Este documento describe los diferentes tipos de ángulos formados cuando dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, incluyendo ángulos correspondientes, alternos internos y externos. También explica las propiedades fundamentales de estos ángulos y presenta demostraciones de teoremas geométricos relacionados con ángulos y triángulos, como la ley de los senos y la ley de los cosenos. Finalmente, introduce conceptos trigonométricos como seno, coseno y tangente aplicados a triángulos rectángulos.

1. Profesor: Julio C. Barreto G. 1 Escuela: 73,79
NIVELACIÓN DE FÍSICA II Y DE ELECTRICIDAD Y ELECTROTECNIA
ÁNGULOS ENTRE PARALELAS
Al intersectar una paralela por una recta llamada transversal o secante, se forman los siguientes tipos de ángulo:
ÁNGULOS CORRESPONDIENTES: Son los que están al mismo lado de las paralelas y al mismo lado de la transversal. ÁNGULOS ALTERNOS INTERNOS: Son los que están entre las paralelas a distinto lado de ellas y a distinto lado de la transversal. ÁNGULOS ALTERNOS EXTERNOS: Son los que están "fuera" de las paralelas a distinto lado de ellas y a distinto lado de la transversal.
Las propiedades fundamentales de los ángulos entre paralelas son:
1) Los ángulos correspondientes son iguales entre sí. 2) Los ángulos alternos internos son iguales entre sí. 3) Los ángulos alternos externos son iguales entre sí.
Ángulos formados por rectas paralelas cortadas por una transversal.

2. Profesor: Julio C. Barreto G. 2 Escuela: 73,79
TIPOS DE ÁNGULOS FORMADOS
Ángulos correspondientes entre paralelas.
1 = 5
2 = 6
3 = 7
4 = 8
Ángulos alternos entre paralelas.
Externos
1 = 7
2 = 8
Internos
3 = 5
4 = 6
Son suplementarios
(suman 180°)
Ángulos contrarios o conjugados.
1
6
2
5
3
8
4
7
Ángulos colaterales.
1
8
2
7
3
6
4
5

3. Profesor: Julio C. Barreto G. 3 Escuela: 73,79
OPUESTOS POR EL VÉRTICE Dos ángulos se dicen opuestos por el vértice cuando los lados de uno son semirrectas opuestas a los lados del otro. En la figura los ángulos a, c y b, d son opuestos por el vértice. Dos ángulos opuestos por el vértice son congruentes.
Realice las siguientes demostraciones:
1. Los ángulos opuestos por el vértice son iguales. 2. Si dos ángulos alternos internos son congruentes entonces los otros dos ángulos alternos internos también lo son. 3. Los ángulos internos a un mismo lado de la transversal de rectas paralelas, son suplementarios. Los ángulos externos a un mismo lado de la transversal de rectas paralelas, son suplementarios. 4. Toda transversal forma con dos paralelas ángulos alternos externos congruentes. 5. Toda transversal forma con dos paralelas ángulos alternos internos congruentes 6. La suma de los ángulos interiores de un triángulo, es igual a dos rectos (180º). 7. La suma de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo, es igual a 90º. 8. En todo triángulo, la medida de un ángulo externo es la suma de las medidas de los ángulos internos no contiguos. 9. En todo triángulo, la medida de un ángulo externo es mayor que cualquier ángulo interior no adyacente. 10. La suma de los ángulos exteriores de cualquier triángulo vale cuatro ángulos rectos (360º).

4. Profesor: Julio C. Barreto G. 4 Escuela: 73,79
LEY DE LOS COSENOS
En todo triángulo se cumple que el cuadrado de la longitud de uno de los lados es igual
a la suma de los cuadrados de los otros dos lados MENOS el doble producto de estos lados
por el coseno del ángulo que forman, así:
a = b + c - 2 b c Cos A 2 2 2
b = a + c - 2 a c Cos B 2 2 2
c = a + b - 2 a b Cos C 2 2 2
De las anteriores expresiones podemos despejar los ángulos y obtener:
a b
a b c
Cos C
a c
a c b
Cos B
b c
b c a
Cos A
 
 

 
 

 
 

