,116=x
Uma vez efetuados os cálculos, a nova Tabela, já com o ano de 2004 como ano base 100,
ficará assim transformada:
TABELA ECO
PREÇOS EM REIAS
Carro Popular
2004 2005
FIAT 100 120
Volkswagen 100 107
Chevrolet 100 125
TOTAL 100 116,66...
Os números que constituem a nova tabela são denominados NÚMEROS RELATIVOS.
O número representativo do conjunto de valores relativos de determinada época em
relação à outra (pode ser também de determinado local em relação a outro), denomina-se
NÚMERO ÍNDICE.

31
Ao examinarmos a nova tabela construída de imediato, notamos que o preço das
mercadorias consideradas em 2005 subiu de 16,66% em relação ao ano de 2004.
A facilidade de interpretação é que faz o Número Índice ser de grande aplicação em
Estatística.
Agora, vamos focalizar um tema que é muito comum em nosso dia-a-dia:
PROBABILIDADES.
5. PROBABILIDADES
Observação: Mesmo em nível elementar, o assunto "Probabilidades" emprega outros conceitos
matemáticos mais complexos (arranjos, Binômio de Newton, logaritmos...) que fogem aos
objetivos desse Módulo. Daremos agora, apenas "noções" de Estatística. Se você sentir
necessidade de mais informações, consulte a Bibliografia indicada no final deste módulo.
O termo PROBABILIDADE é usado de modo muito amplo diariamente para sugerir um
certo grau de incerteza sobre o que ocorreu no passado, o que ocorrerá no futuro ou o que está
ocorrendo no presente. A idéia de Probabilidade desempenha papel importante em muitas
situações que envolvem uma decisão.
5.1. CONCEITOS BÁSICOS
5.1.1. Experimento aleatório
É aquele que poderá ser repetido sob as mesmas condições indefinidamente, não sendo
possível prever qual será o resultado. É possível, porém, descrever todos os possíveis resultados.
Indicaremos os experimentos por E. Observe o Exemplo:
O lançamento de um dado é um experimento aleatório. Não podemos afirmar, antes de
lançá-lo, qual o número que sairá voltado para cima, mas podemos dizer todos os números
possíveis de saírem: 1, 2, 3, 4, 5, 6.

32
5.1.2. Espaço Amostral
É o conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório. Indicaremos
por S.
5.1.3. Evento
É qualquer conjunto de resultados de um experimento. Indicaremos por letras maiúsculas:
A, B, C,...
5.1.4. Conjunto dos eventos
Como evento é um conjunto, podemos realizar com os eventos operações costumeiras de
União e Intersecção de conjuntos.
Assim:
Exemplo: Seja o experimento sortear um cartão dentre dez cartões numerados de 1 a 10.
Sejam os eventos:
A: "sair número 5" e B: "sair número par"
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
A = {5} B = {2, 4, 6, 8, 10}
BA U = {5, 2, 4, 6, 8, 10}
BA I = ∅ (evento impossível)
A = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10}
B = {1, 3, 5, 7, 9 }
AA U = S
AA I = ∅
BB U = S
BB I = ∅
BA U - é o evento que ocorre se A ocorrer ou B ocorrer, ou ambos ocorrerem.
BA I - é o evento que ocorre se A e B ocorrerem.
A - (lê-se: A traço) é o evento que ocorre se A não ocorrer.

33
5.1.5. Probabilidade matemática
A Probabilidade matemática de um acontecimento é a relação entre o número de casos
favoráveis e o número de casos possíveis.
Indicamos:
N
A
p = onde p = probabilidade, A = número de casos prováveis e N =
número de casos possíveis
Exemplo: Qual a probabilidade de, lançado um dado, sair um número par?
A = {2, 4, 6} número de pontos pares no dado.
N = {1, 2, 3, 4, 5, 6} número de faces do dado.
%505,0=
2
1
=
6
3
== ou
N
A
p
Resposta: A probabilidade é de 50%.
5.1.6. Acontecimentos mutuamente exclusivos
Dois ou mais acontecimentos são mutuamente exclusivos, quando, ocorrendo um deles,
não pode ocorrer o(s) outro(s). Para essa espécie de acontecimento, que se chama
"acontecimento total", aplica-se o seguinte teorema:
Exemplo: Qual a probabilidade de alguém ser premiado em um sorteio, de 100 bilhetes,
estando de posse de três bilhetes?
Resolução:
Probabilidade de cada bilhete :
100
1
=p
Probabilidade dos três bilhetes, aplicando-se o teorema citado:
%3=03,0=
100
3
=
100
1
+
100
1
+
100
1
=p
Resposta: A probabilidade é de 3%.

34
5.1.7. Probabilidade em provas repetidas
Muitas vezes há interesse em saber, em certo número n de provas, qual a probabilidade
de ocorrência de um acontecimento, pelo menos uma vez.
Pensamos assim:
( )( ) ( )pppq −−−= 1...11
n vezes
( )n
pq −= 1
A probabilidade a favor em n provas P :
qP −= 1
( )n
pP −−= 11
Vamos aos Exemplos:
a) Em 6 jogadas de um dado, qual a probabilidade de sair a face 3, pelo menos uma vez?
Resolução:
6
1
=p e 6=n
6
6
1
11 





−−=P
6
6
5
1 





−=P
46656
15625
1−=P
46656
3031
=P
665,0=P
%5,66=P
b) Dois dados são lançados. Pede-se:
Determine o espaço amostral.
Resolução: S = {(1,1); (1,2); (1,3); (1,4); (1,5); (1,6); (2,1); (2,2); (2,3); (2,4); (2,5); (2,6);
(3,1); (3,2); (3,3); (3,4); (3,5); (3,6); (4,1); (4,2); (4,3); (4,4); (4,5); (4,6); (5,1); (5,2); (5,3);
(5,4); (5,5); (5,6); (6,1); (6,2); (6,3); (6,4); (6,5); (6,6)}
A probabilidade simples do acontecimento: p
A probabilidade contrária: q ou p−1
O número de provas: n
A probabilidade contrária em n provas:

35
Enumere o evento A de tal forma que apareçam dois números cuja soma seja 9.
Resolução: A = {(4,5); (5,4); (3,6); (6,3)}
Enumere o evento B de tal forma que apareçam dois números cuja soma seja 7.
Resolução: B = {(1,6); (6,1); (2,5); (5,2); (3,4); (4,3)}
Calcule a probabilidade do Evento A.
Resolução: Probabilidade do evento ( )APA =
Número de casos favoráveis = NCF e Número total de casos = NTC
( )
9
1
=
36
4
==
NTC
NCF
AP
Calcule a probabilidade do Evento B.
Resolução: ( )
6
1
=
36
6
==
NTC
NCF
BP
Dê a probabilidade de ( )AP .
Resolução: ( ) 9
8
9
1
1 =−=AP
Calcule a probabilidade da soma ser 7 ou 9.
Resolução: ( ) ( ) ( )
18
5
18
32
6
1
9
1
=
+
=+=+= BPAPBAP U
c) Qual a probabilidade de em 6 rodadas de uma roleta dar uma vez o nº 29? Observação: Essa
roleta contém 36 números.
Resolução:
36
1
=p
( )n
pP −−= 11 com 6=n
6
36
1
11 





−−=P
6
36
35
1 





−=P
156,0=P
%6,15=P

36
EXERCÍCIOS DO TEXTO II
1) A adição 34,31435 + 0,846 + 123,57417 tem como soma o seguinte número arredondado
até centésimos:
a) 158,72
b) 158,73
c) 158,74
d) 158,75
2) No departamento de digitação de um grande jornal, há três funcionários que possuem a
produção pessoal de:
- Digitador A: 500 folhas em 5 dias de 8 horas;
- Digitador B: 400 folhas em 6 dias de 8 horas;
- Digitador C: 400 folhas em 5 dias de 10 horas.
A produção desse escritório, em termo de folhas-horas, é:
a) 59.200 folhas-hora
b) 59.400 folhas-hora
c) 60.200 folhas-hora
d) 60.400 folhas-hora
3) Registrou-se, numa seção de suprimento, que o estoque médio de lâmpadas de visores de
tiro foi de 12 lâmpadas e durante o ano houve entrada de 36. Logo a permanência média
das lâmpadas foi de:
a) 3 meses
b) 4 meses
c) 5 meses
d) 6 meses
4) Num colégio de 2.000 alunos, houve um coeficiente de aproveitamento escolar de 0,9.
Quantos alunos foram aprovados?
a) 1.500
b) 1.600
c) 1.700
d) 1.800
Confira suas respostas na página seguinte.

37
GABARITO DOS EXERCÍCIOS DO TEXTO II
1) b
2) a
3) b
4) d

38
TEXTO III
A ESTATÍSTICA NA ADMINISTRAÇÃO E O PLANEJAMENTO ESTATÍSTICO
Identificar a importância da Estatística para a Administração (Cn);
Identificar as etapas do Planejamento Estatístico (Cn);
Utilizar o trabalho estatístico numa situação prática (Cn).
Vamos falar, inicialmente, sobre a ESTATÍSTICA e a ADMINISTRAÇÃO.
1. ESTATÍSTICA E ADMINISTRAÇÃO
Como você já deve ter percebido, no mundo atual, a Administração ocupa uma das áreas
mais importantes da atividade humana. Sua tarefa principal é propiciar condições aos grupos
organizados para operarem de modo eficiente em busca dos objetivos a que se propõem.
A Administração deve, em toda ação e decisão, colocar em primeiro lugar a realização
econômica; ela só pode justificar sua existência pelos resultados econômicos que produza.
Administrar, segundo Fayol, é:
1.1. O Administrador
O trabalho do administrador deve atingir os objetivos desejados; deve ser dirigido e
também controlado pelos objetivos a realizar e não por imposição superior.
1.2. Decisões dos administradores
Todas as funções citadas anteriormente são importantes, porém as mais difíceis de serem
desenvolvidas são as de coordenar e tomar decisões (comandar), por serem comuns a todos os
ramos da atividade humana.
Planejar
Organizar
Comandar
Coordenar
Controlar

39
Para coordenar e colocar em funcionamento o sistema administrativo, o administrador,
quer o civil, quer o militar, tem que decidir.
Uma decisão é racional quando há perfeita coerência entre a alternativa escolhida e os
objetivos visados.
O administrador decide sob duas condições:
Sob certeza → sem risco.
Sob incerteza → com risco total ou parcial.
1.2.1. Decisão sob certeza
A decisão com certeza é assim considerada quando quem a tomou tem pleno
conhecimento das circunstâncias que envolvem o problema. Neste caso, a decisão é tomada sem
qualquer risco.
1.2.2. Decisão sob incerteza
A decisão sob incerteza é assim considerada quando quem a tomou possui conhecimento
parcial ou ignorância total do assunto a decidir.
Entre esses dois extremos, conhecimento e ignorância total, situa-se a mais importante
das decisões: as decisões sob risco.
O fato de ser considerada a mais importante é porque a realidade tem demonstrado que,
apenas em casos muito especiais, temos conhecimento absoluto de todas as variáveis que
influem no problema. Daí o administrador ter a tarefa de decidir sob risco, muitas vezes; no
entanto, deverá fazê-lo de modo racional.
A Estatística é o mais importante instrumento para esse tipo de decisão.

