1. Instituto Profesores Artigas.<br />2010<br />1863090476885Arquímedes<br />“El genio de Siracusa”<br /> Cecilia Figueroa<br />Filosofía<br />2º Año<br />Historia de la Ciencia<br />Para comenzar mi trabajo considero pertinente responder la siguiente pregunta:<br /> ¿Porqué estudiar a Arquímedes? <br />En lo personal, debo admitir que me fue una gran influencia leer, hace algún tiempo, a Leibniz, donde encontré la siguiente expresión:<br />“Quien comprenda a Arquímedes y<br />Apolonio admirará menos los logros<br />de hombres posteriores .”<br />Ante tal expresión no pude evitar recordarla y dada la oportunidad, intentar comprenderla. Hoy tengo la oportunidad de comenzar en esta actividad de investigación, y recolección de información, que sin duda no daré por acabada luego se esta actividad, sino que me será ésta de punto de partida para continuar luego a lo largo del tiempo. <br />291465-913130<br />Fue así entonces, que habiendo leído tal expresión y habiendo escuchado frecuentemente su nombre en discusiones filosófico-científicas (o epistemológicas) me vi impulsada por ello a conocer más de este científico.<br />Sin duda considero importante siempre que se tratará una figura de tal importancia, remitirnos a su momento histórico, a su biografía, no como simple anecdotario (que también lo es) sino como fuente insoslayable de ciertos aspectos que debemos tener en cuenta para la comprensión completa del sujeto y su pensamiento.<br />¿Quién fue Arquímedes (ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ)?<br />Arquímedes nació hacia el año 287 a.C. en la ciudad Estado de Siracusa, en la isla de Sicilia, de tradición y costumbres Griegas.<br />“El genio de Siracusa” es el nombre que muchos hasta hoy en día le otorgan. Aunque también Plutarco lo denominó “El de inteligencia sobrehumana”.<br />Fue hijo de un Astrónomo, y se sabe que estudió luego en Alejandría, donde tuvo como maestro a Conón de Samos y fue allí donde entró en contacto con Eratóstenes siendo discípulo de destacados sabios de la época como Conón de Samos (280-220 a.C.) astrónomo de la corte de Ptolomeo III, Eratóstenes de Cirene<br />(276-194 a.C.) director de la Biblioteca de Alejandría y Euclides de Alejandría (365-300 a.C.) entre otros.<br />Luego de un tiempo volvió a su patria, Siracusa, dedicándose<br />al estudio y resolución de múltiples problemas adquiriendo una gran fama. Escribió numerosas obras sobre geometría, mecánica e hidrostática, que han sido reconocidas como tratados de gran interés por numerosos científicos a lo largo de la historia.<br />Arquímedes murió durante el asalto a la ciudad de Siracusa por las tropas romanas de Marcelo durante la Segunda Guerra Púnica. Aunque no se conoce exactamente cómo murió, se cuenta que estando absorto en la resolución de un problema de geometría, un soldado irrumpió en el estudio de Arquímedes asesinándolo, pues el sabio se resistió<br />a abandonar la resolución del problema matemático en el que estaba inmerso, llegando a recriminarlo por haber Desordenado sus esquemas y dibujos. <br /> Sobre todo nos llegan anécdotas de su vida y comportamiento así como información de su desarrollo como científico.<br />Sus obras principales fueron: <br />Sobre la cuadratura de la parábola, Sobre la esfera y el cilindro, Sobre espirales<br />Sobre los conoides y esferoides, Sobre la medida del círculo, Sobre el equilibrio de los planos, Sobre el método de los teoremas mecánicos (El método), Sobre los, cuerpos flotantes, Sobre la cuadratura de la parábola, El Arenario<br />Dentro de las anécdotas más conocidas podemos citar las siguientes;<br />Isaac Asimov dice en su texto “Momentos estelares de la ciencia”:<br /> “Cabría decir que hubo una vez un hombre que luchó contra todo un ejército. Los historiadores antiguos nos dicen que el hombre era un anciano, pues pasaba va de los setenta. El ejército era el de la potencia más fuerte del mundo: la mismísima Roma.<br />Lo cierto es que el anciano, griego por más señas, combatió durante casi tres años contra el ejército romano... y a punto estuvo de vencer: era Arquímedes de Siracusa, el científico más grande del mundo antiguo.<br />El ejército romano conocía de sobra la reputación de Arquímedes, y éste no defraudó las previsiones. Cuenta la leyenda que, habiendo montado espejos curvos en las murallas de Siracusa (una ciudad griega en Sicilia): hizo presa el fuego en las naves romanas queda asediaban. No era brujería: era Arquímedes”.<br />Dice también que “Arquímedes era diferente de los científicos y matemáticos griegos que le habían precedido, sin que por eso les neguemos a éstos un ápice de su grandeza. Arquímedes les ganaba a todos ellos en imaginación”.