2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
Esta ley se aplica cuando: Se conocen dos lados y el ángulo entre ellos (L-A-L).
Se conocen los tres lados (L-L-L).
LEY DE LOS SENOS
En todo triángulo oblicuángulo se cumple que los lados son proporcionales a los senos
de los ángulos opuestos así:
Donde A B C son ángulos y a b c lados del triángulo
c
SenoC
b
SenoB
a
SenoA
  , , , , ,
Esta ley se aplica cuando se conocen: Dos ángulos y un lado (A - L–A).
Dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos (L–L–A).
Ejemplos:
1) Resuelve el siguiente triángulo: 2, 3, 60 . 0 a  b    Según la figura:
Solución: Usando la ley del coseno

5. Profesor: Julio C. Barreto G. 5 Escuela: 73,79
        
7
7
13 6
2
1
4 9 12
2 cos 2 3 2 2 3 cos 60
2
2
2
2 2 2 2 2 2
c =
c =
c = -
c = + -
c = a + b - ab ( ) c + - °








  
Determinemos los ángulos  y  .
   
 
     
  
 
  
 
= . °
=
α =
+
α =
+
α =
bc
b + c - a
a =b +c bc α α =
40 9
7
2
cos
7
2
cos
2 3 7
9 7 4
cos
2 3 7
3 7 2
cos
2
Para : 2 cos cos
1
2 2 2
2 2 2
2 2 2
















 

   
 
     
  
   
 
= . °
=
=
+
=
+
=
ac
a + c - b
b =a +c ac =
791
2 7
1
cos
2 7
1
cos
4 7
4 7 9
cos
2 2 7
2 7 3
cos
2
Para : 2 cos cos
1
2 2 2
2 2 2
2 2 2





  













 


6. Profesor: Julio C. Barreto G. 6 Escuela: 73,79
Note que la suma de los tres ángulos es 180°.
α+ β + γ = 40.9° + 79.1° + 60° = 180°.
2) Resuelva el triángulo presentado en la figura. Dado: α = 35°, β =15° y c = 5. Según la
figura:
Solución: De acá tenemos que:
°
° °
° °
α+ β + γ = ° ° + ° + = °
130
180 50
50 180
180 35 15 180
 
  
  





Luego, usando la ley del seno:
5
sin sin sin
 
a b
De aquí, tenemos que:
 
  3,74 .
sin 130
5sin 35
sin
5sin
5
sin sin
0
0
a a a
a
      

  
 
  1,69 .
sin 130
5sin 15
sin
5sin
5
sin sin
0
0
b b b
b
      

  
Nota: La fórmula para la ley de senos es:
a b c
sin sin sin
  no hay
diferencia si la tomas así:
sin sin sin
a b c
  pero no las puedes mezclar.

7. Profesor: Julio C. Barreto G. 7 Escuela: 73,79
Ejercicio:
I. A partir de la figura dada determine los elementos restantes del triángulo
teniendo en cuenta las condiciones de cada caso y una de las leyes conocidas:
a)   65,   50 , b 12
b)   60, a  7 , c  7
c) a=7, b=9, c=12
d)   5630' , b 10 , c  5
e)  120 , a  4 , c  8
f) c  5, b  3 , a  6
TEOREMA DE PITÁGORAS
En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la
suma de los cuadrados las longitudes de los catetos.
. 2 2 2 a  b  c
Inversamente: Si en un triángulo cuyos lados miden a,b y c se verifica
que: . 2 2 2 a  b  c Entonces el triángulo es rectángulo.
APLICACIONES DEL TEOREMA DE PITÁGORAS
1. Conociendo los dos catetos calcular la hipotenusa:
2 2 2 2 2 a  b  c a  b  c
Los catetos de un triángulo rectángulo miden en 3 m y 4 m respectivamente. ¿Cuánto
mide la hipotenusa?
 

b a
A c B
C

8. Profesor: Julio C. Barreto G. 8 Escuela: 73,79
       
a m
a m m a m m
5
3 4 3 4 2 2 2 2 2
 
    
2. Conociendo la hipotenusa y un cateto, calcular el otro cateto:



 
 
  
2 2
2 2
2 2 2
b a c
c a b
a b c
La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 5 m y uno de sus catetos 3 m. ¿Cuánto
mide otro cateto?
       