40
1.3. DECISÃO COM AUXÍLIO DA ESTATÍSTICA
Para o tratamento e análise de certos aspectos dos dados numéricos apresentados pelos
problemas com que se defrontam as empresas no momento de tomarem decisões, desenvolveu-se
a Estatística como um ramo da Matemática.
Freqüentemente nos deparamos com situações em que desejamos estudar o
comportamento de certos fenômenos, sujeitos a um complexo de causas que impossibilitam a
aplicação de métodos determinísticos, e a respeito dos quais possuímos numerosos dados.
Nestes casos podemos recorrer aos métodos fornecidos pela Estatística. Esta permite,
então, que formulemos conclusões a respeito do comportamento da média dos indivíduos que
fazem parte do fenômeno estudado, e contornemos o problema de indeterminação que
caracteriza cada indivíduo em particular.
Para tornar mais claro o que dissemos, vejamos o fenômeno dos acidentes de trânsito.
Eles podem ocorrer por inúmeras causas: por falha mecânica, por falha humana, por falta de
visibilidade, pela má qualidade das estradas, ou por tudo isso ao mesmo tempo. Assim
considerado de modo genérico, o fenômeno acidente de trânsito está sujeito a um complexo de
causas. Tomando-se um veículo em particular, não podemos afirmar nem quando e nem como
ele sofrerá acidente, ou se sofrerá algum acidente.
Contudo, se analisarmos o que já aconteceu com um grande número de automóveis,
podemos estabelecer, por exemplo, que, em média, os veículos analisados sofreram dois
acidentes por ano.
Desta forma, se considerarmos um grande número de veículos, poderemos esperar que
ocorram, em média, dois acidentes com os mesmos durante o próximo ano.
Trabalhando com os dados relativos ao comportamento da média dos acidentes de
trânsito, as companhias seguradoras podem prever, com relativa segurança, as despesas que terão
com as indenizações sobre acidentes de trânsito.

41
A administração de uma empresa defronta-se com inúmeras situações que requerem uma
abordagem desse tipo.
Vamos mostrar, no quadro a seguir, o que focalizamos até aqui sobre este assunto.
Observe:
CONDIÇÃO
CONHECIMENTO
DO ASSUNTO
RISCO MEIOS
Sob certeza Total Sem risco
Lógica – Métodos
quantitativos
determinísticos.
Parcial Parcial
D
E
C
I
S
Õ
E
S
Sob incerteza
Sem conhecimento Total
Estatística – Métodos
quantitativos
probabilísticos.
Percebeu a
importância
da Estatística
para o
Administrador?

42
1.4. ESTATÍSTICA DESCRITIVA E INFERÊNCIA ESTATÍSTICA
Vamos, agora, conversar mais detalhadamente sobre Estatística, uma vez que já tomamos
conhecimento de sua importância para as decisões de um administrador.
A Estatística desenvolve-se em dois setores:
a DESCRITIVA,
a INFERÊNCIA ESTATÍSTICA
1.4.1. Estatística Descritiva
Ao analisarmos o comportamento de um determinado fenômeno, teremos, inicialmente,
que colher informações e dados a seu respeito. Além disso, como tais dados são numerosos, é
necessário sintetizá-los para que possamos absorver as informações que eles podem transmitir-
nos.
Assim, no estudo de um problema estatístico, existe uma fase de coleta e resumo das
informações numéricas que fazem parte da Estatística Descritiva.
A Estatística Descritiva consiste, portanto, na fase de coleta, resumo dos dados para
apresentação e crítica.
1.4.2. Inferência Estatística
A Inferência Estatística compreende os métodos que permitem ampliar para o todo as
conclusões obtidas na análise de uma parte, ou melhor: Inferência é uma conclusão formada a
partir de algumas deduções ou experiências.
Portanto, a Estatística Descritiva refere-se à coleta, a sintetização, à apresentação e à
crítica dos dados; e a Inferência Estatística, à formulação de hipóteses e conclusões a respeito do
todo, a partir da análise de uma parte do todo.

43
Esquematizando:
1.5. POPULAÇÃO E AMOSTRA
1.5.1. População
Em Estatística, designamos por POPULAÇÃO (ou UNIVERSO) o conjunto formado
pelo total de elementos que apresentam características comuns, que estamos estudando. No caso
dos acidentes de trânsito, já citado, a População seria o total de veículos envolvidos em
acidentes. Note que o termo POPULAÇÃO (UNIVERSO), em Estatística, nem sempre
corresponde ao comumente usado; o que temos é uma população de dados.
Exemplo: Se nosso problema fosse estudar o faturamento mensal da indústria nacional, a
nossa População (Universo) seria constituída pelo conjunto de dados relativos ao faturamento
mensal de todos os estabelecimentos industriais do Brasil.
ESTATÍSTICA
DESCRITIVA
Coleta dos dados
Crítica dos dados
Resumo dos dados
INFERÊNCIA
ESTATÍSTICA
Formulação das
hipóteses
Conclusões a respeito do todo a partir
da análise de uma parte do todo.

44
1.5.2. Amostra
Em Estatística, AMOSTRA é qualquer subconjunto de elementos da População, isto é,
uma parte do todo. Assim, no exemplo anterior, se julgarmos excessivamente dispendioso
analisar todos os estabelecimentos industriais do Brasil para tirarmos conclusões, poderemos
trabalhar com uma amostra, constituída por um número representativo dos estabelecimentos
industriais.
1.6. COMO É FEITO O TRABALHO ESTATÍSTICO
Já se pode perceber até aqui que a Estatística é um poderoso meio auxiliar de que dispõe
o administrador para a tomada de decisões. Vamos, portanto, detalhar as fases do Trabalho
Estatístico, tendo em vista as particularidades deste setor.
1.6.1. FASES DO TRABALHO ESTATÍSTICO
No desenvolvimento do Trabalho Estatístico, devemos seguir uma linha de procedimento,
se quisermos chegar a uma conclusão que nos permita tomar a decisão acertada. Para isto
devemos observar 7 fases:
Tudo entendido até
aqui? Ótimo!
Qualquer dúvida,
reestude o texto.

45
1. Definição do problema.
2. Planejamento.
3. Coleta de Dados.
4. Apuração dos Dados.
5. Crítica dos Dados.
6. Apresentação dos Dados.
7. Análise e Interpretação dos resultados finais.
Exemplo: “Antônio, sapateiro de uma cidade, pretendendo montar uma pequena fábrica
de calçados para atender aos moradores do local, decidiu, de início, realizar uma produção em
pequena escala, cerca de 500 pares mensais, que pretende vender a seus clientes. De que
tamanhos serão esses pares?”. Vamos determinar cada passo de Antônio.
1. Definição do Problema
Neste momento a preocupação de Antônio é: saber quantos pares de sapatos deve fabricar
de cada tamanho a fim de que possa atender a sua clientela. Esta é a definição do problema.
2. Planejamento
Antônio raciocinou nos seguintes termos: Como a produção de calçados vai destinar-se à
sua atual clientela, composta de 2000 clientes aproximadamente, como resolver o problema?
Julgou, porém, que levaria muito tempo para obter informações destas 2000 pessoas e que talvez
pudesse ser mais rápido, se obtivesse um número menor de dados, mas que fossem
suficientemente representativos. Resolveu tomar informações sobre o número dos sapatos de
apenas 300 dos seus clientes, isto é, resolveu fazer um levantamento por amostragem.
OBSERVAÇÃO: Amostragem é o levantamento estatístico em que apenas uma parte da
população é investigada. No caso em estudo, a população seria de 2000 clientes de Antônio. A
Amostragem seria de 300 clientes que vão ser consultados. A seleção de uma Amostra, no
domínio estatístico, é baseada em rigorosos princípios de Probabilidade.
Esclarecemos que a Estatística, no seu sentido científico, não reconhece amostra não
probabilística.

