1. PROBLEMARIO DE ECUACIONES DIFERENCIALES
´ ´
ASIGNATURA: CALCULO 40 Y MATEMATICAS 40
EJERCICIOS DE PROBLEMAS
DE
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS.
1.- Clasificar cada una de las siguientes ecuaciones seg´ n el orden y el grado, y decir si
u
son lineales o no lineales:
a) dy + (xy − cos x)dx = 0. R. : 1er orden; 1er grado.
b) y ′′′ + xy ′′ + 2y(y ′)2 + xy = 0. R. : 3er orden; 1er grado.
2
∂3u ∂2u
c) − + uv = 0. R. : 3er orden; 2do grado.
∂v ∂v 2
√
d) ρ′ + ρ = sen θ R. : 1er orden; 1er grado.
2
∂2ρ ∂ρ
e) = 4
ρ+ . R. : 2do orden; 4to grado.
∂θ2 ∂θ
f) (1 − x)y ′′ − 4xy ′ + 5y = cos x. R. : 2do orden; 1er grado. (lineal ).
g) yy ′ + 2y = 1 + x2 . R. : 1er orden; 1er grado. (no lineal).
′′
h) x3 y (4) − x2 y + 4xy ′ − 3y = 0. R. : 4to orden; 1er grado. (lineal)
1
2. 2
dy dy
i) = 1+ . R. : 1er orden; 2do grado. (no lineal).
dx dx
′′′
j) (sen x)y − (cos x)y ′ = 2. R. : 3er orden; 1er grado. (lineal).
2.- Obtener la ecuaci´n diferencial cuya primitiva es la dada:
o
1.- y = Ax. R. : y ′ = y/x.
2.- y = ex+A = Bex R. : y ′ = y.
3.- y = sen(x + A). R. : (y ′)2 = 1 − y 2.
4.- x = A sen(y + B). R. : y ′′ = x(y ′ )3 .
5.- ln x = Ax2 + B. R. : xyy ′′ − yy ′ − x(y ′)2 = 0
6.- y = cx + 2. R. : xy ′ = y − 2
7.- y = ce−x . R. : y ′ + y = 0.
8.- y 2 = c(x + 1). R. : 2(x + 1)y ′ = y.
9.- cy 2 + 4y = 2x2 . R. : (x2 − y)y ′ = xy.
2
3. 10.- y = c1 + c2 ex . R. : y ′′ − y ′ = 0.
11.- y = c1 + c2 ln x. R. : xy ′′ + y ′ = 0.
∂r
12.- r = c(1 + cos θ). R. : (1 + cos θ) + r sen θ = 0.
∂θ
13.- x3 − 3x2 y = c. R. : (x − 2y)∂x − x∂y = 0.
14.- x = A sen(wt + B); w es un par´metro que no debe ser eliminada.
a
R. : Y ′′ + w 2 x = 0
15.- y = cx + c2 + 1. R. : y = xy ′ + (y ′ )2 + 1.
16.- y = x + c1 e−x + c2 e−3x . R. : y ′′ + 4y ′ + 3y = 4 + 3x.
17.- y = c1 e2x cos 3x + c2 e2x sen 3x. R. : y ′′ − 4y ′ + 13y = 0.
18.- y = c1 eax cos bx + c2 eax sen bx. ( a y b son par´metros).
a
R. : y ′′ − 2ay ′ + (a2 + b2 )y = 0.
19.- y = x + c1 x + c2 e−x . R. : (x + 1)y ′′ + xy ′ − y = x2 + 2x + 2.
20.- y = c1 x2 + c2 e2x . R. : x(1 − x)y ′′ + (2x2 − 1)y ′ − 2(2x − 1)y = 0.
3
4. 3.- Verificar en los ejercicios que se dan a continuaci´n, que las funciones dadas son
o
soluciones de las E.D. indicadas:
sen x
21.- y = . R. : xy ′ + y = cos x
x
√
22.- y = 2 + c 1 − x2 . R. : (1 − x2 )y ′ + xy = 2x.
23.- y = earcsin cx . R. : xy ′ = y tan ln y.
x
sen t
24.- y = x dt. R. : xy ′ = y + x sen x.
0 t
x = cos t
25.- R. : x + yy ′ = 0.
y = sen t
x = earctan t
26.- R. : y − xy ′ = 0.
y = e− arctan t
x = ln t + sen tt
27.- R. : x = ln y ′ + sen y ′.
y = t(1 + sen t) + cos t
x = t2 + et
R. : y ′2 + ey = x.
′
28.- 2 3
y = t + (t − 1)et
3
x
29.- y = e− 2 . R. : 2y ′ + y = 0.
∂y
30.- y = e3x + 10e2x . R. : − 2y = e3x .
∂x
4
5. 6 6 −20t ∂y
31.- y = − e R. : + 20y = 24.
5 5 ∂x
√ ∂y y
32.- y = ( x + c)2 ; (x > 0) R. : = .
∂x x
1 1
33.- y = 2 sen x − 2 cos x + 10e−x . R. : y ′ + y = sen x.
34.- x2 y + y 2 = c. R. : 2xy∂x + (x2 + y)∂y = 0.
1
35.- y = − R. : x2 ∂y + 2xy∂x = 0.
x2
1
36.- y = x ln x; x > 0. R. : y ′ − y = 1.
x
aceat ∂P
37.- P = R. : = P (a − bP )
1 + bceat ∂y
y
38.- c(x + y)2 = xe x R. : (x2 + y 2 )∂x + (x2 − xy)∂y = 0.
39.- y = cos hx + sen hx. R. : y ′′ = y.
40.- y = xcos(ln x); x > 0. R. : x2 y ′′ − xy ′ + 2y = 0.
41.- y = c1 sen 3x + c2 cos 3x + 4ex R. : y ′′′ − y ′′ + 9y ′ − 9y = 0.
42.- y = c1 + c2 x ln x + 4x2 ; x > 0. R. : x3 y ′′′ + 2x2 y ′′ − xy ′ + y = 12x2 .
5
6. 4.- En cada uno de los ejercicios obt´ngase la E.D. de la familia de curvas descritas y
e
si es posible, grafique o bosqueje algunas de dichas curvas:
43.- y = c1 e2x + c2 e−2x , R. : y ′′ − 4y = 0.
44.- Famila de c´
ırculos con centro en el origen. R. : yy ′ + x = 0.
45.- Familia de curvas que pasan por el origen con centro en el eje y
R. : (x2 − y 2)y ′ = 2xy.
46.- Familia de par´bolas:y = (x + c)2
a R. : y ′ 2 = 4y.
