Unidad i guia de números complejos

PROFESOR: JULIO BARRETO 1 MATERIA: MATEMÁTICA IV
UNIDAD I: NÚMEROS COMPLEJOS.
Los números complejos son una extensión de los números reales y forman el
mínimo cuerpo algebraicamente cerrado que los contiene. El conjunto de los números
complejos se designa como C, siendo R el conjunto de los reales en donde se cumple que
R C. Los números complejos incluyen todas las raíces de los polinomios, a diferencia
de los reales. Todo número complejo puede representarse como la suma de un número
real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica
con la letra i ), o en forma polar.
Los números complejos son la herramienta de trabajo del álgebra, análisis, así como
de ramas de las matemáticas puras y aplicadas como variable compleja, ecuaciones
diferenciales, aerodinámica y electromagnetismo entre otras de gran importancia. Además
los números complejos se utilizan por doquier en matemáticas, en muchos campos de
la física (notoriamente en la mecánica cuántica) y en ingeniería, especialmente en
la electrónica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas
electromagnéticas y la corriente eléctrica.
En matemáticas, estos números constituyen un cuerpo y, en general, se consideran
como puntos del plano: el plano complejo. Este cuerpo contiene a los números reales y los
imaginarios puros. Una propiedad importante que caracteriza a los números complejos es
el teorema fundamental del álgebra — pero que se demuestra aún en un curso de variable
compleja —, que afirma que cualquier ecuación algebraica de grado n tiene exactamente n
soluciones complejas. Los análogos del cálculo diferencial e integral con números
complejos reciben el nombre de variable compleja o análisis complejo.

ORIGEN
El primero en usar los números complejos fue el matemático italiano Girolamo
Cardano (1501–1576) quien los usó en la fórmula para resolver las ecuaciones cúbicas. El
término “número complejo” fue introducido por el gran matemático alemán Carl Friedrich
Gauss (1777–1855) cuyo trabajo fue de importancia básica en álgebra, teoría de los
números, ecuaciones diferenciales, geometría diferencial, geometría no euclídea, análisis
complejo, análisis numérico y mecánica teórica, también abrió el camino para el uso
general y sistemático de los números complejos.
En este sentido, los números complejos aparecen por primera vez en la solución de
ecuaciones de segundo y tercer grado a fines del siglo XV y principios del XVI. En esos
tiempos la solución de ecuaciones algebraicas era uno de los problemas centrales del
álgebra.
Pero no es sino hasta después de dos siglos que fueron aceptados como un recurso
técnico. Ciertamente que con las aportaciones de Argand, Gauss y Hamilton se descorre el
velo de misterio que rodeaba a estos números, pero sólo en el terreno formal; esto no
significó, de ninguna manera, que los números complejos fueran aceptados por completo
entre los matemáticos, ni mucho menos que fueran comprendidos del todo. Todavía en el
siglo XIX muchos matemáticos seguían considerándolos como “entes abominables”. Con
este se quiere señalar que el concepto de número complejo fue difícil de entender: es por
ello que se tardó tanto tiempo en ser aceptados.
Existe una infinidad de formas de introducir los números imaginarios, los cuales
están estrechamente ligados con los números complejos, pero aquí se mencionará la que no
causa tanta confusión matemática: un número imaginario representa una idea matemática
precisa, que se introdujo por la fuerza en el álgebra de la misma manera que con los
números negativos. De esta forma su entendimiento y uso serán más claros si consideramos
el desarrollo de sus progenitores: Los números negativos.
Los números negativos aparecieron como raíces de ecuaciones tan pronto nacieron
éstas; o mejor dicho, tan pronto como los matemáticos se ocuparon del álgebra. Toda
ecuación de la forma:
ax b  0; a,b  0,
Tiene una raíz negativa.
Los griegos, para quienes la geometría era un regocijo y el álgebra un mal necesario,
descartaron a los números negativos.