46
3. Coleta de Dados
Em seguida, Antônio remeteu os questionários, pelo Correio, aos 300 clientes
relacionados, como também poderia ter feito pessoalmente ou por telefone, fazendo assim o que
denominamos Coleta de Dados Direta.
Antônio poderia também, caso soubesse as alturas desses 300 clientes relacionados, e
através da correspondência entre altura e tamanho do pé, fazer o que denominamos de Coleta de
Dados Indireta.
A Coleta de Dados refere-se, portanto, à obtenção e registro sistemático de dados com
um objetivo determinado.
4. Apuração de Dados
A esta altura Antônio começou a receber de volta os questionários que havia enviado aos
clientes. À medida que estes iam chegando, Antônio anotava em uma folha de papel o número
dos sapatos dos clientes, como se segue:
Calçados usados pelos clientes 36 - 38 - 34 - 41 - 40 - 36 - 44 - 34 - 38 - 39 - 33
35 - 40 - 37 - 38 - 34 - 39 - 40 - 41 - 39 - 39 - 34
35 - 36 - 38 - 36 - 39 - 40 - 41 - 38 - 37 - 33 - 33
39 - 40 - 42 - 43 - 41 - etc.
. . . sem se importar com alguma ordem.
Os dados apresentados na forma acima, sem observar alguma ordem, são chamados
"DADOS BRUTOS". Os "Dados Brutos", mesmo observados atentamente, nada podem
esclarecer, pois, embora sejam somente 300 dados, a impressão que nos dão é de confusão e
desordem.
A Coleta de Dados pode ser
Direta
Indireta

47
OBSERVAÇÃO: Se ordenarmos os 300 números dos sapatos em ordem crescente, obtemos um
conjunto ordenado que recebe o nome de "ROL", observe:
ROL dos números de calçados usados pelos clientes de Antônio:
ROL é, portanto, o conjunto dos números de uma amostra seguindo rigorosamente certa
ordem, que poderá ser crescente, como no exemplo, ou decrescente.
5. Crítica
Durante a preparação do "ROL", é conveniente analisarmos os dados recebidos, isto é,
efetuar o que chamamos de Crítica. Esta crítica consiste em verificar se as respostas contidas no
questionário estão de acordo com o que foi perguntado, pois muitas vezes as pessoas interpretam
mal as perguntas e respondem erradamente.
Exemplo: É comum constar do questionário o “ano do nascimento” e a pessoa que
preencher o questionário responder “dia, mês e ano”, o que é errado, pois só nos interessa o "ano
de nascimento".
31 - 31 - 31 - 31 - 31 - 31 - 31 - 31 - 31 - 31 - 32 – 32
32 - 32 - 32 - 32 - 32 - 32 - 33 - 33 - 33 - 33 - 33 – 33
33 - 33 - 33 - 33 - 33 - 33 - 33 - 33 - 33 - 33 - 33 – 33
33 - 33 - 33 - 33 - 33 - 33 - 33 - 33 - 33 - 33 - 34 – 34
34 - 34 - 34 - 34 - 34 - 34 - 34 - 34 - 34 - 34 - 34 – 34
34 - 34 - 34 - 34 - 34 - 34 - 34 - 34 - 34 - 34 - 34 – 35
35 - 35 - 35 - 35 - 35 - 35 - 35 - 35 - 35 - 35 - 35 – 35
35 - 35 - 35 - 35 - 35 - 35 - 35 - 35 - 35 - 35 - 35 – 35
35 - 35 - 35 - 35 - 35 - 35 - 35 - 35 - 36 - 36 - 36 – 36
36 - 36 - 36 - 36 - 36 - 36 - 36 - 36 - 36 - 36 - 36 – 36
36 - 36 - 36 - 36 - 36 - 36 - 36 - 36 - 36 - 36 - 36 – 36
36 - 37 - 37
etc., sucessivamente, sempre em ordem
crescente, até completar 300 números.

48
A finalidade da Crítica é exatamente verificar se as respostas se coadunam com as
perguntas, ou melhor, é o exame dos questionários para a correção de possíveis erros.
6. Apresentação dos Dados
Observando o "ROL" apresentado com apenas números, a impressão que aquele conjunto
de valores nos causa é muito vaga e de difícil interpretação.
Para maior clareza, a Estatística dispõe de dois modos para apresentar os dados
coletados:.
Apresentação Tabular (Tabelas)
Apresentação por meio de Gráficos.
Antônio, contando no "ROL" a quantidade de cada número, organizou a seguinte tabela:
TABELA: NÚMERO DO CALÇADO POR CLIENTE
NÚMERO DO PÉ
(tamanho dos calçados
dos clientes pesquisados)
QUANTIDADE DE CLIENTES
(que usam os
calçados indicados)
31 e 32 18
33 e 34 51
35 e 36 62
37 e 38 75
39 e 40 64
41 e 42 27
43 e 44 3
TOTAL 300
FONTE: Relatório de Antônio – 2003
Após a organização dos dados na Tabela, Antônio elaborou o Gráfico a seguir:

49
0
20
40
60
80
31 e 32 33 e 34 35 e 36 37 e 38 39 e 40 41 e 42 43 e 44
GRÁFICO REPRESENTATIVO DA DISTRIBUIÇÃO
NÚMERO DO CALÇADO POR CLIENTE
FONTE: Relatório de Antônio - 1990.
OBSERVAÇÃO: Na elaboração das Tabelas e Gráficos, existem normas propostas pelo IBGE,
que veremos oportunamente.
7. Análise e Interpretação dos Resultados Finais
Esta é a última etapa do Planejamento Estatístico. Resta-nos, pois, como última fase do
trabalho, concluí-lo, analisando os Dados apresentados tanto pela Tabela quanto pelo Gráfico.
Nesta última etapa, estamos interessados em tirar conclusões que auxiliam na solução do
problema.
Antônio chegou à seguinte conclusão: "Há uma concentração dos clientes em torno dos
calçados de números 37 e 38 e poucos são os que usam 31, 32, 43 e 44". Tendo em vista os
resultados apresentados pela Tabela, resolveu fabricar os diversos tamanhos de calçados,
adotando, aproximadamente, a mesma proporção em que nela aparecem.
A interpretação dos resultados finais é uma tarefa de grande responsabilidade e deve ser
sempre efetuada por um especialista na matéria. Assim, um técnico em estatística eletrônica "não
está apto a interpretar resultados pertinentes à estatística mecânica" e vice-versa.

50
EXERCÍCIOS DO TEXTO III
1) Complete as lacunas corretamente.
a) O emprego da Estatística na Administração é importante por ______________________
_______________________________________________________________________
b) Uma decisão é racional quando existem entre as alternativas e os objetivos _____
_______________________________________________________________________
c) A decisão com incerteza é tomada por quem tem ________________________________
sobre o assunto.
d) A Administração deve sempre, em toda a ação e decisão, colocar em primeiro lugar a
realização: __________________________________________.
e) A Estatística permite que formulemos conclusões a respeito do comportamento
____________________________ dos indivíduos que fazem parte do fenômeno em
estudo.
2) Leia o enunciado do problema a seguir. Aplique cada uma das etapas do Trabalho
Estatístico ao problema em foco, construindo, na etapa de Apresentação de dados, a
Tabela e o Gráfico que lhes são pertinentes.
“Lúcia, dona de uma confecção de determinada cidade, pretende
preparar camisetas unissex para atender aos moradores do local. Decidiu, de
início, confeccionar 600 camisetas por mês, que pretende vende-las aos seus
clientes; produzirá em pequena escala.
Surge, então, um questionamento: De que manequins devem ser
essas camisetas, sabendo-se que há uma clientela local de 1.500 pessoas?”
(Lúcia tomou informações de 225 dos seus clientes. O menor
manequim foi nº 40, e o maior, 52).

51
Etapas do Planejamento:
1 –
2 –
3 –
4 –
5 –
6 –
Explique o que deve ser feito em cada uma das etapas.
Confira o gabarito na página a seguir.
Qualquer dúvida, consulte o texto.

52
GABARITO DOS EXERCÍCIOS DO TEXTO III
1)
a) auxiliar na tomada de decisão sob incerteza.
b) perfeita coerência.
c) conhecimento parcial ou ignorância total.
d) econômica da empresa.
e) médio.
2) Conferir com o texto.

53
TEXTO IV
REPRESENTAÇÃO DOS DADOS ESTATÍSTICOS:
SÉRIES, FREQÜÊNCIAS, CLASSES
Representar Dados Estatísticos em tabelas, bem como interpretar as tabelas (Ap).
1. TABELA
Os dados estatísticos, como já vimos anteriormente, podem ser apresentados em Tabelas,
de acordo com as normas do IBGE.
1.1. Tabela Estatística
"É um conjunto de dados destinado a revelar a evidência numérica de determinados
fenômenos em estudo". Observe o modelo de uma tabela.
POPULAÇÃO DE ALGUMAS
CIDADES BRASILEIRAS EM 2004
CIDADES *
Habitantes
Borá – SP 818
Serra da Saudade – MG 884
Anhanguera – GO 908
Lagoa Santa – GO 951
Oliveira de Fátima – TO 1.006
TOTAL 4567
FONTE: IBGE
NOTA: Os dados são estimativos.
*Cidades com o menor número de
habitantes.
COLUNA
NUMÉRICA
CASA OU CÉLULA
CABEÇALHO
CORPO
COLUNA
INDICADORA
RODAPÉ
TÍTULO
NOTA
CHAMADA

54
1.2. Elementos da Tabela
As partes principais de uma tabela são: corpo, cabeçalho, coluna indicadora e fonte.
Corpo da Tabela - abrange: colunas e linhas que contêm, respectivamente, as séries
verticais e horizontais de informações. Ao cruzamento de uma coluna com uma linha
dá-se o nome de casa.
Cabeçalho - é a parte da tabela em que é designada a natureza do conteúdo de cada
coluna.
Coluna indicadora ou principal - é a parte da Tabela em que é indicada a natureza do
conteúdo de cada linha, podendo a mesma tabela ter mais de uma coluna indicadora.
Título - é a parte superior da tabela na qual são indicados:
a natureza do fato estudado (O quê?)
o local (Onde?)
a época em que o mesmo foi observado (Quando?)
Rodapé - é o espaço aproveitado, em seguida ao fecho da tabela, para inserção de
notas de natureza informativa.
Fonte - é o indicativo, no rodapé da tabela, da entidade responsável por sua
organização ou fornecedora dos respectivos dados.
Notas e chamadas - são informações em linguagem concisa, colocadas no rodapé da
tabela, em seguida à indicação da fonte.
OBSERVAÇÕES:
a) Usa-se a nota para conceituação da matéria constante da tabela ou, ainda, para
esclarecimento de caráter geral; quando houver mais de uma, numerá-las em numerais
romanos, e os respectivos textos seguidos de ponto e traço, com exceção do último, que é
seguido só de ponto final;
b) Usa-se a chamada para esclarecer certas minúcias em relação a casas, linhas ou colunas; é
sempre numerada em algarismos, entre parênteses; quando mais de uma, os respectivos
textos vêm seguidos de ponto e traço, com exceção do último, que só é seguido de ponto
final.