2ce2x
47.- Familia de curvas: y = . R. : y ′ = y(2 − y).
1 + ce2e
48.- Familia de rectas que pasan por el origen. R. : xy ′ − y = 0.
49.- Familia de c´
ırculos que pasan por el origen y cuyos centros est´n en el eje x
a
R. : 2xyy ′ = y 2 − x2 .
50.- Familia de par´bolas con v´rtice en el origen y cuyos focos est´n en el eje x.
a e a
R. : 2xy ′ = y.
51.- Familia de circunferencias de radio variable r, cuyos centros est´n sobre el eje x.
a
′ 2
R. : yy + (y ) + 1 = 0.
′′
6
7. 52.- Familia de cardiodes: ρ = a(1 − cos θ) R. : (1 − cos θ)∂ρ = ρ sen θ ∂θ.
53.- E.D. de todas las circunferencias del plano. R. : (xy ′ − y)2 + (y ′ )2 .
54.- E.D. de todas las circunferencias del plano. R. : [1 + (y ′)2 ]y ′′ − 3y ′(y ′ )2 = 0.
55.- Las c´ bicas cy 2 = x2 (x − a); con a fijo.
u R. : 2x(x − a)y ′ = y(3x − 2a).
2 x3
56.- Las cisoides y = R. : 2x3 y ′ = y(y 2 + 3x2 ).
a−x
57.- Par´bolas con el eje paralelo al eje x, y con la distancia del v´rtice al fono igual
a e
a “a′′ . R. : 2ay ′′ + (y ′)3 = 0.
58.- Circunferencia de radio fijo r, y tangentes R. : (y±r 2)(y ′ )3 +y 2 ±2ry = 0.
59.- Circunferencias con centro sobre la recta y = −x, y que pasen por el orgen.
R. : (x2 − 2xy − y 2)dx + (x2 + 2xy − y 2 )dy = 0.
60.- Las circunferencias r = 2a(sen θ − cos θ).
R. : (cos θ − sen θ)dr + r(cos θ + sen θ)dθ = 0.
dr
61.- Las estrofoides r = a(sec θ + tan θ). R. : = r sec θ.
dθ
7
8. 62.- Las trisectrices de Mc-Laurin: y 2(a + x) = x2 (3a − x).
R. : (3x4 − 6x2 y 2 − y 4 )dx + 8x3 ydy = 0.
ECUACIONES DIFERENCIALES DE
PRIMER ORDEN Y PRIMER GRADO
VARIABLES SEPARABLES.
5.- Resolver la ecuaci´n diferencial ordinaria (E.D.O.) dada:
o
3
63.- dy/dx = 3x2 y. R. : y = cex .
64.- cos x sen ydy = 2 sen x cos ydx. R. : cos y = c cos2 x
√ √
65.- 4 − xdy = 4 − y 2 dx. R. : y 4 − x2 − x 4 − y 2 = c.
66.- dy/dx = eax+by . R. : beax + ae−by = c.
67.- y(x3 dy + y 3dx) = x3 dy. R. : 3x2 y − 2x2 + 3y 3 = cx2 y 3 .
1
68.- dy/dx = cos 2x. R. : y = sen 2x + c.
2
8
9. 1
69.- dx − x2 dy = 0. R. : y = − + c.
x
70.- (x + 1)dy/dx = x. R. : y = x − ln |x + 1| + c.
71.- xy ′ = 4y. R. : y = cx4 .
72.- dy/dx = y 3/x2 . R. : y −2 = 2x−1 + c.
73.- dx/dy = x2 y 2/1 + x. R. : −3 + 3x ln |n| = xy 3 + cx.
74.- dy/dx = e3x+2y . R. : −3e−2y = 2e3x + c.
75.- (4y + yx2 )dy − (2x + xy 2 )dx = 0. R. : 2 + y 2 = c(4 + x2 ).
76.- 2y(x + 1)dy = xdx. R. : y 2 = x − ln |x + 1| + c.
2
dx y+1 x3 1 y2
77.- y ln x = . R. : ln x − x3 = + 2y + ln y + c.
dy x 3 y 2
ds
78.- = ks. R. : s = cekr .
dr
dp p cet
79.- = p(1 − p). R. : = cet , , p = .
dt 1−p 1 + cet
80.- sec2 xdy + csc ydx = 0. R. : 4 cos y = 2x + sen2 x + c.
9
10. 81.- (ey + 1)2 e−y dx + (ex + 1)3 e−x dx = 0. R. : (ex + 1)−2 + 2(ey + 1)−1 = c.
dN
82.- + N = Ntet+2 . R. : ln |N| = tet+2 − et+2 − t + c.
dt
dy xy + 3x − y − 3
83.- = .
dx xy − 2x + 4y − 8
5
y+3
R. : = cey−x , , y − 5 ln |y + 3| = x − 5 ln |x + 4| + c.
x+4
dy
84.- = sen x(cos 2y − cos2 y). R. : − cot y = cos x + c.
dx
x2
85.- x 1 − y 2dx = dy. R. : y = sen +c .
2
dy
86.- (ex + e−x ) = y2. R. : y −1 = arctan(ex ) + c.
dx
2 2
87.- ey dx + x2 ydy = 0 R. : xe−y + 2 = cx.
88.- 3ex tg ydx + (2 − ex ) sec2 ydy = 0 R. : tg y − c(2 − ex )3 = 0.
89.- 3ydx = 2xdy. R. : x2 = cy 2.
90.- y ′ = xy 2 . R. : y(x2 + c) + 2 = 0.
10
11. 91.- y ′ = ax+y , (a > 0, a = 1). R. : ax + a−y = c.
92.- ex (y − 1)dx + 2(ex + 4)dy = 0. R. : (y − 1)2 (ex + 4) = c2 .
93.- ey (1 + x2 )dy − 2x(1 + ey )dx = 0. R. : 1 + ey = c(1 + x2 ).
94.- (xy − x)dx + (xy + y)dy = 0. R. : (y − 1)ex+y = c(x + 1).
y
95.- (x + y)2 y ′ = a2 . R. : x + y = a tg c + .
a
96.- x2 dx + y ( x − 1)dy = 0.
97.- x cos2 ydx + tg ydy = 0 R. : x2 + tg2 y = c2 .
98.- y ′ = y sec x. R. : y = c(sec x + tg x).
99.- (e2x + 4)y ′ = y. R. : y 8(1 + 4e−2x ) = c2 .
100.- (1 + ln x)dx + (1 + ln y)dy = 0. R. : x ln x + y ln y = c.
√ √
101.- xdx + a2 − x2 dy = 0. R. : y − c = a2 − x2 .