Incapaces de adoptarlos a su geometría, imposibilitados para representarlos
gráficamente, los griegos no los consideraron de modo alguno. Pero el álgebra los
necesitaba para desarrollarse. Más sabios que los griegos, los chinos y los hindúes
reconocieron a los números negativos antes de la era cristiana.
Cardano, eminente matemático del siglo XVI, jugador y bribón de vez en cuando y
a quien el álgebra debe muchísimo, fue el primero que reconoció la verdadera importancia
de las raíces (soluciones) negativas en las ecuaciones. Pero su conciencia científica lo
remordió hasta el punto tal que las llamó “ficticias”.
Rafael Bombelli, de Bologna, prosiguió la obra de Cardan donde éste la había
dejado y llegó a hablar de las raíces cuadradas de números negativos, pero no llegó, del
todo, a comprender el concepto de números imaginarios. En una obra publicada en 1572,
Bombelli señaló que las cantidades imaginarias eran indispensables para la solución de
muchas ecuaciones algebraicas de la forma: 0; 0. 2 x  a  a  Y que no pueden ser
resueltas sino con el auxilio de números imaginarios. Tratando de resolver una ecuación tan
sencilla como 1 0, 2 x   se pueden distinguir dos alternativas: o la ecuación no tiene
sentido, o x es la raíz cuadrada de −1, que también es absurdo. Pero los matemáticos se
alimentan de absurdos y Bombelli salió del paso aceptando la segunda alternativa, que
generó la burla de muchos maestros de la época.
Sin embargo, el gran Leibniz escribió: “El espíritu divino encontró un escape
sublime en ese prodigio del análisis, en ese portento del mundo ideal, en ese anfibio entre
el ser y el no ser, al cual llamamos la raíz imaginaria de la unidad negativa”. También
Euler expresó que números como la raíz cuadrada de menos uno: “…no son ni nada, ni
menos que nada, lo cual necesariamente los hace imaginarios, o imposibles”.
Euler estaba en lo cierto, pero omitió decir que los números imaginarios eran útiles
e imprescindibles para el desarrollo de las matemáticas y la tecnología. Así, se les asignó
un lugar en el dominio de los números con todos los derechos, privilegios e inmunidades
pertenecientes a ellos.
Los números imaginarios surgieron de la extensión lógica de ciertos procesos. El
proceso de extraer raíces se denomina “evolución”. Es un nombre a propósito, porque los
números imaginarios evolucionaron, literalmente, por el proceso de extraer raíces. Si 4, 7,
11 tenían sentido, ¿por qué no habrían de tenerlo −4, −7, −11? Si 1 0 2 x   tenía una
solución, ¿por qué no habría de tenerla 1 0 2 x   ?
El reconocimiento de los imaginarios era como el reconocimiento de la Rusia
Soviética por los Estados Unidos de Norteamérica -la existencia era innegable, todo lo que
se necesitaba era una sanción formal y su aprobación.

UNIDAD IMAGINARIA
El número imaginario más conocido es 1. Euler lo representó por el símbolo i
que aún se usa en la literatura. Así, la unidad imaginaria es el número 1 y se designa
por la letra i. Esto es:
1  i
O sea que i será aquella cantidad que elevada al cuadrado resulta 1.Claramente:
 1 1.
2
2 ii  i    
Las leyes formales de operación para i son sencillas. En efecto, utilizando la Ley de
los Signos, se tiene:
i i i i=i i = = .
i i i = i i = × i = i;
i i = i = ;
-i - = i;
i - = -i;
i + = i;
1 1 1
1
1
1
1
1
2 2
2
2
      
    
 



Con lo anterior se puede construir una tabla de las potencias de la unidad
imaginaria:
1 i  i
3 i  i
5 i  i
7 i  i
 
2 i 1
4 i 1
6 i 1
8 i 1
 
Esta tabla indica que las potencias impares de i son iguales a  i o  i y que las
potencias pares de 푖 son iguales a 1o 1. Se cumple además que: 1. 0 i 
Nota: Los valores se repiten de cuatro en cuatro, por eso, para saber cuánto vale una
determinada potencia de i, se divide el exponente entre 4, y el resto es el exponente de la
potencia equivalente a la dada. Debemos destacar que el “sobrante” o “resto” que oscilará
entre 0 y 3 (lo cual es lo que nos importa para realizar los cálculos como vemos en el
ejemplo de abajo).

Ejemplos: Hallar . 22 i
Solución: Como haciendo la división, tenemos que: ,
2 5
22 4
entonces:
  1  1 1  1 1 22 4 5 2 5 i  i  i        
Ejercicio:
Demostrar que: i  i 27
RAÍZ CUADRADA DE CUALQUIER NÚMERO NEGATIVO
Podemos hallar la raíz cuadrada de cualquier número negativo como el siguiente:
 4  4 1  4  1  2 i.
Ejercicio: Demostrar que:
a)  9  3 i
b)    i
2
10
2
5
Podemos definir a los números imaginarios de forma general:
NÚMEROS IMAGINARIOS
Un número imaginario se denota por bi, donde:
 b es un número real
 i es la unidad imaginaria
Con los números imaginarios podemos calcular raíces con índice par y radicando
negativo.