55
1.3. Normas tabulares
1. A tabela, excluídos o título e a fonte, será delimitada, no alto e embaixo, por traços
horizontais grossos.
2. Não delimitar a tabela, à direita e à esquerda, por traços verticais.
3. É facultativo o emprego de traços verticais para separação das colunas no corpo da
tabela.
4. É facultativo o emprego da linha-guia horizontal, ligando a coluna principal às outras
colunas.
5. Nenhuma casa deve ficar em branco, mas, sim, apresentando sempre um sinal
convencionado.
6. Quando em uma tabela, mais de uma coluna for apresentada sob uma mesma
especificação, separar-se-á esse conjunto por uma linha mais grossa.
1.4. Sinais convencionados
1. – (traço) - quando o dado for nulo
2. . . . (três pontos) - quando não se dispuser de dados.
3. O (zero); 0,0 (zero vírgula zero; 0,00 (zero, vírgula, zero, zero)) quando o valor numérico for
menor do que a metade da unidade ou fração decimal adotada para a expressão do dado.
4. x (letra x) quando o dado for omitido a fim de evitar individualização de informações.
5. § (parágrafo) quando o dado retifica informação anteriormente publicada.
2. UNIDADES DE MEDIDAS E SEUS SÍMBOLOS
Para que você possa representar corretamente as Medidas, vamos apresentar-lhe os
nomes exatos e os respectivos símbolos das unidades de medida.
g ⇒ grama
kg ⇒ quilograma
t ⇒ tonelada
m ⇒ metro
m2
⇒ metro quadrado
s ⇒ segundo (de tempo)
min ⇒ minuto (de tempo)
ºC ⇒ graus Celsius (graus centígrados)

56
Atenção!
Os símbolos não devem ser seguidos de ponto final e nem de s para indicarem plural.
As abreviaturas devem ser feitas com letras minúsculas, exceto quando forem nomes
de pessoas.
Exemplo: Celsius (C) - Ampère (A) - Hertz (Hz)
Quando necessário, qualquer grandeza poderá ser expressa na unidade mais
conveniente, desde que seja compreensível por si mesma ou venha claramente
definida.
Exemplos:
toneladas-quilômetro (t-km)
operários-dia
homens-hora
leitos-dia
3. SÉRIES ESTATÍSTICAS
Todos nós estamos habituados a ver as tabelas estatísticas em anuários, em artigos
relacionados à Geografia, em tratados de Economia, em artigos de jornais, etc., mas talvez nunca
tenhamos lembrado de classificá-las.
Já vimos que os dados numéricos, após serem coletados, são colocados em séries e
apresentados em quadros ou tabelas.
Tudo entendido?
Então vamos adiante!

57
Chamamos de Série Estatística ao conjunto de números associados a um fenômeno
expressando quantidades ou grandezas, disposto em correspondência com um critério de
modalidade.
Dessa forma, esses números poderão ser agrupados ou não, constituindo respectivamente:
Séries de dados agrupados e Séries de dados não agrupados.
Para classificá-la, vamos considerar três elementos em uma tabela:
a época a que ela se refere (o tempo);
a região onde se passam os fatos (o espaço);
o fenômeno que é descrito (a espécie do fato).
Conforme varie cada um destes elementos, podemos classificar as Séries Estatísticas em:
1.5. Série Temporal, Cronológica, Evolutiva, Histórica ou Marcha.
É a série cujos dados estão dispostos de acordo com o tempo. A variável é o tempo.
Observe alguns exemplos para compreender melhor.
TABELA 1
PRODUÇÃO BRASILEIRA
DE CARNES – 1995-2001
ANOS
Quantidade
(mil toneladas)
1995 10.920
1996 12.663
1997 11.821
1998 12.592
1999 13.628
2000 14.595
2001 15.330
FONTE: CNPC,UBA e ABIPECS

58
TABELA 2
BRASIL – PRODUÇÃO NACIONAL DE
PETRÓLEO – 2000-2004
ANOS Petróleo
2000 71.643.694
2001 75.019.962
2002 84.398.966
2003 86.819.697
2004 85.966.980
FONTE: ANP
Observe que o dado em questão varia com o tempo.
1.6. Série Geográfica ou Territorial
É a série cujos dados estão dispostos em correspondência com a região geográfica, isto é,
variam com o local. A variável é o espaço.
Exemplos:
TABELA 3
BRASIL – PRODUÇÃO DE GÁS NATURAL
EM ALGUNS ESTADOS, EM 2004
ESTADOS
Produção
(1.000 m3
)
Ceará 126.091
Amazonas 3.620.760
Bahia 2.256.608
Espírito Santo 509.828
São Paulo 383.399
Rio Grande do Norte 1.365.579
FONTE: ANP

59
TABELA 4
RESULTADOS FINAIS DO CENSO ESCOLAR,
SEGUNDO ALGUMAS UNIDADES DA FEDERAÇÃO – 2004
UNIDADES DA
FEDERAÇÃO
Creche Pré-Escola
Ensino
Fundamental
Ensino
Médio
Acre 2.753 23.148 151.535 29.736
Amapá 1.862 28.605 135.778 33.208
Goiás 28.216 130.933 1.059.068 275.153
Mato Grosso do Sul 20.496 58.367 442.544 102.550
Pará 31.363 227.099 1.614.942 341.516
Rio de Janeiro 99.865 395.997 2.474.150 770.658
Santa Catarina 69.810 176.450 952.887 292.037
TOTAL 254.365 1.040.599 6.830.904 1.844.858
FONTE: MEC
NOTA: Os resultados referem-se à matrícula inicial das redes estadual, federal,
municipal e privada.
TABELA 5
POPULAÇÃO DE ALGUNS ESTADOS
DO BRASIL, EM 2004
ESTADO Número de Habitantes
São Paulo 39.825.226
Minas Gerais 18.993.720
Rio de Janeiro 15.203.750
Bahia 13.682.074
Rio Grande do Sul 10.726.063
Paraná 10.135.388
Pernambuco 8.228.713
FONTE: IBGE

60
1.7. Série Específica ou Qualitativa
É a série cujos dados estão em correspondência com a espécie do fenômeno. Variam com
a espécie do fenômeno. Exemplos:
TABELA 6
PRODUÇÃO BRASILEIRA DE GRÃOS – 2000/01
PRODUTO
Quantidade
(mil toneladas)
Algodão 1.521,9
Arroz 10.386,0
Feijão 2.587,1
Milho 41.535,2
Soja 37.218,3
Trigo 3.194,2
Outros 1.869,0
TOTAL 98.311,7
FONTE: CONAB
TABELA 7
BRASIL - AERONAVES REGISTRADAS
POR TIPO, EM 2005
TIPOS ATIVAS
Balão 5
A Reação Jato 571
Turbo Hélice 1.348
Pistão 8.651
Planador 316
Dirigível 1
FONTE: DAC
Observe que as séries anteriores variam de acordo com a qualidade ou a espécie do
fenômeno.

61
1.8. Série Composta ou Mista
As combinações entre as séries constituem novas séries que são denominadas séries
compostas ou mistas e apresentadas em tabelas de dupla entrada. Estas séries têm nomes
compostos de acordo com a combinação feita. Exemplo: de série Cronológico - específica.
TABELA 8
BRASIL – TAXAS PAGAS, POR PERÍODO, EM 2005
PERÍODO TR* (%) Poupança (%) TBF (%)**
22/05 a 22/06/2005 0,2582 0,7595 1,4713
23/05 a 23/06/2005 0,2994 0,8009 1,5431
24/05 a 24/06/2005 0,2902 0,7917 1,5238
25/05 a 25/06/2005 0,2958 0,7973 1,5294
26/05 a 26/06/2005 0,2574 0,7587 1,4605
27/05 a 27/06/2005 0,2586 0,7599 1,4617
28/05 a 28/06/2005 0,2597 0,7610 1,4728
29/05 a 29/06/2005 0,2998 – 1,5435
30/05 a 30/06/2005 0,3420 – 1,6264
31/05 a 01/07/2005 0,3377 – 1,6120
01/06 a 01/07/2005 0,2993 0,8008 1,5430
02/06 a 02/07/2005 0,2991 0,8006 1,5528
03/06 a 03/07/2005 0,2548 0,7561 1,4579
04/06 a 04/07/2005 0,2133 0,7144 1,3858
05/06 a 05/07/2005 0,2526 0,7539 1,4556
06/06 a 06/07/2005 0,2895 0,7909 1,5231
07/06 a 07/07/2005 0,3022 0,8037 1,5560
08/06 a 08/07/2005 0,3083 0,8098 1,5622
09/06 a 09/07/2005 0,2753 0,7767 1,4987
FONTE: FOLHA DE SÃO PAULO, CADERNO DINHEIRO, 12/06/2005.
*TR – Taxa de Remuneração
**TBF – Taxa Básica Financeira
Observe que há uma variação de fenômeno (qualidade) e uma variação de tempo
(22/05 a 22/06/05 até 09/06 a 09/07/2005).