<br />Luego de leer esta cita me vi en la obligación de preguntarme ¿Cómo estaba la ciencia en Grecia en ese momento? ¿Qué tal estaban las matemáticas?<br />No es fácil marcar un punto de comienzo exacto en la matemática griega, sabemos que se considera a Tales de Mileto como el primer científico, recordemos que contribuyó en la astronomía así como también en la matemática, para ser más exactos, se le atribuyen las primeras demostraciones de teoremas geométricos mediante el razonamiento lógico. Algunos de esos teoremas fueron: Todo círculo se bisecta por su diámetro, también que los ángulos de la base de un triángulo isósceles son iguales. Si dos triángulos son tales que dos ángulos y un lado de uno de ellos son iguales a los de otro triángulo, ambos triángulos son congruentes. Además que los ángulos opuestos por el vértice que forman <br />al cortarse dos rectas son iguales y sin olvidar que todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es un ángulo recto.<br />Otro personaje insoslayable que no debemos olvidar en este pequeño “viaje” por la ciencia griega es Pitágoras, nacido en la isla de Samos, le da el impulso definitivo a las matemáticas con la creación de su gran escuela en Crotona a orillas del mar al sur de Italia. <br />A ellos se les atribuyen numerosos descubrimientos matemáticos, entre otros, la demostración del teorema de Pitágoras (que es normalmente el más conocido por todos), o el descubrimiento de los irracionales, el cual fue uno de los acontecimientos más profundos en la historia de las matemáticas.<br />Además, los pitagóricos elaboraron un primer grupo de cuatro disciplinas matemáticas: la<br />Aritmética, la música, la geometría plana y la geometría esférica. <br />Los pitagóricos sostenían que todas las razones que rigen el mundo debían ser razones de números enteros o fraccionarios, para los pitagóricos “todo es número”; estos puntos de vista fueron combatidos por otra escuela griega importante: la escuela Elea; su crítica tomó la forma en los trabajos de Parménides(tengamos en cuenta que es el primer filosofo que procede con total rigor racional, convencido de que únicamente con el pensamiento, y no con los sentidos, puede alcanzarse la verdad y de que todo lo que se aparte de aquél no pude ser sino error; sólo lo racionalmente pensado quot;
esquot;
, y a la inversa, lo que es responde rigurosamente al pensamiento)y las célebres paradojas de Zenón (se caracteriza por haber elaborado numerosos argumentos -aporías o paradojas- contra la pluralidad y el movimiento, en consonancia con la defensa de las teorías eleáticas de la unidad e inmovilidad del ser, de los que conservamos algunos, basados en la reducción al absurdo; se parte de las tesis que se quiere criticar y se conduce la argumentación a una, o una serie de contradicciones que ponen de manifiesto, en consecuencia, la invalidez de las tesis).<br />Podemos ahora continuar, con un pensador muy importante, que es de la primera escuela de Alejandría, estamos hablando de Euclides (300 a.C) cuya obra más importante se titula “Los elementos” cuyo contenido fue trascendental en el desarrollo de la geometría. El método euclidiano comprende, en un primer lugar, una teoría general fundada sobre axiomas. Euclides llamó a sus axiomas postulados.quot;
Los Elementosquot;
consta de trece libros sobre geometría y aritmética. Los seis primeros libros tratan de geometría plana. Del VII al IX sobre teoría de números, el X sobre segmentos irracionales, y los tres últimos libros hablan de geometría espacial.<br />Es en esta momento en el cual aparecen en la matemática griega tres problemas fundamentales que serán de interés para los científicos, por un lado la cuadratura del círculo, por otro la trisección del ángulo y finalmente la duplicación del cubo, pero lo difícil es que se pretendían resolver con el sólo uso de regla y compás.<br />Ahora sí, finalmente, entran en escena Apolonio y Arquímedes.<br />Apolonio fue conocido como quot;
el gran geómetraquot;
