1. ´Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´atica Aplicada, FI-UPM. 1
1. CONJUNTOS DE N ´UMEROS
1.2. N ´UMEROS COMPLEJOS
1.2.1. Definici´on
Se llama n´umero complejo a cualquier expresi´on de la forma z = x+yi donde x e y son n´umeros reales
cualesquiera e i =
√
−1 se llama unidad imaginaria. El conjunto de todos los n´umeros complejos se
representa por:
C = {z = x + yi : x, y ∈ R}
En la expresi´on z = x+yi, llamada forma bin´omica del complejo z, los n´umeros reales x e y se llaman,
respectivamente, parte real y parte imaginaria de z, y se representan por:
z = x + yi =⇒
Re(z) = x
Im(z) = y
Dos n´umeros complejos son iguales s´ı y s´olo si son iguales sus partes reales y sus partes imaginarias:
z = w ⇐⇒ Re(z) = Re(w) y Im(z) = Im(w)
1.2.2. Observaciones
• Cuando la parte imaginaria es cero, el n´umero complejo x+0i = x es un n´umero real y, como conse-
cuencia, el conjunto de los n´umeros reales est´a contenido en el conjunto de los n´umeros complejos:
R ⊂ C.
• Cuando la parte real es cero, el n´umero complejo 0 + yi = yi se llama imaginario puro.
• En el conjunto de los n´umeros complejos existen las ra´ıces cuadradas de los n´umeros negativos, por
ejemplo √
−16 = 16(−1) =
√
16
√
−1 = 4i
y, en general,
√
−b =
√
bi para todo b ≥ 0.
• Como consecuencia de lo anterior, en el conjunto de los n´umeros complejos todas las ecuaciones de
segundo grado tienen soluci´on.
1.2.3. El plano complejo
Los n´umeros complejos tambi´en se pueden expresar como un par ordenado de n´umeros:
z = x + yi = (x, y)
Esta expresi´on del n´umero complejo, llamada forma cartesiana, permite identificar el conjunto de los
n´umeros complejos con el plano R2. Al plano cartesiano en el que se representan gr´aficamente los n´umeros
complejos, se llama plano complejo.
O
eje real
eje imaginario
Q
Q
Q
Q
Q
x
y (x, y)
z = x + yi
El n´umero complejo z = x + yi se representa en el plano complejo por el vector que va del origen al
punto (x, y), que se llama afijo del n´umero complejo.

2. ´Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´atica Aplicada, FI-UPM. 2
1.2.4. Operaciones elementales en forma bin´omica
Dados dos n´umeros complejos, z1 = x1 + y1i y z2 = x2 + y2i, su suma o diferencia es:
z1 ± z2 = (x1 + y1i) ± (x2 + y2i) = (x1 ± x2) + (y1 ± y2)i
y, teniendo en cuenta que i2 = −1, su producto es:
z1z2 = (x1 + y1i)(x2 + y2i) = x1x2 + x1y2i + y1x2i + y1y2i2
= (x1x2 − y1y2) + (x1y2 + y1x2)i
Para obtener el cociente se multiplican numerador y denominador (no nulo) por la expresi´on conjugada
del denominador:
z1
z2
=
x1 + y1i
x2 + y2i
=
(x1 + y1i)(x2 − y2i)
(x2 + y2i)(x2 − y2i)
=
(x1x2 + y1y2) + (y1x2 − x1y2)i
x2
2 − y2
2i2
=
x1x2 + y1y2
x2
2 + y2
2
+
y1x2 − x1y2
x2
2 + y2
2
i
En particular, el inverso del n´umero complejo z = x + yi = 0 es:
1
z
=
1
x + yi
=
x − yi
(x + yi)(x − yi)
=
x − yi
x2 + y2
=
x
x2 + y2
−
y
x2 + y2
i
Teniendo en cuenta que:
i0
= 1 i1
= i i2
= −1 i3
= i2
i = −i
la potencia n de i coincide con la potencia de exponente igual al resto de la divisi´on de n por 4:
in
= i4c+r
= i4 c
ir
= 1c
ir
= ir
con r = 0, 1, 2, 3
Para hallar potencias (de exponente natural) se utiliza el binomio de Newton:
zn
= (x + yi)n
=
n
k=0
n
k
xn−k
(yi)k
=
n
k=0
n
k
xn−k
yk
ik
sustituyendo ahora cada potencia de i por su valor y sumando.