62
Em resumo, podemos esquematizar:
Variam
de
acordo
com os
das
Séries
SÉRIES
ESTATÍSTICAS
SÉRIES
TEMPORAIS
SÉRIES
ESPECÍFICAS
SÉRIES
GEOGRÁFICAS
SÉRIES
COMPOSTAS
OU MISTAS
Tempo
Espaço
Fato
Tempo
Espaço
Fato
Tempo
Espaço
Fato
Tempo
Espaço
Fato
Variável
Fixo
Fixo
Variável
Fixo
Fixo
Variável
Fixo
Fixo

63
4. CLASSE
Classe é a subdivisão da População em grupamentos consecutivos. Observe a tabela de
dados fictícios.
TABELA 9
ALTURA (cm)
Quantidade de Alunos
(fi)
130 ├─┤ 139 8
140 ├─┤ 149 228
150 ├─┤ 159 592
160 ├─┤ 169 1.380
170 ├─┤ 179 488
180 ├─┤ 189 293
190 ├─┤ 199 11
TOTAL 3.000
Na Tabela 9 cada uma das subdivisões "130 a 139" "140 a 149", etc. constitui o que
chamamos de uma Classe. Se observarmos essa mesma Tabela, verificaremos que os 3.000
alunos que constituem a POPULAÇÃO em estudo, foram distribuídos em classes de 10 em 10
cm de altura.
4.1. Número de Classes
Para achar o número de classes em que deve ser dividida uma população em estudo,
existe a Regra de Sturges, que será dada a título de ilustração, mas não será aplicada neste curso,
devido ao caráter elementar do mesmo.

64
4.1.1. Regra de Sturges
Nn log3,31+= onde:
4.1.2. Limites de Classes
Na Classe 160 ├─┤ 169, os números extremos 160 e 169, são denominados limites de
classes; o número menor 160 é o limite inferior( )il , e o maior 169 é o limite superior ( )iL da 4ª
Classe. Os limites serão sempre abreviados por " il " e " iL ". Assim temos, na 3ª Classe: 3l = 150
e 3L = 159
4.1.3. Intervalo de Classe
O Intervalo de Classe também é denominado Amplitude ou Oscilação de classe.
Conceituamos Intervalo de classe como sendo o intervalo abrangido por uma classe.
O intervalo de Classe é obtido em uma Tabela, pela diferença entre dois limites inferiores
ou superiores, consecutivos. Na Tabela 9, o Intervalo de Classe poderá ser calculado da seguinte
forma:
h = " il " de uma Classe, menos " il " da Classe anterior.
ou
h = " iL " de uma Classe, menos " iL " da Classe anterior.
Exemplo: h = 140 – 130 = 10ou h = 149 – 139 = 10
4.1.4. Ponto Médio de Classe (Xi)
O ponto médio de uma classe (Xi) é o valor que se obtém adicionando-se ao seu limite
inferior a metade do intervalo de classe.
Xi = il +
2
h
n = número de Classes
N = número de Alunos

65
Na tabela em estudo, temos que os pontos médios da 2ª e 3ª Classes são, respectivamente:
X2 = 140 +
2
10
= 145
X3 = 150 +
2
10
= 155
4.1.5. Amplitude total
É a diferença entre o limite superior ( )iL da última classe, e o limite inferior ( )il da
primeira classe. Exemplificando, com a Tabela 9:
Amplitude Total = 199 – 130 = 69
( )iL última classe ( )il da primeira classe
NOTA: Conforme você já deve ter observado, é muito comum o uso do índice "i" junto a
determinados símbolos. O índice é usado em Matemática para indicar a ordem de um elemento
em determinada série.
Assim, por exemplo, no conjunto { }11,9,7,5,3=A , temos;
X1 = 3 ; X2 = 5 ; . . . ; X5 = 11.
Nas distribuições de freqüência, o índice "i" está ligado à ordenação das classes.
Por exemplo: na Tabela 9, o limite inferior da 5ª classe é 5l = 170; o limite superior da
sétima classe é 7L = 199: o ponto médio da quarta classe é 4X = 165; e assim por diante.
Vamos verificar se
você está nos
compreendendo até aqui.
Resolva os Exercícios.

66
EXERCÍCIOS DO TEXTO IV
1)
a) Disponha os números: 22, 34, 27, 11, 48, 17, 45, 38, 6, 57 em um rol.
b) Determine a Amplitude Total.
2) Os graus finais de Matemática de 80 estudantes da Universidade do Estado estão
relacionados a seguir:
68 - 84 - 75 - 82 - 68 - 90 - 62 - 88 - 76 – 93
73 - 79 - 88 - 73 - 60 - 93 - 71 - 59 - 85 – 75
61 - 65 - 75 - 87 - 74 - 62 - 95 - 78 - 63 – 72
66 - 78 - 82 - 75 - 94 - 77 - 69 - 74 - 68 – 60
96 - 78 - 89 - 61 - 75 - 95 - 60 - 79 - 83 – 71
79 - 62 - 67 - 97 - 78 - 85 - 76 - 65 - 71 – 75
65 - 80 - 73 - 57 - 88 - 78 - 62 - 76 - 53 – 74
86 - 67 - 73 - 81 - 72 - 63 - 76 - 75 - 85 – 77
Com referência a estes dados, determine:
a) o maior grau;
b) o menor grau;
c) a amplitude total;
d) os graus dos cinco estudantes melhores classificados;
e) os graus dos cinco estudantes de menores classificações;
f) o grau do estudante classificado em 10º lugar;
g) quantos estudantes receberam grau igual ou superior a 75;
h) quantos estudantes receberam grau abaixo de 85, e
i) quais os graus que não apareceram.
Qualquer dúvida, reestude o assunto.

67
GABARITO DOS EXERCÍCIOS DO TEXTO IV
1)
a) 6, 11, 17, 22, 27, 34, 38, 45, 48, 57 ou: 57, 48, 45, 38, 34, 27, 22, 17, 11, 6.
b) Amplitude total: 57 - 6 = 51
2)
a) 97
b) 53
c) 97 - 53 = 44
d) 97, 96, 95, 95, 94
e) 53, 57, 59, 60, 60
f) 88
g) 44
h) 63
i) 0 a 52, 54, 55, 56, 58, 64, 70, 91, 92, 98, 99, 100.

68
TEXTO V
DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA
Terminado o nosso estudo sobre as Séries Estatísticas, vamos examinar, com detalhes, a
distribuição de freqüência.
Compreender a distribuição de freqüência. (Ap)
1. INDICAÇÃO DOS INTERVALOS PARCIAIS NAS DISTRIBUIÇÕES DE
FREQÜÊNCIAS
A fim de atender as exigências das normas vigentes, usaremos as seguintes convenções:
0 ─┤ 10, para significar que compreende os valores da variável, a partir do zero (exclusive
este) e até dez (inclusive).
0 ├─ 10, para significar que compreende os valores da variável, a partir do zero (inclusive
este) e até dez, exclusive.
0 ── 10, para indicar que compreende os valores da variável, a partir do zero (exclusive
este) e até dez (exclusive este).
0 ├─┤ 10 , para indicar que compreende os valores da variável, a partir do zero (inclusive) e
até dez (inclusive).
Exemplo: Observe a tabela com as alturas de 500 alunos:
Altura (m) 1,00 1,10 1,20 1,30 1,40 1,50 1,60
Freqüência 30 50 50 70 80 120 100
Se agruparmos essas alturas em classes, conforme o tipo de intervalo usado, chegaremos
a diferentes tabelas. Observe:

69
2. FREQÜÊNCIA ABSOLUTA OU FREQÜÊNCIA DE CLASSE (fi)
É o número de vezes que o acontecimento é verificado numericamente, dentro de
determinada classe.
Na Tabela 9, com a altura de 130 ├─┤ 139, existem 8 alunos.
O número 8 é a freqüência absoluta ou freqüência de classe. A freqüência absoluta é
sempre representada por (fi).
Na Tabela 9 poderemos verificar que as freqüências absolutas das classes são:
1ª Classe: f1 = 08 2ª Classe: f2 = 228
3ª Classe: f3 = 592 4ª Classe: f4 = 1.380
5ª Classe: f5 = 488 6ª Classe: f6 = 293
7ª Classe: f7 = 11
TABELA A
Altura (m) freqüência
1,0 ├─┤ 1,2 130
1,3 ├─┤ 1,5 270
1,6 ├─┤ 1,8 100
Σ 500
TABELA B
1,0 ├─ 1,2 80
1,2 ├─ 1,4 120
1,4 ├─ 1,6 200
1,6 ├─ 1,8 100
Σ 500
TABELA C
1,0 ── 1,2 50
1,2 ── 1,4 70
1,4 ── 1,6 120
Σ 240
TABELA D
1,0 ├─┤ 1,1 80
1,2 ├─┤ 1,3 120
1,4 ├─┤ 1,5 200
Σ 400

70
3. FREQÜÊNCIA ACUMULADA (Fi)
Chama-se freqüência acumulada (Fi) de uma Classe a soma da freqüência absoluta (fi)
desta classe com as das classes anteriores.
Na tabela 10 a seguir, a freqüência acumulada da 4ª classe é:
F4 = 1.380 + 592 + 228 + 8 = 2.208
OBSERVAÇÃO: A freqüência acumulada da 1ª Classe coincide com freqüência absoluta desta
classe, e a freqüência acumulada da última classe coincide com o total das freqüências absolutas.
TABELA Nº 10
CLASSES (fi) (Fi)
130 ├─┤ 139 8 8
140 ├─┤ 149 228 236
150 ├─┤ 159 592 828
160 ├─┤ 169 1.380 2.208
170 ├─┤ 179 488 2.696
180 ├─┤ 189 293 2.989
190 ├─┤ 199 11 3.000
TOTAL 3.000
Na Tabela 10, poderemos verificar que as freqüências acumuladas das classes são:
1ª classe: F1 = 8
2ª classe: F2 = 236
3ª classe: F3 = 828
4ª classe: F4 = 2.208
5ª classe: F5 = 2.696
6ª classe: F6 = 2.989
7ª classe: F7 = 3.000

71
4. CLASSE MODAL OU MODA
Denomina-se Classe Modal a classe de maior freqüência absoluta (fi). Na Tabela 10, a
classe modal é 160 ├─┤ 169.
Quando afirmamos que tal tipo de roupa ou de calçado "está na moda", é porque está
sendo usado pela maioria das pessoas.
5. CLASSE ANTIMODAL
A Classe Antimodal é exatamente oposta à Modal, isto é, é a classe de menor freqüência
absoluta. Na Tabela 10, a Antimodal é a 1ª classe, pois sua freqüência é a menor (8).
6. FREQÜÊNCIA ANTERIOR (f ant) e POSTERIOR (f post)
As freqüências anterior (f ant) e posterior (f post) em relação à moda são as
freqüências absolutas das classes situadas, respectivamente, antes e depois da Classe Modal. Na
Tabela 10, temos que a Classe modal é 160 ├─┤ 169
Assim: f ant = 592 e f post = 488.
Vamos verificar se você está
compreendendo o que estamos
apresentando.
Resolva os Exercícios a seguir.

