O documento discute ordenação topológica em grafos dirigidos acíclicos (DAGs). Explica conceitos como grafos dirigidos e DAGs, define ordenação topológica como uma sequência de vértices onde cada vértice vem antes dos vértices que dependem dele, e descreve um algoritmo de ordenação topológica baseado em busca em profundidade que imprime os vértices em ordem inversa.

1. Ordenação Topológica
Hudson C. Miranda
Julho de 2013

2. 
Conceitos necessários

Definição

Aplicações

O algoritmo

3. Conceitos Necessários
Para entender a ideia da ordenação topológica,
alguns conceitos devem ser explicados antes.

4. Grafo Dirigido (ou Digrafo)

Um grafo é dirigido se toda aresta do grafo tiver
uma direção definida, ou seja, suas arestas não
são simétricas.

Para cada aresta existirão dois vértices
específicos: o de origem e o de destino.

5. Grafo Dirigido (ou Digrafo)

Um grafo é dirigido se toda aresta do grafo tiver
uma direção definida, ou seja, suas arestas não
são simétricas.

Para cada aresta existirão dois vértices
específicos: o de origemorigem e o de destino.destino.

6. Grafo Dirigido Acíclico

Um grafo é aciclico se não existe um caminho
que saia de um vertice e chegue nele mesmo.

Em grafos dirigidos, isso significa que não
existe um caminho de arestas em que um dado
vértice seja a origem e o destino desse
caminho.

7. Grafo Dirigido Acíclico

Um grafo é aciclico se não existe um caminho
que saia de um vertice e chegue nele mesmo.

Em grafos dirigidos, isso significa que não
existe um caminho de arestas em que um dado
vértice seja a origem e o destino desse
caminho.
DAG

8. Grafo Dirigido Acíclico

Grafos Dirigidos acíclicos (conhecidos como
DAG, de Direct Acyclic Graph) são estruturas
muito importantes em teoria dos grafos.

Muito utilizada para determinar graficamente
tarefas que exigem precedência de
execução(linhas de produção, disciplinas de um
curso, sprints de trabalhos, etc...).

Mas, dado um DAG, como podemos determinar
a ordem de precedência de todos os vértices do
grafo?

9. Grafo Dirigido Acíclico

Grafos Dirigidos acíclicos (conhecidos como
DAG, de Direct Acyclic Graph) são estruturas
muito importantes em teoria dos grafos.

Muito utilizada para determinar graficamente
tarefas que exigem precedência de
execução(linhas de produção, disciplinas de um
curso, sprints de trabalhos, etc...).

Mas, dado um DAG, como podemos determinar
a ordem de precedência de todos os vértices do
grafo? R:com a ordenação topológica.ordenação topológica.

10. 
Conceitos necessários

DefiniçãoDefinição

Aplicações

O algoritmo

11. Ordenação Topológica - Definição
Dado um grafo G=(V, E) dirigido e acíclico, e
sabendo que existe uma ordem de precedência
entre seus vértices, podemos dizer que existirá
um conjunto parcialmente ordenado (V, <) tal
que para qualquer v e w de V, v < w se e
somente se existir um caminho de v até w.
Porém, o operador “<” não significa que v seja
menor que w, mas sim que v vem antes de w.

12. Ordenação Topológica - Definição
Com a informação anterior, é facil ver que haverá
uma sequência de vértices v1, v2, …,vn de G
tal que v1<v2<...<vn. Essa sequência de
vértices será uma ordenação topológicaordenação topológica de G.

13. Ordenação Topológica - Definição
Existem várias ordenações topológicas dado um
DAG:

14. Ordenação Topológica - Definição
Existem várias ordenações topológicas dado um
DAG: 
{7, 5, 3, 11, 8, 2, 9, 10} – Esquerda para
direita, cima para baixo.

{3, 5, 7, 8, 11, 2, 9, 10} – Vértice de menor
número disponível primeiro.

{7, 5, 11, 3, 10, 8, 9, 2} – Vertíce de maior
número disponível primeiro.

Entre outras...

15. 
Conceitos necessários

Definição

AplicaçãoAplicação

O algoritmo

16. Aplicações

Organizar ordem de tarefas: Cada vértice
representa uma tarefa a ser executada e as
arestas as dependências de cada tarefa.

17. Aplicações

Organizar ordem de tarefas: Cada vértice
representa uma tarefa a ser executada e as
arestas as dependências de cada tarefa.

Depêndencia entre disciplinas: Os vértices
representam as disciplinas e as arestas suas
dependências

18. 
Conceitos necessários

Definição

Aplicação

O algoritmoO algoritmo

19. O algoritmo
Existem diversas variações do algoritmo para
encontrar uma ordenação topológica em um
DAG. O mais conhecido é uma variação do
DFS (busca em profundidade) que imprime os
vértices em ordem topológica invertida.

20. O algoritmo
procedimento Orden-Topo(G: Grafo)
Para Cada vértice v de G:
Marque v como não visitado
Para Cada vértice v de G:
Se v não foi visitado:
Busca-Prof-Orden-Topo(v)
fim
procedimento Busca-Prof-Orden-Topo(v: vértice)
Marque v como visitado
Para Cada vértice w adjacente a v:
Se w não foi visitado:
Busca-Prof-Orden-Topo(w)
Imprimir(v)
fim

21. O Algoritmo - Complexidade
Tendo em vista que o algoritmo anterior se utiliza
da busca em proundidade de um grafo, sua
complexidade será igual a do DFS(O(n)), já
que a impressão da lista de vértices é O(1)

22. Obrigado!
Referências:
http://www.professeurs.polymtl.ca/michel.gagnon/Disciplinas/Bac/Grafos/Busca/busca.html#Ord
http://wiki.icmc.usp.br/images/9/93/Alg2_05.Grafos_ordenacaotopologica.pdf
http://www.cos.ufrj.br/~marroquim/grafos/slides/aula_8.pdf
https://www.cs.washington.edu/education/courses/326/03wi/lectures/RaoLect20.pdf
http://www.ime.usp.br/~pf/algoritmos_para_grafos/aulas/toposorting.html
http://paginas.fe.up.pt/~rossetti/rrwiki/lib/exe/fetch.php?media=teaching:1011:cal:05_1.grafos1_b.pdf
http://w3.ualg.pt/~hshah/algoritmos/aula4/aula4.htm
http://www.comp.ita.br/~mamc/folhetos/3.pdf
http://web.sercomtel.com.br/marcusvlc/
http://www.youtube.com/watch?v=AfSk24UTFS8