Ejemplo 1: Hallar las raíces de la ecuación 9 0 2 x + =
Solución: Tenemos que:
9 0 9 9 2 2 x + = x = x   
Es decir:
x   9x   9 1x   9  13 i 1 1 1
Y
x   9x   9 1x   9  13 i 1 1 1
Ejemplo 2: Hallar las raíces de la ecuación x -5x + 8=0. 2
Solución: Usando la resolvente de la ecuación de segundo grado tenemos que:
5 8 0 2 x  x   
 
2.1
( 5) 5 4.1.8 2     
x 

2
 (5)  25 32
x 

2
5   7
x 

2
5 7 .i
x


Por lo tanto se tendría dos soluciones:
x i
2
7
2
5
1   y x i
2
7
2
5
2  
NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA BINÓMICA
Al número z  a+bi le llamamos número complejo en forma binómica.

En donde:
 El número a es la parte real del número complejo, y se denotará como Rez a.
 El número b es la parte imaginaria del número complejo, denotado como Imz b.
Además:
 Si b = 0 el número complejo se reduce a un número real ya que a+0i  a, con
Imz 0.
 Si a = 0 el número complejo se reduce a 0+bi  bi, y se dice que es un número
imaginario puro, es decir, Rez 0.
El conjunto de todos números complejos se designa por C. Se expresa:
C a bi / a,bR
Y tenemos que:
 Los números complejos a+bi y  a bi se llaman opuestos.
 Los números complejos z  a+bi y z  a bi se llaman conjugados.
De lo anterior se concluye que el conjunto de los Números Reales es un subconjunto
de los Números Complejos
Demos así la siguiente definición:
Definición: (Igualdad de Complejos): Dos números complejos 1 z y 2 z son
iguales siempre que:
    1 2 Re z  Re z y Im  Im . 1 2 z  z
Ejemplo: Verificar para cuales valores de x e y los números complejos
z 2x 6i 1   y z 10 3yi 2    sean iguales.
Solución: Debe cumplirse que las partes reales y complejas de los números deben
ser iguales, es decir:
5
2
10
2 10   

x   x  x y  y  y2  y
3
6
6 3

PLANO DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS O DIAGRAMA DE ARGAND
El concepto de plano complejo permite interpretar geométricamente los números
complejos. Los diagramas de Argand se usan frecuentemente para mostrar las posiciones de
los polos y los ceros de una función en el plano complejo.
Definición (El Plano Complejo):El plano complejo es un sistema de coordenadas
rectangulares o cartesianas con la particularidad que en el eje X o de las abscisas se
representará la parte real del complejo (EJE REAL), y en el eje Y o de las ordenadas se
representará la parte imaginaria del mismo (EJE IMAGINARIO).
NOTAS: En el plano complejo los números imaginarios pueden ser representados
como puntos o como vectores. Además, la suma de números complejos se puede relacionar
con la suma con vectores, y la multiplicación de números complejos puede expresarse
simplemente usando coordenadas polares, donde la magnitud del producto es el producto
de las magnitudes de los términos, y el ángulo contado desde el eje real del producto es la
suma de los ángulos de los términos.
REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS
Los números complejos se representan en unos ejes cartesianos.
 El eje X se llama eje real.
 El eje Y se llama eje imaginario.
El número complejo z  a+bi se representa:
1. Por el punto a,b que se llama su afijo.
2. Mediante un vector de origen
0,0 y extremo a,b.

 Los afijos de los números reales se sitúan sobre el eje real, X.
 Los afijos de los números imaginarios se sitúan sobre el eje imaginario, Y.
En este sentido, los Números Complejos se pueden expresar de varias formas:
1. FORMA BINÓMICA: Es la manera como se han presentado hasta ahora:
Ejemplos: 2 3 1 z= + i;
3
1
2 z =  i; 9
2
1
3 z = i  ; 2 4 z = ; 10 . 5 z = i
2. FORMA CANONICA O DE PAR ORDENADO: Se colocan, entre paréntesis
y separadas por una coma, primero la parte real y segundo la parte imaginaria del
complejo en cuestión.
Ejemplos: z=2,3; 1 , 1
3
1
2 ; = z 




2
1
9, 3 ; = z 



 z =2,0; 4 0,10. 5z =
Nota: En los ejemplos anteriores que 4 z es real y que 5 z es imaginario puro.
3. FORMA TRIGONOMÉTRICA O POLAR (Será explicada más adelante).
Ejercicio: Representar los números complejos anteriores, tanto en forma binómica
como en forma canónica o como par ordenado.

OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS
Sean z  a+bi 1 y z  c+di 2 dos numero complejos, entonces se pueden realizar
las siguientes operaciones:
1. SUMA Y DIFERENCIA DE NÚMEROS COMPLEJOS:
La suma y diferencia de números complejos se realiza sumando y restando las partes
reales y las partes imaginarias entre sí, respectivamente.
 a+bi+c  di=a+c+b+di
 a bi-c+di=a -c+b -di
Ejemplo: Sean 5 2 , 1 z  + i z -8+3i 2  y 4 2 , 3 z  - i hallemos . 1 2 3 z  z  z  z
z  5+2i -8+3i -4-2i= 5 -8 -4 2+3+2i = -7+7i
Ejercicio: Dados 3 5 ; 1 z   + i 4 ; 2 z  i 2; 3 z  i   3,0 4 z   y 0, 3. 4 z  
Halla el resultado de: . 1 2 3 4 5 z  z  z  z  z  z
2. MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS:
El producto de los números complejos se realiza aplicando la propiedad distributiva
del producto respecto de la suma y teniendo en cuenta que 1. 2 i  
z  z  a+bi c  di=ac  db+ad+bci 1 2
Ejemplo: Sean z 5+2i 1  y 2 3 , 2 z   i hallemos . 1 2 z  z  z
          
   
16 11
10 6 15 4
5 2 2 3 5 2 2 3 5 3 2 2
= - i
= + i
z + i - i = - - + - i
  
      
Ejercicio: Dados 3, 2 1 z   y  2,5, 2 z   halla el valor de . 1 2 z  z  z

Deducción de una fórmula para realizar el producto de complejos más directamente,
realizando los productos entre estos números complejos.
    2
1 2 z .z  a bi  c  di  ac  ad  i bc  i bd  i
 ac  ad  i bc  i bd  1
 ac bd ad bc.i
Por lo tanto la fórmula quedaría:
z  z  a bi c  di ac bd ad bc i 1 2
O bien en forma canónica:
z  z  a,b c,d ac bd,ad bc 1 2
Regla memorística para recordar la aplicación de la fórmula:
(Al estudiante se le deja verificar la regla resolviendo el ejemplo anterior del
producto de complejos).
Cálculo de la Parte Real:
 
 
a c b d 
Multiplica ción
c d
a b
. .
,
,

 








Siempre negativo
Cálculo de la Parte Imaginaria:
 
 
a d b c
Multiplica ción
c d
a b
. .
,
,










Siempre positivo

CONJUGADO DE UN COMPLEJO:
Llamaremos conjugados a dos complejos denotados como z y z que tengan sus
partes reales idénticas pero sus partes imaginarias opuestas. Esto será:
z  a+bi y z  a bi.
Ejemplos:
En forma binómica: En forma canoníca:
PROPIEDAD DE LOS COMPLEJOS CONJUGADOS:
Al multiplicar dos complejos conjugados, el resultado es un número real positivo.
Ejemplo: Si z  2  i, halla el producto de z  z.
Resolución:
z.z  2i2i 4(1)  2 2i  5
Por lo tanto: z.z  5
Vamos a probar ahora la propiedad para cualquier par de complejos conjugados
(Fórmula): Si tenemos que z  a+bi y z  a bi, entonces:
z z
3,1  3,1 
 ,5  ,5
0, 3 0, 3
e,0 e,0
0,0 0,0
z z
35i 3 5i
 2  i  2 i
3i  3i
8 8

z.z a bia bi a ( b ) a.( b) b.ai 2 2         
z.z a b   a.b a.bi 2 2     
z.z a b  0i 2 2    
2 2 z.z  a b (Fórmula)
(Al estudiante se le deja verificar la propiedad resolviendo el ejemplo anterior).
3. DIVISIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS:
El cociente de números complejos se realiza multiplicando numerador y denominador
por el conjugado de este.
i
c d
bc ad
+
c d
ac bd
=
c di
a+bi








 2 2 2 2
Ejemplo: Sean z 3+2i 1  y 1 2 , 2 z   i calcule .
2
1
z
z
z 
 
   
 
   
 
+ i
+ i
+ i
= + i
i
+ i
z
5
8
5
1
5
8
5
3 4
1 4
2 6
1 4
3 4
1 2
2 1 3 2
1 2
3 1 2 2
1 2
3 2
2 2 2 2
 



 








 

 


  

 
   
 
   


Nota: Para dividir números complejos multiplicamos el numerador y el
denominador por el conjugado del denominador. Realice la demostración de esta fórmula.
Ejercicios: Halla el valor de:


i
i
z



2
3 2

i
i
z
5 6
27 8



GEOMETRÍA Y OPERACIONES CON COMPLEJOS
Geométricamente, las operaciones algebraicas con complejos las podemos entender
como sigue. Para sumar dos complejos 1 1 1 z=a+i b y , 2 2 2 z =a +i b podemos pensar en
ello como la suma de dos vectores del plano x-y apuntando desde el origen al punto
  1 1 a ,b y  , 2 2 a ,b respectivamente. Si trasladamos (movemos) el segundo vector, sin
cambiar su dirección, con lo que su punto de aplicación coincide con el punto final del
primer vector; el segundo vector así ubicado apuntará al complejo . 1 2 z  z
Siguiendo con esta idea, para multiplicar dos complejos 1 z y , 2 z primero medimos
el ángulo que forman en sentido contrario a las agujas del reloj con el eje positivo de
las x y sumamos ambos ángulos: el ángulo resultante corresponde con el del vector que
representa al complejo producto . 1 2 z  z
La longitud de este vector producto viene dada por la multiplicación de las longitudes
de los vectores originales. La multiplicación por un número complejo fijo puede ser vista
como la transformación del vector que rota y cambia su tamaño simultáneamente.
Multiplicar cualquier complejo por i corresponde con una rotación de 90º en
dirección contraria a las agujas del reloj. Asimismo el que 1 1 1 puede ser