72
EXERCÍCIOS DO TEXTO V
1. Complete corretamente as lacunas.
a) Tabela Estatística é a representação de um conjunto de
_______________________________________________________________________
b) A confecção de uma tabela para representação tabular deve obedecer a normas ditadas
pelo ____________________________________________________________________
c) As partes principais de uma Tabela são: _______________________________________
_______________________________________________________________________
d) O corpo da tabela abrange__________________________________________________
_______________________________________________________________________
2.
a) Complete a tabela a seguir de modo correto, determinando a Freqüência
Acumulada de cada classe.
Pontos obtidos pelos candidatos ao 2º Grau do Colégio Alfa
Classes fi Fi
0 ├─┤ 9 3
10 ├─┤ 19 8
20 ├─┤ 29 11
30 ├─┤ 39 10
40 ├─┤ 49 1.498
50 ├─┤ 59 340
60 ├─┤ 69 460
70├─┤79 50
80 ├─┤ 89 200
90 ├─┤ 99 20
TOTAL 2.600

73
b) Indique a classe modal dessa tabela.
c) Dê a “f ant” e a “f post”.
Qualquer dúvida, estude novamente!

74
GABARITO DOS EXERCÍCIOS DO TEXTO V
1.
a) dados destinados a revelar a evidência numérica de determinado fenômeno.
b) IBGE
c) corpo, cabeçalho, coluna indicadora e fonte.
d) colunas e linhas que contêm, respectivamente, as séries verticais e horizontais de
informações.
2.
a)
Fi
3
11
22
32
1530
1870
2330
2380
2580
2600
b) 40 ├─┤ 49
c) f ant = 10
f post = 340

75
TEXTO VI
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
Esperamos que, ao final do estudo do texto VI, você seja capaz de:
Interpretar corretamente uma Representação Gráfica (Cn);
Representar graficamente uma situação-problema (Ap).
Nos textos anteriores, vimos que a representação dos dados estatísticos pode ser através
das tabelas (Representação Tabular) e por meio de gráficos. Fizemos também um estudo
detalhado da representação tabular. Agora, vamos iniciar o estudo da representação dos dados
estatísticos sob uma forma ilustrada chamada "Gráfico".
O principal objetivo do Gráfico é causar uma impressão mais rápida e viva do fenômeno
em estudo, do que comumente nos causam as tabelas.
1. CARACTERÍSTICAS DO GRÁFICO
As principais características de um gráfico são: clareza, simplicidade e veracidade.
Desde a escolha da qualidade do papel até os pormenores das letras para o título, bem
como os números representados nos gráficos, há uma quantidade de pequenos detalhes que
devem ser usados pelos desenhistas na sua confecção. Dentre esses detalhes podemos citar:
O título deve ser o mais claro e completo possível; sendo necessário, acrescentam-se
subtítulos.
A relação entre a altura e a largura das linhas do gráfico deve ser proporcional a 2/3, a fim de
não prejudicar a estética.
Os impulsos artísticos que tendem a encher o gráfico de linhas inúteis ou fantasiosas,
dificultando a sua leitura e interpretação, devem ser evitados.
Sempre que possível, as escalas vertical e horizontal devem iniciar com 0 (zero).
A orientação geral dos gráficos deve ser da esquerda para a direita.

76
Quando o gráfico representa porcentagem, é aconselhável fazer sobressair a linha 100% ou
outra que se utilize como base de comparação e, em tais casos, não é necessário a indicação
da linha 0 (zero).
A escala horizontal deve ser lida da esquerda para a direita, e a vertical, de baixo para cima.
Os títulos e marcações do gráfico dispor-se-ão de maneira que sejam facilmente legíveis,
partindo da margem horizontal inferior ou da margem esquerda.
2. GRÁFICOS ESTATÍSTICOS
Excluindo as representações de cunho fantasia dos anúncios, podemos considerar três
tipos principais de representação gráfica.
Diagramas: Gráficos geométricos de duas dimensões;
Cartogramas: Ilustrações sobre cartas geográficas;
Estereogramas: Representações em volumes.
Em nosso estudo abordaremos apenas os diagramas, pois satisfazem plenamente os
nossos objetivos.
3. DIAGRAMAS
Entre os principais tipos de diagramas, temos: Histogramas, Polígonos de Freqüência, e
os gráficos em Colunas, em Barras, em Setores e o Polar.
3.1. Histogramas
É o tipo ideal para representar graficamente uma distribuição de freqüências.
Consiste em retângulos justapostos, cujas alturas são respectivamente proporcionais às
freqüências das classes que eles representam; portanto, cada classe é representada por um
retângulo de base igual ao intervalo de classe e altura igual à freqüência de classe. Os
Histogramas podem ser de freqüências absolutas ou acumuladas.

77
Exemplos: Seja a tabela de distribuição de freqüências:
CLASSES fi Fi
19 ├─┤ 24,9 2 2
25 ├─┤ 30,9 9 11
31 ├─┤ 36,9 24 35
37 ├─┤ 42,9 23 58
43 ├─┤ 48,9 18 76
49 ├─┤ 54,9 9 85
55 ├─┤ 60,9 4 89
61 ├─┤ 66,9 2 91
TOTAL 91
Construiremos o Histograma de Freqüências Absolutas (fi) que lhe corresponde.
3.1.1. Histograma de Freqüências Absolutas (fi)
0
5
10
15
20
25
30
19 25 31 37 43 49 55 61 67

78
3.1.2. Histograma de Freqüências Acumuladas (Fi)
3.2. Polígono de Freqüência
Aproveitando o exemplo anterior, vamos construir um POLÍGONO DE FREQÜÊNCIA.
O Polígono de Freqüência é também usado para representar graficamente uma
Distribuição de Freqüência.
É formado pela união de pontos médios das bases superiores dos retângulos do
Histograma.
Caso o polígono seja feito antes do Histograma, consideram-se os pontos médios das
classes (sobre o eixo horizontal) e as respectivas freqüências absolutas (sobre o eixo vertical).
Unem-se os pontos por segmentos de reta.
Vejamos um POLÍGONO DE FREQÜÊNCIA:
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
19 25 31 37 43 49 55 61 67

79
3.2.1. Curvas de Freqüências
Supondo-se que os dados coletados sejam em grande número, é perfeitamente possível
grupá-los em classes cujos intervalos sejam razoavelmente pequenos em relação ao número total
de classes que formam a distribuição.
Desta forma o Histograma representativo desta série de freqüências seria composto de
um conjunto de retângulos justapostos de bases muito pequenas.
O polígono de freqüências para esse tipo de distribuição vai ser definido por ínfimos
segmentos de retas, resultantes da união daqueles pontos médios. Ele dará lugar a uma curva de
freqüências; portanto pode-se dizer que o polígono tende para a curva, à medida que os
intervalos de classe tendem para zero.
0
5
10
15
20
25
30
19 25 31 37 43 49 55 61 67
0
5
10
15
20
25
30
19 25 31 37 43 49 55 61 67

80
As Curvas de Freqüência podem ser:
Modais;
Antimodais e
Amodais
3.2.1.1. CURVAS MODAIS
Quando apresentam ponto de máximo.
Podem ser:
Observe os exemplos.
UNIMODAL
MULTIMODAL
unimodais (um ponto de máximo)
simétricas
assimétricas
multimodais: mais de um ponto de máximo.
Unimodal Simétrica Unimodal assimétrica
à direita
Unimodal assimétrica
à esquerda
Bimodal Trimodal

81
3.2.1.2. CURVAS ANTIMODAIS
São curvas que nunca apresentam pontos de máximo, e sim ponto de mínimo.
3.2.1.3. CURVAS AMODAIS
São curvas que nunca apresentam máximos nem mínimos. São sempre crescentes ou
decrescentes.
3.3. Gráficos em Colunas e em Barras
Visam a comparação de grandezas por meio de retângulos de mesma largura e de alturas
proporcionais às respectivas grandezas. Na construção desse tipo de gráfico, devemos notar:
quando as legendas a inscrever sob os retângulos forem breves, elas dispor-se-ão
verticalmente, originando o gráfico em colunas; quando, pelo contrário, as legendas forem
extensas, os retângulos devem ficar com a maior dimensão na horizontal, determinando o
gráfico em barras.
quando um dos fatores é o tempo, dispor-se-ão os dados em ordem cronológica.
não figurando o tempo, isto é, quando todos os dados forem de uma mesma época, mas de
locais ou espécies diferentes, devemos obedecer à ordem decrescente.
convém que o espaço entre as barras seja de metade até dois terços da largura de cada um.
Antimodal
Amodal Crescente Amodal decescente

82
não inscrever dados numéricos ao lado ou no interior das barras, pois, além de fugir ao
objetivo de um gráfico, tal prática produz uma ilusão de ótica bastante prejudicial.
3.3.1. Gráfico em Colunas
Sua construção é semelhante ao histograma de freqüência absoluta, porém as colunas são
separadas. Vejamos a tabela com dados fictícios.
CONSUMO DE GASOLINA DE UM AEROCLUBE, EM 2005
MESES Quantidade (litros)
Janeiro 7.800
Fevereiro 6.100
Março 6.500
Abril 5.800
Maio 7.100
Junho 6.000
TOTAL 39.300
Com os dados da tabela acima, vamos confeccionar o gráfico em coluna correspondente:
CONSUMO DE GASOLINA DE UM AEROCLUBE, EM 2005
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
Jan. Fev. Mar. Abr. Mai. Jun.
Litros