102.- y ln x ln ydx + dy = 0. R. : x ln x + ln ln y = x + c.
11
12. 103.- tg x sec2 ydx + cos2 x cot ydy = 0. R. : sec2 − csc2 y = c.
104.- r sec θdr − 2a2 sen θdθ = 0. R. : r 2 + 2a2 cos2 θ = c.
√
105.- adr − r r 2 − a2 dθ = 0. R. : r = a sec(θ + c).
dy
106.- ey +1 = 1. R. : ln(ey − 1) = c − x.
dx
dy
107.- = (x − y + 1)2 . R. : x − y + 2 = c(y − x)e2x .
dx
dy
108.- = tg(x + y). R. : x − y − ln[sen(x + y) + cos(x + y)] = c.
dx
dy
109.- = e( x + y − 1) − 1. R. : x + e1−x−y = c.
dx
1 1
110.- (x2 y 2 + 1)dx + 2x2 dy = 0. R. : + ln x = c.
1 − xy 2
dy
111.- = x2 + y − 1. R. : 2x + x2 + y + 1 = cex .
dx
112.- (xy + y + x − 2)dx + (xy + x)dy = 0 R. : 3x2 − 12xy + 6xy = c.
dy 1
113.- = . R. : x + y + 2 = cey .
dx x+y+1
12
13. 1
114.- (1 + x2 y 2)y + (xy − 1)2 xy ′ = 0. R. : cy 2 = exy− xy .
dy
115.- = (x + y + 1)2 . R. : y = −x − 1 + tg(x + c).
dx
dy
116.- = tg2 (x + y). R. : 2y − 2x + sen 2(x + y) = c.
dx
117.- (x6 − 2x5 + 2x4 − y 3 + 4x2 y)dx + (xy 2 − 4x3 )dy = 0.
x3 y3 4y
R. : − x2 + 2x + 3 − = c.
3 3x x
dy √
118.- = 2 − y − 2x + 3. R. : 4(y − 2x + 3) = (x + c)2 .
dx
dy y − 4x + 2
119.- = (y − 4x)2 . R. : = ce−4x .
dx y − 4x − 2
120.- y(xy + 1)dx + x(1 + xy + x2 y 2 )dy = 0. R. : 2x2 y 2 ln y − 2xy − 1 = cx2 y 2 .
121.- (y − xy 2 )dx − (x + x2 y)dy = 0. R. : x = cyexy .
1
122.- (1 − xy + x2 y 2 )dx + (x3 y − x2 )dy = 0. R. : ln x = xy − x2 y 2 + c.
2
6.- Encontrar las soluciones particulares de las E.D.O. que siguen y que satisfaces las
condiciones iniciales dadas:
13
14. dy 2x
123.- − 2x = ; y(1) = 0. R. : y − ln(y + 1) = x2 − 1.
dx y
dy 1 1
124.- x2 = y − xy; y = 1. R. : xy = e2−(1/x) .
dx 2 2
dx 1 1 bt
125.- a = bx + c; x(0) = . R. : x = e a −c.
dt a b
1Π 6 cos y − 1
126.- 2 cos ydx = (x2 − 1) sen ydy; y 2 3 . R. : x = .
6 cos y + 1
dx 2(1, 5t/s − 1)
127.- = k(8 − 6x + x2 ); x(0) = 0; x(5) = 1. R. : x =
dt 1, 5t/s − 1
2
dx
128.- x = 2 − x; x(0) = 0. Encontrar: t|x = 1 R. : 0,386.
dt
dx
129.- 2 = 3 − 4x + x2 ; x(0) = 0. Encontrar:
dy
1
a)t|x= 1 b)x . R. : a) 0, 288 b)0, 372.
3 3
dx
130.- = k(5 − x)2 ; x(0) = 0; x(5) = 1. Encontrar: x|t=10
dt
R. : 5/3 .
du u0
131.- = −ku; u(0) = u0 ; u(10) = , u(15) = nu0 . Encontrar el valor de n.
dt 2
R. : R0, 354
14
15. 132.- sen x(e−y + 1)dx = (1 + cos x)dy; y(0) = 0 R. : (1 + cos x)(1 + ey ) = 4
1 √
133.- ydy = 4x(y 2 + 1) 2 dx; y(0) = 1 R. : y 2 + 1 = 2x2 + 2.
dx π 3π
134.- = 4(x2 + 1); x = 1. R. : tg 4y −
dy 4 4
1
135.- x2 y ′ = y − xy; y ( − 1) = 1. R. : xy = e−(1+ x ) .
136.- 2xyy ′ = 1 + y 2; y (2) = 3. R. : Y 2 = 5x − 1.
137.- y ln xdx + xdy = 0; y 1 = 1. R. : y = 1.
2 2
138.- y ′ = xe(y−x ) ; y (0) = 0. R. : 2e−y = 1 + ex .
1 + ex
139.- (1 + ex )yy ′ = ey ; y (0) = 0. R. : (1 + y)e−y = ln + 1 − x.
2
140.- (2a2 − r 2 )dr = r 2 sen θdθ; r(θ) = a. R. :
π
a) y ( 2 ) = e
π
141.- y ′ sen x = y ln y; R. : a) y = etg 2 .
π
b) y ( 2 ) = 1.
15
16. ´
ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGENEAS
Y
´
REDUCIBLES A HOMOGENEAS.
7.- Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:
142.- 2xydx + (x2 + y 2)dy = 0. R. : y 3 + 3x2 y = c.
√
2 1− x
143.- (x + y 2 − xy)dy − ydx = 0. R. : ye y = c.
144.- (x − 2y 3)dy = ydx. R. : x = xy − y 3 .
dy y
145.- =1+ R. : y = x(ln x + c).
dx x
146.- xdy = (x2 + y 2 + y)dx. R. : y = x tg(x + c).
dy ey
147.- = . R. : y 2 = xey + c.
dx 2y − xey
148.- (x2 + y 2 )dx = 2xydy. R. : x2 − y 2 = cx.
dy y y2
149.- = + 2. R. : xex/y = c.
dx x x
dy 2y 3x
150.- = + . R. : 3x2 + 2y 2 = cx4 .
dx x 2y
16
17. dy xy
151.- = 2 . R. : (x − y)ex/y = c.
dx x − xy + y 2
dy y
152.- + = exy . R. : exy (c − x2 ) = 2.
dx x
dy y
153.- x = y(ln y − ln x). R. : ln( x ) = 1 + cx.
dx
dy x2 − y 2 − 2y
154.- = 2 . R. : (x + y)ex+y = c(x − y).
dx y − x2 − 2x
dy x−y
155.- = . R. : x2 − 2xy − y 2 = c.
dx x+y
dy 3xy
156.- + 2 = 0. R. : 6x2 y 2 + y 4 = c.
dx 3x + y 2
y dy
157.- x+ = y. R. : x2 + 2y = cy 2 .
x dx
158.- 3xdx = 2xdy = 2ydx − xy cos xdx. R. : x2 = cy 2esen x .
y
159.- 2x tg + y dx = xdy. R. : x2 = c sen(y/x).
x
dy 7x + 3y + 5
160.- + = 0. R. : 7x2 + 6xy + 11y 2 + 10x + 31y = c.
dx 3x + 11y + 17
ydx − xdy 1 1
161.- = + dy R. : x + y = cex/y .
y2 x y
17
18. √ √
162.- y 2 − 1(1 − y x2 − 1)dx + x2 − 1(1 − x y 2 − 1)dy = 0.