entendido geométricamente como la combinación de dos rotaciones de 180º ( 1 2 i   ),
dando como resultado un cambio de signo al completar una vuelta.
NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA POLAR Y TRIGONOMÉTRICA
MÓDULO DE UN NÚMERO COMPLEJO
El módulo de un número complejo es el módulo del vector determinado por el
origen de coordenadas y su afijo. Se designa por z . Es dado por: . 2 2 r  z  a  b
Ejemplo: Halla el módulo de z  3 4i.
Solución: De la fórmula tenemos que:
( 3) 4 9 16 25 2 2 z      
Por lo tanto: z  5
ARGUMENTO DE UN NÚMERO COMPLEJO
El argumento de un número complejo es el ángulo que forma el vector con el eje real.
Se designa por Argz.
El argumento de un complejo puede tomar infinitos valores que se diferencian entre sí
por un número enteros de vueltas: Argz  2k , con kZ.

Llamaremos argumento principal al que está comprendido entre 0,2  , o sea una
vuelta; y se calcula usando cualquier función trigonométrica como por ejemplo:
,
r
b
arcSen
r
b
Sen    ,
r
a
arcCos
r
a
Cos    .
a
b
arcTg
a
b
Tg   
Para calcular el argumento, calculamos el arcotangente de
a
b
prescindiendo de los
signos, para ubicar el cuadrante en que se encuentra tendremos en cuenta:






 






 

 

 
 
 




360 , en el cuadrante IV
270 , si 0 y 0
180 , en el cuadrante III
180 , si 0 y 0
180 , en el cuadrante II
90 , si 0 y 0
, en el cuadrante I
0 , si 0 y 0
0
0
0
0
0
0
0





a b
a b
a b
b a
a
b
arctg
Ejemplos: Halla el argumento de los siguientes complejos: z 2 2 .i 1    y
z 7 5.i 2   
Solución:
Argumento de z1:  1
2
2
  

Tg   arcTg
Por lo tanto: 2 : 135º 2 (360º )
4
3
  k o bien    k


Argumento de z2: 0,714286
7
5
Tg   arcTg


  
Por lo tanto:  1,8809rad  2k o bien :   215,5376º2k(360º )
FORMA TRIGONOMÉTRICA O POLAR DE UN NÚMERO COMPLEJO:

En la figura se tiene que:
 

 de donde b Sen
b
Sen   . ;
Y también:
 

 de donde a Cos
a
Cos   . .
Ahora, como z=a+i b, sustituyendo obtenemos:
z  .Cos  .Sen .i ,
Lo cual organizándolo nos queda: z  .Cos i.Sen , y ahora sacando el factor
común resulta: z  Cos i.Sen  , y por último llamando a la expresión
Cos i.Sen =Cis se tiene la “Forma Trigonométrica o Polar de Z”:
z  .Cis
Ejemplo 1: Convierta de la forma polar a la forma binómica: 120º z  2

Solución: Para pasar de la forma polar a la binómica, tenemos que pasar en primer
lugar a la forma trigonométrica.
Tomando en cuenta que: z r r α isenα. α   cos 
Así,
 
0 0
0 0
z 2 cos120 2 120
2 cos120 120
isen
z isen
   
  
De aquí que la parte real es dada por:
1.
2
1
2 cos120 2 0   



a     
Y la parte imaginaria es:
3.
2
3
2 120 2 0 
 


 


b   sen  
Por tanto, el número complejo en forma binómica es dado por:
z  1 3i
Nota: Reales e imaginarios puros de módulo unidad:
z =10º = 1 z =1180º = −1 z =190º = i z =1270º = −i
Ejemplo 2: Pasar a la forma polar: z 1 3i
Solución: Notemos que su modulo y argumento viene dados por:
 z 1  3 z 1 3 z 4 z 2.
2 2         
 60 .
1
3
arcTg 0  
 


  

  
Y por tanto nos queda que:
60º z  2
NÚMEROS COMPLEJOS IGUALES, CONJUGADOS, OPUESTOS E INVERSOS

NÚMEROS COMPLEJOS IGUALES: Dos números complejos son iguales si
tienen el mismo módulo y el mismo argumento.
  