c m
m m c c m m
4
5 3 5 3 2 2 2 2 2
 
    
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO
Sea el triángulo rectángulo ABC, en donde A y B son ángulos agudos y
el ángulo C es rectángulo, y además los lados “ a ” y “b ” Se llaman catetos y el lado
“ c ” se llama hipotenusa. En función del ángulo A, el lado “ a ” se llama cateto opuesto y
el lado “b ” cateto adyacente. Veamos la figura:

9. Profesor: Julio C. Barreto G. 9 Escuela: 73,79
Luego:
El Seno del ángulo x (sen x) en un triángulo rectángulo, es la razón que existe entre
el cateto opuesto (a) y la hipotenusa (c).
c
x a
sen x  
hipotenusa
Cateto opuesto a
El Coseno del ángulo x (cos x) en un triángulo rectángulo, es la razón entre el cateto
adyacente al ángulo x (b) y la hipotenusa (c) de dicho triángulo.
c
x b
x  
hipotenusa
Cateto adyacente a
cos
La Tangente del ángulo x en un triángulo rectángulo, es la razón existente entre el
cateto adyacente (b) y el opuesto (a) al ángulo.
b
a
x
x
tag x  
Cateto adyacente a
Cateto opuesto a
La Cotangente del ángulo x en un triángulo rectángulo es la razón existente entre el
cateto adyacente (b) y el apuesto (a) al ángulo x.
a
b
x
x
ctg x  
Cateto opuesto a
Cateto adyacente a
La Secante del ángulo x (Sec x) es la razón que existe entre la hipotenusa (c) y el
cateto adyacente (b) a x en un triángulo rectángulo.
b
c
x
x  
Cateto adyacente a
hipotenusa
sec
La Cosecante del ángulo x (Csc x) en un triángulo rectángulo es la razón entre la
hipotenusa (c) y el cateto opuesto a x.
a
c
x
x  
Cateto opuesto a
hipotenusa
csc

10. Profesor: Julio C. Barreto G. 10 Escuela: 73,79
COMPONENTES RECTANGULARES DE UN VECTOR EN EL PLANO.
Todo vector se puede expresar como la suma de otros dos vectores a los cuales se
les denomina componentes.
.
Cuando las componentes forman un ángulo recto, se les llama componentes
rectangulares. En la figura 2 se ilustran las componentes rectangulares del vector rojo.
Las componentes rectangulares cumplen las siguientes relaciones


a asen
a a
y
x

 cos
Teniendo en cuenta que:
x
y
x y
a
a
a a a

 
tan
2 2
Las 2 primeras ecuaciones son para hallar las componentes rectangulares del vector
a. y Las 2 últimas son para hallar el vector a (Teorema de Pitágoras a partir de sus
componentes rectangulares. La última ecuación es para hallar la dirección del vector a
(ángulo) con la función trigonométrica tangente.

11. Profesor: Julio C. Barreto G. 11 Escuela: 73,79
Ejemplo: Una fuerza tiene magnitud igual a 10.0 N y dirección igual a 240º.
Encuentre las componentes rectangulares y represéntelas en un plano cartesiano.
 
F sen  N
F N
y
x
10.0 240 8.6
10.0cos 240 5.0
0
0
  
  
El resultado nos lleva a concluir que la componente de la fuerza en X tiene módulo
igual a 5.00 N y apunta en dirección negativa del eje X. La componente en Y tiene módulo
igual a 8.66 y apunta en el sentido negativo del eje Y.
Esto se ilustra en la figura:
Y la dirección es 1 0 0 0 0 180 59.8 180 239.8
5.0
8.6
tan     





   en sentido Oeste-
Sur.
EJERCICIOS RESUELTOS DE LEY DE COULOMB Y CAMPO ELÉCTRICO
1. Suponga que se tiene tres cargas puntuales localizadas en los vértices de un
triángulo recto, como se muestra en la figura:

12. Profesor: Julio C. Barreto G. 12 Escuela: 73,79
Solución:
Datos e incógnitas
q = C
q = C
q = - C



70
50
80
3
2
1
2
2
9 9 10
c
New m
k

 
AB = c
AC = cm
40
30
Fq ? 3
Transformaciones
C
C
C
q = C
C
C
C
q = C
C
C
C
q = C
6
6
3
6
6
2
6
6
1
70 10
1
10
70
50 10
1
10
50
80 10
1
10
80