Estas operaciones en el conjunto de los n´umeros complejos tienen las mismas propiedades que en el
conjunto de los n´umeros reales.
1.2.5. Ejemplos
Calcula:
(a) (2 − 3i)(1 + 2i) − (2 − i)2
(b)
(2 − 3i)i
(1 + 2i)(3 + i)
(c) i3215
(d) (1 − 2i)5
1.2.6. Complejo conjugado
Se llama complejo conjugado de z = x + yi al n´umero complejo z = x − yi. Obviamente, de la propia
definici´on, se tiene que:
Re(z) = Re(z) y Im(z) = − Im(z)
y entonces:
z = z ⇐⇒ Im(z) = 0 ⇐⇒ z ∈ R
Se verifican las siguientes propiedades:
1. La operaci´on de conjugaci´on es involutiva: z = z.
2. El conjugado permuta con las operaciones elementales:
z1 ± z2 = z1 ± z2 z1z2 = z1 z2 z1/z2 = z1/z2
3. Para cada z ∈ C:
Re(z) =
z + z
2
y Im(z) =
z − z
2i

3. ´Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´atica Aplicada, FI-UPM. 3
1.2.7. M´odulo de un n´umero complejo
Se llama m´odulo del n´umero complejo z = x + yi al n´umero real:
|z| = |x + yi| = x2 + y2
que coincide con la distancia que hay entre el origen y el afijo del n´umero complejo, as´ı como con la
longitud el vector que lo representa. Si se define la distancia entre dos n´umeros complejos como la
distancia entre sus afijos, entonces la distancia entre dos n´umeros complejos coincide con el m´odulo de
su diferencia:
d (z1, z2) = |z1 − z2|
O
Q
Q
Q
Q
Q
x
y z = x + yi
|z|
O x
y
z1
¨¨¨¨¨¨B z2
0
0
0
0
0
|z1 − z2|
Se verifican las siguientes propiedades:
1. |z| ≥ 0, para todo z ∈ C.
2. |z| = 0 si y s´olo si z = 0.
3. |z| = |z| = |−z|.
4. |Re(z)| ≤ |z| y |Im(z)| ≤ |z|.
5. zz = |z|2
, o tambi´en: |z| =
√
zz.
6. |z1z2| = |z1| |z2| y |z1/z2| = |z1| / |z2|.
7. ||z1| − |z2|| ≤ |z1 ± z2| ≤ |z1| + |z2|.
1.2.8. Argumento de un n´umero complejo
Se llama argumento del n´umero complejo z = x + yi = 0 a cualquier ´angulo θ que verifica:
cos θ =
x
|z|
y sin θ =
y
|z|
y se representa por arg(z). Cada n´umero complejo tiene infinitos argumentos, pero s´olo uno en la primera
circunferencia, θ ∈ [0, 2π), que se llama argumento principal y se representa por Arg(z).
O
Q
Q
Q
Q
Q
x
y z = x + yi
|z|
θ x
y
arg(z) = Arg(z) + 2kπ , k ∈ Z
El argumento principal θ de z = x + iy se puede determinar,
a partir del signo de x e y, con la condici´on:
tan θ = y
x

4. ´Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´atica Aplicada, FI-UPM. 4
1.2.9. Formas polar y trigonom´etrica de un n´umero complejo
Cada n´umero complejo z = x+yi queda definido un´ıvocamente por su m´odulo |z| y cualquier argumento
θ, pudi´endose expresar en funci´on de ellos en la llamada forma trigonom´etrica:
cos θ = x
|z|
sin θ = y
|z|
=⇒
x = |z| cos θ
y = |z| sin θ
=⇒ z = |z| (cos θ + i sin θ)
La expresi´on simb´olica z = |z|θ se llama forma polar del n´umero complejo.