  
 
    k
r r
r r
     2
NÚMEROS COMPLEJOS CONJUGADOS: Dos números complejos
son conjugados si tienen el mismo módulo y opuestos sus argumentos.
  
   
 
   k
r r
r r
     2
conjugado
NÚMEROS COMPLEJOS OPUESTOS: Dos números complejos son opuestos si
tienen el mismo módulo y sus argumentos se diferencian en π radianes.
    
   
 
   k
r r
r r
      2
opuesto
Representaciones de los opuestos y conjugados:
NÚMEROS COMPLEJOS INVERSOS: El inverso de un número complejo no
nulo tiene por módulo el inverso del módulo y por argumento su opuesto.
α -α r
r





1 1
OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA POLAR Y
TRIGONOMÉTRICA

MULTIPLICACIÓN DE COMPLEJOS EN FORMA POLAR
La multiplicación de dos números complejos es otro número complejo tal que:
 Su módulo es el producto de los módulos.
 Su argumento es la suma de los argumentos.
Es decir:      r  r  r  r α
Ejemplo:
  0 0 0 0 0 45 15 45 15 60
6 3  63 18 
PRODUCTO POR UN COMPLEJO DE MÓDULO 1
Al multiplicar un número complejo z = rα por 1β se gira z un ángulo β alrededor del
origen.
   r   r α 1
Representaciones:
DIVISIÓN DE COMPLEJOS EN FORMA POLAR
La división de dos números complejos es otro número complejo tal que:
 Su módulo es el cociente de los módulos.
 Su argumento es la diferencia de los argumentos.
Es decir:
  






 r
r
r
rα
Ejemplo:
0
0 0 0
0
30
15 45 30
45 2
3
6
3
6
 






POTENCIA DE NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA POLAR
La potencia enésima de número complejo es otro número complejo tal que:
 Su módulo es la potencia n−ésima del módulo.
 Su argumento es n veces el argumento dado.
     n
n n
α r r
Ejemplo:
    0
0
0 120
4 30
4 4
30
2  2  16
FÓRMULA DE MOIVRE:   isen   n  isenn  n cos   cos 
Ejemplo:
cos   cos4  4  4 isen  isen
RAÍZ DE NÚMEROS COMPLEJOS
Raíz enésima de complejos en forma polar: n r
Tenemos que la raíz enésima de número complejo es otro número complejo tal que:
Su módulo es la n raíz enésima del módulo.
n r  r
Su argumento es:
, con 0,1,2,3,  1.
2
 

  k n
n
k

 

Así:
n
n
k
n r r   2 
Ejemplo: Hallar 6 1i
Solución:
Sea z 1 i, tenemos que su modulo es:

1 1 2 2 2 z   
Además, su argumento es:
0 45
1
1
 



  arctag
Por tanto, tenemos que:
  0 45 z  2
Luego:
6  
452 0
De donde:
6   12 z  2  2
Y obtenemos:
 
 
 
 
 
  










    
    
    
    
    
    









307 30
12
6
0
6
247 30
12
5
0
5
187 30
12
4
0
4
127 30
12
3
0
3
67 30
12
2
0
2
7 30
12
1
0
1
0 0
0
0
0
0
0
0
5 307 30 2
4 247 30 2
3 187 30 2
2 127 30 2
1 67 30 2
0 7 30 2
6
45 360
k z
k z
k z
k z
k z
k z
k







Es decir:
EJERCICIOS DE NÚMEROS COMPLEJOS
1. Hallar . 37 i

2. Halla el valor de “z”, donde z 2.i 3.i 5.i 3.i 2.i 5.i 1942 2003 821 2225 59      
3. Hallar las raíces de la ecuación x x 1=0. 2  
4. Verificar para cuales valores de x e y los números complejos z x 4 8i 2
1    y
z  4x  x  yi 2 sean iguales.
5. Verificar para cuales valores de x e y los números complejos z  x  y xi 1 y
z 6 y 2i 2    sean iguales.
6. Sean los números complejos: z= 2,3; 1  , 1
3
1
2 ; = z 




2
1
9, 3 ; = z 



 z =2,0; 4
0, 10. 5 z =  Representarlos en el plano complejo. Expresarlos en forma binómica.
7. Sean 5 2 , 1 z   + i z 8 3i 2   y 4 2 . 3 z   - i Hallar:
a) . 1 2 3 z  z  z  z
b) . 2 3 z  z  z
c) . 3
2
1 z
z
z
z   
8. Pasar a la forma polar y trigonométrica: z 1 3i.
9. Escribir en forma binómica: 0 60
z  2
10. Calcular todas las raíces de la ecuación: 1 0. 6 x  
11. Determina las soluciones de 2 2 . 0 5 x   i  .
12. Determina
4 81Cis40º .
13. Realiza las siguientes operaciones:
a)
 