√
R. : xy + x2 − 1 y 2 − 1 = cosh(xy + c).
163.- x(x2 + y 2 )dy = y(x2 y x2 + y 2 + y 2 )dx
x2 +y 2
R. : y + x2 + y 2 = cx2 e y
.
ex y
164.- y ′ = ; y(0) = 1. R. : ex = y(1 + 2 ln y).
ex + 2y
y
165.- (x − 2y)dx + (2x + y)dy = 0. R. : ln(x2 + y 2 ) + 4 arctan = c.
x
y
166.- xydx − (x2 + 3y 2 )dy = 0. R. : x2 = 6y 2 ln .
c
167.- (5v − u)du + (3v − 7u)dv = 0. R. : (3v + u)2 = c(v − u).
168.- v 2 dx + x(v − 4x)dv = 0. R. : xv 2 = c(v − 2x).
169.- (x csc(y/x) − y)dx + xdy = 0. R. : ln(x/c) = cos(y/x).
y y
170.- [x − y arctan ]dx + x arctan dy = 0.
x x
c2 (x2 + y 2 )
R. : 2y arctan(y/x) = x ln .
x4
171.- v(v 2 + u2 )du + u(v 2 − u2 )dv = 0. R. :
18
19. 172.- (x − y)dx + (3x + y)dy = 0; y(2) = 1.
R. : 2(x + 2y) + (x + y) ln(x + y) = 0.
√
173.- (y + x2 + y 2)dx − xdy = 0; y( 3) = 1. R. : x2 = 9 − 6y.
y π y e
174.- [x cos2 ( x )]dx + xdy = 0; y(1) = . R. : tg( x ) = ln( x ).
4
175.- (y 2 + 7xy + 16x2 )dx + x2 dy = 0; y(1) = 1.
R. : x − y = 5(y + 4x) ln x.
176.- xydx + 2(x2 + 2y 2)dy = 0; y(0) = 1. R. : y 4(3x2 + 4y 2) = 4.
177.- y(9x − 2y)dx − x(6x − y)dy = 0; y(1) = 1.
R. : 3x3 − x2 y − 2y 2 = 0.
178.- (16x + 5y)dx + (3x + y)dy = 0; la curva que pasa a trav´s del punto (1, −3).
e
R. : y + 3x = (y + 4x) ln(y + 4x).
179.- v(3x + 2v)dx − x2 dv = 0; v(1) = 2. R. : 2x3 + 2x2 v − 3v = 0.
180.- (3x2 − 2y 2 )y ′ = 2xy; y(0) = −1. R. : x2 = 2y 2 (y + 1).
1
181.- y(2x2 − xy + y 2 )dx − x2 (2x − y)dy = 0; y(1) = .
2
19
21. dy y2 − x y2
191.- = . R. : ce− x .
dx 2xy
dy 3x2 y + x5
192.- = . R. : 3y 2 − 6yx3 − x6 = c.
dx y − x3
193.- (2xy − 4x3 )dx − (2y − x2 )dy = 0. R. : y 2 − x2 y + x4 = c.
1 1 1
194.- (4xy 2 − 6y)dx + (4y 2 − 3x)dy = 0. R. : x2 − 3xy 2 + 2y = c.
195.- (2x − y 4)dx − 4y 3 (x + 12y 4)dy = 0.
√
dy y+4 x √
196.- 2 =− √ . R. : 2x + y x − y 2 = c.
dx x − 2y x
ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS.
8.- Determine si la ecuaci´n dada es exacta. Si lo es, resu´lvala:
o e
3
197.- (2x + 4)dx + (3y − 1)dy = 0. R. : x2 + 4x + y 2 − y = c.
2
5 2
198.- (5x + 4y)dx + (4x − 8y 3)dy = 0. R. : x + 4xy − 2y 4 = c.
2
199.- (2y 2 x − 3)dx + (2x2 y + 4)dy = 0. R. : x2 y 2 3x + 4y = c.
21
22. 200.- (x + y)(x − y)dx + x(x − 2y)dy = 0. R. : No es exacta.
1
201.- (y 3 − y 2 sen x − x)dx + (3xy 2 + 2y cos x)dy = 0. R. : xy 3 + y 2 cos x − x2 = c.
2
1
202.- (y ln y − e−xy )dx + + x ln y dy = 0. R. : No es exacta.
y
dy
203.- x = 2xex − y + 6x2 . R. : xy − 2ex + ex − 2x3 = c.
dx
3 3
204.- 1− + y dx + 1 − + x dy = 0. R. : x + y + xy − 3 ln(xy) = c.
x y
1
205.- x2 y 3 − 1 + 9x2 dx + x3 y 2 dy = 0. R. : x3 y 3 − arctan 3x = c.
206.- (tg x − sen x sen y)dx + cos x cos ydy = 0. R. : − ln(cos x) cos x sen y = c.
dy
207.- (1 − 2x2 − 2y) = 4x3 + 4xy. R. : y − 2x2 y − y 2 − x4 = c.
dx
208.- (4x3 y − 15x2 − y)dx + (x4 + 3y 2 − x)dx = 0. R. : x4 y − 5x3 − xy + y 3 = c.
x3
209.- (x2 − y)dx − xdy = 0. R. : xy = + c.
3
22
23. 210.- (x2 + y 2 )dx + xydy = 0. R. : No es exacta.
211.- (x + y cos x)dx + sen xdy = 0. R. : x2 + 2y sen x = x.
√
212.- dx − a2 − x2 dy = 0. R. : No es exacta.
1 1 x
213.- 4x3 y 3 + dx + 3x4 y 2 + dy = 0. R. : x4 y 3 + ln y
= c.
x y
3
214.- (x x2 + y 2 − y)dx + (y x2 + y 2 − x)dy = 0. R. : (x2 + y 2) 2 − 3xy = c.
