1. UNIDAD 2: Funciones reales de una variable real.
Tema 4. Integrales.
Problemas
π
1. Calcúlese la integral ∫0
2 senx cos 2 x dx .
1
∫e
3x
2. Calcúlese senx dx , y explíquese el significado geométrico del número obtenido.
0
3. Estúdiese si la función f (x) = (x – 1)3 + 1 verifica el teorema del valor medio integral en el
intervalo [0,3] y calcúlese el punto del intervalo a que se refiere el teorema. ¿Cuál es el
significado geométrico del resultado obtenido?
4. Hallar el área limitada por la parábola y 2 = 12 x entre x = 0 y x = 3 . Hallar también el área
de la superficie de revolución y el volumen de revolución generados al girar en torno al eje
OX el arco de la parábola.
5. Calcular el área del círculo centrado en el origen y de radio r expresando la circunferencia
contorno
a) como ecuación explícita.
b) en paramétricas.
c) en polares.
6. Calcular la longitud de arco de la curva y = x 3 2 entre x = 0 y x = 5 .
7. Hallar el volumen generado al girar en torno al eje OX el área del primer cuadrante acotada
por la parábola y 2 = 8 x y la recta x = 2 .
8. Hallar la longitud de la espiral ρ = e 2θ desde θ = 0 a θ = 2π .
9. Hallar el área menor limitado en el círculo x 2 + y 2 = 25 por la recta x = 3 .
10. Se llama astroide a la curva que admite por ecuación a:
⎧ x = a cos 3 t
, t ∈ [0,2π ]
2 2 2
x3 + y3 = a3 ó ⎨
⎩ y = a sen 3t
Calcular la longitud del astroide.
Fundamentos matemáticos en Arquitectura I Jesús Hernández Benito

2. 11. Hallar el volumen del cuerpo engendrado por la rotación alrededor del eje OX, de la superficie
limitada por dicho eje y la parábola y = ax − x 2 (a < 0) .
12. Hallar el área de la superficie limitada por y = 2 x 2 − 8 , y = 0 , x = 0 , x = 5 y el volumen del
cuerpo engendrado por la rotación, alrededor del eje OX, de la superficie anterior.
13. Hallar el área entre la curva y = x 3 − 6 x 2 + 8 x y el eje OX.
14. Hallar el área acotado por la parábola x = 4 − y 2 y el eje OY.
15. Hallar el área común a los círculos x 2 + y 2 = 4 y x 2 + y 2 = 4 x .
16. Calcular el área de la región del plano limitada por la curva de ecuación polar ρ = a cos 2θ
(lemniscata de Bernouilli).
17. Hallar el área determinada por la curva y = ( x − 1)( x + 2) , el eje de abcisas y las rectas x = −3
y x = 2.
18. Hallar el área encerrada por la gráfica y = x 2 − 4 x + 3 entre x = 0 y x = 4 .
1
19. Hallar el área determinada por la curva y = y su asíntota.
1+ x2
20. Calcular el área de la región acotada por las gráficas de y = x 2 + 2 , y = − x , x = 0 y x = 1 .
21. Dado el recinto limitado por la curva de ecuación y = 2 x( x − 2) , el eje OX y las rectas x = 1 y
x = 3 , hallar:
a) el área plana del recinto.
b) el volumen de revolución al girar el recinto alrededor del eje OX .
x
22. Calcular el área de la región situada entre las gráficas de las funciones y = x( x − 2) y y = ,
2
sobre el intervalo [0,2].
23. Calcular el área limitada por la curva y = − x 2 − 2 x + 3 y la recta y = 3 .
Fundamentos matemáticos en Arquitectura I Jesús Hernández Benito