0
0
60
3
20
2
3
b)  10 1 i
c)  6
1 3i

d) 3
3
1
i
i

 
14. Resuelve la siguiente raíz, expresando los resultados en forma polar.
5 10 10i
15. Escribe una ecuación de segundo grado que tenga por soluciones1 2i y su
conjugado.
16. Calcula la siguiente operación, dando el resultado en forma polar.
   
 i  i
i i
  
  
3 2 2
2 3 3 2
17. Calcula el valor de cociente, y representa los afijos de sus raíces cúbicas.
i
i i
2
7 7 
18. Expresa en forma polar y binómica un complejo cuyo cubo sea:





2 2
8 cos
 
isen
19. Expresa en función de cos y sen :
a) cos5a
b) sen5a
20. Escribe en las formas polar y trigonométrica, los conjugados y los opuestos de:
a) 4  4i
b)  2  2i
21. Calcular todas las raíces de la ecuación: 32 0 5 x  
22. Expresa en función de cos y sen :

a) cos3a
b) sen3a
PROBLEMAS DE NÚMEROS COMPLEJOS
1. Calcula k para que el número complejo que obtenemos de la siguiente división esté
representado en la bisectriz del primer cuadrante.
k i
i

2 
Solución: k  3
2. Halla el valor de k para que el cociente
k i
ki

2 
sea:
a) Un número imaginario puro.
b) Un número real.
Solución: k  0, k   2
3. Se considera el complejo 2  2 3i, se gira 45° alrededor del origen de coordenadas
en sentido contrario a las agujas del reloj.
Hallar el complejo obtenido después del giro.
Solución: 5 105
z  4
4. Hallar las coordenadas de los vértices de un hexágono regular de centro el origen
de coordenadas, sabiendo que uno de los vértices es el afijo del complejo 190°.
Solución:      


 


     
 


 


   
 


 


    
 


  

 
2
1
,
2
3
, 0, 1
2
1
,
2
3
,
2
1
,
2
3
, 0,1 ,
2
1
,
2
3
1 2 3 4 5 4 z z z z z z
5. Determina el valor de a y b para que el cociente
bi
a i


3
2
sea igual a:   0 315 2
Solución: a  8,b  5
6. ¿Cuáles son las coordenadas del punto que se obtiene al girar 90°, en sentido
antihorario alrededor del origen, el afijo del complejo 2 + i?
Solución: 1,2

7. Halla las coordenadas de los vértices de un cuadrado de centro el origen de
coordenadas, sabiendo que uno de los vértices es el punto (0, −2).
Solución: 2,0, 0,2,  2,0, 0, 2 1 2 3 4 z  z  z   z  
8. La suma de los componentes reales de dos números complejos conjugados es seis, y
la suma de sus módulos es 10. Determina esos complejos en la forma binómica y
polar.
APLICACIÓN DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS A LA ELECTRICIDAD
Una aplicación de los números complejos es el cálculo de impedancias equivalentes
en redes eléctricas a corriente alterna. Antes, es necesario introducir algunos conceptos de
circuitos eléctricos.
La “impedancia” eléctrica es la oposición al flujo de la corriente eléctrica de
cualquier circuito. Por lo general, en los textos, la magnitud de la impedancia se denota
como z y se suele definir como:
 2 2
R L C Z  Z  Z  Z
Donde Z R R  es la impedancia resistiva o la resistencia del cuerpo a que fluya la
corriente,
C
i
ZC  (con 휔 la frecuencia angular de la corriente alterna) es la impedancia
capacitiva siendo C la capacidad que tiene el cuerpo para almacenar carga, y z L i L   es
la impedancia inductiva siendo L la magnitud de la oposición que tiene el cuerpo a
cambios en la corriente.
Debido a la Ley de Ohm (V=I R ), el voltaje y la corriente en un resistor tienen la
misma frecuencia angular; es decir están en fase. Este no es el caso del voltaje y la corriente
a través de un capacitor que retrasa a la frecuencia angular de la corriente alterna en −90° o
2

 푟푎푑. En la corriente a través de un inductor, la frecuencia angular sufre una variación
de +90° o
2

 푟푎푑; es decir, se adelanta 90° o
2

푟푎푑.
La representación geométrica de la invariancia, retraso y adelanto de la frecuencia de
la corriente con respecto a la frecuencia del voltaje es como se muestra en la figura adjunta.