tuvo gran influencia en el desarrollo de las matemáticas, introduciendo términos como parábola, elipse e hipérbola.<br />Nació alrededor del 262 a. de C. en Perga, Panfilia, Grecia Jónica (ahora Murtina, Antalia, Turquía) y murió alrededor del 190 a. de C. en Alejandría, Egipto.<br />Sabemos poco de su vida pero sus trabajos tuvieron una gran influencia en el desarrollo de las matemáticas, en particular su famoso libro Las cónicas.<br />Según Francisco Javier Tapia Moreno “Apolonio representa la grandeza técnica especializada, el virtuosismo geométrico por excelencia”.<br />En cuanto a las circunstancias de la composición de la obra de Apolonio están explicadas por él mismo en su primer libro. Apolonio sabía mucho más de lo que hasta entonces se conocía y de un modo mucho mejor organizado. Por ello se decide a publicarlo. Él mismo, en este prólogo al libro primero, explica el contenido de la obra bien claramente. Los cuatro primeros libros constituyen una introducción elemental. Debían constituir materia probablemente ya sabida, pero no organizada como la propone Apolonio. A partir del libro V se exponen los hallazgos más importantes del mismo Apolonio. Su índice se puede proponer más o menos así: <br />I. Modos de obtención y propiedades fundamentales de las cónicas. <br />II. Diámetros, ejes y asíntotas. <br />III. Teoremas notables y nuevos. Propiedades de los focos. <br />IV. Número de puntos de intersección de cónicas. <br />V. Segmentos de máxima y mínima distancia a las cónicas. Normal, evoluta, centro de curvatura. <br />VI. Igualdad y semejanza de las secciones cónicas. Problema inverso: dada la cónica, hallar el cono. <br />VII. Relaciones métricas sobre diámetros. <br />VIII. Se desconoce (hasta ahora).<br />Sin duda que su influencia fue insoslayable, y a medida que sus obras se fueron traduciendo lograron grandes impactos en la matemática mundial. <br />Después de un largo período de progresos son escasos, surge otro fructífero periodo debido a la Segunda Escuela de Alejandría (100-300 d.C.) en la que destacan: Nicóman, Ptolomeo (con su célebre sistema del mundo), Diofanto (a menudo conocido como el 'padre del álgebra', es mejor conocido por su Aritmética, un trabajo sobre la solución de ecuaciones algebraicas y sobre la teoría de los números.) y Pappus (con su obra quot;
Colecciónquot;
).<br />Pero vallamos ahora a nuestro autor; Arquímedes (287 a.C).<br />Es interesante ver que en Alejandría le habían enseñado que el científico está por encima de los asuntos prácticos y de los problemas cotidianos; pero eran precisamente esos problemas los que le fascinaban a Arquímedes, los que no podía apartar de su mente. Avergonzado de esta afición, se negó a llevar un registro de sus artilugios mecánicos; pero siguió construyéndolos y a ellos se debe hoy día su fama.<br />Uno de sus primero inventos relevantes fue “el tornillo de Arquímedes”. La cóclea (del latín cochlĕa [caracol], y este del griego κοχλίας) más conocida como tornillo de Arquímedes es una máquina simple utilizada sobre todo para elevar agua. <br />La máquina está constituida por un cilindro con una hélice en su interior dispuesto el conjunto oblicuamente de forma que la parte inferior esté sumergida en el depósito del que se quiere elevar el agua. Girando el tornillo en el sentido descendente de la hélice (en el que se enrosca) arrastra una cierta cantidad de agua que es vertida en el depósito elevado. El mismo efecto se logra si se arrolla un tubo flexible a un cilindro. <br />Desde su invención hasta ahora se ha utilizado para el bombeado de fluidos. También es llamado Tornillo Sin fin por su circuito en infinito.<br />Por otra parte, tenemos su interés por la palanca a pesar de que probablemente la palanca fue descubierta y utilizada por el hombre desde los tiempos más remotos. Debemos a Arquímedes de Siracusa (S. III a.C.) el primer estudio riguroso de esta máquina. A él se la atribuye la frase: <br /> “Dadme un punto de apoyo y moveré el mundo”<br />Esta frase la dijo en alusión a que cualquier objeto de cualquier peso puede moverse con la palanca adecuada. El principio de funcionamiento de la palanca utiliza la acción y reacción de fuerzas para maximizar la fuerza aplicada sobre un objeto, utilizando para ello un punto de apoyo y una barra rígida situada sobre el punto de apoyo y bajo el objeto a mover.<br />En física, la fórmula de la palanca es: P x dp = R x dr Siendo P la potencia o fuerza que ejercemos y R la resistencia o fuerza que transmitimos o vencemos, dp y dr son las distancias que hay del punto de apoyo a P y R. <br />Por otro lado un tema de mucho interés para nuestro filósofo fue la esfera y el cilindro. Consta de dos libros en los que Arquímedes determina las áreas y volúmenes de esferas y cuerpos relacionados con ellas.<br />Advertía por ejemplo que la superficie de cualquier esfera es cuatro veces la de su círculo máximo.