El documento presenta información sobre la hipérbola, incluyendo su definición, elementos, ecuaciones y aplicaciones. Describe que una hipérbola es el lugar geométrico de puntos cuya diferencia de distancias a dos focos es constante. Explica elementos como focos, vértices, ejes y asíntotas. Incluye ecuaciones en forma canónica y para diferentes posiciones del centro. Finalmente, muestra ejemplos numéricos y aplicaciones de las hipérbolas.
1. GRUPO 4
Integrantes:
Idrobo María Alicia
Criollo Paola
Armijos Katherine
Beltrán Lilibeth
Narváez Max
Ordoñez Vanessa
Puchaicela Leydi
Naranjo Isaac
Veintimilla Nathaly
Yaguana Jessica
Espejo Briggitte
2. LA HIPÈRBOLA
Definición.- Una hipérbola es el lugar geométrico de los
puntos de un plano tales que el valor absoluto de la diferencia
de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es igual a
la distancia entre los vértices, la cual es una constante
positiva.
3. ELEMENTOS DE LA HIPÈRBOLA
Focos
Son los puntos fijos F y F'.
Eje focal
Es la recta que pasa por los focos.
Eje secundario o imaginario
Es la mediatriz del segmento .
Centro
Es el punto de intersección de los ejes.
Vértices
Los puntos A y A' son los puntos de intersección de la
hipérbola con el eje focal.
Los puntos B y B' se obtienen como intersección del
eje imaginario con la circunferencia que tiene por
centro uno de los vértices y de radio c.
4. ELEMENTOS DE LA HIPÈRBOLA
Radios vectores
Son los segmentos que van desde un punto de la
hipérbola a los focos: PF y PF'.
Distancia focal
Es el segmento de longitud 2c.
Eje mayor
Es el segmento de longitud 2a.
Eje menor
Es el segmento de longitud 2b.
Ejes de simetría
Son las rectas que contienen al eje real o al eje
imaginario.
Asíntotas
Son las rectas de ecuaciones:
6. ECUACIONES DE LA HIPÈRBOLA
Ecuación de una hipérbola con centro en el origen
de coordenadas y ecuación de la hipérbola en su
forma canónica.
Ecuación de una hipérbola con centro en el punto
7. Ejemplos:
a)
b)
Si el semieje transverso a se encuentra en el eje x, y
el semieje conjugado b, en el eje y, entonces la
hipérbola es horizontal; si es al revés, es vertical.
La excentricidad de una hipérbola siempre es
mayor que uno.
8. ECUACIÒN DE LA HIPÈRBOLA EN
SU FORMA COMPLEJA
Una hipérbola en el plano complejo es el lugar
geométrico formado por un conjunto de puntos ,
en el plano ; tales que, cualesquiera de ellos
satisface la condición geométrica de que el valor
absoluto de la diferencia de sus distancias , a dos
puntos fijos llamados focos y , es una constante
positiva igual al doble de la distancia (o sea )
que existe entre su centro y cualesquiera de sus
vértices del eje focal.
Esta operación se lleva a cabo en el conjunto de
los números complejos.
10. Dos hipérbolas y sus asíntotas.
Hipérbola abierta de derecha a izquierda:
Hipérbola abierta de arriba a abajo:
Hipérbola abierta de noreste a suroeste:
Hipérbola abierta de noroeste a sureste:
11. FÓRMULAS DE LA ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOLA
Ecuación de la hipérbola con los focos en el eje OX
Excentricidad
Asíntotas
Ecuación reducida de la hipérbola
F'(-c,0) y F(c,0)
12. Ecuación de la hipérbola con los focos en el eje OY
Excentricidad
Asíntotas
Ecuación reducida de la hipérbola
F'(0, -c) y F(0, c)
13. Ecuación de la hipérbola con eje paralelo a OX,
y centro distinto al origen
Donde A y B tienen signos opuestos.
Ecuación de la hipérbola con eje paralelo a OY,
y centro distinto al origen
14. EJERCICIOS
1. Dada la hipérbola cuya ecuación viene dada
por: Determine: coordenadas de los
focos, de los vértices, ecuaciones de las asíntotas.
Trazar la gráfica.
Con estos datos, se tiene: F(0, 4), F’(0, -4), V1(0, 3) y V2(0, -3).
15. Ecuaciones de las asíntotas:
2. Una hipérbola cuyo centro es el punto C(2, 3),
tiene sus focos sobre la recta y = 3. Además, la
distancia entre los focos es 10 y la distancia entre
sus vértices es 8. Trazar la gráfica y determine:
coordenadas de los vértices, focos y ecuaciones de
las asíntotas.
Como la distancia entre los vértices es 8, a = 4.
Igualmente, como 2c = 10, c = 5 y por lo
tanto b2 = c2 – a2 = 9. Asi que b = 3
16. Las coordenadas de los focos son:
y y = 3. Esto es: F(7, 3) y F’(-3, 3).
Igualmente, las coordenadas de los vértices son:
y y = 3. Esto es, V1(6, 3) yV2(-2, 3).
Además, de la ecuación: se deduce que:
son las ecuaciones de las asíntotas