Función

1. Elaborado por: José Luis Morales Reyes
Matemática
Práctica
Función Exponencial y Logarítmica
I. Resuelva los siguientes problemas
1. Para estimar la edad (en años) de los fósiles se utiliza la fórmula E(p) = −8265 ln(10−2 p),
donde p representa el porcentaje de carbono 14 aún presente en la muestra. Determine:
a ) ¾Cuál es la edad de un fósil con un 7 % de carbono 14?
b ) ¾Cuál es el porcentaje aproximado de carbono 14 presente en restos de 15000 años?
2. Una bacteria del cólera se divide cada media hora para producir 2 bacterias completas. Si
comenzamos con una colonia de A0 bacterias, en t horas habrá A(t) = A0 22t bacterias (suponien-
do que se les proporciona comida adecuada y suciente).
a ) Encuentre A para A0 = 5000 bacterias y t = 2, 6 horas
b ) Si en t = 4, 33 horas hay 2000000 de bacterias, ¾cuál era la colonia inicial de bacterias?
3. El número N de bacterias presentes en un cultivo después de t minutos está dado por
N (t) = 300 · 40,5t .
a ) ¾Cuál es la población inicial de bacterias?
b ) ¾Cuántas bacterias habrán al cabo de 15 minutos?
4. Una población de P0 = 75000 personas aumenta en razón de P (n) = P0 e0,05n después de n
años. Determine la población existente al cabo de siete años.
5. La presión atmosférica P se puede calcular con la fórmula P (x) = 1, 013e−0,000126x , con P en
atmósferas y x en metros de altitud. Con base en la información anterior:
a ) ¾Cuál es la presión atmosférica del Cerro Chirripó a 3820msnm?
b ) ¾Cuál es la presión atmosférica del Monte Everest a 8848msnm?
c ) ¾Cuál es la altitud de Cartago si se sabe que su presión atmosférica es de 0, 845atm?
6. La poblacón P (en miles de habitantes) de una región está dada por P (t) = 670e0,0235t donde
t es el tiempo en años. ¾En cuánto tiempo la región alcanzará los 1000 habitantes?
7. La función f dada por f (x) = 700 + 300 log(x + 9) se utiliza para aproximar el costo en dólares
de producir x artículos. ¾Cuál es el costo en dólares de producir 91 artículos?
1

2. 8. El nivel de intensidad b de un sonido medido en decibeles se dene por b = 10(log I + 16),
donde I es la intensidad del sonido medido en vatios/cm2 . ¾Cuál es el nivel de intensidad en
decibeles de una alarma de incendios cuya intensidad es de 10−9 vatios/cm2 ?
1
9. La estatura h en centímetros de un niño en función de su edad t en años para t ∈ , 6 está
4
dada por h(t) = 70, 228 + 5, 104t + 9, 222 ln t, entonces ¾Cuál es la altura aproximada de un
niño de 4 años?
10. Normalmente, la acidez de una sustancia se mide por medio de la ecuación
pH([H + ]) = − log[H + ], donde [H + ] es la concentración de los iones hidrógeno medida en moles
por litro.
a ) ¾Cuál es el pH de una sustancia con una concentración de 0, 005 moles de iones de
hidrógeno por litro?
b ) ¾Cuál es la concentración de moles de hidrógeno en una sustancia con un pH = 6, 3?
c ) Halle la concentración de iones hidrógeno en el agua si su pH es de 7, 3
11. La función f dada por f (t) = c · 2−0,05t representa la cantidad en gramos de actinio radioactivo
al cabo de t años. Si c es la cantidad inicial de ese elemento en gramos, ¾cuántos gramos de
actinio habrá aproximadamente al cabo de 30 años si su cantidad inicial es de 1000 g ?
12. La relación de Ehrenberg ln W = ln 2,4 + (1,84)h es una fórmula empírica que relaciona la
estatura h(en metros) con el peso promedio W (en kilogramos) para niños entre 5 y 13 años de
edad.
a ) Calcule el peso promedio de un niño de 8 años que mide 1,5 metros
b ) ¾Cuál es la altura aproximada de un niño de 13 años que tiene un peso promedio de 50kg?
13. Para medir el nivel de intensidad del sonido normalmente se aplica la fórmula β = 120 log(10I)
con β en decibeles e I en watts/m2
a ) Determine el nivel de intensidad del sonido de un jet cuya intensidad fue de I = 100watts/m2
b ) Halle la intensidad de un concierto de Rock si su nivel de intensidad fue de 120 decibeles.
c ) Si el nivel de intensidad del sonido de un tren es de 105 decibeles entonces ¾Cuál es la
intensidad en watts/m2
14. El aumento de la altura de los árboles se estima por medio de la siguiente ecuación
120
h=
1 + 200e−0,2t
Donde h es la altura medida en pies y t es la edad del árbol en años. Determine:
a ) ¾Cuál será su altura a los 10 años?
b ) ¾A qué edad medirá 50 pies?
2

3. 15. Un cultivo de bacterias, con un número inicial de 1000 bacterias, dobla su tamaño cada hora.
a ) Encuentra una fórmula para el número N (t) de bacterias presentes después de t horas.
b ) ¾Cuántas bacterias estarán presentes después de 8 horas?
16. Supongamos que una cantidad de azúcar se coloca en agua, y que el 10 % se disuelve cada
minuto. Sea Q(t) la cantidad de azúcar presente después de t minutos. Si inicialmente hay 5
kilos de azúcar, es decir, Q(0) = 5. Determine:
a ) ¾Cuanta azúcar estará presente después de 15 minutos?
b ) ¾Cuanto tiempo tiene que trascurrir para que hayan 3 kg de azúcar?
17. Según estudios médicos, una ley de cicatrización de la piel dañada por heridas o quemaduras
es A = B · e 10 , donde A es el área que no ha sanado al cabo de n días y B es el área de la
−n
región dañada originalmente. Si una persona se dañó 1cm2 de su piel, entonces determine la
cantidad de días para que la herida haya sanado tres cuartas partes.
18. El número b de bicicletas que un mecánico aprendiz puede ensamblar diariamente después
de t días de entrenamiento está dado por b(t) = 60 [1 − e−0,04t ]. ¾Después de cuántos días de
entrenamiento el mecánico armará 40 bicicletas diarias?
19. En una maquiladora, Pedro puede coser P pantalones por día después de t días de práctica,
en donde P (t) = 400 − 400e−t . ¾Después de cuántos días de práctica podrá Pedro coser 399
pantalones diarios?
3

4. Referencias bibliográcas
Aguilar, A. (2008). Manual de ejercicios matemáticos: 10 año. San José, Costa Rica: Editorial Káñir.
Páez, C. Práctica 08: Funciones y Ecuaciones Exponenciales y Logarítmicas. Cartago, Costa Rica:
Instituto Tecnológico de Costa Rica. Recuperado de http://www.tec-digital.itcr.ac.cr /revistamatem-
atica/ cursos-linea/MATEGENERAL/practicas/08PracExpLog/PracExpLog.pdf
Porras, V. (2005). Matemática 11: Publicaciones Porras Gamboa. San José, Costa Rica: V. Porras.
4