<br />La demostración vuelve a ser una doble reducción al absurdo, suponiendo primero que la<br />superficie de la esfera es mayor que cuatro veces la del circulo y suponiendo luego que es menor, llegando en ambos casos a una contradicción. La técnica empleada es el método de exhaución; es decir, inscribiendo y circunscribiendo cuerpos geométricos, como conos y troncos de cono (cuyas superficies había demostrado previamente), y aproximándose desde dentro y desde fuera a la superficie de la esfera. Quedó establecido por lo tanto que S=4pr2.<br />Siendo además que dada una esfera cualquiera es igual a cuatro veces el cono que tiene su base igual al círculo máximo de la esfera, y su altura igual al radio de la esfera. La demostración la hace basándose en los volúmenes del cono y del cilindro que había hallado previamente. Partiendo de una esfera cualquiera, considera un cilindro cuyo radio de la base es igual al radio de la esfera y su altura igual al radio, y un cono con base igual a la del cilindro y altura igual al radio de la esfera. Haciendo un corte horizontal en los tres cuerpos a una altura inferior al radio, demuestra que la superficie de la sección correspondiente al cilindro es igual a la suma de las superficies de las secciones correspondientes al cono y a la esfera.<br />Afirma además que entre todas las líneas que tienen los mismos extremos, la recta es la más corta. Otro axioma se refiere a las longitudes de las curvas como el segundo axioma, que dice: de dos líneas planas convexas que unen dos puntos situados en el mismo lado de la recta que los une, y donde una de las cuales envuelve a otra, la envolvente es la de mayor longitud.<br />Principio de Arquímedes <br />Hierón II de Sicilia prometido a los dioses una corona de oro, cuando ganó el poder en Siracusa. Hizo para su fabricación y se pesa el oro. El proveedor envió en su momento una corona con el peso correcto. Sin embargo, algunos de los acusados y le dijo que un poco de oro que había sido tomado de la corona, y que un peso igual de plata se ha añadido en su lugar. El rey sabía cuánto oro fue considerado como orfebre recibido, y la corona pesaba la misma cantidad, pero el rey se encontraba todavía en duda. Una oportunidad para conocer la verdad fueron a fundir la corona, pero el rey Herón no quería estropear la hermosa obra. La corona se suponía que era de oro puro. Por último llamado Hierón de Arquímedes y le pidió que investigara. Mientras estaba pensando en esto, ocurrió a Arquímedes se dio un baño. Cuando entró en la bañera, se dio cuenta de que cuanto más su cuerpo fue arrojado al agua, más el agua fluía sobre el borde de la tina. Esto le dio la idea de la solución. Llenos de alegría, corrió a casa gritando desnudo quot;
Eureka! ¡Eureka! quot;
(quot;
He descubierto, he descubierto! quot;
). Lo que encontró fue en realidad el concepto de densidad. Se produce dos trozos del mismo peso que la corona, una de oro y una de plata. Luego llenó un recipiente hasta el borde con agua y se coloca en el nudo de plata. El agua que se agotó, tuvo un volumen igual de plata. Cuando se mide el agua que fluía de la embarcación, y ha llegado hasta el volumen de plata. Hizo lo mismo con una pepita de oro igualmente pesada. La pequeña cantidad de agua que se agotó cuando el oro estaba, de por supuesto, era como mucho menos como el volumen de oro era menos de la plata, porque el oro es más pesado que la plata. Ahora era el mismo con la corona. Cuando la corona estaba en el agua, corrió hacia fuera más agua que el oro del mismo peso, pero menos agua que la plata del mismo peso. De esta forma descubrió parte de la plata en oro. Arquímedes había sido de hecho el peso relativo específico de oro, plata y una mezcla de las dos mediante la comparación de las cantidades relativas de agua, que fluía sobre cuando un bulto del mismo peso de cada metal se sumerge en agua. La parte científica de su descubrimiento se describe en el trabajo, si las células flotantes. Es el primer ejemplo conocido de la aplicación científica de lo que hoy llamaríamos quot;
densidadquot;
, aunque, por supuesto, mucho antes de que Arquímedes sabía muy bien que algunos temas eran relativamente más pesada que otros. <br />Posteriormente, desarrolló este y descubrió que el cuerpo también se volvió más fácil en el agua, entonces llevaba el agua a una parte de su peso corporal. Dijo entonces que el agua lleva el mismo peso que el peso del agua desplazada. Este principio se explica cómo, cuando grandes barcos pesados pueden flotar. Básicamente podemos decir que si esa parte del barco por debajo de la superficie tiene una densidad menor que el agua lo hace el barco flota. Lo mismo sucede con los globos, el globo tiene una densidad total menor que el aire, por lo que levantarla. <br />También dedico su ingenio y tiempo a su interés por los espirales. En lo que a esto respecta nuestro autor expresó;<br /> “Imagínese una línea que gira con velocidad angular constante alrededor de un extremo, manteniéndose siempre en un mismo plano, y un punto que se mueve a lo largo de la línea con velocidad lineal constante: ese punto describirá una espiral”.<br />Y con sus experimentos concluyó; <br />“El área limitada por la primera vuelta de la espiral y el área inicial es igual a un tercio del primer círculo”<br />quot;