215.- (x + y + 1)dx − (y − x + 3)dy = 0. R. : x2 + 2xy − y 2 + 2x − 6y = c.
y 1
216.- y2 − + 2 dx + + 2y(x + 1) dy = 0.
x(x + y) x+y
x+y
R. : ln + (x + 1)(y 2 + 2) = c.
x
217.- csc θdr − (r csc θ + tg2 θ)dθ = 0. R. : r csc θ = ln sec θ + c.
218.- (6x + y 2)dx + y(2x − 3y)dy = o. R. : 3x2 + xy 2 − y 3 = c.
219.- (y 2 − 2xy + 6x)dx − (x2 − 2xy + 2)dy = 0. R. : xy 2 − x2 y + 3x2 − 2y = c.
23
24. 220.- (x − 2y)dx + 2(y − x)dy = 0. R. : x2 + 2y 2 = 4xy + c.
221.- (2x − 3y)dx + (2y − 3x)dy = 0. R. : x2 + y 2 = 3xy + c.
222.- v(2uv 2 − 3)du + (3u2 v 2 − 3u + 4v)dv = 0. R. : v(u2v 2 − 3u + 2v) = c.
223.- (1 + y 2 )dx + (x2 y + y)dy = 0. R. : 2 arctan x + ln(1 + y 2 ) = c.
224) (w 3 − wz 2 − z)dw + (z 3 + w 2 z − w)dz = 0 R : (w 2 + z 2 )2 = 4wz + c
225) (cos x cos y − cot x)dx − sen x sen ydy R : sen x cos y = ln(c sen x)
226) (r + sen θ − cos θ)dr + r(sen θ + cos θ)dθ = 0 R : r 2 + 2r(sen θ − cos θ) = c
227) x(3xy − 4y 3 + 6)dx + (x3 − 6x2 y 2 − 1)dy = 0 R : x3 y − 2x2 y 3 + 3x2 − y = c
228) [2x + y cos(xy)]dx + x cos(xy)dy = 0 R : x2 + sen(xy) = c
229) 2xydx + (y 2 − x2 )dy = 0 R : x2 + y 2 = cy
230) 3y(x2 − 1)dx + (x3 + 8y − 3x)dy = 0; y(0) = 1. R : xy(x2 − 3) = 4(1 − y 2 )
231) (xy 2 + x − 2y + 3)dx + x2 ydy = 2(x + y)dy; y(1) = 1.
R : (xy − 2)2 + (x + 3)2 = 2y 2 + 15
24
25. 232) (x + y)2dx + (2xy + x2 − 1)dy = 0; y(1) = 1
233) (4y + 2x − 5)dx + (6y + 4x − 1)dy = 0; y(−1) = 2
234) (y 2 cos x − 3x2 y − 2x)dx + (2y sen x − x3 + ln y)dy = 0; y(0) = e
INTEGRAR LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS (EDO)
SIGUIENTES:
235) x(2x2 + y 2 ) + y(x2 + 2y 2)y ′ = 0; R : x4 + x2 y 2 + y 4 = c
x 1 1 y 1 x
236) + + dx + + − 2 dy = 0
x2 + y 2 x y x2 + y 2 y y
x
R: x2 + y 2 +ln(xy)+ =c
y
x2 + y 2 x2 + y 2
237) 2x + dx = dy R : x3 y + x2 − y 2 = cxy
x2 y xy 2
238) (3x2 − 2x − y)dx + (2y − xy + 3y 2 )dy = 0 R : x3 + y 3 − x2 − xy + y 2 = c
xdx + ydy xdy − ydx y
239) + =0 R: x2 + y 2 + =c
x2 + y2 x2 x
y + sen x cos2 xy x
240) dx + + sen y dy = 0 R : tan xy − cos x − cos y = c
cos2 xy cos2 xy
241) n cos(nx + my) − m sen(mx + ny) dx + m cos(nx + my) − n sen(mx + ny) dy = 0
R : sen(nx + my) + cos(mx + ny) = c
25
26. 1 x y y 1 y x x 1
242) sen − 2 cos + 1 dx + cos − 2 sen + 2 dy = 0
y y x x x x y y y
y x 1
R : sen − cos + x − = c
x y y
FACTOR INTEGRANTE
243) (x2 + y 2 + 1)dx − 2xydy = 0 R : 1 + y 2 − x2 = cx
244) (3x2 y + y 3)dx + (x3 + 3xy 2)dy = 0 R : xy(x2 + y 2 ) = c
y
245) (x2 + y)dx − xdy R : x− =c
x
246) (2x2 y + 2y + 5)dx + (2x3 + 2x)dy = 0 R : 5 arctan x + 2xy = c
247) (x+sen x+sen y)dx+cos ydy = 0 R : 2ex sen y+2ex (x−1)+ex (sen x−cos x) = c
248) (3y 2 − x)dx + (2y 3 − 6xy)dy = 0 R : (x + y 2 )2 c = x − y 2
249) y(2xy + 1)dx − xdy = 0 R : x(xy + 1) = cy
250) (x3 y 3 + 1)dx + x4 y 2 = 0 R : x3 y 3 = −3 ln(cx)
251) y(y 2 + 1)dx + x(y 2 − 1)dy = 0 R : x(y 2 + 1) = cy
252) y(x2 − y 2 + 1)dx − x(x2 − y 2 − 1)dy = 0 R : x2 + cxy + y 2 = 1
253) y(x2 +y 2 −1)dx+x(x2 +y 2 +1)dy = 0 R : xy +arctan(y/x) = c
26
27. 254) y(x2 exy − y)dx + x(y + x2 exy )dy = 0 R : 2x2 exy + y 2 = cx2
255) y 2 (1 − x2 )dx + x(x2 y + 2x + y)dy = 0 R : x2 y + x + y = cxy 2
256) x4 y 3 = −x2 y − csc(xy) R : 2x2 cos(xy) = cx2 − 1
257) y(x2 y 2 − m)dx + x(x2 y 2 + n)dy = 0 R : x2 y 2 = 2 ln(cxm /y m)
258) y(x2 + y)dx + x(x2 − 2y)dy = 0; y(1) = 2 R : x2 y − y 2 + 2x = 0
259) y(2 − 3xy)dx − xdy = 0 R : x2 (1 − xy) = cy
260) ydx + 2(y 4 − x)dy = 0 R : y 4 + x = cy 2
261) 2x5 y ′ = y(3x4 + y 2 ) R : x4 = y 2(1 + cx)
262) (x2 + y 2 + 1)dx + x(x − 2y)dy = 0 R : x2 − y 2 + xy − 1 = cx
263) y(2x − y + 1)dx + x(3x − 4y + 3)dy = 0 R : xy 3 (x − y + 1) = c
264) (xy + 1)dx + x(x + 4y − 2)dy = 0 R : xy + ln x + 2y 2 − 2y = c
265) y(y + 2x − 2)dx − 2(x + y)dy = 0 R : y(2x + y) = cex