Lo anterior indica que la impedancia se puede representar como el número complejo:
  ;
1
i
C
Z Z Z Z R L R L C 



     


Con modulo:
2
2 1




  


C
Z R L
Y con argumento:
 
 



 





 
R
Cω
Lω
Z
1
 arg arctan
Por otro lado, las impedancias también obedecen a las mismas reglas que para el
cálculo de sus componentes individuales R,C y L en circuitos RLC en serie y en
paralelo.
Circuito RLC en Serie Circuito RLC en Paralelo
Es decir, para un conjunto de elementos n Z ,Z ,Z , ,Z 1 2 3  que están en serie y en
paralelo, respectivamente, la impedancia equivalente eq z es:

eq n Z  Z  Z  Z  Z 1 2 3 O
eq n Z Z Z Z Z
1 1 1 1 1
1 2 3
   
Ejemplo 1: Por el circuito en serie mostrado en la figura adjunta circula una corriente
de 퐼 = 2 sin 500푡 Amp. Obtener la magnitud de la impedancia equivalente del circuito y el
ángulo de desfasamiento entre la corriente y el voltaje.
Solución:
En este caso 휔= 500. El número complejo que representa a la impedancia equivalente
es:
Z = Ω + mH × Hzi = Ω + × H × Hzi= Ω + iΩ -
eq 10 20 500 10 20 10 500 10 10 3
De esta forma, la magnitud de la impedancia equivalente es:
10 10  100 100  200 14,14 2 2 Z = + eq
El ángulo de desfasamiento está dado por el argumento de la impedancia
equivalente:
Z    rad eq 4
arctan 1
10
10
arg arctan

   



 
Este resultado indica un adelanto en la corriente de 45° con respecto a la frecuencia
de entrada.
Ejemplo 2: Del circuito en paralelo mostrado en la figura siguiente:

Obtener la impedancia total Z si
2 , 6 , 4 , 2 . 1 2         C L R R X X
Solución: En este caso:
2 4 ; 1 1 Z R X i i C    
6 2 ; 2 2 Z R X i i L    
Puesto que los circuitos están en paralelo, entonces:
1 2
1 1 1
Z Z Z
 
Esto implica que:
1 2
1 2
Z Z
Z Z
Z



Esto es:
   
   
= - i.
- i
=
+ i
+ i
×
-i
- i
=
- i
- i
=
- i + + i
- i + i
Z 2,9 1,8
17
50 30
4 4
4 4
4
10 10
8 2
20 20
2 4 6 2
2 4  6 2

La magnitud y ángulo de desfasamiento de esta impedancia son:
 2,9  8,1  8,413,24  11,65  3,41 2 2 Z
  = arctan-0,62 = 0.55rad.
2,9
-1,8
= arg Z = arctan 







∎
UNA FÓRMULA MARAVILLOSA
Relaciona los números imaginarios (i = raíz cuadrada de (–1)), con las potencias (número
e y logaritmos neperianos) y con las funciones trigonométricas. Permite recordar, sin
esfuerzo, fórmulas trigonométricas como la del seno o coseno de una suma de ángulos, del
ángulo doble o mitad, y calcular, con facilidad, derivadas de funciones trigonométricas.
Esta es la Fórmula de Euler:    e isen i  cos 
Y cuando   , tenemos que:
 1 i e
o bien 1 0 i e
Para finalizar, se enunciará la opinión que emitió alrededor de la cuarta década del
siglo XX el eminente científico John von Neumann acerca de los números complejos:
“Hace 150 años, uno de los problemas más importantes de la ciencia aplicada -de la
que dependía el desarrollo de la industria, comercio y gobierno- era el problema de salvar
vidas en el mar. Las estadísticas sobre esas pérdidas eran terribles. El dinero y los esfuerzos
empleados en resolver el problema eran también terríficos, los matemáticos desarrollaban
una herramienta que salvaría más vidas que las que esperaba salvar el grupo de excéntricos
inventores. Esa herramienta se llegó a conocer como la teoría de Funciones de Variable
Compleja. Entre las muchas aplicaciones de esta noción puramente matemática, una de las
más fructíferas es la Teoría de la Comunicación por Radio.”
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
 Baldor, A. “Álgebra”. Distribuidora Cultural Venezolana S.A.
 Churchill, R. (1992). Variable Compleja y Aplicaciones. Quinta Edición.
McGraw-Hill, México.
 Edminister, Joseph A. (1981). Circuitos eléctricos. Serie de Compendios
Schaum, McGraw-Hill/INTERAMERICANA DE ESPAÑA, S.A.
 Mendiola, Esteban. “Matemáticas 4to. Año”. Editorial Biosfera S.R.L. Capítulo
VII
 Jiménez, J y Salazar, J. “Matemáticas Primer Año, Ciclo Diversificado.”.
Ediciones CO-BO. Caracas.
INTERNET: http://www.vitutor.com/di/c/a_11.html#

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