El área barrida por el radio en la segunda vuelta es 6 veces el área de la primera vueltaquot;
.<br />quot;
El área barrida en la segunda revolución está en razón 7/12 con el círculo cuyo radio es la 11 posición final del radio vectorquot;
<br />En lo que respecta al círculo también obtuvo sus logros. Y estas se resumen en tres proposiciones que se consideran fundamentales.<br />Primera: El área de cualquier círculo es igual a la de un triángulo rectángulo en el cual uno de los catetos es igual al radio y el otro a la circunferencia del círculo.<br />Segunda: El área del círculo es al cuadrado de su diámetro 11 a 14 (el círculo es los 11/14 del cuadrado circunscrito si la longitud de la circunferencia es 3+ 1/7 veces el valor del diámetro).<br />Tercera: El perímetro de todo círculo es igual al triple del diámetro aumentando en un segmento comprendido entre 10/71 y 1/7 de dicho diámetro (lo que equivale a decir que el perímetro del círculo es menor que los 3 + 1/7 del diámetro puesto que es superior a los 3 + 10/71 de este diámetro).<br />Una de las obras de nuestro autor que más me sorprendió fue la que comúnmente podemos llamar “El arenario” aquí vemos que nuestro autor va más allá de nuestra imaginación e intenta contar los granos de arena.<br />Arquímedes se expresará sobre esto de la siguiente manera;<br />“Hay algunos que creen que el número de granos de arena es infinito en cantidad y por arena entiendo no sólo la que existen en Siracusa y el resto de Sicilia, sino también la que se encuentra en cualquier región habitada o sin habitar. Hay también algunos que, sin considerarlo infinito, creen que no existe una cifra lo bastante grande para exceder a su magnitud. Y está claro que quieren mantienen esta<br />opinión, si imaginasen una masa hecha de arena en otros aspectos tan grande como la masa de la Tierra, incluyendo en ella todos los mares y las cavidades de la Tierra llenadas hasta una altura igual a la de las montañas más altas estarían muchas veces lejos de reconocer que se pueda expresar ningún número para exceda a la magnitud de la arena así conseguida. Pero intentaré demostraros por medio de puntos geométricos que seréis capaces de seguir, que los números nombrados por mi… algunos exceden no sólo al número de la masa de arena igual en magnitud a la de la Tierra llena de la forma descrita, sino al de la masa igual en magnitud al Universo”<br />El “contador de arena” (o arenario) era un sistema numérico que permitiría contar los granos de arena que harían falta para llenar el Universo. Después de demostrar que en el interior de una semilla de amapola podían caber 10.000 granos de arena, se propuso determinar el orden de magnitud de los granos que llenarían el Universo que, tal y como se concebía entonces, consistía en una esfera con origen en el centro de la Tierra y cuyo radio debía ser la distancia de la Tierra al Sol. Los sistemas de numeración de la época no le permitían utilizar números más grandes que la miríada (diez mil), por lo que introdujo la miríada de miríadas. Progresivamente fue introduciendo órdenes de magnitud cada vez mayores, hasta que se dio cuenta de que era posible continuar indefinidamente la serie de números, lo que constituyó uno de los descubrimientos más trascendentales de su época.<br />Otro de sus grandes descubrimientos es el número “pi”.<br />El número se define como la razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. Se puede calcular una aproximación de forma experimental. Los objetos redondos (ruedas, recipientes,...) han sido utilizados por el hombre desde hace miles de años. En algún momento debieron darse cuenta de que ese 3'14... que aparece siempre que manejamos circunferencias, círculos y esferas es un número que podemos utilizar para calcular longitudes, áreas y volúmenes. <br />Los geómetras de la Grecia clásica conocían que la razón entre la longitud de una circunferencia cualquiera y su diámetro es siempre constante (el número al que ahora llamamos pi). También conocían y habían conseguido demostrar que tanto la razón entre el área de un círculo y su diámetro al cuadrado, como la del volumen de una esfera al cubo de su diámetro eran constantes (desconocidas en aquel momento, libro XII de quot;