83
3.3.2. Gráfico em Barras
É construído do mesmo modo que o Gráfico em Colunas, porém a linha que representa as
quantidades passa a ser a horizontal; e a que representa as séries, a vertical. Assim sendo, as
colunas ficam na horizontal. Observe o exemplo a seguir.
SUPERFÍCIE DAS REGIÕES BRASILEIRAS
REGIÕES Área (km2
)
Sudeste 924.935
Nordeste 1.548.672
Sul 577.723
Centro Oeste 1.879.455
Norte 3.581.180
FONTE: IBGE
Sul
Sudeste
Nordeste
Centro Oeste
Norte
1 2 3 4
Milhões de km2
Fonte: IBGE
577.723
924.935
1.548.672
1.879.455
3.581.180

84
3.4. Setor Circular.
Quando o objetivo principal do gráfico é estabelecer comparações entre um dado e o total
de dados, isto é, ressaltar a participação do dado no total, usa-se o Gráfico em Setores. Para a
confecção deste gráfico basta estabelecer uma regra de três simples entre o total de dados e os
360º da circunferência, conforme dados fictícios a seguir:
PRODUÇÃO DO ESTADO X
PRODUTOS Produção (t)
Castanha 450
Borracha 320
Cacau 280
Outros 150
TOTAL 1.200
Vamos calcular o ângulo central do setor relativo ao produto "castanhas":
1.200 360º
450 x
Veja que temos um total de 1.200 toneladas em produto e um total de 360º no círculo.
Assim, fazemos a relação entre as grandezas PRODUTO e ÂNGULO por uma regra de três e
obtemos:
x
º360
450
1200
=
1200
º360.450
=x
º135=x Ângulo central do setor para o Produto (castanha)
Continuando os cálculos, acharíamos:
Borracha = 96º
Cacau = 84º
Outros = 45º

85
Uma vez calculados os valores de cada setor, basta usar o transferidor e marcá-los na
circunferência. Cada setor deve ser pintado em cores diferentes conforme legenda, para maior
clareza. Observe o desenho, no qual foram usados códigos em preto e branco.
PRODUÇÃO DO ESTADO X
Borracha
96º
Cacau
84º
Outros
45º
Castanha
135º

86
3.5. Gráfico Polar
Havendo interesse em evidenciar variações que, após um certo período de tempo,
repetem-se segundo um determinado ciclo, podemos utilizar com vantagem o Gráfico Polar.
Assim os fatos distribuídos, segundo as horas do dia, os dias da semana, os meses do ano, etc.,
encontram uma exata representação nesse Gráfico. Observe o exemplo a seguir:
VOLUME DE EXPORTAÇÃO DE CAFÉ EM GRÃOS, BRASIL, 2003
MESES Sacas de 60 kg (100 mil)
Janeiro 19,8
Fevereiro 23,7
Março 17,0
Abril 17,8
Maio 17,9
Junho 15,4
Julho 15,2
Agosto 16,4
Setembro 23,2
Outubro 22,6
Novembro 20,4
Dezembro 18,8
TOTAL 228,1
FONTE: Análise das Informações de Comércio Exterior – Alice
Para a construção do gráfico basta, dividir o círculo em tantas partes quanto os itens em
estudo (12 nesse caso), marcando-se, a seguir, em cada raio, a grandeza correspondente. O raio
do círculo representa a média dos dados 0,19=
12
1,228
=Raio (dividimos por 12 porque os
itens da média são em 12).

87
VOLUME DE EXPORTAÇÃO DE CAFÉ EM GRÃOS, BRASIL, 2003
FONTE: Análise das Informações de Comércio Exterior – Alice
Existe ainda uma grande variedade de gráficos em Estatística, que não abordaremos neste
módulo, mas, se você quiser enriquecer seus conhecimentos, consulte a bibliografia indicada no
final do módulo.
Passe, agora, aos
exercícios.
Jan.
Fev.
Mar.
Abr.
Mai.
Jun.
Jul.
Ago.
Set.
Out.
Nov.
Dez.
19,0

88
EXERCÍCIOS DO TEXTO VI
1. As principais características de um gráfico são
a) clareza, veracidade e simbolismo.
b) simbolismo, clareza e veracidade.
c) clareza, simplicidade e veracidade.
d) veracidade, clareza e simbolismo.
2. Em um gráfico estatístico, o título deve ser
a) claro e complexo.
b) completo e complexo.
c) complexo e abreviado.
d) claro e completo.
3. Os dados estatísticos podem ser apresentados sob a forma
a) Modal e Tubular.
b) Tabular e Gráfica.
c) Gráfica e Tubular.
d) Antimodal e Tubular.
4. Em um gráfico, sempre que possível, as escalas vertical e horizontal devem:
a) iniciar com 10
b) iniciar com 0
c) iniciar com 1
d) iniciar com 0 ou 1
5. Complete as lacunas:
a) Em Estatística, podemos considerar 3 tipos de representação gráfica. São eles:
_______________ , ________________ e ____________________ .
b) O tipo ideal para representar graficamente uma distribuição de freqüência é
_________________ .

89
c) Quando queremos ressaltar a participação do dado total em relação aos demais dados,
é aconselhável o uso do gráfico __________________________________________ .
6. Observe a tabela a seguir que mostra a distribuição de freqüência dos salários semanais,
em reais, de 65 empregados da Companhia M & H.
TABELA
Salários semanais (R$) Número de empregados
50,00 ├─┤ 59,99 8
60,00 ├─┤ 69,99 10
70,00 ├─┤ 79,99 16
80,00 ├─┤ 89,99 14
90,00 ├─┤ 99,99 10
100,00 ├─┤ 109,99 5
110,00 ├─┤ 119,99 2
TOTAL 65
FONTE: Companhia M & H.
Com referência a essa tabela, determine:
a) o limite inferior da sexta classe.
b) o limite superior da quarta classe.
c) o ponto médio da terceira classe.
d) Amplitude ou intervalo de classe.
e) A classe que tem a maior freqüência.
f) A porcentagem dos empregados que ganham menos de R$ 80,00 por semana.

90
7. Com base nos dados da questão 6, construa:
a) um Histograma de Freqüências Absolutas
b) um Polígono de Freqüência.

91
GABARITO DOS EXERCÍCIOS DO TEXTO VI
1. c
2. d
3. b
4. b
5.
a) diagramas, cartogramas, estereogramas
b) O histograma
c) do Setor Circular
6.
a) R$ 100,00
b) R$ 89,99
c) R$ 75,00
d) 99,99 – 89,99 = 10,00 ⇒ R$ 10,00
e) 3ª classe
f) 34=8+10+16 (freqüência acumulada da 3ª classe) ⇒ %3,52=100×
65
34
7.
Histograma ⇒ Freqüências absolutas.
Polígono ⇒ Pontos médios das classes.
Qualquer dúvida, reestude o assunto.
Agora passaremos ao último texto desse módulo.

92
TEXTO VII
MEDIDAS ESTATÍSTICAS
Identificar Medidas Estatísticas (Cp);
Empregar corretamente as Medidas Estatísticas estudadas (Ap).
Já vimos que os dados obtidos sobre determinado fenômeno são representados ou
expostos em tabelas ou gráficos. Quando representados em tabelas (representação tabular),
passam a constituir as Séries Estatísticas ou uma Distribuição de Freqüência.
Podemos também representar determinado acontecimento ou fenômeno através de uma
única quantidade chamada de medida de posição. Essa medida deve ser objetiva e descritiva dos
dados. Estudaremos as seguintes medidas de posição: Média aritmética, Média aritmética
ponderada, Mediana, Moda, Quartis, Decis e Centis.
1. MÉDIA ARITMÉTICA (Ma)
A média aritmética é um número representativo de uma Série Estatística ou de uma
Distribuição de Freqüência.
1.1. Média Aritmética de dados não grupados
A média aritmética de dados não-grupados é calculada da mesma forma já vista
anteriormente no Texto I, ou seja: Dados os números a1, a2, a3,... an, a média aritmética deles é:
Ma =
n
aaaa n++++ ...321
Para simplificar, podemos substituir a soma a1 + a2 + a3 +...+ an por ∑ ia , que se lê:
somatório de ai. Assim, a fórmula ficará:
Ma =
n
ai∑

93
Exemplo: Calculemos a Média Aritmética na Série Estatística, a seguir.
TABELA 11
MESES VENDAS (Reais)
Janeiro 22.000,00
Fevereiro 18.000,00
Março 10.000,00
Abril 26.000,00
Maio 14.000,00
Junho 30.000,00
TOTAL 120.000,00
Temos: n = 6 e ∑ ia = 120.000
6
000.120
=Ma
000.20=Ma R$ 20.000,00
2. MÉDIA ARITMÉTICA DE DADOS AGRUPADOS - PROCESSO GERAL (MÉDIA
ARITMÉTICA PONDERADA) (Mp)
Neste caso, os dados (ai) apresentam-se com pesos ou freqüências, e o cálculo é feito
através da média aritmética ponderada (com pesos atribuídos a cada número) - Ver texto I.
Recordando a fórmula.
n
nn
PPP
papapa
Mp
+...++
.+...+.+.
=
21
2211
⇒
i
ii
P
pa
Mp
Σ
Σ ).(
=
Se ao invés de pesos tivermos freqüências, a fórmula fica assim:
i
ii
f
fa
Mp
Σ
Σ ).(
=

94
Exemplo: Calcule a Média Aritmética Ponderada na série seguinte:
TABELA 12
VALORES (ai) QUANTIDADE (fi) PRODUTOS (ai . fi)
60 5 300
90 3 270
50 8 400
80 4 320
TOTAL 20 1290
Temos: ∑ (ai . fi) = 1290 e ∑ fi = 20.
Assim:
20
1290
=Mp 5,64=Mp
Em uma Distribuição de Freqüência, com intervalos de classe, os números considerados
são os pontos médios xi
das classes e os seus pesos são as freqüências (fi). Veja a tabela na
seguir:
TABELA 13
PREÇO
UNITÁRIO
QUANTIDADES (fi) (xi) (xi . fi)
18,00  20,00 120 19,00 2.280,00
20,00  22,00 150 21,00 3.150,00
22,00  24,00 180 23,00 4.140,00
24,00  26,00 200 25,00 5.000,00
26,00  28,00 190 27,00 5.130,00
28,00  30,00 160 29,00 4.640,00
TOTAL 1.000 24.340,00