En forma polar o trigonom´etrica, es decir, en funci´on del m´odulo y del argumento, dos n´umeros complejos
son iguales s´ı y s´olo si tienen el mismo m´odulo y sus argumentos difieren en un n´umero entero de
circunferencias:
|z|θ = |w|ϕ ⇐⇒ |z| = |w| y θ − ϕ = 2kπ , k ∈ Z
1.2.10. Ejemplos
1. Obt´en la forma polar y trigonom´etrica de los siguientes n´umeros complejos:
(a) z = 1+
√
3i (b) z = 3−3i (c) z = a ∈ R (d) z = ai , a ∈ R
2. A partir del m´odulo y argumento de z, obt´en la forma polar y trigonom´etrica de −z, z y 1/z.
1.2.11. Operaciones elementales en forma polar o trigonom´etrica
Operando a partir de la forma trigonom´etrica, el producto y cociente de n´umeros complejos es:
z1 = |z1| (cos θ1 + i sin θ1)
z2 = |z2| (cos θ2 + i sin θ2)
=⇒
z1z2 = |z1| |z2| [cos(θ1 + θ2) + i sin(θ1 + θ2)]
z1
z2
= |z1|
|z2| [cos(θ1 − θ2) + i sin(θ1 − θ2)]
y, en particular, la potencia de n´umeros complejos es:
[|z| (cos θ + i sin θ)]n
= |z|n
(cos nθ + i sin nθ) (F´ormula de Moivre)
Las operaciones anteriores, usando la forma polar, son:
|z1|θ1
|z2|θ2
= (|z1| |z2|)θ1+θ2
|z1|θ1
|z2|θ2
=
|z1|
|z2| θ1−θ2
(|z|θ)n
= (|z|n
)nθ
1.2.12. Observaciones
• Del producto en forma trigonom´etrica se deduce que la suma de dos argumentos es un argumento
del producto. Sin embargo, al sumar los argumentos principales no siempre se obtiene el argumento
principal del producto, como se ilustra con el siguiente ejemplo:
z1 = −i , Arg(z1) = 3π
2
z2 = −1 , Arg(z2) = π
=⇒ z1z2 = i con Arg(z1z2) =
π
2
= Arg(z1) + Arg(z2)
Por tanto, en general:
arg(z1z2) = arg(z1) + arg(z2) pero Arg(z1z2) = Arg(z1) + Arg(z2)
An´alogamente:
arg
z1
z2
= arg(z1) − arg(z2) pero Arg
z1
z2
= Arg(z1) − Arg(z2)

5. ´Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´atica Aplicada, FI-UPM. 5
• Al multiplicar un n´umero complejo por otro de m´odulo unidad se obtiene el n´umero complejo
resultante de girar el primero, con centro en el origen, un ´angulo igual al argumento principal del
segundo:
|z|θ 1ϕ = |z|θ+ϕ
• De la f´ormula de Moivre, en el caso particular |z| = 1, se obtienen f´ormulas para obtener el seno y
coseno de nθ en funci´on del seno y coseno de θ:
(cos θ + i sin θ)n
= cos nθ + i sin nθ =⇒
cos nθ = Re (cos θ + i sin θ)n
sin nθ = Im (cos θ + i sin θ)n
1.2.13. Ejemplos
1. Dos v´ertices consecutivos de un cuadrado son A(−2, 1) y B(3, 3). Sabiendo que el cuadrado est´a en
semiplano y ≥ 0, halla sus otros dos v´ertices.