 
 
   






, m
cm
m
AB = cm
, m
cm
m
AC = cm
0 4
100
1
40
0 3
100
1
30
 
 
Hallemos la separación entre 3 q y 1 q se obtiene usando el Teorema de Pitágoras:
CB= , m
CB= , m
CB = , m
CB = , m , m
CB = AC + AB CB = ( , m) + ( , m)
0 5
0 25
0 25
0 09 016
0 3 0 4
2
2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2



 

Las direcciones de las fuerzas sabemos coinciden con las líneas que unen a cada par
de cargas puntuales.
 La fuerza que 1 q ejerce sobre , 3 q , 13 F es de atracción.
 La fuerza que 2 q ejerce sobre , 3 q , 23 F es de repulsión.

13. Profesor: Julio C. Barreto G. 13 Escuela: 73,79
Análisis Vectorial
Las fuerzas 13 F y 23 F tienen las direcciones que se indican en la figura de abajo:
Calcular la fuerza sobre la carga 3 q debida a las cargas 1 q y . 2 q
Las magnitudes de tales fuerzas son:
 
F = , New
. m
x C x C
C
New m
F = x
- -
2016
0 5
80 10 70 10
9 10
13
2
6 6
2
2
9
13
 
 
F = New
. m
x C x C
C
New m
F = x
- -
350
0 3
50 10 70 10
9 10
23
2
6 6
2
2
9
23
 

14. Profesor: Julio C. Barreto G. 14 Escuela: 73,79
Conviene disponer ejes coordenados xy tal como se indica en la figura, con el origen
en la carga donde deseamos calcular la fuerza resultante, en este caso en . 3 q
Llamando Fq3  a la fuerza resultante sobre , 3 q entonces:
Fq = F + F . 3 13 23
Luego, en términos de componentes x e y :
  x x x F q = F + F3 13 23
  y y y F q = F F3 13 23 
De acuerdo con la figura:
Luego:
F = . New;
,
,
F = F θ F = . New
x
x x
1613
0 5
0 4
cos 2016
13
13 13 13





 

15. Profesor: Julio C. Barreto G. 15 Escuela: 73,79
F = New;
,
,
F = F senθ F = . New
y
y y
121
0 5
0 3
2016
13
13 13 13





 
F = New; x 0 23
350 . 23 23 F = F New y 
De acá tenemos:
Fq  = New + New = New; x 161,3 0 161,3 3
Fq  = New New = New; y 350 121 229 3 
La magnitud de la fuerza neta   3 F q se obtiene de aplicando el teorema de Pitágoras
en el triángulo resultante:
     
     
 
 
 
Fq  = New
F q = New
F q = New
F q = New + New
F q = New + New
F q = F q + F q x y
280
78458,69
78458,69
26017,69 52441
161,3 229
2
3
2
3
2 2
3
2 2 2
3
2 2 2
3
2
3
2
3
2
3
El ángulo de esta fuerza se obtiene de

16. Profesor: Julio C. Barreto G. 16 Escuela: 73,79
 
0
3
3
54,8
= arctg 1.42
142
1613
229
 

 
 


tgθ .
. New
New
tgθ
F
F
tgθ
x
y
Con sentido Este-Norte.
CAMPO ELÉCTRICO
q
F
E  2 r
kQ
E 
Donde:
E :Campo eléctrico, intensidad del Campo eléctrico.
F :Fuerza eléctrica.
q :Carga, magnitud de la carga colocada en el Campo eléctrico.
Se dice que existe un campo eléctrico en una región del espacio en la cual una carga
eléctrica experimentará una fuerza eléctrica. La magnitud de la intensidad del campo
eléctrico ( E ) se da por la fuerza ( F ) por unidad de carga ( q ).
Si q es (+): E y F tendrán
la misma dirección.
Si q es (-) la fuerza (F) estará
dirigida opuestamente a E.
Ejercicios:
1) ¿Cuál es la intensidad del campo eléctrico a una distancia de 2m de una carga de
12C ?