266) 2y(x+y+2)dx+(y 2 −x2 −4x−1)dy = 0 R : x2 +2xy+y 2 +4x+1 = c
267) 3(x2 + y 2)dx + x(x2 + 3y 2 + 6y)dy = 0 R : x(x2 + 3y 2) = ce−y
268) y(8x − 9y)dx + 2x(x − 3y)dy = 0 R : x3 y(2x − 3y) = c
27
28. 269) 6xydx + (4y + 9x2 )dy = 0 R : 3x2 y 3 + y 4 = c
270) (−xy sen x + 2y cos x)dx + 2x cos xdy = 0 R : x2 y 2 cos x = c
271) (2y 2 + 3x)dx + 2xydy = 0 R : x2 y 2 + x3 = c
272) (2y − 3x)dx + xdy = 0 R : x2 y = x3 + c
273) xdy − ydx = 3x2 (x2 + y 2 )dx R : arctan(y/x) = x3 + c
274) (3x2 + y 2)dx − 2xydy = 0 R : 3x2 − y 2 = cx
275) (x+y)dx−(x−y)dy = 0 R : x2 +y 2 = xe2 arctan y/x
276) ydx + x(x2 y − 1)dy = 0 R : 3y 2 − 2x2 y 3 = cx2
277) xdy − ydx = x2 ex dx R : y = cx + xex
x5
278) (2y − x3 )dx + xdy = 0 R : x2 y − =c
5
279) (3y 3 − xy)dx − (x2 + 6xy 2 )dy = 0 R : 3y 2 + x ln(xy) = cx
x
280) y(x + y)dx − x2 dy = 0 R: + ln x = c
y
281) y(y 2 − 2x2 )dx + x(2y 2 − x2 )dy = 0 R : x2 y 2(y 2 − x2 ) = c
282) 2ydx + (3y − 2x)dx = 0 R : 2x + 3y ln y = cy
x
283) (y 2 − xy)dx + x2 dy = 0 R : ln x − =c
y
28
29. x
284) (x2 + y 2)dx = x(xdy − ydx) R : ln x + arctan =c
y
1
285) (2x3 y 3 − y)dx + (2x3 y 3 − x)dy = 0 R : 2(x + y) + =c
2x2 y 2
x y
286) (x2 y + xy 2 − y 3 )dx + (y 2 x + yx2 − x3 )dy = 0 R: + + ln x + ln y = c
y x
py 2
287) (x4 cos x + 2py 2n)dx − 2px2 ydy = 0 R : sen x − =c
x2
288) (y+senh y sec h x)dx+(x sec h cos hy+tan hx)dy = 0 R : y senh x+x senh y = c
dy
289) x2 + y 2 −x+( x2 + y 2 −y) =0 R : x+y− x2 + y 2 = c
dx
1
290) (2x − y 3 )dx − 3y 2dy = 0 R : x2 − xy 3 = c
x
291) ydx + (x + x2 y 2)dy = 0 R : xy 2 − 1 = cxy
292) yey/x dx + (y − xex/y )dy = 0 R : ex/y + ln y = c
´
ECUIACION DIFERENCIAL LINEAL
´
ECUACION DE BERNOULLI
´
ECUACION DE RICCATI
dy √ c √
293) 2x +y 1 + x = 1 + 2x R : y = √ + 1+x
dx x
c 1
294) cos ydx = (x sen y + tan y)dy R: x= − ln(cos y)
cos y cos y
dy 2
295) x3 + (2 − 3x2 )y = x3 R : 2y = x3 − cx3 e1/x
dx
296) y ln ydx + (x − ln y)dy = 0 R : 2x ln y = ln2 y + c
29
30. 297) y ′ + y cos x = e− sen x R : yesen x = x + c
3x2 3x2
298) 3xydx = sen 2xdx−dy R : y = e− 2 e 2 sen 2xdx +c
y2 x2 −1
299) 2yy ′ − =e x R : y 2 e1/x = ex + c
x2
2 2
300) y ′ + 2xy + x = e−x R : (2y + 1)ex = 2x + c
x tan y x2 + 1 c
301) y ′ sec2 y + =x R : tan y = +√
x2 + 1 3 x2 + 1
302) xdy = 2(x4 + y)dx R : y = x4 + cx2
π
303) (x − sen y)dy + tan ydx = 0; y(1) = R : 8x sen y = 4 sen2 y + 3
2
√
304) (x2 + 1)dy = (x3 + xy + x)dx R : y = x2 + 1 + c x2 + 1
2 √
305) 2xdy = (y−3x2 ln x)dx R : y = x2 −x2 ln x+c x
3
dy 2y + (2x − 1)ex
306) = R : ex + c(2x + 1)
dx 2x + 1
dy
307) x2 = x + 2xy − y R : y = x + x2 + cx2 e1/x
dx
dy 50 + x − y 1 c
308) = R : y = (50+x)+ √
dx 100 + 2x 3 50 + x
dy − (x + 1)dx 2 /2
309) = dx R : y = ce−x + 2 − x2
x2 + 4x + 2
√
310) (x2 +2x−1)y ′ −(x+1)y = x−1 R : y = c x2 + 2x − 1+x
30
31. 311) x(ln x)y ′ − y = x3 (3 ln x − 1) R : y = c ln x + x3
1 y
312) y ′ = R : x = 8 sen2 + ce− cos y
x sen y + 2 sen 2y 2
x3 − 2 cx 1
313) x(x3 + 1)y ′ + (2x3 − 1)y = R: y= +
x x3 +1 x
314) y ′ + y cos x = sen x cos x; y(0) = 1 R : y = 2e− sen x + sen x − 1
1√ √
315) (x ln x)y ′ − (1 + ln x)y + x(2 + ln x) = 0 R : y = cx ln x + x
2
1 √ √
316) 8xy ′ − y = − √ R : y4 = c x + x + 1
y3 x+1
2 2
317) y ′ − y = 2xex+x R : y = ex+x + cex
1 2 1
318) x2 y ′ + 2x3 y = y 2 (1 + 2x2 ) R: = cex +
y x
1
319) 2(sen x)y ′ + y cos x = y 3(x cos x − sen x) R: = c sen x + x
y2
x+ 12 (1 − x2 )y 2 1 √ x
320) y ′+y = R: = c x2 + x + 1− √
x2 + x + 1 (x2 + x + 1)3/2 y x2 +x+1
1 1 x√ 1 √
321) (1+x2 )y ′ = xy+x2 y 2 R: =√ c− 1 + x2 + ln( 1 + x2 − x)
y 1 + x2 2 2
322) (x2 + y 2 + 1)dy + xydx = 0 R : y 4 + 2x2 y 2 + 2y 2 = c
cx
323) x(x − 1)y ′ + y = x2 (2x − 1) R: y= + x2
x−1
324) y ′ cos y + sen y = x + 1 R : sen y = x + ce−x
31
32. ny
325) y ′ − = ex (1 + x)n R : y = (x + 1)n (c + ex )
x+1
2 x2 2