2. Expresa sin 4x y cos 4x en funci´on de sin x y cos x.
1.2.14. Forma exponencial de un n´umero complejo
Las propiedades de las operaciones de los n´umeros complejos con respecto al m´odulo y argumento hacen
que tenga sentido expresar los n´umeros complejos como:
z = |z| (cos θ + i sin θ) = |z| eiθ
que se llama forma exponencial o forma de Euler.
Propiedades de la forma exponencial:
1. Las operaciones producto, cociente y potencia se realizan en forma exponencial de forma natural:
r1eiθ1
r2eiθ2
= r1r2ei(θ1+θ2) r1eiθ1
r2eiθ2
=
r1
r2
ei(θ1−θ2)
reiθ
n
= rn
einθ
2. Si z = reiθ entonces:
−z = rei(θ+π)
z = re−iθ 1
z
=
1
r
e−iθ
3. Los n´umeros complejos de m´odulo unidad son z = eiθ, donde θ ∈ R es uno de sus argumentos.
4. Para cualquier k ∈ Z:
ei2kπ
= 1 y en consecuencia ei(θ+2kπ)
= eiθ
5. Dos n´umeros complejos en forma exponencial son iguales si tienen el mismo m´odulo y sus argu-
mentos difieren en un n´umero entero de circunferencias, es decir:
r1eiθ1
= r2eiθ2
⇐⇒
r1 = r2
θ1 − θ2 = 2kπ , k ∈ Z
6. Usando la forma exponencial, el seno y el coseno de un ´angulo se pueden expresar en funci´on de
n´umeros complejos como sigue:
eiθ = cos θ + i sin θ
e−iθ = cos θ − i sin θ
=⇒ cos θ =
eiθ + e−iθ
2
y sin θ =
eiθ − e−iθ
2i
1.2.15. Ejemplos
Si z = −
√
3 + i y w = 1 +
√
3i, usa la forma exponencial para calcular: (a) zw; (b) z
w ; y (c) z10.

6. ´Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´atica Aplicada, FI-UPM. 6
1.2.16. Ra´ıces en´esimas de n´umeros complejos
Se llama ra´ız en´esima de z a cualquier n´umero complejo cuya potencia en´esima es z. Cualquier n´umero
complejo no nulo tiene exactamente n ra´ıces en´esimas distintas que se hallan recurriendo a la forma
exponencial:
z = reiθ
=⇒ n
√
z =
n
√
reiθ = n
√
rei θ+2kπ
n = n
√
rei(θ
n
+2π
n
k) = wk , k = 0, 1, 2, . . . , n − 1
Se puede observar que:
• Todas las ra´ıces en´esimas tienen el mismo m´odulo: |wk| = n
√
r.
• La diferencia entre los argumentos de cada dos ra´ıces consecutivas es constante: wk − wk−1 = 2π
n .
• Los afijos de las n ra´ıces en´esimas de un n´umero complejo no nulo son los v´ertices de un pol´ıgono
regular de n lados centrado en el origen.
1.2.17. Ejemplos
Halla las siguientes ra´ıces de n´umeros complejos: (a) 3
√
−i; (b) 4
√
16; y (c)
√
−4i.
1.2.18. Conjuntos geom´etricos en forma compleja
La identificaci´on del plano complejo C con el cartesiano R2 permite expresar muchos conjuntos del plano
en forma compleja que es, en muchos casos, m´as sencilla. Algunos ejemplos son los siguientes:
• Circunferencia de centro z0 y radio r 0: |z − z0| = r.
• Interior de la circunferencia de centro z0 y radio r 0: |z − z0| r.
• Exterior de la circunferencia de centro z0 y radio r 0: |z − z0| r.
• Mediatriz del segmento de extremos z1 y z2: |z − z1| = |z − z2|.
• Elipse con focos en z1 y z2: |z − z1| + |z − z2| = k, con k |z1 − z2|.
• Hip´erbola con focos en z1 y z2: ||z − z1| − |z − z2|| = k, con 0 k |z1 − z2|.
