1. SUCESIONES y NOTACION de SUMATORIA
Definición:
Una sucesión, es el conjunto de números determinados en un orden específico.
Sea la sucesión: a1 , a 2 , a 3 ,......, a n ,
donde a1 se le denomina 1er término y a n el término enésimo.
Dada un sucesión, el término enésimo a n tiene una relación directa con cada uno de los términos
anteriores, es decir a n depende del valor de n.
Por ejemplo, en la sucesión: 2 ,4 , 6 ,8 ,10 ,…….Para determinar el término enésimo bastará observar
la relación entre los elementos y determinar la secuencia lógica de la sucesión.
Entonces en: 2 ,4 , 6 ,8 ,10 ,……. Observamos: 2(1) , 2(2) , 2(3) , 2(4) , 2(5) ,……. De lo cual
podemos inferir que el término enésimo será: a n  2n con a n = 1,2,3,4,…
Notación SIGMA:
Dada una sucesión: a1 , a 2 , a 3 ,......, a n , la Suma de todos sus elementos se puede simbolizarse con la
letra griega  (sigma, que corresponde a la S de suma) que representa:
n
 a k  a1  a 2  a 3  ......  a n
k 1
Donde se representa la Suma de un término a k , variando el subíndice desde k=1 hasta k=n , siendo n
un número entero mayor que la unidad.
Ejemplo:
5 1
Desarrollar : 
j3 j
51 1 1 1 47
Solución:     
j3 j 3 4 5 60
Ejemplo:
Exprese la suma con la notación sigma, 3  4  5  ....  77
Solución: Se observa que la cifra interna de la raíz va desde el 3 hasta el 77, entonces podemos
77
expresar como 3  4  5  ....  77   k.
k 3
Si el valor de k comenzara en uno, también podríamos expresarlo como:
75
3  4  5  ....  77   k2
k 1
Jmpm2010

2. Propiedades de las Sumas:
Sean las sucesiones : a1 , a 2 , a 3 ,......, a n y b1 , b2 , b3 ,......, bn , n  0 y c  R se cumple:
n n n
1.-  (a
k 1
k  bk )   a k   bk
k 1 k 1
n n n
2.-  ( a k  bk )   a k   bk
k 1 k 1 k 1
n n
3.-  ca k  c( a k )
k 1 k 1
PROGRESIÓN ARITMÉTICA
Toda Progresión Aritmética es una sucesión, cuya diferencia entre sus términos consecutivos es
constante.
Entonces sea: a1 , a 2 , a 3 ,......, a n , la cual será una P.A. si y solo sí :
a 2  a1  a 3  a 2  a 4  a 3  ......  a n  a n1  d donde d es la diferencia constante, por lo cual
podemos expresarla como: a , a  d , a  2d , a  3d , a  4d ,......, a  ( n  1)d , por ello podemos decir
que el término enésimo será: a n  a  ( n  1)d
La Suma S n de los elementos de una progresión aritmética estará dada por:
S n  a  (a  d )  (a  2d )  (a  3d )  .....  (a  ( n  1)d )
Lo cual podemos expresar en las siguientes formas:
n
1.- S n  [2a  ( n  1)d ]
2
n a  an
2.- S n  ( )
2 2
Ejemplo:
Determine el décimo quinto elemento de la Sucesión: 3, 7,11,15,19,….
Solución: Observamos que existe una diferencia constante entre los elementos de la sucesión, por ello
podemos concluir que se trata de una progresión aritmética, entonces:
Dado el término enésimo con n=15 : a n  a  ( n  1)d , a15  3  (15  1)4  59 .
Ejemplo:
Calcular la suma de los 50 primeros números impares.
Solución: Si se trata de números impares, entonces a1  1 , diferencia constante será d=2 . Ahora
n 50
debemos hallar la suma en : S n  [2a  ( n  1)d ] , S 50  [2(1)  (50  1)2]  2500
2 2
Jmpm2010

3. PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
Toda Progresión Geométrica es una sucesión, cuyo cociente entre sus términos consecutivos es
constante.
Entonces sea: a1 , a 2 , a 3 ,......, a n , la cual será una P.G. si y solo sí :
a 2 / a1  a 3 / a 2  a 4 / a 3  ......  a n / a n1  r donde r es la razón constante, por lo cual podemos
expresarla como: a , ar , ar 2 , ar 3 , ar 4 ,......, ar n1 , por ello podemos decir
que el término enésimo será: a n  ar n 1
La Suma S n de los elementos de una progresión geométrica estará dada por:
S n  a  ar  ar 2  ar 3  ar 4  ......  ar n1 con r  1
1 rn
También podemos expresar la Suma como: S n  a( )
1 r
Cuando la progresión geométrica es infinita, debemos verificar que la progresión “converge”, es decir
la razón ( r ) , tiene que ser una fracción y cumplir : r  1 , con lo cual podemos expresar la suma de
a
sus infinitos elementos como: Sn 
1 r
Ejemplo:
1 1 1 1
Determine el séptimo elemento de la siguiente progresión: , , , ,......
2 4 8 16
1
Solución: Observamos que se trata de una P.G. , ya que su cociente es constante r  , entonces el
2
1 1 6 1
término enésimo : a n  ar n 1 será con n=7 , a 7  ( ) 
2 2 128
Ejemplo:
2 2 2
Calcular el valor de la suma de todos los elementos de la PG. : 2 
   ....
5 25 125
Solución: Observamos que se trata de una progresión geométrica infinita, por lo tanto debemos
verificar si la razón cumple la condición: r  1 . Procedemos a hallar la razón y encontramos que
1
r y siendo menor que la unidad , entonces podemos hallar la suma de los infinitos términos con:
5
a 2 5
Sn  donde S   
1 r 1 2
1
5
Jmpm2010