326) y ′+x sen 2y = xe−x cos2 y R : tan y = c+ e−x
2
1
327) xy ′ + y = R : y 3 = 1 + cx−3
y2
dy 1
328) = y(xy 3 − 1) R : y −3 = x + + ce3x
dx 3
dy
329) x2 + y 2 = xy R : ex/y = cx
dx
1 9 49
330) x2 y 3 − 2xy = 3y 4; y(1) = R : y −3 = − x−1 − x−6
2 5 5
dy 2 /2
331) xy(1 + xy 2 ) = 1; y(1) = 0 R : x−1 = 2 − y 2 − e−y
dx
dy c + 4e5x
332) = 3y + y 2 − 4; y1 (x) = 1 R:
dx c − e5x
dy 1 1 1 1 c sen x + cos x
333) = y 2 − y + 1 − 2 ; y1 (x) = + tan x R: y= +
dx x 4x 2x 2x c cos x − sen x
dy 1
334) = −2 − y + y 2; y1 = 2 R: y =2+ 1
dx ce−3x − 3
dy 4 1 2 2 1
335) = − 2 − y + y 2 ; y1 = R: y= + x−3 x
dx x x x x e − 4
dy 1
336) = e2x + (1 + 2ex )y + y 2; y1 = −ex R : y = −ex +
dx ce−x −1
dy 1
337) = 6 + 5y + y 2 R : y = −2 +
dx ce−x −1
ECUACIONES NO LINEALES EN y ′
32
33. Ecuaciones que se resuelven:
a) respecto de p
b) respecto de y y = f (x, p)
c) respecto de x x = ψ(y, p) (y = p)
d) Ecuaciones de Clairaut y Lagrage
Hallar la primitiva y las soluciones singulares de las siguientes Ecuaciones Diferenciales:
338) x2 p2 + xyp − 6y 2 = 0 R : (y − cx2 )(y − cx−3 )
339) xp2 − 2yp + 4x = 0 R : cy = x2 + c2
340) 8yp2 − 2xp + y = 0 R : y 2 − cx + 2c2
341) p2 − xp + y = 0 R : y = cx − c2
342) xp5 −yp4 +(x2 +1)p3 −2xyp2 +(x+y 2 )p−y = 0 R : (y−cx−c3 )(c2 x−cy+1) = 0
343) y = 2px + y 2p3 ; (usar y 2 = z) R : y 2 = 2cx + c3
x = 2(1 − p) + ce−p
344) y = (1 + p)x + p2 R:
y = 2 − p2 + c(1 + p)e−p
x = cp1/2 (p2 + 3)(p2 + 2)−5/4
345) yp2 −xp+3y = 0 R:
y = cp3/2 (p2 + 2)−5/4
33
34. 346) y = px − 2p2 y = cx − 2c2 ; s.s : x2 = 8y
347) xp2 − 2yp + 4x = 0 c2 x2 − cy + 1 = 0; s.s : y 2 − 4x2 = 0
348) (3y − 1)2 p2 = 4y (x + c)2 = y(y − 1)2 s.s : y = 0
349) 2y = p2 + 4xp (4x3 + 3xy + c)2 = 2(2x2 + y)3
350) p3 − 4x4 p + 8x3 y = 0 y = cx2 − c3 ; s.s : 4x6 − 27y 2 = 0
351) p2 − (2x + 3y)p + 6xy = 0 y = ce3x ; y = x2 + c
352) x2 p2 − 3x2 y 3p + 2p − 6y 3 = 0 cy 2 + 6xy 2 + 1 = 0; x(y + c) = 2
353) (1 − x2 )p + xy − 5 = 0 (5x − y)2 = c(x2 − 1)
2
dr dr
354) + 2r tan θ − r 2 sen2 θ = r 2 (cos2 θ − sec2 θ) R : r sec θ = c
dθ dθ
y = c
2 2 2 3 3
355) pxy (p + 2) = 2p y + px R:
x4 = c(x2 − y 2 )
356) p2 cos 2y + o(sen 2y − sen 2x cos 2y) = sen 2x sen 2y
R : (2y+cos 2x−c)(sen 2y−ce−2x ) = 0
p cp
x =
ln(p + 1 + p2 ) +
2 1 + p2 1 + p2
2 2 2
357) (2x+py) = p (y +2x) R:
y = p− 1 c
ln(p + 1 + p2 ) −
2 2 1 + p2
1 + p2
34
35. x = c − 2p
p2
358) 2px − y + 2 ln p − ln 4 = 0 R:
y = 2c − 4p + 2 ln p − ln 4
p
2
2 x2 √
359) xy = p R : xy = +c x ; y=0
3
2p3
360) x = 2p − p2 R : x = 2p − p2 ; y = p2 − +c
3
1
361) y −2/3 p2 −3xp+9y = 0 R : y = c3/2 p3/2 ; x = 3c3/2 p1/2 + ; 64y = x6
3c
p p p2 p
362) x = + ln p − ln y R : ln y − − 2 = c; x = + ln p − ln y
y y 2y y
x = −2p − 2 ln(p − 1) + c
363) x = p2 +y R:
y = −p2 − 2p − 2 ln(p − 1) + c
CLAIRAUT
a2 a2
364) y = px + R : y = cx + ; y 2 = 4a2 c
p c
365) y = px+ 2p2 −p R : y = cx+ 2c2 −c; (x−1)2 + 8y = 0
√
366) y = px + p3 − p2 + p − 1 R : y = cx + c3 − c2 + c − 1
−1 + 2p − 3p2
x =
2(p3 − p2 + p − 1)1/2
−p3 + p − 2
y =
2(p3 − p2 + p − 1)1/2
367) y = (x−5)p+p2 R : y = (x−5)c+c2 ; (x−5)2 +4y = 0
35
36. 368) y = px + ln p R : y = cx + ln c; xey+1 + 1 = 0
369) (y − px)(3p − 1) = 5p2 R : (y − cx)(3c − 1) = 5c2
5p2
y =
(3p − 1)2
x = −5p(3p − 2)
(3p − 1)2
370) ey−px = p2 R : e−y−cx = c2 ; −x2 ey+2 = 0
2 /4
371) y 2 ln y = pxy + p2 ; (u = ln y) R : ln y = cx + c2 ; y = e−x
2
dy dy
372) + −2=0 y = x + c; y + 2x = c
dx dx
2
dy
373) y 2 = 1 + y2 R : (x + c)2 − y 2 = 1
dx
2
dy dy
374) − (x − y) + xy = 0 R : 2y = x2 + c; y = cex
dx dx
2
dy dy
375) 4y − 2x +y =0 R : y 2 = cx − c2 ; 2y = ±x
dx dx
2
dy dy
376) −x +y =0 R : y = cx − c2 ; x2 = 4y
dx dx
2
dy dy
377) +x(y+1) +x2 y = 0 R : 2y = c−x2 ; 2 ln y = c−x2
dx dx
x = 2cp − ln p − 2
378) 2y = xy ′ + y ′ ln y ′ R:
y = cp2 − p
36
37.