La ecuaci´on cartesiana del conjunto se puede obtener sustituyendo z = x + iy y operando.
1.2.19. Polinomios. Teorema fundamental del ´algebra
Un polinomio de grado n es cualquier expresi´on de la forma:
Pn(z) = anzn
+ an−1zn−1
+ . . . + a2z2
+ a1z + a0 , con an = 0
donde ai ∈ C, 0 ≤ i ≤ n, se llaman coeficientes.
Se llama ra´ız del polinomio a cualquier valor de z que lo anula, es decir:
z = z0 es ra´ız de Pn(z) ⇐⇒ Pn(z0) = 0 ⇐⇒ Pn(z) = (z − z0)Pn−1(z)
Mientras el polinomio cociente se anule en z0, se puede seguir dividiendo por z − z0, y se dice que:
z = z0 es ra´ız con multiplicidad m de Pn(z) ⇐⇒ Pn(z) = (z − z0)m
Pn−m(z) y Pn−m(z0) = 0
Tambi´en se llaman ra´ıces simples a las de multiplicidad 1, dobles a las de multiplicidad 2, y as´ı sucesiva-
mente.
El teorema fundamental del ´algebra afirma que, si cada ra´ız se cuenta tantas veces como indica
su multiplicidad, todo polinomio de grado n tiene exactamente n ra´ıces reales o complejas, es decir, que:
Pn(z) = an (z − z1)m1
. . . (z − zp)mp
, con
p
i=1
mi = n
En particular:

7. ´Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´atica Aplicada, FI-UPM. 7
• Si los coeficientes son todos reales, cuando hay una ra´ız compleja tambi´en est´a su conjugada con la
misma multiplicidad.
• Todo polinomio de coeficientes reales y grado impar tiene, al menos, una ra´ız real.
PROBLEMAS RESUELTOS
1. Opera y simplifica cada una de las siguientes expresiones complejas:
(a) i−221
(b)
2i(3 + i) + (1 − i)(2 + i)
i3(1 + 2i)
(c)
100
k=0
ik
(d)
√
5 + 12i
2. Resuelve en C la ecuaci´on:
z
2 + i
+
3z − i
2 − i
= 3.
3. Halla x, y ∈ R para que:
3 + xi
1 + 2i
= y + 2i.
4. Halla a ∈ R para que:
a + 2i
1 − i
= 2.
5. Prueba que si |z| = 2 entonces:
1
z4 − 4z2 + 3
≤
1
3
.
6. Prueba que, para cualquier z ∈ C, se cumple: |Re z| + |Im z| ≤ |z|
√
2.
7. Calcula: (a) (1 + i)20; (b) (
√
3 − i)30.
8. Halla la suma y el producto de las ra´ıces en´esimas de la unidad.
9. Halla todos los complejos z ∈ C tales que z3 − |z|2
= 0.
10. Halla el lugar geom´etrico de todos los n´umeros complejos de la forma:
z =
a − i
1 + i
, a ∈ R
Encuentra, si existen, los que se encuentran sobre la recta x + 2y − 1 = 0.
11. ¿Qu´e curva o conjunto geom´etrico representa cada una de las siguientes igualdades o desigualdades?
(a) |z − 1 + 2i| = 3 (b) |z − i| |z + i| (c) 0 |z − 1| 2 (d) |z − 2| + |z + 2| = 6
Encuentra sus ecuaciones en forma cartesiana.
12. Sabiendo que 1 + i es soluci´on de z4 − 4z3 + 5z2 − 2z − 2 = 0, calcula todas sus ra´ıces.
CUESTIONES
1. Contesta razonadamente si son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones:
(a) Los n´umeros reales no son complejos.
(b) Los n´umeros complejos de m´odulo 1 son menores que los n´umeros complejos de m´odulo 2.
(c) El inverso de un n´umero real es complejo.

8. ´Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´atica Aplicada, FI-UPM. 8
(d) Si |z| |w| entonces z w.