17. Profesor: Julio C. Barreto G. 17 Escuela: 73,79
Datos e incógnitas
E  ?
r  2m
2
2
9 9 10
C
New m
k

 
Q  12C
Transformación
C
C
C
Q C 6
6
12 10
1
10
12 

     


Análisis vectorial
Luego:
 
27 10 .
2
12 10
9 10 3
2
6
2
2
9
2 C
New
m
C
C
New m
E
r
kQ
E  
 
   

2) Dos cargas puntuales Q= 6C 1  y Q = 6 C, 2   están separadas 12 cm, como se
muestra en la figura:
Determínese el campo eléctrico en el punto A y en el punto B.

18. Profesor: Julio C. Barreto G. 18 Escuela: 73,79
Solución:
Datos e incógnitas
 ? A E
 ? B E
d 12cm
2
2
9 9 10
C
New m
k

 
Q= 6C 1 
Q = 6 C, 2  
Transformación
C
C
C
Q C
C
C
C
Q C
9
9
2
9
9
1
6 10
1
10
6
6 10
1
10
6




     
     




Nota: Realizar las transformaciones de las distancias.
Análisis Vectorial
Esta dado en la figura del enunciado.
Calculemos el Campo eléctrico en punto A:
El campo eléctrico en A debido a : 1 Q
 
3,38 10 .
0,04
6 10
9 10 4
2
9
2
2
9
2
1
1 C
New
x
m
x C
C
New m
x
r
kQ
E 

 

(Izquierda)
Y en punto A:
El campo en A debido a : 2 Q
 
8,43 10 .
0,08
6 10
9 10 34
2
9
2
2
9
2
2
2 C
New
x
m
x C
C
New m
x
r
kQ
E 

 

(Izquierda)

19. Profesor: Julio C. Barreto G. 19 Escuela: 73,79
Puesto que los vectores tienen la misma dirección y sentido, la intensidad resultante
en A es:
3,38 10 8,43 10 4,22 10 . 4 34 4
1 2 C
New
C
New
x
C
New
E E E x A       (Izquierda)
El campo B ejercido por 1 Q y , 2 Q se sigue del análisis vectorial:
Luego:
 
  C
New
x
m
x C
C
New m
x
r
kQ
E
C
New
x
m
x C
C
New m
x
r
kQ
E
3
2
9
2
2
9
2
2
2
3
2
9
2
2
9
2
1
1
2,4 10
0,15
6 10
9 10
6,66 10 .
0,09
6 10
9 10


 


 


La Σ vectorial del campo eléctrico E :
   
C
New
E E E x x
0 3 0 3
2 2      cos 37  2,410  cos 37  1,9210
   




  
        

C
New
E
C
New
E E , ,
E
y
y
y
3
1
0 3 0 3
2 2
666 10
sin 37 2 4 10 sin 37 1 44 10
De donde se puede comprobar que:
C
New
Ey
3   5,22010 y así:
 Módulo:
C
New
C
New
C
New
E E Ey x y
3
2
3
2
2 2 3 10 56 , 5 10 220 , 5 10 92 , 1   



  



   

20. Profesor: Julio C. Barreto G. 20 Escuela: 73,79
 Dirección: 69,80 .
1,92 10
5,220 10
0
3
3

 




 




 
 

C
New
C
New
arctg R  Con sentido Este-Norte.
VALORES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Ángulos
Funciones
0°
90°
180°
270°
360°
Seno 0 1 0 -1 0
Coseno 1 0 -1 0 1
Tangente 0 No 0 No 0
Cotangente No 0 No 0 No
Secante 1 No -1 No 1
Cosecante No 1 No -1 0
VALORES NOTABLES
Ángulos
Razones
30º 45º 60º
Seno
2
1
2
2
2
3
Coseno
2
3
2
2
2
1
Tangente
3
3
1 3
Cotangente 3
1
3
3
Secante
3
2 3
2
2
Cosecante 2 2
3
2 3
Sistema Sexagesimal (DEG): Es el sistema cuyas unidades de medidas van de 60 en 60. La
unidad del sistema sexagesimal en la medida de ángulos, es el grado (° sexagesimal), el cual se
define como la medida central del ángulo subtendido por un arco de círculo igual a 1/3600 ava parte
de la circunferencia de un círculo. Un minuto ( ) es la
60
1
ava parte de un grado; un segundo (”)
es la
60
1
ava parte de un minuto, o sea
3600
1
ava parte de un grado.