Los Elementosquot;
). Fue Arquímedes (siglo III a. de C.) quien determinó que estas constantes estaban estrechamente relacionadas con . Además, utilizó el método de exhaución, inscribiendo y circunscribiendo polígonos de hasta 96 lados y consiguiendo una magnífica aproximación (si tenemos en cuenta los medios con los que contaba), 3+10/71 < < 3+1/7; es decir, el número buscado está entre 3'1407 y 3'1428 (se puede ver en su obra quot;
Sobre la medida del circuloquot;
).<br />Por otra parte también presentó lo que podemos llamar; Teorema de la cuerda doblada.<br />Imaginemos una línea quebrada ABC (segmento AC doblado en un punto B). Su punto medio, M, puede hallarse por el siguiente procedimiento:<br />Se traza el arco de circunferencia que pasa por los tres puntos A, B y C. <br />Se halla el punto medio, M', del arco de circunferencia AC. <br />Entonces, la perpendicular a BC trazada por M' da sobre BC el punto medio, M, de la cuerda doblada ABC. <br /> <br />Pero nuestro gran inventor realizó además numerosos descubrimientos de tipo práctico ya sea para ser utilizados en las guerras o en la vida cotidiana.<br />Se deben a él la invención de catapultas, de garfios movidos por palancas y de una serie de dispositivos mecánicos y ópticos con los que logró defender durante tres años la ciudad de Siracusa, sitiada por los romanos.<br />Se destaca también la garra de Arquímedes que es un arma que fue diseñada para defender la ciudad de Siracusa del asedio al que la habían sometido los romanos. También conocida como quot;
el agitador de barcosquot;
, la garra consistía en un brazo semejante a una grúa de donde estaba suspendido un enorme gancho de metal. Cuando se dejaba caer la garra sobre un barco enemigo el brazo se balancearía en sentido ascendente, levantando el barco fuera del agua y posiblemente hundiéndolo. Ha habido experimentos modernos con la finalidad de probar la viabilidad de la garra, se construyo una versión real del arma y se concluyó que era un dispositivo tan factible como cualquier otro actual. (ver la siguiente imagen)<br /> <br />Arquímedes construyó también el que probablemente fue el primer Planetario de la historia. Consistía en una gran esfera celesta movida mediante un sistema hidráulico que representaba el movimiento de las estrella fijas y los planetas alrededor de la Tierra. Este gran globo fue el único trofeo que el general Marcelo pudo llevarse a Roma tras la conquista de Siracusa. <br />Para finalizar expondremos “El método”; que es la obra más estudiada de Arquímedes puesto que nos a llegado con mayor exactitud. El texto fue descubierto en 1906 por Heiberg. Tuvo noticias del hallazgo en el convento del Santo Sepulcro de Constantinopla de un palimpsesto de contenido matemático. Un palimpsesto es un pergamino en el que el primer texto escrito fue lavado para poder volver a escribir una nueva obra, en este caso un libro de oraciones de la iglesia ortodoxa.<br />La particularidad de este libro radica en el uso de la experimentación previa a la hora de resolver los problemas. Arquímedes en una carta a Eratóstenes lo expresa de la siguiente manera:<br />“Será posible captar ciertas cuestiones matemáticas por medios mecánicos, lo cual, estoy convencido, será útil para demostrar los mismos teoremas. Yo mismo, algunas de las cosas que descubrí por vía mecánica, las demostré luego geométricamente, ya que la investigación hecha por este método no implica verdadera demostración. Pero es más fácil, una vez adquirido por este método, un cierto conocimiento de los problemas, dar luego la demostración, que buscarla sin ningún conocimiento previo”<br />Las características de este método exhaustivo son esencialmente:<br />Llamemos X a una figura o sólido plano cuyo volumen o área se desconozcan. El método consiste en pesar elementos infinitesimales de X comparándolo con los de una figura Y de la que se conoce su área, volumen y su centro de gravedad. Para conseguir un equilibrio se dispone de un eje de tal manera que las figuras se encuentren en la misma recta, entonces los centros de gravedad de estas figuras infinitesimales están en algún punto del eje. El eje se convierte en el brazo de una balanza.