(e) Las ra´ıces en´esimas de un n´umero complejo tienen todas el mismo m´odulo.
(f) Las ra´ıces de la ecuaci´on z5 + 2i = 0 son los v´ertices de un pent´agono regular.
(g) Todo polinomio de grado impar tienen al menos una ra´ız real.
2. Demuestra que, para cualesquiera z, w ∈ C, se cumple que:
|z + w|2
+ |z − w|2
= 2 |z|2
+ 2 |w|2
3. Demuestra que |z − 1| |z + 1| si y s´olo si Re(z) 0.
4. ¿Es cierto que las ra´ıces c´ubicas de la unidad se pueden expresar como 1, w y w2? ¿Qui´en es w?
5. Justifica que existe w tal que las ra´ıces en´esimas de la unidad son: 1, w, w2, ..., wn−1.
6. Justifica que las ra´ıces en´esimas de un n´umero complejo forman una progresi´on geom´etrica. ¿Cu´ales
son el primer t´ermino y la raz´on?
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Opera y simplifica cada una de las siguientes expresiones complejas:
(a) i2723
(c) (2 − 3i)(1 + i) − (1 + 2i)2
(e)
1 + i
(1 − i)2
(g) (2 − i)5
(b) i−1
(d) (3 − 2i)(1 + 3i)(2 − i) (f)
i + i2 + i3 + i4 + i5
1 + i
(h)
(1 + i)3
(1 − i)3
2. Opera y simplifica cada una de las siguientes expresiones:
(a) 1 + i + i2
+ . . . + i57
(b) (1 + 2i)4
(c) (3 − 2i)5
3. Resuelve en C las ecuaciones: (a)
3 − i
z
= 4 + 2i; (b) x2 + 2x + 5 = 0.
4. Halla, en cada caso, el valor de a ∈ R para que el n´umero complejo z = a+3i
1+i
(a) Sea imaginario puro.
(b) Sea un n´umero real.
(c) Est´e sobre la bisectriz del segundo y cuarto cuadrantes.
5. Encuentra dos n´umeros complejos tales que su suma es un n´umero real, su diferencia y cociente
sean imaginarios puros, y su producto sea igual a 2.
6. Halla z ∈ C si z + w = 2 + 3i y w = 3 + i.
7. Prueba que si |z| 1 entonces: Re(1 − z + z2) 3 y Im(1 − z + z2) 2.
8. Expresa en forma polar y en forma exponencial los siguientes n´umeros complejos:
3 + 3i − 1 +
√
3i − 1 − 2i − 2 − 2
√
3i
9. Halla, usando la f´ormula de Moivre, sin 3x y cos 5x en funci´on de sin x y cos x.
10. Dos v´ertices consecutivos de un cuadrado son O(0, 0) y A(4, 1). Halla sus otros dos v´ertices. ¿Es
´unico?

9. ´Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´atica Aplicada, FI-UPM. 9
11. Halla los v´ertices de un hex´agono regular.
12. Halla las siguientes ra´ıces:
(a)
3
√
1 (b)
3
√
i (c) 4
√
−1 (d)
√
1 − i (e) 3
√
1 + i (f)
6
1 −
√
3i
13. Encuentra las soluciones de la ecuaci´on z3 + 8 = 0 que caen dentro del recinto del plano complejo
definido por |z + 1| 2.
14. ¿Qu´e curva o conjunto geom´etrico representa cada una de las siguientes igualdades o desigualdades?
(a) |z − i| = |z + i| (b) |z − 1| = 2 (c) |z − i| + |z + i| = 4 (d) ||z − 2| − |z + 2|| = 2
Encuentra sus ecuaciones en forma cartesiana.
15. Sabiendo que z = i es soluci´on de z7 + z5 − z2 − 1 = 0, calcula todas sus ra´ıces.
16. Estudia si la ecuaci´on ax5 + bx4 + cx3 − ix2 − i = 0, con a, b, c ∈ R, tiene soluciones reales.