2. ¿Qué dirección debe tomar el esquiador si quiere bajar
la montaña rápidamente?
3. Curva Maravillosa: Braquistócrona
Un curva braquistócrona, o curva del descenso más rápido, es la curva entre dos puntos que es
recorrida en menor tiempo, por un cuerpo que comienza en el punto inicial con velocidad cero,
y que debe desplazarse a lo largo de la curva hasta llegar al segundo punto, bajo acción de una
fuerza de gravedad constante y suponiendo que no existe fricción.
Comparación entre una trayectoria braquistócrona, y otras dos trayectorias
posibles.
Cicloide generada por una circunferencia.
En 1696 el matemático Johann
Bernoulli anunció a la comunidad
matemática la solución al problema de
la braquistocrona (curva que sigue el
descenso más rápido cuando existe
gravedad y que es objeto de estudio en
el cálculo de variaciones), mostrando
que la solución era una
cicloide. Leibniz, Newton, Jakob
Bernoulli y Guillaume de l'Hôpital,
encontraron la solución del problema
enunciado por Bernoulli.
4. Logros de la sesión:
Al finalizar la sesión, el estudiante resuelve problemas vinculados a
la gestión e ingeniería a partir de la derivada parcial y direccional
usando el cálculo de la gradiente, e interpretando su resultado con
las propiedades físicas que el tiene.
8. PLANO TANGENTE
Se llama plano tangente a una superficie en un punto P de la misma, al plano
que contiene todas las tangentes a las curvas trazadas sobre la superficie por el
punto P.
ECUACIÓN DEL PLANO TANGENTE
9. Ejemplo
Hallar la ecuación del plano tangente al paraboloide
en el punto
RECTA NORMAL
Se llama recta normal a una superficie a la recta que pasa por un punto P y es perpendicular
al plano tangente.
12. Ejemplo
Determine la ecuación del plano tangente y la recta normal al hiperboloide
de dos mantos
en el punto
Solución
2
x2 y 2 1
Haciendo: F ( x, y, z ) z
tenemos que:
Fx
2x x 1
2
Fy
Fz
2y
2z z
y
2
4
6
Por tanto, la ecuación del plano tangente es:
Por otro lado, la ecuación de la recta normal es :
x 1 2t
y
2 4t
z
6
2t 6
x
2y
z 6
0
13. Ejemplo
Hallar el o los puntos de la esfera
en los cuales el plano
tangente es paralelo al plano
Solución
Sea
uno de estos puntos, entonces por estar en la esfera:
Por otro lado, por ser el plano tangente a la esfera en el punto
y el plano
paralelos, sus vectores normales son paralelos, es decir :
Entonces se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:
De donde obtenemos que los puntos que buscamos son:
14. Ejemplo
¿En qué punto de la superficie
?
la recta normal es paralela al vector
Solución
Sea
el punto que buscamos. Si la recta normal es paralela al vector
entonces su vector director también es paralelo a
con lo cual, si :
entonces :
;
Evaluando en
esta sobre la superficie, por lo que satisface su ecuación :
Obtenemos el siguiente sistema:
Y así, el punto buscado es:
15. DERIVADA DIRECCIONAL
La derivada direccional de f en la dirección dada por el vector unitario u
está dada por:
f ( x su1 , y su2 ) - f(x, y)
D f(x, y) lim
s 0
s
u
si el límite existe.
16. Teorema: Si f tiene sus primeras derivadas parciales continuas
entonces tiene derivada direccional en la dirección de cualquier
vector unitario u y se cumple:
D f(x, y) f x (x, y) u1
u
f y (x, y) u 2