x = 2(1 − p) + ce−p
379) y = x(1+y ′ )+y ′2 R:
y = [2(1 − p) + ce−p ](1 + p) + p2
2
x = cp + 2p − 1
2p2 (p − 1)2
1
380) y = xy ′2 − R:
y′ 2
y = cp + 2p − 1 − 1
2(p − 1)2 p
a a
381) y = xy ′ + R : y = cx + ; 4y 3 = 27ax2
y ′2 c2
c−1
382) xy ′2 − yy ′ − y ′ + 1 = 0 R : y = cx − ; (y + 1)2 − 4x
c
ay ′ ac
383) y = xy ′ + R : y = cx+ √ ; x2/3 +y 2/3 = a2/3
1+ y ′2 1 + c2
y 1
384) x = + ′2 R : x = cy + c2 ; 4x = −y 2
y ′ y
385) x8 p2 + 3xp + 9y = 0 R : x3 (y + c2 ) + c = 0; s.s : 4x6 y = 1
386) xp2 − 2yp4x = 0 R : xy = c(y − c); y = ±2x
387) y = x6 p3 − xp R : xy = c(c2 x − 1); 27x3 y 2 = 4
ENVOLVENTES Y TRAYECTORIAS ORTOGONALES
x2
388) y = cx − c2 R: y=
4
389) y = (c − x)5 R: y=0
390) (x − c)2 − y 2 + y 3 = 0 R : y = 0; 1
37
38. x2 x2
391) y = cx + R: y=−
2 2
392) cy − (c − x)2 = 0 R : y = 0; −4x
393) x2 = 2c(y − 2c) R : y = ±2x
Hallar las trayectorias ortogonales para las siguientes familias de curvas
394) x + 2y = c R : y − 2x = k
395) x2 + 2y 2 = c R : y = kx2
x3
396) y 2 = R : (x2 + y 2 )2 = k(2x2 + y 2 )
c−x
397) y 2 = 2x2 (1 − cx) R : x2 + 3y 2 ln(ky) = 0
398) y 2 +2ax = a2 ; a>0 R : y 2 −2bx = b2 ; (b > 0)
399) y = aeαx (α = const) R : 2x + αy 2 = c
1
400) x2 + y 2 = a2 R : y 2 = 2bx
2
1 1 1
401) xk + y k = ak R: − = ; k=2
xk−2 y k−2 bk−2
1
402) x2 − y 2 = a2 R : xy 3 = b
3
x
403) y 2 = 4(x − a) R : y = ce− 2
404) (x − 1)2 + y 2 + kx = 0 R : x2 + y 2 − 1 = cy
38
39. 405) ex cos y = k R : ex sen y = c
406) a) y = ln tan(x + sen x + k) R : 2 senh y + tan(x/2) = c
b) y 2 = 4k(x + k) R : y 2 = 4c(x + c)
1
407) a) y = x tan (y + k) R : x2 + y 2 = cex
2
1
b) y = R : 2y 3 = 3x2 + k
ln cx
408) y = c(sec x + tan x) R : y 2 = 2(k − sen x)
409) x2 − y 2 = cx R : y(y 2 + 3x2 ) = k
410) y(x2 + 1) = cx R : y 2 = x2 + 2 ln[k(x2 − 1)]
411) x4 (4x2 + 3y 2) = c2 R : y 8 = k 2 (3x2 + 2y 2)
412) y 2 = x2 (1 − cx) R : x2−n − y 2−n = k
413) y 2 = ax(1 − cx), (a fija) R : si a = 2, (a − 2)x2 = 3y 2(1 − ky a−2 )
si a = 2, x2 = −3y 2 ln(ky)
414) a) ρ = 2a sen θ R : ρ = 2b cos θ
b) ρ = k sen 2θ R : ρ4 = c cos 2θ
415) ρ2 cos 2θ = c R : ρ2 sen 2θ = k
39
40. 416) ρ = a(1 − 2 sen θ) R : ρ2 = b cos θ(1 + sen θ)
417) ρ = c sen θ tan θ R : ρ2 = k(1 + cos2 θ)
418) ρ = a(sec θ) R : ρ = be− sen θ
1
419) ρ+ sen θ = k R : ρ2 − 1 = cρ sec θ
ρ
1
420) a) e2ρ = k cot θ R: ρ=
c − sen2 θ
b) ρ2 = k(ρ sen θ − 1) R : ρ = 2 sen θ + c cos θ
c) y 2 = kx, (2, −3) R : 2x2 + y 2 = 17
d) y 2 = k 2 + ky, (1, −2) R : k 3 + 3ky 2 = 13
1
e) ρ = k sen(θ/4), ( 4 , π) R : ρ = 64 cos16 (θ/4)
f) ρ = k(1 + sen θ), (2, π/6) R : ρ = 4(1 − sen θ)
g) y 2 = 2k+1+ke2k , (0, 2) R : k = y 2(1−ln y)
h) ax2 +y 2 = kx, a constante fija; k par´metro R : y a = c[(a−2)x2 −y 2 ] (a = 2)
a
2 /y 2
yex = c (a = 2)
i) cos y − a cosh x = k senh x, a constante fija, k es un par´metro
a
R : cosh x − a cos y = c sen y
j) x2 + ay 2 = b
a) Si a es par´metro y b es constante fija
a R : x2 + y 2 = 2b/nx + c
40
41. b) si b es un par´metro y a es una constante fija
a R : y = cxa
41