95
Temos: ∑ (xi . fi) = 24340 e ∑ fi = 1000
Assim:
1000
24340
=pM = R$ 24,34
3. MEDIANA (Md)
3.1. Para dados não agrupados
Dada uma série de valores, como: 5, 13, 10, 2, 18, 15, 6, 16, 9, para determinarmos a
mediana, primeiramente é necessário que se faça a ordenação da série:
2, 5, 6, 9, 10, 13, 15, 16, 18
Em seguida, tomamos aquele valor central que apresenta o mesmo número de elementos
à direita e à esquerda. Em nosso exemplo, esse valor é o 10, já que há quatro elementos acima
dele e quatro abaixo.
Temos, então: Md = 10
Se, porém, a série dada tiver um número par de termos, a mediana será, por definição,
qualquer dos números compreendidos entre os dois valores centrais da série. Convencionou-se
utilizar o ponto médio.
Assim, a série de valores: 2, 6, 7, 10, 12, 13, 18, 21 tem para mediana a média
aritmética entre 10 e 12. Logo:
2
12+10
=Md 11=Md
Verificamos que, estando ordenados os valores de uma série e sendo n o número de
elementos da série, o valor mediano será:
o termo de ordem P =
2
1+n
, se n for ímpar;

96
a média aritmética dos termos de ordem P =
2
n
e P’ = 1+
2
n
, se n for par.
Podemos comprovar tal fato nas séries dadas anteriormente:
na série 2, 5, 6, 9, 10, 13, 15, 16, 18, n = 9. Assim, temos P =
2
1+9
= 5. Logo, a mediana
é o 5.º termo da série, isto é: Md = 10.
na série 2, 6, 7, 10, 12, 13, 18, 21, n = 8. Assim, temos P =
8
2
= 4 e P’ = 1+
2
8
= 5.
Logo, a mediana é a média aritmética do 4.º e 5.º termos da série, isto é:
2
12+10
=Md .
Logo: Md = 11.
OBSERVAÇÕES:
O valor da mediana pode coincidir ou não com um elemento da série, como vimos.
Quando o número de elementos da série é ímpar, há coincidência. O mesmo não acontece,
porém, quando esse número é par.
A mediana e a média aritmética não têm, necessariamente, o mesmo valor. Na primeira
série apresentada, por exemplo, temos: x = 10,4 e Md = 10.
A mediana, como vimos, depende da posição e não dos valores dos elementos na série
ordenada. Essa é uma das diferenças marcantes entre a mediana e a média (que se deixa
influenciar, e muito, pelos valores extremos). Esta propriedade da mediana pode ser
constatada através dos exemplos a seguir:
5, 7, 10, 13, 15 ⇒ x = 10 e Md = 10
5, 7, 10, 13, 65 ⇒ x = 20 e Md = 10
Isto é, a média do segundo conjunto de valores é maior que a do primeiro, por
influência dos valores extremos, ao passo que a mediana permanece a mesma.
A mediana é designada, muitas vezes, por valor mediano.
3.2. Mediana para dados agrupados
Se os dados se agrupam em uma distribuição de freqüência, o cálculo da mediana se
processa de modo muito semelhante àquele dos dados não-grupados, implicando, porém, a
determinação prévia das freqüências acumuladas.

97
3.2.1. Dados agrupados sem intervalos de classe
Para determinar a mediana, neste caso, primeiramente determinamos a posição do termo
mediano, usando a mesma regra para dados não-agrupados. Em seguida, abrimos uma coluna
para as freqüências acumuladas, na tabela. Observando Fi e P, chegamos à mediana. Com os
exemplos a seguir, fica mais fácil entender:
1º Exemplo: Tomemos a distribuição da tabela abaixo já com uma coluna para as freqüências
acumuladas:
NÚMERO DE FILHOS DO SEXO MASCULINO
EM 34 FAMÍLIAS COM QUATRO FILHOS
Número de meninos (ai) fi Fi
0 2 2
1 6 8
2 10 18
3 12 30
4 4 34
∑fi = 34
Determinemos a posição da mediana:
Sendo n = ∑fi = 34, temos: P = 17=
2
34
e P’ = 18=1+
2
34
.
Logo, a mediana será a média aritmética entre o 17.º e o 18.º elementos da série.
Observando a coluna das Fi, notamos que o valor que ocupa da 9.ª até a 18.ª posição é
ai = 2. Isto é: tanto o 17.º quanto o 18.º elementos são o n.º 2. Neste caso, não é necessário o
cálculo da média aritmética desses dois números. Então: Md = 2 meninos

98
2º Exemplo:
ai 10 11 12 13 ∑
fi 1 3 5 2 11
Aqui temos n = 11. Então 6=
2
1+11
=P , isto é, a mediana é o 6.º elemento da série.
Recorrendo às Fi:
ai fi Fi
10 1 1
11 3 4
12 5 9
13 2 11
∑ 11
Observando as Fi, notamos que o valor que ocupa da 5.ª até a 9.ª posição na série é
ai = 12. Logo: Md = 12
3º Exemplo:
ai 5 6 7 8 9 10 ∑
fi 3 6 9 8 6 4 36
Aqui temos n = 36 (n.º par). Então P = 18=
2
36
e P’ = 19=1+
2
36
, isto é: a mediana é a
média aritmética do 18.º e 19.º elementos da série. Recorrendo às Fi:
xi fi Fi
5 3 3
6 6 9
7 9 18
8 8 26
9 6 32
10 4 36
∑ 36

99
Observando as Fi, notamos que o valor ai = 7 ocupa da 10.ª até a 18.ª posição, e o valor
ai = 8 ocupa da 19.ª até a 26.ª posição. Ou seja: o 18.º elemento é o n.º 7 e o 19.º é o n.º 8. Assim,
a mediana será a média aritmética de 7 e 8, isto é:
2
8+7
=Md ⇒ 5,7=Md
3.2.2. Dados agrupados com intervalos de classe
Neste caso, o problema consiste em determinar o ponto do intervalo em que está
compreendida a mediana. Para tanto, temos inicialmente que determinar a classe na qual se acha
a mediana − classe mediana − calculando a posição P e observando as Fi.
O cálculo da posição P da mediana agora é feito de modo diferente, não importando se o
número de observações (∑fi) é par ou ímpar. Assim, usamos uma única fórmula:
2
=
if
P
Σ
.
OBSERVAÇÃO: Se ∑fi for um número ímpar, o valor de P será decimal. Neste caso, não é
necessário fazer o arredondamento para inteiros. Se, por exemplo, ∑fi = 81, então o valor de P
será 40,5. O cálculo da mediana é feito baseado na seguinte fórmula:
i
i
f
FantP
hlMd .+=
li é o limite inferior da classe mediana;
h é a amplitude do intervalo da classe mediana;
Onde: P é a posição do elemento mediano;
Fant é a freqüência acumulada da classe anterior à classe mediana;
fi é a freqüência simples da classe mediana.

100
Tomemos a distribuição abaixo e vamos abrir uma coluna para as Fi.
ESTATURAS DE 40 ALUNOS
DO COLÉGIO A
ESTATURAS (cm) fi Fi
150  154 4 4
154  158 9 13
158  162 11 24
162  166 8 32
166  170 5 37
170  174 3 40
∑ 40
Vamos determinar a posição da mediana:
∑fi = 40 ⇒
2
40
=P ⇒ 20=P , isto é: a mediana é o 20.º elemento da série.
Observando as Fi, notamos que na 3.ª classe estão do 14.º ao 24.º elemento. Então o 20.º
elemento pertence à 3.ª classe (i = 3). Assim, concluímos que a terceira classe (158  162) é a
classe mediana. Os valores de que necessitamos para o cálculo da mediana são, então:
l3 = 158 h = 4 P = 20 Fant = F2 = 13 f3 = 11
Substituindo estes valores na fórmula:
11
28
+158=
11
1320
.4+158=Md ⇒ 55,160=55,2+158
Logo: Md = 160,55 cm
OBSERVAÇÃO: No caso de existir uma freqüência acumulada exatamente igual a
fi∑
2
, a
mediana será o limite superior da classe correspondente.

101
Exemplo:
i Classes fi Fi
1 0  10 1 1
2 10  20 3 4
3 20  30 9 13
4 30  40 7 20
5 40  50 4 24
6 50  60 2 26
∑ 26
Neste exemplo, temos P = 3=13=
2
26
F (freqüência acumulada da 3.ª classe).
Logo: Md = L3 (limite superior da 3ª classe) ⇒
4. QUARTIS (Qi)
Denominamos quartis os valores de uma série que a dividem em quatro partes iguais.
Há, portanto, três quartis:
O 1.º quartil (Q1) é o valor situado de tal modo na série, que deixa abaixo de si um
quarto dos termos (25%), e tem acima de si os três quartos restantes (75%).
O 2.º quartil(Q2) é o valor situado de tal modo na série, que tem, tanto abaixo como
acima de si, dois quartos dos termos (50%).
O 3.º quartil (Q3) é o valor situado de tal modo na série, que deixa abaixo de si três
quartos dos termos (75%), e tem acima de si um quarto restante(25%).
5. DECIS (Di)
Denominamos decis os valores de uma série que a dividem em dez partes iguais. Há,
portanto, nove decis: D1, D2, ..., D8 e D9.
O 1.º decil (D1) deixa abaixo de si um décimo dos termos da série (10%), e tem acima de si
os nove décimos restantes (90%).
O 2.º decil (D2) deixa abaixo de si dois décimos dos termos da série (20%), e tem acima de si
os oito décimos restantes (80%). E assim por diante.
Md = 30

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