<br />El propósito de Arquímedes consiste en balancear los elementos de X, aplicándolos todos en un único punto de la palanca, mientras los de Y permanecen en su sitio. Como el centro de gravedad, el volumen y su área son conocidos, se imagina Y como una masa que actúa sobre su centro de gravedad. Si X e Y están situados en sus puntos respectivos, conocemos las distancias de los centros de gravedad al punto de aplicación de la palanca. Así, se calcula el área o volumen de X. Proposición 1:Sea ABG el segmento de una parábola limitado por la recta AG y la parábola ABG, y sea D el punto medio de AG.<br />Trazar la recta DBE paralela al eje de la parábola y unir A con B y B con G. Entonces el segmento ABGes 4/3 del triángulo ABG.<br />Demostración:<br />Desde A, trazar AKZ paralela a DBE; los puntos E y Z los encuentra en la intersección de la tangente a la parábola en G y las perpendiculares desde A y D. Trazar GB y prolongar hasta K (en la recta AZ) y prolongar hasta Q de tal manera que QK = GK. QG será el brazo de la palanca y K su punto medio. Sea MX una recta paralela a ED que corta en M, O, X a la tangente, la parábola y la base respectivamente. EB = DB y AK = KZ (por ser la tangente y la semiordenada, esto se demuestra según Arquímedes en los elementos de las cónicas de Aristeo y Euclides).<br />Ahora por la propiedad de la parábola probada en su libro cuadratura de la parábola MX/XO = GA/XA<br />Medir TH igual a XO y colocarla en su centro de gravedad en H, de manera que TQ = QH, entonces puesto que N es el centro de gravedad de MX, se tiene MX/TH = QK/KN. Según el libro de los equilibrios, se desprende que TH en Q y MX en N están en equilibrio alrededor de K. Además K es el centro de gravedad de todo el sistema.<br />Puesto que el triángulo GZA está constituido por todas las paralelas como MX, y el segmento GBA está constituido por todas las paralelas como OX bajo la curva limitada por AG, se desprende que el triángulo ABG(= <ABG>) está en equilibrio alrededor de K con el segmento GBA situado con su centro de gravedad en H.<br />Dividir KG de manera que GK = 3KX, entonces X es el centro de gravedad del triángulo AGZ.<br />Además:<br /><AGZ>/ABC = HK/KX = 3<br />De donde<br />ABC = 1/3<AGZ><br />Pero<br />AGZ = 4 <ABG><br />Luego<br />ABC = 4/3 <ABC>.<br />Pero está demostración no corresponde a Arquímedes Reviel Netz, un estudioso de Arquímedes, nos cuenta en su artículo “The origins of mathematical physics: new light on an old question” que el dibujo encontrado en el palimpsesto de Arquímedes es este otro<br />En la primera figura todo es técnicamente correcto, pero en la segunda no es del todo correcto.<br />Por ejemplo las relaciones de tamaño no se cumplen KB = ½ QK no se puede considerar cierto en la segunda figura, y además la primera figura tiene un segmento parabólico y la segunda tiene un segmento de un círculo.<br />Netz continua explicando que esta sería probablemente la razón por la que Heiberg eligió no hacer caso a los diagramas del manuscrito y en lugar de los auténticos, produjo los suyos corrigiendo figuras. Al hacer esto, quizás, haya suprimido una importante caracterización sobre Arquímedes ya que:<br />-los diagramas del palimpsesto provienen de la antigüedad, probablemente de<br />Arquímedes mismo.<br />-los diagramas exhiben una lógica visual constante. Mientras Heiberg representa figuras y cocientes, Arquímedes producía figuras esquemáticas . Sus diagramas demuestran relaciones de configuración e identidad, que objetos participan, como son sus relaciones Hay poca tentativa de demostrar la forma verdadera.<br />Si estas conjeturas de Netz son ciertas no habría que pensar que la figura estuviese mal. Es más el palimpsesto nos daría una forma de entender la capacidad de Arquímedes y como visualizabael los problemas.<br />¿Qué ocurre en la matemática griega luego de Arquímedes?<br />Tras la época de Arquímedes, las matemáticas sufrieron unas transformaciones radicales (no muy positivas a la vista de muchos).<br />Debidos a los cambios de la sociedad, políticos, culturales y sin duda los económicos de la época. El declive de la sociedad griega viene acompañado del asentamiento de la civilización romana (con su practicidad), los romanos se preocuparon sólo por las matemáticas que precisaban para hacer frente a los problemas de la vida cotidiana, de hecho su aportación en matemáticas es prácticamente nula. No daban importancia a la teorización o investigación de la matemática pos si misma sino en tanto ésta fuese necesaria para la praxis.<br />Una de sus aportaciones, su sistema numérico, de funcionamiento decimal y símbolos literales, restaba agilidad a los cálculos.<br />Los romanos eran un pueblo puramente práctico, poco dado a las innovaciones científicas. La mayor utilidad que sacaron a las matemáticas fue la agrimensura que utilizaba el álgebra y la geometría para medir terrenos, aplicar fronteras a las ciudades. Los agrimensores utilizaban procedimientos ya conocidos antes como el uso de triángulos congruentes y otro tipo de procedimientos utilizados por los griegos.<br />¿Qué huellas deja Arquímedes en la historia? ¿Qué influencias ejerce?<br />La suma de la contribución de Arquímedes a nuestro conocimiento es enorme. Su carácter, la humanidad, la amplitud de sus intereses y la sencillez de su exposición lo ha colocado en un lugar donde desde el cual ha sido objeto de simpatía universal y respeto.<br />Los descubrimientos de Arquímedes han pasado a formar parte de la herencia de la humanidad. Demostró que era posible aplicar una mente científica a los problemas de la vida cotidiana y que una teoría abstracta de la ciencia pura -el principio que explica la palanca- puede ahorrar esfuerzo a los músculos del hombre. Y también demostró lo contrario: porque arrancando de un problema práctico -el de la posible adulteración del oro- descubrió un principio científico.<br />El esfuerzo e Arquímedes por convertir la estática en un cuerpo doctrinal riguroso es comparable al realizado por Euclides con el mismo propósito respecto a la geometría: esfuerzo que se puede ver en sus dos últimos libros. En los Equilibrios planos argumenta y fundamenta la ley de la palanca, la cual es deducida de un número reducido de postulados y determina además el centro de gravedad de paralelogramos, trapecios, triángulos y un segmento de una parábola. <br />En la obra sobre la esfera y el cilindro utilizó el método denominado exhaustión procedente del cálculo integral, para determinar la superficie de una esfera y para estableces la relación entre una esfera y el cilindro circunscrito en ella. Este último resultado pasó por ser su teorema favorito, que por expreso deseo suyo grabó sobre su tumba, hecho gracias al cual Cicerón pudo recuperar la figura de Arquímedes cuando ésta había sido ya olvidada.<br />La astronomía también decidió honrar a este gran sabio dando nombre a varios accidentes geográficos lunares. El Cráter de Arquímedes tiene un diámetros de aproximadamente 80 Km., siendo el cráter más grande del Mar de las Lluvias o Mare Imbrium.<br />A su vez, como consecuencia del impacto del meteorito que formó el cráter, se produjo la eyección de materiales creándose una formación montañosa que se denominó Montes de Arquímedes o Arquimedianos.<br />Y finalmente, en dirección sur sureste existen varias grietas de gran longitud que se conocen como Rima o Fisura de Arquímedes. De los viajes espaciales que han tenido por destino la Luna sólo dos alunizaron en las proximidades de esta zona. El primero de ellos (14/09/1959) la nave soviética Luna 2 que no llevaba tripulación y el segundo fue un vuelo tripulado de la NASA, el Apolo 15<br />Finalmente, podemos concluir que, sin dudas, la enorme influencia que la obra de Arquímedes ha tenido a lo largo de la Historia de la Ciencia está fuera de discusión. <br />Recordando sus aportaciones podemos pasar por la geometría, también por la aritmética, la mecánica y a la hidrostática.<br />Considero que luego del trabajo realizado, podemos estar más cerca de comprender la frase de Laibniz con la que comenzamos este texto: <br />“Quien comprenda a Arquímedes y<br />Apolonio admirará menos los logros<br />de hombres posteriores .”<br />Compartirla o no dependerá de cada lector, pero sin dudas queda comprendida la importancia insoslayable de nuestro autor…”El genio de Siracusa”.<br />Bibliografía.<br />- Diccionario de Física. 2ª Edición. Labor, S.A. 1967<br /> Diccionario de Filosofía, J. Ferrater Mora (2004), Barcelona, Ed. Ariel.<br />Enciclopedia Universal Espasa Calpe. Grandes Científicos de la Humanidad. Espasa, 1998.<br />El pensamiento matemático de la antigüedad a nuestros días (Vol. I).KLINE, M. El Alianza.<br />Historia de la geometría griega. Seminario Orotava. Historia de la ciencia. Actas. Libro on line en http://nti.educa.rcanaria.es/fundoro/pub_actas1.htm<br />-. Los manuscritos griegos de Arquímedes en la Biblioteca del Real Monasterio del Escorial. Durán Guardeño. A Ponencia: Symposium Arquímedes. Fundación Orotava de Historia de la Ciencia. Congreso de la R.S.M.E. (31/12/02) prepint en la web www.mpiwgberlin.mpg.de/Preprints/P239.PDF<br />Mederos Martín, C. Arquímedes y la Geometría Dinámica. Ponencia: Symposium<br /> Arquímedes. Fundación Orotava de Historia de la Ciencia. Congreso de la R.S.M.E.<br /> “Momentos estelares de la ciencia “ - Isaac Asimov Ed. Alianza<br />